curso de electricidad 14

Veremos en este capítulo los métodos que facili-tan la resolución de circuitos electrónicos. Paraello, analizaremos las dos leyes de Kirchhoff, y

luego los métodos de las mallas y de los nodos.Precisaremos enunciar algunas definiciones, referen-

tes a la constitución de los circuitos, que servirán paradescribir ciertos aspectos fundamentales. El conoci-miento previo de estas definiciones facilitará los análi-sis posteriores.

- Componente:Es todo elemento físico que presenta una propiedad

eléctrica (capacitores, resistores, generadores, inducto-res, etc.).

- Circuito:Se consigue con la interconexión de diversos com-

ponentes. También se utiliza a veces el término “red”,pero preferentemente en relación a los circuitos máscomplicados, y a los vinculados con la generación ydistribución de energía eléctrica.

- Sistema:Es la combinación organizada de partes -de iguales

o diferentes naturalezas- que juntas forman un todounitario y complejo que tiene una finalidad determina-da. Por ejemplo, un automóvil es una combinación deestructuras y equipamiento mecánico, eléctrico, electró-nico, hidráulico, neumático, etc., cuya finalidad estransportar personas, por vía terrestre y en forma siste-mática y segura.

Un circuito puede entonces ser o no un sistema, se-gún sea “el todo” o solamente una parte. Así porejemplo, un diferenciador RC como el estudiado en el

LECCION 14

1

TEORIA: LECCION Nº 14

Resolución de CircuitosEsta es la última lección de nuestro Curso de Electrónica y está desti-nada a darle herramientas de cálculo para la resolución de circuitos.Ud. ya conoce los componentes básicos, tales como resistores, capaci-tores, bobinas, transformadores diodos y transistores, sabe cómo ope-ran y qué función cumple cada uno en un circuito; pues bien, ahoranos ocuparemos de la parte “matemática”, es decir, cuál es el valor dela corriente que circula por un elemento o qué valor debe tener uncomponente que debe ser sustituido. De más está decirle que la elec-trónica no termina aquí, que existen otros componentes y diferentesgrados de complejidad en esquemas electrónicos, pero los conoci-mientos que posee le permitirán encarar sin problemas el estudio deelectrónica superior. Como esta lección incluye muchas fórmulas, de-cidimos diagramarla en dos columnas para facilitar su estudio.

Por: Horacio D. Vallejo

capítulo anterior puede ser unsistema si se lo toma aislada-mente, pero no lo será consi-derado como parte del modu-lador (subsistema) de unequipo de radar (sistema).

- Topología:Se denomina topología de

un circuito a la forma en queel mismo se construye y paradar mayores definiciones,construimos la “topología” dela figura 1.

- Malla:Es una trayectoria cerrada, tal que en su interior no

queda otra trayectoria cerrada del circuito. Son mallaslas formadas por las ramas a-c-d , b-c-e, d-f-g, y e-h-f.

Las trayectorias cerradas a-b-e-d, d-e-h-g y a-b-h-g,por ejemplo, no son mallas, porque incluyen dentro deellas otras trayectorias cerradas.

- Nodo:Es el punto de unión de dos o más ramas. Si sólo

se empalman dos ramas, el nodo se denomina simple.En la figura 1, son nodos A, B, C, D, Y E. Si b’y b”

se consideran ramas, K sería un nodo simple. Eléctricamente, se consideran nodos aquellos pun-

tos cuya tensión es de interés.

- Rama:Es un elemento o conjunto de elementos conecta-

dos en serie, con dos terminales. Es decir, es una “lí-nea” que va de un nodo a otro del circuito.

Son ramas a, b, c, d, e, f, g, y h de la figura 1. Tam-bién podrían considerarse como ramas separadas, deacuerdo a la definición, b’y b”, en lugar de definirlascomo partes de la rama b.

- Terminal:Es un nodo que se caracteriza porque puede co-

nectársele la excitación o la alimentación del circuito,tomarle la señal de respuesta o conectarle el terminalde otro circuito. En muchos casos, los terminales sonlos únicos puntos a través de los cuales se puedeentrar al circuito.

