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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE TLAXCALA
PLANTEL: 06 CONTLA
CALCULO INTEGRAL: AREA ENTRE DOS CURVAS
NOMBRE DE LOS ALUMNOS:
MARTIN GUTIÉRREZ FLORES
AILED PÉREZ FLORES
ZURIZARAIT HERNÁNDEZ MEDINA
BERENICE SOSA ESCOBAR
ADRIANA GUADALUPE AMBROSIO MONTES
MA. PILAR ALVARES MÉNDEZ
JESSICA SÁNCHEZ ZARATE
LEONEL ROSALES CONDE
MANUEL ALEJANDRO XOCHITEMOL GALICIA
HÉCTOR ATONAL BAUTISTA
LEONARDO HERNÁNDEZ NAVA
ABIGALI PERES HERNÁNDEZ
GRUPO: 601
CALCULO DE AREAS ENTRE DOS CURVAS
En este apartado estudiaremos algunas aplicaciones de la integral definida. La usaremos para calcular entre otras cosas el área bajo una curva y áreas entre curvas
Área bajo la curva
Sea f(x) una función continua en el intervalo [ a, b ]
El área a calcular está delimitada por la función f(x), el eje de las x y delimitada entre los intervalos [a, b] con la integral:
A=∫a
b
f ( x )−g (x )dx
Hemos empleado la integral definida para calcular el área bajo una curva, extendamos un poco más el tema ahora veremos una noción más compleja, supongamos que se tienen dos funciones continuas ya no una como en el tema anterior
Dadas dos funciones f (x) y g(x), encontrar el área contenida entre sus graficas en el intervalo [a,b].
Dónde:
f(x) y g(x) son las graficas
a y b es el intervalo que limita el área a calcular
Se necesita la siguiente formula
A=∫a
b
f ( x )−g (x )dx
Ejemplo:
Calcular el área delimitada por las funciones y=x3 y y=3x3 +3 entre los puntos x=-1 y x=1
Paso:1 obtener la gráfica para poder saber a quién se le asignara f(x) y g(x)
Como podemos observar la función y=3x3 +3 pasa por arriba por lo cual es f(x) y la función y=x3es g(x) porque pasa por abajo así que obtenemos los siguientes datos
Datos
f(x)= 3x3 +3
g(x)=x3
a=-1
b=1
Paso 2: sustituir los datos en la formula teniendo en cuenta que f(x) sea la función que se encuentre por arriba de las dos funciones y g(x) sea la función que pasa por abajo
A=∫a
b
f ( x )−g (x )dx
A=∫−1
1
( (3x3+3 )−x3)(dx)
Paso 3: realizar la reducción de términos semejantes puede ser sumar o restar términos semejantes antes de integrar
3x3 +3-x3 =2x 3 +3
A=∫−1
1
2 x3+3dx
Paso 4: comenzar a integrar
Le sumamos 1 al exponente y a la variable la dividimos entre el resultado de la suma del exponente no debemos olvidar que el termino independiente solo se le agrega la variable x
A= 2x3+ 1=4
4+3 x
24
=12
por lo tanto
A= 1x4
2 + 3x
Paso 5 sustituimos a x con b-a primero abrimos corchete y colocamos b entre paréntesis y lo elevamos a la potencia que indica la x, luego colocamos el signo menos y entre paréntesis ponemos a entre paréntesis y elevamos a la potencia indicada
-1 1
1
b g(x)f(x)
a
1-1
1
a b a
A= 12¿ + 3 [ (1 )−(−1) ]
Paso 6: realizar las operaciones que indica
A= 12¿ + 3 [ (1 )−(−1) ]
A= 12
[1−1 ]+3 [1+1 ]
A= 12
[0 ]+3 [2 ]
A= 6u2
Por lo tanto el área que se encuentra entre las dos curvas será de 6 unidades cuadradas
b
3
0
3
0
¿∫0
3
(2 x+2 )dx
¿ 22
2+2 x
¿ x2+2x
¿ [ (3 )2− (0 )2 ]+2 [ (3 )−(0 ) ]
¿ [9−0 ]+2 [3−0 ]
¿ [9 ]+2 [3 ]
¿9+6=15u2
Encontrar el área de
Y=x2 +5
y=x2+3
Entre los puntos x=-2 y x=2
∫−2
2
(x2+5 )−(x2+2)
∫−2
2
x2+5−x2−2
Encontrar el área de:
y=2x2+x+3
y=x3+2 x2
Entre los puntos x=-2 y x=1
∫−2
1
[2 x2+x+3]−[x3+2x2]
∫−2
1
2 x2+x+3−x3−2x2 dx
∫−2
1
−x3+x+3dx=− x4
4+ x
2
2+3 x
=−14
¿
=−14
[(1)−(16)]+ 12
[(1)−(4)]+3 [(1)−(−2)]
1
-2
ÁREA ENTRE DOS CURVAS CON CORTE
Ahora debemos saber el área entre dos graficas que se cortan es necesario primero conocer las intersecciones de las funciones f(x) y g(x)
