Congruencia de triángulos

Dos figuras son congruentes si poseen idéntica forma y superficie, es decir si las sobreponemos coincidirían plenamente

Al ser congruentes los triángulos, ABC y A'B'C', de la figura anterior, se llaman lados correspondientes u homólogos a los opuestos a ángulos iguales (a con a’ ; b con b’; c con c’) y ángulos correspondientes u homólogos a los opuestos a lados iguales ( con ’ ; con ’; con ’), cumpliéndose que los elementos homólogos de triángulos congruentes son iguales.

Teorema a. l. a.: Si dos triángulos poseen dos ángulos consecutivos congruentes, como también el lado comprendido entre esos ángulos estos triángulos serán congruentes

Teorema l. a. l.: Si dos triángulos poseen dos lados consecutivos congruentes, como también el ángulos comprendido entre estos ángulos, entonces estos triángulos serán congruentes

Teorema l. l. l. : Si dos triángulos poseen tres lados congruentes, entonces estos triángulos son congruentes.

Teorema l. l. a.: Si dos triángulos poseen dos pares de lados congruentes y el ángulo opuesto al mayor de los lados, estos triángulos son congruentes

Ejercicios:

1) Entre los siguientes triángulos, escójanse los que sean congruentes y justifique con el teorema respectivo:

I III por teo. L.A.L. II III por teo. A.L.A.

I II III por teo. L.L.L.

2) Indique si son congruentes las siguientes parejas de triángulos:

110º

103º

45º

912

Por teorema A.L.A.

Por teorema L.A.L.L.L.L. o L.L.A.

El tener ángulos iguales no asegura la congruencia.

Nota: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales; los terceros ángulos son también iguales.

III) AHE BHD (...)

I) ADC BEC (...)A

D

C C

E

B

II) ABE BAD (...)

A B A B

E D E D

BA

H H

V

V V

• •• •• •

••

A.L.A.

A.L.A.

A.L.A.

3) ABC isósceles base; H ortocentro. Determine (V) o (F):

4) Si AE ED y EAC EDB ; luego "x" e "y" valen:

E = E ()

AE = ED

A = D ()

AEC DEB

(Teorema A.L.A.)

Los lados homólogos son iguales; luego:

2x - 5 = 33 26 = 3y + 2

Nota: Los lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales.

2x = 38 /:2

x = 19

24 = 3y

8 = y

/:3

5) Si AB = AD y BC = DC ; luego "x" e "y" valen:

AB = ADBC = DCAC = AC

ABC ADC

(Teorema L.L.L.)

Los ángulos homólogos son iguales; luego:

26º = x + 20º y - 5º = 42º

y = 47º6º = x

Nota: ángulos homólogos son los que se oponen a lados iguales.

6) Si AE = EB y DE = CE ; luego "x" e "y" valen:

AE = EBE = E ()

DE = CE

AED BEC

(Teorema L.A.L.)

Los ángulos homólogos son iguales; luego:

4y = x

3y + 6 = x - 6

3y + 6 = x - 6

3y + 6 = 4y - 6

12 = y

4y = x

4·12 = x

48 = x

7) Si ABC isósceles base AB ; demostrar que la bisectriz del ángulo del vértice es transversal de gravedad y altura.

• •

C = C (•)

A = B ()

AC = BC ADC BDC

(Teorema A.L.A.)

Luego el ADC = BDC

=

pero + = 180º

2 = 180º /:2

= 90º

CD es altura.

(i)

CD es transversal.

D es punto medio AB

Luego AD = BD

(ii)

Lados homólogos iguales.

Angulos homólogos iguales.

8) Si ABCD romboide, demostrar en este paralelogramo que sus diagonales se dimidian; es decir que AE = EC y BE = ED.

•

•

A = C (•)

D = B ()

AD = CB ADE CBE

(Teorema A.L.A.)

Los lados homólogos son iguales; luego:

(i) AE = EC

(ii) BE = ED