- Trayectoria:Corresponde al camino forma-do por varias ramas en serie.Si una trayectoria comienzaen un nodo y termina en otrodiferente, se denomina trayec-toria abierta. Si finaliza en elmismo nodo en que se inició,es una trayectoria cerrada.En la figura 1, a-b-e es unatrayectoria abierta, a-b-h-g esuna trayectoria cerrada.

Leyes de KirLeyes de Kirchhofchhofff

El físico alemán Gustav R. Kirchhoff formuló en1857 dos leyes que descubrió experimentalmente.

Con la aplicación de las leyes de kirchhoff se pue-den resolver problemas de circuitos cuya solución seríamuy difícil aplicando únicamente las relaciones ten-sión-corriente de los distintos elementos.

El problema típico a resolver con las leyes de Kirch-hoff es entonces el de aquellos circuitos en los queexisten una o varias excitaciones y se desea conocerlos valores de todas las corrientes y caídas de tensiónresultantes.

1) Primera ley de KirchhoffTambién se la llama: “ley de las corrientes”. Estable-

ce que:

RE S O L U C I O N D E CI R C U I TO S

2

b' b''

c C

d

e

f

g

ED

a

A K

b

B

h

11

V

R = R1 2I = 3AC

D

R2R1

I2I1

I = 3AC

C

22

En cualquier circuito, la suma algebraica de las co-rrientes que concurren a un nodo es igual a cero.

Esta ley establece que la suma de las corrientes quellegan a un punto de un circuito es igual a la suma delas corrientes que salen. Para explicar esta ley, recurri-remos al circuito de la figura 2.

La corriente total del circuito que entra por el puntoC y sale por el D es:

IC = I1 + I2 (1)

R1 y R2 están en parelelo y, de acuerdo a la defini-

ción anterior, cada una de ellas constituye una rama. Lacorriente total (IC = 3 A) se dividirá en el nodo C en

corrientes individuales, inversamente proporcionales ala resistencia de cada rama. En este caso particular, co-mo las resistencias son iguales, las corrientes tambiénlo serán.

I1 = I2 = 1,5 A (2)

De todo lo visto, podemos decir que las corrientesse consideran:

- Positivas las corrientes que entran al nodo, porquese suman a la cantidad de electricidad que hay en esepunto (la corriente es carga por unidad de tiempo).

- Negativas las que salen del nodo, porque se restana la cantidad de electricidad existente en el punto.

Si observamos nuevamente el punto C, podemosdecir que:

+IC - I1 - I2 = 0 (3)

Esto es equivalente a la fórmula 1, aunque se hayareordenado pasando términos paraigualarla a cero.

Si reemplazamos por los valo-res de corriente del circuito, tene-mos:

+3A - 1,5A - 1,5A = 0

Es decir:

La suma algebraica de las corrientes del nodo Ces igual a cero.

Aplicando un razonamiento similar, podemos verifi-car que la suma algebraica de las corrientes del nodoD es también nula. En este caso, los signos que corres-ponden según la convención establecida son:

+I1 +I2 - IC = 0

En el circuito, I1 e I2 son entrantes e IC saliente.

Supongamos ahora que el sentido de la corrientedel circuito sea el inverso al anterior, para lo cual de-beremos invertir el generador. Analizando la figura 2,vemos que sería:

Nodo C: +I1 + I2 - IC = 0

Nodo D: +IC - I1 - I2 = 0

En ambos casos se cumple la igualdad.

Deducimos entonces que:

No es necesario conocer a priori los sentidos delas corrientes.

La ley de Kirchhoff se cumple igual aunque el pre-sunto sentido de la corriente no sea el verdadero,siempre que el sentido elegido se mantenga durantetoda la solución del problema. Una vez resuelto el cir-cuito, se obtendrán los signos verdaderos de las co-rrientes.

La figura 3 representa un nodo A de un circuito. Laincógnita es la corriente Ix. Como no conocemos ni suvalor absoluto ni su sentido, para poder escribir laecuación del nodo consideraremos que es saliente: laescribiremos entonces con signo negativo:

+I2 - I1 - I3 - Ix = 0

Reemplazando ahora los valoresnuméricos:

+8A - 6A - 5A - Ix = 0

+8A - 11A - Ix = 0


3

A

I = 8 A2 I = 6 A1

I = 5 A3

I = ?X

33

Es decir: - 3A - Ix = 0

Ix = -3 A

Los ampere negativos no existen. La solución esabsurda, y nos está indicando el error de suponerque Ix es saliente.