F(x) y g(x) son las graficas
a y b son los puntos donde se cortan las graficas
Se necesita la siguiente formula:
A=∫a
b
f ( x )−g (x )dx
Ejemplo
Determinar el área por las funciones y=2x2 -12x+5 y y=2x-7
Paso:1 obtener la gráfica para poder observar los datos
Como podemos observar la función y=2x-7 pasa por arriba por lo cual es f(x) y la función y=2x2 -12x+5 es g(x) y los puntos a y b es donde se intersectan a= 1 y b=6 se ordenan a es el número menor y b es el número mayor
O bien podemos conocer sus intersecciones mediante la igualación de f(x) y g(x) y obtenemos lo siguiente
2x2 -12x+5=2x-7
2x2 -12x+5-2x+7=0
2x2 -14x+12=0
Una vez obteniendo la igualación factorizar
2x2 -14x+12=0
(2x-2)(x-6)=0
2x-2=0 x-6=0
2x=2 x=6
x=2/2 x=6
x=1 x=6
Obtenemos los siguientes datos
Datos
f(x)=2x-7
g(x)= 2x2 -12x+5
a=1
b=6
Paso 2: sustituir los datos en la formula
A=∫a
b
f ( x )−g (x )dx
A=∫1
6
(2 x−7 )−(2x2−12 x+5)(dx)
Paso 3: realizar la resta antes de integrar
2x2 -12x+5-2x+7 =- 2x 2 +14x-12
A=∫−1
1
−2 x2+14 x−12dx
b g(x)f(x)
a
Paso 4: comenzar a integrar
Le sumamos 1 al exponente y a la variable la dividimos entre el resultado de la suma del exponente no debemos olvidar que el término independiente solo se le agrega la variable x
A=−2x2+1=3
3+14 x
1+1=2
2−12 x
A=−2x3
3+ 14 x
2
2−12 x
Paso 5 sustituimos a x con b-a primero abrimos corchete y colocamos b entre paréntesis y lo elevamos a la potencia que indica la x, luego colocamos el signo menos y entre paréntesis ponemos a entre paréntesis y elevamos a la potencia indicada
A= −23
¿ + 7¿
Paso 6: realizar las operaciones que indica
A= −23
[(216)−(1)] + 7 [(36)−(1)]−12[5]
A= −23
[215 ] + 7 [35 ]−12[5]
A=-143.33+245-60
A=41.66u2
Podemos concluir que el área delimitada por esas dos funciones es de 41.66u2
-1
1
1
-1
b a b a
a ab
a
3
0
y=2x2−6 x+3
y=3
∫0
3
[ (2x2−6 x+3 )−(3 ) ]
¿∫0
3
(2 x2−6 x+3−3 )
¿∫0
3
(2 x2−6 x )=2x3
3−6 x
2
2
¿ [ 2 (3 )3
3−6 (3 )2
2 ]−[ 2 (0 )3
3−6 (0 )2
2 ]¿ [ 543 −54
2 ]=18−27=−9u2
2+5 x−x2=5 x−2
2+2+5 x−5 x−x2=0
4−x2=0
4=x2
±√4=x
X1= 2 x2= - 2
∫−2
2
[ (5 x−2 )− (2+5 x−x2) ]
¿∫−2
2
(5 x−2−2−5 x+x2)
2
-2¿∫−2
2
(x2−4 )= x3
3−4 x
¿ [ (2 )3
3−4 (2 )]−[ (−2 )3
3−4 (2 )]
¿ [ 83−8]−[−83 +8]¿ (−5
13 )−(5
13 )
¿−323
=−10.66u2
Ejercicio 3
4 x−x2=−2 x2+9 x−4
−x2=−2 x2+9x−4 x−4
−x2=−2 x2+5 x−4
2 x2−x2=5x−4
x2=5 x−4
0=−x2+5 x−4
(−x+1 ) (x+4 )=0
−x+1=0
−x=−1
x=1
x−4=0
x=4
∫1
4
[ (4 x−x2 )−(−2 x2+9 x−4 ) ]
¿∫1
4
(4 x−x2+2x2−9 x+4 )
¿∫1
4
(−5 x+x2+4 )=−5x2
2+ x
3
3+4 x
¿ [−5 (4 )2
2+
(4 )3
3+4 (4 )]−[−5 (1 )2
2+
(1 )3
3+4 (1 )]
¿ [−802 + 643
+16]−[−52 + 13+4 ]
¿37−156=35 1
6u2
4
1
Calcular el área entre dos graficas recuerda que unas se intersectan en las cuales tienes que encontrar los valores de a y b antes de empezar a factorizar
1.
Y= 5x2-2x2+x
Y= 2x3+x2+3x+4
Entre los puntos x= -1 y x=1
2.
Y= x3-5x2+x-2
Y= x2-2
3.
5x3-2x2+x-2 x=-1 y x=1Y= x2 -5x+2
4.
4x3-5x2+2 x=-2 y x=2
X3-x2+x+2
5.
-3x2+6x-2 entre los puntos x=-1 y x=2x3-x2+x+2
6.
7x2+3
x3-x2-10
7.
6x3+x2-12 entre los puntos x=0 y x=22x2-10x+3
8.
x3-5x2-3
5x2+4
9.
7x3+10x2+x x=-1 y x=13 x3-4x2+3
10.
x3-x2+3x x=0 y x=22x3-x2+x-10
11.
8x3-2x2+2x x=-1 y x=1-2x3+x2+3x
12.
6x2-7x+5 x=-1 y x=2-2x3+x2+5
13.
2x3-4x+3 x=-2 y x=25x+2x+3
14.
8x2-3x+2
x3-x2-5
15.
x3-2x-3
7x2+x
16.
x3-x2-5
Bibliografía
Calculo integral, Lorenzo Escalante Pérez, editorial Book Mart
Matemáticas 6 calculo integral, Arturo Ortiz Cedano y Guillermo Fox Rivera, editorial nueva imagen
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
http://personales.unican.es/gonzaleof/sociales_2/areas2.pdf