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Docente: Huamani Pillaca, Víctor
Institución educativa: «Nuestra Señora el Carmen»
Huaral
CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES
Concepto: Es la figura geométrica que resulta de unir 4 puntos no colineales median
mediante 4 segmentos no secantes.
AB
C
D
Vértice:
Lados:
Ángulos:
Diagonales:
A, B, C y D
AB, BC, CD y AD
a, b, q, d
a b
qd
AC y DB
Elementos:
PROPIEDADES GENERALES.
Ángulos interiores
360a b d q
Ángulos exteriores:
360a b c d
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
Paralelogramo:Sus lados opuestos son congruentes y paralelos. Sus ángulos opuestos
también son congruentes y sus diagonales se bisecan.
CUADRADO RECTÁNGULO
ROMBOIDE ROMBO
Trapecios Tiene dos lados opuestos paralelos llamados bases. Además los ángulos
en los extremos de los lados no paralelos son suplementarios.
TRAPECIO RECTÁNGULÑO TRAPECIO ISÓSCELES
TRAPECIO ESCALENO
Trapezoide
TRAPEZOIDE ISÓSCELES
TRAPEZOIDE ESCALENO
TRAPEZOIDE CÓNCAVO
PROPIEDAD DE LOS CUADRILÁTEROS
I. propiedad de los paralelogramos.
cuadrado
. Los cuadrados tienen lados congruentes.
. Cada ángulo mide 90°
. Las diagonales son congruentes , bisectrices
y se bisecan perpendicularmente.
rectángulo
. Cada ángulo mide 90°
. Las diagonales son congruentes y
se bisecan.
Romboide
. Los ángulos adyacentes son
suplementarios.
180a b
. Los ángulos opuestos son congruentes.
. Los lados opuestos son congruentes.
Rombo.
. Los cuatro lados son congruentes.
. Los ángulos adyacentes son suplementarios
. Las diagonales se bisecan
perpendicularmente y sus longitudes son
mayor ( BD) y menor (AC).
180a b
A
B
C
D
Ejemplos diversos sobre paralelogramos.
1.En el paralelogramo ABCD, encuentre « x+ y +z»
Desarrollo:
los ángulos adyacentes son suplementarios.
4 3 40 180x x
x = 20°
Los ángulos opuestos son iguales.
3x + 40° = x +z
2x + 40° = z
Reemplazando el valor de «x»
2(20°) + 40° = z
Z = 80°
Observando la figura tenemos que:
4x = z - y
Remplazando y resolviendo se tiene
que:
Y = 0° x + y + z = 100°
2.El perímetro de un cuadrado mide 24cm.
Encuentra su diagonal.
Desarrollo:
6cm
6cm
45°
Por ángulos notable de 45° la
diagonal mide:
6 2d cm
3.Encuentra el lado menor del siguiente
rectángulo.
Desarrollo:
Por ángulo notable de 30° y 60°
11cm
4.En un rombo, los ángulos agudos
opuesto miden: 7x – 20° y x + 40° ¿Cuanto
mide el ángulo mayor?
Desarrollo:
7x - 20°
X + 40°
Sabemos que los ángulos puestos del
rombo son iguales.
7x – 20° = x + 40°
Resolviendo :
x = 10°
Reemplazando en uno de los ángulos
se tiene:
X + 40° 10° + 40° = 50°
Sabemos que los ángulos adyacentes
son suplementarios:
Rta: 130°
5.Encuentra el perímetro de un rombo,
si su ángulo agudo mide 60°
y diagonal mayor mide: 4 3
60°
4 3
Desarrollo: 30°
2 34
2
Sabemos que los lados de un rombo
son congruentes:
Reta: 16
II. propiedad de los trapecios
Antes de mencionar las propiedades
señalaremos sus elementos:
AB: base mayor
BC: base menor
Recuerda: BC // AD
AB y CD : laterales
Mediana ( m ).- Es paralela a las bases del
trapecio y es igual a la semisuma de ellas.
2
BC ADm
H
CH: altura.
Propiedades:
1.dos ángulos interiores de un trapecio
situados en el mismo lado del lateral son
suplementarios.
180b q
180a
2.La mediana divide a la altura del
trapecio en dos parte congruentes.
3.En un trapecio isósceles, los ángulos
de cada base son congruentes.
4.La longitud que une los puntos medios
de los diagonales de un trapecio es igual
a la semidiferencia de las bases.
M N
a
b
2
b aMN
5.Las bisectrices de los ángulos
adyacentes en los extremos de los
lados no paralelos son perpendiculares.
III.Propiedades de los trapezoides.
1.El trapezoide por ser un cuadrilátero
la suma de los ángulos interiores es 360°
2.Si se unen consecutivamente los
puntos medios de los lados de un
cuadrilátero cualquiera se forma un
paralelogramo.
A
B
C
D
3. El ángulo menor que forman las
bisectrices de dos ángulos opuestos
mide la semidiferencia de los otro dos
ángulos.
a
qb
b
a
a
x
2x
a q
Ejemplos:
1.En un trapecio, la base media (mediana)
mide 16 cm y el segmento que une los
puntos medios de las diagonales mide ,
4 cm. Halla la longitud de sus bases.
Desarrollo:
A BM N
a
b
Sabemos que:
2
a bAB
2
a bMN
Reemplazando con los datos:
162
a b
42
a b
a + b = 32
a – b = 8
Resolviendo el sistema de ecuación:
a = 18
b = 14
2.La mediana de un trapecio mide
90 cm y la relación de las longitudes
de sus bases es de 4 a 5. Halla la longitud
de la base menor.
Desarrollo:
a
b
90 cm
Aplicando proporcionalidad:
5
4
a k
b k
Donde :
a = 5k b = 4k
Aplicando la definición de mediana:
5 490
2
k k
Resolviendo :
K = 20 cm
Luego la base menor es:
b = 4( 20 cm ) = 80 cm
3.En un trapecio rectángulo ABCD
el ángulo D mide 60°.Sobre AD se
toma el punto E de modo que
BCDE resulta un paralelogramo.
Halla la razón entre las longitudes
de la altura y el segmento que une
los puntos medios de las diagonales
del trapecio ABCD.
Desarrollo:
E
60°
60°2K
2K
K
KK
3K
Aplicando la definición de los puntos
medios de las diagonales :
2
2
k km
2
km
Pide:
h
m
3
2
k
k
Rta: 2 3
4.ABCD y CGFE son cuadrados cuyos
lados miden 3m y 5m, respectivamente. Halla
el perímetro de AMNP
Desarrollo:
3
3
3
3
5
5
5
5
DE= 4
El triángulo DCE, ángulo notable 37° y 53°
4
El triángulo EPF, ángulo notable de 37° y 53°
37°
53°
53°
37°
3
4
H
37° 53°
4 3
Rta: 34
5.En un trapezoide ABCD, halla la
medida del menor ángulo formado
por las bisectrices de los ángulos
internos A y C. S i los ángulos B y D
miden 110° y 70°
Desarrollo:
A
B
C
D
110°
70°
x
110 70
2x
X = 20°
aa
b
b