Cuarto encuentro uta 11 06-2011

1

Módulo de Ecuaciones Diferenciales (4)

MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

0y

u

x

u

0yyy3y

0dy)xy(dx)yx(

0yxdx

dy

2

2

2

2

2


http://lc.fie.umich.mx/



Observación:

Otra forma de transformar a una ecuación homogénea, las ED que no son Homogéneas, es mediante la sustitución de la variable:

Ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a ya variable y; el grado , a la derivada

zy

1

dx

dy




Ejemplo: resolver la ecuación diferencial

0)13()4( 22 dyyxdxxySea

Reemplazando en la Ecuación Diferencial se tiene:

Luego:

dzzdyzy 1

0))(3()4(

0))(13()4(11222

122

dzzzxdxxz

dzzzxdxxz

1

122

2

de grado el es 1

3 de grado el es 12

4 de grado el es 12

z

zx

xz




Para que la ecuación diferencial dada sea homogénea debe cumplirse:

Donde la ED:

dzzdyzyzy 32 2

2112

homogénea ldiferenciaEcuación 0)3(24

0)2)(13()4(22

3224

dzzxxzdx

dzzzxdxxz



Cyxy

duuu

u

x

dx

u

u

dx

duxu

u

u

dx

dz

dx

duxu

dx

dzxuz

x

zu

xz

xz

dx

dz

zx

xz

dx

dz

22

3

2

2

2

2

22

)1(

3

26

426

4

. reemplazo

26

4

26

4


Cambiamos de variable: taller




Ecuaciones Diferenciales EXACTAS




Diferencial Total

Si es una función diferenciable en

Entonces la diferencial total de , es la función,

cuyo valor está dado por:

Diferencial Exacta:

Una expresión de la forma:

se denomina Exacta si existe una función

Tal que:

RRf 2: 2),( Ryx

dyy

yxfdx

x

yxfyxdf

),(),(),(

dff

0),(),( dyyxNdxyxM

RRDf 2:

dyyxNdxyxMyxdf ),(),(),(




Definición de una EDO Exacta

Consideremos la ecuación

Si existe una función tal que:

Diremos que la ecuación es una Ecuación Diferencial Exacta.

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

),( yxfz

),(),(

),(),(

yxNy

yxfyxM

x

yxf




Teorema: Criterio para EDO Exacta

La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial

sea exacta es que cumpla la condición de Euler:

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

x

yxN

y

yxM

),(),(




Solución de una EDO Exacta

Aplicamos la siguiente igualdad:

La solución general está dada de la forma:

Puesto que es exacta si es la

diferencial total de

),(),(),(

),(),( yxdfdyy

yxfdx

x

yxfdyyxNdxyxM

Cyxf ),(

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

Cyxf ),(



0)22()22( 22 dyxyxdxyxy

Ejemplo:


i) Establecemos el criterio de exactitud:

Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.

ii) Entonces

24),(

24),(

22),(

22),(2

2

xyx

yxN

xyy

yxM

xyxyxN

yxyyxM

),(),(),(

),(),(),( yxdfdyy

yxfdx

x

yxfdyyxNdxyxMyxf



Suponemos que:

La función f(x,y) se puede obtener integrando respecto a x, dejando a y como constante:

)(),(),( ygdxyxMyxf

dxyxMdxx

yxf),(

),(


dxyxydxx

yxf)22(

),( 2

)(2)22(),( 222 ygxyyxdxyxyyxf




se puede determinar g(y) derivando este resultado respecto a y e igualando a:

Resultando:

Igualando:

Para obtener g(y) Integramos:

Reemplazamos en la ecuación * y resulta:Finalmente aplicamos el teorema de la solución resultante:Obteniendo la solución general:

y

yxFyxN

),(

),(

CyxF ),(


dyyxNygxyxdyy

yxf),()(22

),( 2

0)(22)(22 22 ygxyxygxyx

cygdxdyyg )(0)(

Cxyyxyxf 2),( 22

122 2 Cxyyx



ED exactas

Ejemplo:

Es exacta puesto que

Integrando respecto a x

Es decir,

Derivando respecto a y

De donde

Finalmente la solución general es

0)3()1( 2 dyyxdxyx


x

yx

y

yx

)3()1( 2

dxyxyxf )1(),(

)(2

),(2

yhxxyx

yxf

3)(),( 2

yxyhxy

yxf

12 )3()( Cdyyyh

Cyy

xxyx

yxf 332

),(32



15

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A EXACTAS

Si en la ecuación:

0),(),( dyyxNdxyxM

La ecuación No es exacta

x

yxN

y

yxM

),(),(

Entonces se busca un factor integrante u(x,y); de manera que al multiplicar por la ecuación diferencial, ésta se convierta en una ecuación diferencial exacta.


