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CONJUNTOS
RODRIGO DIAZ 21.459.335
TIPOS
Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos
Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar
DEFINICION
Por Extensión es cuando todos sus elementos son enumerados uno a unoPor Comprensión Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada
Diremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y sólo si
A B y A B.
SUB-CONJUNTOS
TIPOSReflexiva: A A, para todo conjunto A.Antisimétrica: A B B A A = B. Transitiva: A B B C A C.
CONJUNTO POTENCIA Si A es un conjunto, se define el conjunto
potencia de A o conjunto partes de A. Es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
CARACTERÍSTICAS
La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de (A), ya que si A tiene n elementos, entonces (A) tiene 2n elementos
Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Si A = {2,3,4} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB
Solución
AxB = {(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)}
REPRESENTACIÓN TABULAR
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales
El teorema nos muestra que
A = B A b b a.UNIÓN E INTERSECCIÓN DE
CONJUNTOSSean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjuntoA U B = { x U / x A x B}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B
PROPIEDADES DE UNIÓN DE
CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:
i. A U A = A
ii. A U U = U
iii. A U Ø = A
iv. AUB = BUA
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto:
A I B = { x U / x A x B}
Es decir, los elementos que están en A y también están en B
PROPIEDADES DE LA
DIFERENCIA
Si A y B son conjuntos, entonces se define la
diferencia entre A y B como el siguiente conjunto:
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los
elementos que están en A pero que no están en B.
DIFERENCIA Y
COMPLEMENTO
Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:(AUB) - C = (A - C) U (B - C)(A I B) - C = (A - C) I (B - C)(AD B) - C = (A - C) D (B - C)A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)(B - C) I A = (B I A) - (C I A)
Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:A - B = AI C(B)C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)Teorema: (Leyes de Morgan para conjuntos)i. C(AUB) = C(A) I C(B) ii. C(AIB) = C(A) U C(B)
ALGEBRA DE CONJUNTOSAsí como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación
Leyes de IdempotenciaA U A = A I A = A
Leyes Asociativas A U (BUC) = (AUB) U C A I (BIC) = (AIB) I C
Leyes Conmutativas A U B = B U A A I B = B I A
Leyes Distributivas A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C)
Leyes de Identidad A U f = A I f = f
Leyes de Dominación A U U = U U: conjunto universal A I U = A
Leyes de ComplementaciónA U C(A) = U A I C(A) = f f f) = U C (C(A)) = A
Leyes de De Morgan C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ejemplo:
Si A = {a. b} y B = {1,5,8}
entonces A x B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que B x A = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que A x B = B x A
TEOREMA
Si A,B,C son tres conjuntos entonces:
A x B = F Û A = F Ú B = FA x (BUC) = (A x B) U (A x C) Ax (B I C) = (A x B) I (Ax C) Ax(B -C) = (A x B) - (A x C)
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con i I, representa un conjunto.Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai} n.
OPERACIÓN GENERALIZADAS
PARTICIÓNSea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.
CARDINALIDAD
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.