Por lo tanto, el sentido correcto es entrante.

Supongamos ahora que hubiésemos elegido a prioriIx como entrante. La ecuación sería:

+I2 - I1 - I3 + Ix = 0

+8A - 6A - 5A + Ix = 0

- 3A + Ix = 0

Ix = 3A

Deducimos que la primera ley de Kirchhoff nosconfirma la corrección del sentido supuesto.

Generalizando: “para un nodo al que convergen ncorrientes (algunas entrantes y otras salientes), la pri-mera ley de Kirchhoff se puede expresar como”:

n∑ Ii = 0 (4)i=0

2) Segunda ley de KirchhoffA esta ley también suele denominársela “ley de las

tensiones”. Establece que:

En cualquier malla de un circuito, la suma alge-braica de las fuerzas electromotricesaplicadas y las caídas de tensión en los componentes pasivos es igual a cero.

Si partimos de un punto cualquiera de uncircuito y recorremos las ramas que constitu-yen una malla hasta volver nuevamente alpunto de partida, debemos encontrar el mis-mo potencial que había cuando iniciamos elrecorrido. Por lo tanto, la suma de las f.e.m.que vayamos encontrando debe obligatoria-mente ser igual a la suma de las caídas detensión en los componentes pasivos. Sea el

circuito de la figura 4, se trata de una malla que contie-ne generadores (E1 y E2) y elementos pasivos (R1 y

R2).

Comenzamos a recorrer la malla partiendo del pun-to N. En la figura 4b graficamos el potencial (en orde-nadas) en función del recorrido. La escala del eje deabscisas no tiene ninguna dimensión. Simplemente in-dica los puntos por los que vamos pasando hasta vol-ver a N. Suponemos que este punto es de potencial ce-ro cuando iniciamos el recorrido (punto N del origendel gráfico). Calculemos primeramente la corriente delcircuito. Como todos los elementos están en serie, y losdos generadores están en oposición, será:

E1 - E2I = _______ =

R1 + R2

Si colocamos los valores dados en la figura 4 se tie-ne:

E1 - E2 24V - 6V 18V

I = _______ = __________ = ___________ = 2A (5)R1 + R2 5Ω - 4Ω 9Ω

Para esta expresión, hemos supuesto que se trata dedos generadores ideales, sin resistencia interna y con-ductores de conexión también ideales.

La corriente tiene el sentido indicado por la flechade la figura, porque prevalece el generador de 24V.

Partimos entonces del punto N, recorremos el cir-cuito en el sentido de la corriente. Al pasar al punto M,hay un aumento de potencial de 24 volt debido a la


4

I24 V

–

+

3Ω

D

6 V

N–

+M

S

E2

E2

(a)

I . R

i

R14 Ω

PO

TE

NC

IAL30

20

10

0

GENERADOR E1

GENERADOR E2

CAIDA EN R 1

CAIDA EN R 2

NDSMN

PUNTOS DEL CIRCUITO(b)44

f.e.m. del generador E1. Al llegar al punto S, en cam-

bio, hay una caída de tensión de:

I . R1 = 2A . 4Ω = 8V

El sentido de esta caída de tensión se opone a laf.e.m. del generador de 24V, tal como se indica en lafigura.

Por lo tanto, el potencial del punto S es de 16V.Al pasar de S a D, hay una nueva disminución de

potencial, de 6V, debido esta vez a la presencia del ge-nerador E2, de sentido opuesto al de E1. El potencial

del punto D es por ello de 10V.Finalmente, al transitar desde D hasta N, atravesan-

do el resistor R2, se produce otra caída de tensión:

I . R2 = 2A . 5Ω = 10V

Hemos regresado al punto N con potencial cero, talcomo cuando partimos. Otra forma de escribir la ecua-ción del circuito, aplicando la segunda ley de Kirch-hoff, es la siguiente:

E1 - E2 - I . R1 - I . R2 = 0 (6)

esta fórmula nos permite calcular la corriente. Aldespejar I, obtendremos la ecuación (5) que habíamosutilizado.