...0),(),(),(),( ExactaDEyxNyxudxyxMyxu



Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye

EDOS Reducibles a ExactasFactor Integrante

Entonces se dice que es m(x,y) un factor integrante. Y en esta nueva ecuación la condición de Euler se cumple y toma la forma:

Una vez obtenida la nueva expresión,

se resuelve la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas.

x

N

y

M

NdyMdxdu





Reglas para obtener los factores de integración u(x,y)

Condición Factores de integración

Si puede escribirse de la forma:

)(

),(),(

xfN

xyxN

yyxM

dxxf

exu)(

)(

)(

),(),(

ygM

xyxN

yyxM

dyyg

eyu)(

)(

homogénea es 0),(),( yxNdxyxMyNxM

yxu

1

),(

),()(y 0)()( yxgxyfdyxyxgdxxyyf yNxMyxu

1),(

0),(),( yxNdxyxM




1),(2),(

0)2(2

yxNxxyyxM

dydxxxyxxydx

dy

Ejemplo caso a)

No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta.

Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).

La función más fácil de integrar es N(x,y)=1, por tanto el factor integrante debe ser u(x), que lo calculamos con la expresión:




En nuestro caso sería:

Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x):

2

)(

)()(21

02

)()(1

)1()2(

)2(

)(

x

dxx

dxxf

exu

exuxfxx

exuxfx

Ny

xxyM

Ce

ye

dyedxexyxdydxxxye

dydxxxyxu

xx

xxx

2

0)2(0)2(

0)2()(

2

2

222

)(

),(),(

xfN

xyxN

yyxM



MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

xyyxNyyxM

xydydxy

),(),(

exactitud de Criterio

0

2

2

Ejemplo caso b)

No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta. Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).La función más fácil de integrar es M(x,y)=y2, por tanto el factor integrante debe ser u(y), que lo calculamos con la expresión:

dyyg

eyuygM

xyxN

yyxM

)()()(

),(),(

Resolver:





Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(y):

00

1

0)(

2

2

xdyydxxydydxyy

xydydxyyu

yeyu

eyuygyy

yy

eyuygy

xxyN

yyM

y

dyy

dyyg

1)(

)()(12

)()(

)()(

ln

1

2

)(

2

2




Ejemplo caso c)

344

344

),(),(

0)(

xyyxNyxyxM

dyxydxyx

La ecuación dada es homogénea, entonces el factor de integración se calcula mediante:

yNxMyxu

1),(

5344

1

)(

1),(

xxyyyxxyxu

Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x,y):

4444

3

5

4

3445

ln401

0)(1

cxyxxdyx

ydx

x

y

x

dyxydxyxx

Resolver




Ejemplo caso d)

xyxNxyyyxM

exactituddeCriterio

xdydxxyy

),()1(),(

0)1(

No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta.

Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).

Resolver:



MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga


Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x,y):

Cxy

xSol

dyxy

dxyx

xyxdydxxyy

xy

xdydxxyyyxu

1ln:

011

0)1(1

0)1(),(

222

2

1

))1((

1),(

1),()()(

xyyxxyyxyxu

yNxMyxuxyxgNxyyfM



Factor Integrante

Ejemplo: Para la siguiente ED

Entonces

Por lo tanto

Así obtenemos la ecuación diferencial exacta:

01ln2 222 dyyyxydxxy

222 1,ln2 yyxNyxyM

yy

M

x

N

M

11

yydy

d 11ln

01

ln2222

dyy

yyxydxx


Cy

yxSol

3

)1(ln:

2/322




Ecuaciones Diferenciales Lineales de

Primer Orden



Son de la forma

Para solucionarlas tomamos en cuenta lo siguiente:

i) Si q(x)=0, la ecuación resulta:

Que es una ecuación lineal homogénea de variable separable, por lo tanto su solución es:

dx)x(p

ogéneahom e.c)x(y

xqy)x(pdxdy

ED Lineales de 1er orden

0)( yxpdx

dy





ii) Si la ecuación es lineal no homogénea y no es exacta, que admite un factor integrante de la forma

Multiplicando este factor por la ecuación diferencial, la convertimos en exacta y la resolvemos con el método ya estudiado ó aplicando la expresión siguiente, que es la Solución General de la ecuación diferencial.

