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Curvas cónicas. Dibujo Técnico I, 1º Bachillerato. Autor: Moncho
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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS 5 - CÓNICAS
Construcciones elementales
DIBUJO TÉCNICO I
Ejercicio Nº 17Elementos de la elipse
1º La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentesLas circunferencias focales Cf y Cf' de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a Es decir si desde un foco trazamos perpendiculares a la Cp se dibujan las tangentes a la elipse.En el otro lado el punto T es simetrico del foco F respecto a la tangente t, si unimos T con F' determinamos el punto M punto de tangente de la elipse y la recta t'
Ejercicio Nº 18Trazar una elipse dados los ejes AB y CD por haces proyectivos
A B
C
D
Se construye un rectángulo tal como se ve en la figura de lados los ejes dados, se divide el semieje OA en un numero de partes iguales a continuación dividimos también la mitad
el lado menor AE en el mismo numero de partes.
E
4
321
1 2 3 4A B
C
O
D
Se une el extremo D del eje menor con las divisiones del semieje mayor 1,2,3,4.
Unimos el otro extremo del eje menor C con las divisiones del lado AE 1,2,3,4.Donde se cortan las rectas anteriores con las otras son puntos de la elipse.
E
4
321
1 2 3 4A B
C
O
D
Se repite el procedimiento y determinamos los otros puntos de la elipse buscada
E
4
321
1 2 3 4A B
C
O
D
Ejercicio Nº 19Construcción de una elipse por envolventes Dados los ejes y los focosTrazamos los ejes y determinamos los focos F y F’.
C
A B
O
D
F F'
La construcción se fundamenta en que la circunferencia principal de diámetro 2a y centro O es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Es decir las envolventes son las tangentes a la elipse.
C
A B
O
D
F F'
Tomamos un punto cualquiera E de la circunferencia principal se une con F' y se traza la perpendicular t por L a LF', la recta t es tangente a la elipse.
C
A B
O
D
E t
F
C
A B
O
D
E t
F F'
Se repite una serie de veces en cada cuadrante y trazamos la elipse como se ve en la figura.
Ejercicio Nº 20Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b.Dados los ejes
A B
C
D
O
Se trazan las circunferencias de diámetro 2a y 2b respectivamente.
A B
C
D
O
Se traza un radio cualquiera que corta en T' y T'' a las circunferencias anteriores.Se traza por T' una paralela al eje CD y por T'' la paralela a AB ambas se cortan en T que es un punto de la elipse.
A B
C
D
O
T'
T''T
Se repite la operación el numero de veces que se considere necesario y se determinar tantos puntos como de precise
A B
C
D
O
T'
T''T
Los puntos de la elipse se determinan trazando triángulos semejantes al OD1D' como el RSP, cuyos lados son paralelos a los del triángulo OD1D'Es decir trazamos por un punto cualquiera R una paralela al diámetro C1 D1 que corta en S a la Cp, por S la paralela D1-D’ y por R trazamos la paralela a C’D’ que corta a la anterior en el punto P que es un punto de la elipse buscada
A' B'
C'
D'
D1
C1
OR
P
S
Se repite el procedimiento anterior las veces que se consideren necesarias y a continuación se traza la elipse
A' B'
C'
D'
D1
C1
OR
P
S
Ejercicio Nº 24 Circunferencia principal Tenemos una elipse dada por sus ejes y sus focos, una tangente t y los simétricos de F y F' respecto de la tangente sobre la circunferencia focal F1 y F'1 Observamos que en el triángulo FF'1F', N es el punto medio del lado FF1 y O lo es del FF', en consecuencia OM será la paralela media y su longitud valdrá de FF'FF'= k = AA'; OM'= FF1' implica OM'= k =1/2AA'= OASiendo además FM perpendicular a la tangente por lo que; Los pies de las perpendiculares, trazadas a las tangentes desde los focos, están situados sobre una circunferencia de centro O y radio igual a denominada Circunferencia principal (Cp)La Cp es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la elipse
A B
C
D
OF F'
F1
F'1
T
M
t
Cp
Cf'
Cf
N
Ejercicio Nº 27Construcción de la hipérbola por haces proyectivos. Datos el eje mayor A–B y los focos F y F’
F' A B F
Se determina un punto cualquiera P de la curva, por el método de los puntos.
