Universidad Nacional Andrés Bello Microeconomía Avanzada Facultad de Economía y Negocios Prof. Christian Belmar

¿Cómo Afrontar un Problema de KKT? (Para Minimización)

Ayudante: Mauricio Vargas S.

Caso 1: Ya tienen un candidato a mínimo 1. Dejan el problema como uno con la forma canónica de KKT (en las restricciones

solo desigualdades de ≤ 0 e = 0). 2. Verifican que tanto la función objetivo como las restricciones sean todas

convexas (recuerden que funciones lineales o lineales afines son convexas y cóncavas, en particular convexas) (*)

3. Revisan, para su candidato, en que restricciones se alcanza la igualdad. Esas serán las restricciones activas.

4. Calculan el gradiente de f (función objetivo) y gi para cada i (restricciones). 5. Escriben las condiciones de KKT para su punto candidato 6. Resuelven el sistema de ecuaciones que tendrán (será lineal), y ven si encuentran

soluciones positivas (≥ 0) para los !!. 7. Si es así, concluyen que el punto verifica las condiciones de KKT. Si además ya

habían probado (*), concluyen que el punto es el mínimo de f sujeta a las restricciones.

8. Si aparece que el sistema no tiene solución, o que la tiene pero con algún !! negativo, concluyen que el punto no verifica KKT, y por lo tanto, no es solución del problema.

Caso 2: No tienen candidato a mínimo

1. Dejan el problema como uno con la forma canónica de KKT (i.e., en las restricciones puras desigualdades de ≤ 0).

2. Verifican que tanto la función objetivo como las restricciones sean todas convexas (recuerden que funciones lineales o lineales afines son convexas y cóncavas, en particular convexas) (*)

3. Calculan el gradiente de la función objetivo y de todas las restricciones 4. Escriben las condiciones de KKT y tomando en cuanta que que !!ℎ! ! = 0

para cada j. En los gradientes, evalúan en un punto x* (vector) genérico. 5. Van resolviendo por casos para cada !!, tomando todas las combinaciones

posibles de cuáles son cero y cuáles no. 6. Ven en cuáles hay solución, que respete todas las restricciones, y que cumpla

que todos los u sean no negativos. Si demostraron (*), la primera solución que encuentren ya será suficiente para concluir.

Para maximización en el punto (*) habría que verificar si las funciones son cóncavas.