0)( xq

Cdxexqexy

dxxpdxxp

general

)()(

)()(


dxxp

exu)(

)(



La solución total de la ecuación diferencial será igual a:

Cumpliéndose el principio de superposición, puesto que la solución total se la puede expresar como una suma de soluciones:

)()()( hom xyxyxy generalogéneatotal

Cdxexqeecxy

dxxpdxxpdxxp

total

)()()(

)(.)(





Ejemplo:

i) El factor integrante es:

Multiplicando a la ecuación tenemos:

xxqx

xpxyxdx

dy )(

1)(

1

xeeexu xdx

xdxxp

ln1

)()(

3

),(),(

0)(1

2

2

22

x

x

cy

xyxNxyyxM

xdydxxyxydx

dyxxxy

xdx

dyx




ii)

xxqx

xpxyxdx

dy )(

1)(

1

generalogéneatotal

general

general

general

xxgeneral

dxx

dxx

general

dxxpdxxp

general

x

x

C

x

Cy

x

x

Cy

Cx

xxy

Cdxxx

xy

Cdxxeexy

Cdxexexy

Cdxexqexy

3

3

3

1)(

1)(

)(

)()(

)()(

21

hom

2

3

2

lnln

11

)()(




Ejemplo:

xxydx

dy22 2 xxxqxp 2)(2)( 2

Cdxexxexy

dxdx

general

22

2

)2()(

Cdxe)x2x(ee)x(y

dx22

dx2dx2

total

dx

ogénea cexy2

hom )(




33

Ecuaciones Diferenciales Lineales de

Primer Orden

BERNOULLI

RICATTI

LAGRANGE

CLAUROUT




Ecuación Diferencial de Bernoulli

Una ecuación de la forma:

Se denomina diferencial de Bernoulli, si dividimos a esta para P0 (x), obteniéndose:

nyxqyxpdx

dyxp )()(0

1,)( nZnyxQyxPdx

dy n




OBSERVACIONES:

1. Si n = 0, entonces la ecuación es lineal de primer orden:

2. Si n = 1, entonces la ecuación es lineal homogénea de primer orden.

y)·x(Pdxdy

=

)y,x(Fdxdy

y)·x(Qy)·x(Pdxdy

=

=+

Si n 0 y n 1, entonces tenemos que:ny)·x(Qy)·x(P

dxdy

=+

Es la ecuación de Bernoulli.




RESOLUCIÓN:

i) Multiplicamos a la ecuación por , es decir:

ii) A la ecuación diferencial anterior se multiplica por (1-n) es decir:

iii) Realizamos un cambio de variable: y calculamos su diferencial con respecto de x, tenemos:

ny

)()·( 1 xQyxPdx

dyy nn

)()1()·()1()1( 1 xQnyxPndx

dyyn nn

nyz 1

dx

dz

ndx

dyy

dx

dyyn

dx

dz nn

1

1.1




RESOLUCIÓN:

iv) Se reemplaza la expresión del literal iii) en la expresión del literal ii) y obtenemos:

Que es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden.v) Solucionamos dicha ecuación.vi) Sustituimos en la ecuación encontrada y expresamos la solución.

Ejemplo:

)()1()·()1( xQnzxPndx

dz

nyz 1

322 xyydx

dyx





RESOLUCIÓN:

i) Multiplicamos por y se obtiene:

ii) Multiplicamos por

se obtiene

La solución general es:

32

1)(

1)(

2

11 3

nxq

xxpyy

xdx

dy

0;2

1x

x

213 2)1( yzyzny n

1)(2

)(12

xq

xxpz

xdx

dz

23

223

22

)()(

1

)1(

)(

Cxxy

yzCxxz

Cdxeez

Cdxxqeey

dxx

dxx

dxxpdxxp



23

223

22

)()(

1

)1(

)(

Cxxy

yzCxxz

Cdxeez

Cdxxqeey

dxx

dxx

dxxpdxxp




Education

Cuarto encuentro uta 11 06-2011