En esta operación se observa la integraciónde la aritmética y la geometría.

6 ... , es decir, 1 + 3 = 4 Yasí sucesivamente.31

ti= n(n+l)Haciendomás conexiones,el términogeneralde lasumatoria ;=1 2

representa los números figurados llamados triangulares. iAhi y además de eso,la suma de dos números triangulares consecutivos nos da otro tipo de númerosfigurados, llamados cuadrados expresados en la fórmula:ti= n(n+l) ti= n(n+l)

;=1 2 + ;=1 2 = n2.

Se conoce como Suma de Rienmann.Esta fórmula se utiliza para la definición y el cálculo de integrales definidas.

Luego, multiplicó 101 por 100 Y lo dividió entre 2, porque los números del 1 al 100 se habían sumado dos veces y elresultado es 5050. ti= n(n+l)

Riemann, con base a la serie de Gauss, llegó a la expresión de esta operación mediante la fórmula: ;=1 2N=100 (n+ 1) = 101

La estrategia antes explicada de manera gráfica es la siguiente:1 2 3 4 ... 100

+ 100 99 98 97. .. 1101 101 101 101 ... 101

El célebre matemático Gauss se destacó desde muy temprana edad. En el seno delhogar, descubrió un error en la nómina de la compañía de su padre. En la escuela, cuandotenía 10años de edad, su maestra, para tranquilizar a los alumnos, les solicitó a todos quesumaran la secuencia de los números del 1 hasta el 100.

De inmediato, Gauss fue a la pizarra y escribió el resultado de la suma: 5,050. La maes­tra quedó sorprendida porque ella no sabía que el resultado era 5,050.

Los analistas o comentaristas de la matemática suponen que para lograr esta operación,Gauss escribió los números del 1 al 100 en orden ascendente y luego, debajo, en orden de­scendente, y notó que la suma de los sumandos siempre era 101: como la serie estaba dosveces, multiplicó 101 por 50 (101 x 50) y observó que también sumaba 101.

El matemático Gauss

Angel Fco. BáezVelázquezProf. de Matemáticas del Ciclo Básico

conEXIonES En MllTEmilTICR

5

27

3

8

1o9

He aquí una ilustración del círculo de madera:

Construir un círculo de maderascon 10 clavitos y co­locarle los números del O al 9 de derecha a izquierda,empezando por el cero. y usando madejas de varioscolores para representar las tablas de multiplicar desdeel 2 hasta9. Esteejercicio lo dejamos a los lectores paraque digan cuales tablas son parecidas y establecer ladiferencia entre ellas.

Concluimos que la sumada un múltiplo de 3, esdecir,la tabla del 3. Cabe aquí mostrar una estrategiacon estaoperación (Multiplicación):

Sien vez de empezar con el 3, iniciamos con e14. ¿Elúltimo dígito es?12muy bien! y ¿Cuántosuman lasfilasahora?24. y así sucesivamente S, 6,...

Si en vez de empezar con el 2, iniciamos con el 3.¿Elúltimo digito es?11muy bien! y ¿Cuántosuman lasfilas ahora?21.

Si en vez de empezar con ell, iniciamos con el 2. ¿Elúltimo digito es? 10 muy bien! y ¿Cuántosuman lasfilas ahora?18.

Se tiene el cuadrado mágico resuelto, ahora sedebeexplorarlo, hacer conjeturas o supuestos. Por ejemploactualmente existe el sudoku que es una consecuen­cia de los cuadrados mágicos. Otra exploración es lasiguiente:

Podemos intercambiar la primera y la tercera fila ocolumna.

6 1 8

7 S 3

2 9

Con esteconocimiento nos permite la técnica de en­sayo y error (tanteo),y podemos construirlo así:

1 A Be 5

D

Nos damos cuenta que lo anterior no se puede,porque las respuestasson 8 y 6; 5 Y 9; Yya el 5 y el 9están colocados, por lo que no se puede colocar el 1en una esquina, esta metodología aplicada es lo que seconoce como el método de reducción al absurdo.Lo quesignifica que el 1 debe ir en los medios, es decir, dondeestá la A o la C.

Ahora bien, se colocan los números del 1 al 9 en lasnueve casillas o celdas. Como el cuadrado es de ordentres posee un centro y ahí debe colocarse el 5. Luegodebes empezar por el 1. En el supuesto que se coloqueel 1 en unaesquina, sepuede hacerun análisisy plantearlas siguientesecuaciones: A + B = 14 Y C +D =14, donde las incógnitas deben serdiferentes, puestoque sedeben colocar los nuevesnúmerosen cada casillao celda.

Si la suma total es 45; entonces, ¿Cuántosuman cadafila? 15 porque hay 3 filas y el total es 45. Por tanto lasuma de cada fila, columna y diagonal es 15.

Elcuadrado mágico de orden tres esaquel cuadrado queposee3 filas y 3 columnas, ademássedenomina mágicoporque cada fila, cada columna y sus 2 diagonales po­seen la misma suma. Dicho cuadrado posee 9 celdas ocasillas.Y sedeben colocar los números desdeel l hastael 9. Ahora cabe hacerse la pregunta: ¿Cuánto sumanlos números del 1 al 9? Para la respuesta,nos ayuda lafórmula que gracias a Karl F.Gausscreo: t;~1I("2+1) .conla cual éstepudo sumar lasecuenciade los númerosnatu­rales. Utilizando la fórmula anterior para sabercuánto esla suma: !;;9(9+1)= 45

¡pi 2

Más conexiones en matemática con cuadradomágico de orden 3 y sus implicaciones.