F' A B F N
P
Se traza un rectángulo BMPN.
F' A B F N
PM
Se dividen en partes iguales los segmentos MP y NP y se unen el punto B del eje mayor dado y con el foco F’ de la forma que vemos, los puntos de intersección son puntos de la hipérbola.
F' A B F N
PM
1
2
3
1 32 4
Por la parte inferior se puede repetir los mismo ó se llevan sobre la prolongación de MP los simétricos de 1, 2, 3, 4 y se unen con el punto B de la forma que como se ve en la Fig..
F' A B F N
PM
1
2
3
1 32
1'
2'
3'
4
4'
1'
1' 2'
2'
3'
3'4'
Se unen los puntos anteriores y tenemos la hipérbola buscada
F' A B F N
PM
1
2
3
1 32
1'
2'
3'
4
4'
1'
1' 2'
2'
3'
3'4'
Ejercicio Nº 29Trazar una hipérbola por envolventesTenemos una hipérbola definida por los vértices A y B y los focos F y F'.
A BO
F F'
Se traza la Cp de centro O y radio a = OA = OB.
A BO
F F'
Cp
Se trazan las asíntotas, por A levantamos una perpendicular al eje AB, trazamos un arco de centro O y radio OF que corta a la perpendicular anterior en el punto M por el que pasa la asíntota t', la otra asíntota t es simétrica AM = AN
A BO
F F'
MCp
N
b
Unimos M y N con O y tenemos las asíntotas t‘y t
A BO
F F'
MCp
t'
N
T
T'
a
cb
Tomamos un punto cualquiera 1 de la Cp que unimos con el foco F’ y trazamos la perpendicular a 1F’ por 1, esta recta es la tangente a la hipérbola.
A BO
F F'
MCp
1
t'
N
T
T'
a
cb
Tomamos otra serie de puntos cualesquiera como se representa en la Fig. y repetimos el procedimiento anterior y tenemos las tangentes a la hipérbola, dibujando la hipérbola a continuación
A BO
F F'
MCp
1
t
t'
N
T
T'
a
cb
Ejercicio Nº 33Trazar una parábola por envolventesTenemos una parábola definida por el eje, el vértice V y el foco F.
ejeFV
Se traza la directriz d sabiendo que FV = AV y que la directriz es la circunferencia focal de la parábola Cf.
ejeF
d
AV
Se traza la tangente tv en el vértice V, que sabemos que es perpendicular al eje y es así mismo la circunferencia principal Cp
ejeF
d
AV
tv
Situamos un punto T en la tangente ,unimos este punto con el foco F y trazamos una perpendicular por T.
ejeF
d
AV
tv
T
Repetimos la operación con otros puntos, y la parábola es la tangente a las perpendiculares.
ejeF
d
AV
tv
T
Ejercicio Nº 34Trazar una parábola dados el eje, el vértice y un punto de la curva
Veje
P
Trazamos la tangente en el vértice VN y la paralela PN al eje.
Veje
PN
Se divide PN y VN en un numero de partes iguales.
Veje
P
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6N
Por las partes de VN se trazan paralelas al eje y por las divisiones de NP se unen con V.
eje
P1 2 3 4 5 6N
La paralela por 6 y el rayo 6V se cortan en R. De la misma forma se obtienen los demás puntos
V
P
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6N
R
La otra rama se determina de la misma forma, por ser la parábola simétrica respecto al eje
Veje
P
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
P654321
-6
-5
-4
-3
-2
-1
N
R