Generalizando esta ley para un circuito cerrado(malla) de n generadores y m elementos pasivos, po-demos decir que se cumple que:

n n∑ (fem)i + ∑ (R.I)j = 0 (7)i=0 i=0

En el circuito de la figura 4, el sentido de la co-rriente se puede determinar fácilmente.

Pero en otros casos, más complicados, no surge taninmediatamente, y debemos suponer un sentido arbi-trariamente. Sin embargo, y al igual que en el caso delas corrientes (primera ley), esta elección ninguna difi-cultad representa para la aplicación de la ley.

Para comprobarlo, en la figura 5 hemos supuestoequivocadamente que la corriente I tiene el sentido an-tihorario indicado.

Recordemos que las caídas de tensión llevan el sig-no positivo en el borne del elemento por el que entrala corriente. La ecuación del circuito (6) debe escribirseahora de esta forma:

E1 - E2 + I . R1 + I . R2 = 0 (8)

Despejando la corriente, obtenemos:

E2 - E1 6V - 24V -18V

I = _______ = __________ = _________ = -2A (9)R1 + R2 5Ω - 4Ω 9Ω

Comparando este resultado con el obtenido de laecuación (5), que proviene de la (6), en la que supusi-mos el sentido correcto de la corriente, vemos que seobtuvo ahora el mismo valor absoluto pero con signonegativo.

La ley de Kirchhoff nos ha advertido nuevamentenuestro error.

Podemos entonces afirmar definitivamente lo si-guiente, que es válido para ambas leyes de Kirchhoff:

- El sentido supuesto para la circulación de la co-rriente no tiene importancia siempre que no se cambiedurante la solución del problema.

- Si el sentido supuesto es el contrario al real, se ob-tendrá un resultado negativo al calcular la corriente.

Resolución de CirResolución de Circuitoscuitos

Las leyes de Kirchhoff facilitan los cálculos de cir-cuitos –incluidas las redes eléctricas complejas–. La atri-

bución delos signosalgebrai-cos po-dría sinembargoparecerengorrosay causan-te deequivoca-ciones.Indicare-


5

E1

R2

+

–

I' . R2

I'R1

I' . R1

E2

55

mos a continuación una serie de pasos o reglas –enrealidad ya hemos mencionado algunas de ellas– quepermiten reducir al mínimo la probabilidad de cometererrores.

1) Luego de estudiar el problema planteado, dibuja-mos un diagrama bien claro del circuito. Asignamos le-tras o números de identificación a los nodos y a loscomponentes activos y pasivos.

2) Indicamos la corriente de cada rama del circuito.Designamos como I1, I2, I3, etc. Elegimos un sentidopara cada una de ellas, y lo marcamos en el diagramacircuital.

3) Marcamos la polaridad de las caídas de tensiónen los elementos pasivos, recordemos que el signo positi-vo corresponde al terminal por el que entra la corrientey el negativo al terminal por el que sale.

4) Atribuimos signo positivo a aquellas f.e.m. queproducen corrientes de igual sentido que el supuesto pa-ra la corriente de esa rama, y negativo a las que produ-cen corrientes de sentido opuesto.

5) Determinamos la cantidad de incógnitas.6) Planteamos tantas ecuaciones independientes co-

mo incógnitas existen. Utilizamos las dos leyes de Kirchhoff, de modo que

cada ecuación contenga un parámetro que no figureen las demás.

7) Resolvemos las ecuaciones hasta calcular todaslas incógnitas.

8) Comprobamos las soluciones, reemplazando losvalores hallados en la ecuación de alguna malla noutilizada para resolver el problema.

A los fines prácticos, vamos a calcular las corrientesy tensiones en el circuito de la figura 6. Para ello, se-guimos los siguientes pasos:

- Nombramos con letras mayúsculas los nodos delcircuito.

- Indicamos como I1, I2 e I3 las corrientes de las

ramas y les atribuimos los sentidos marcados.- Partimos de M y apliquamos la segunda ley a la

malla M-V-E-S-M

+ 8V - I1 . 1Ω - I2 . 6Ω + 4V - I1 . 2Ω = 0

3Ω . I1 + 6Ω . I2 = 12V (18)

- Partiendo de N, hacemos lo mismo con la mallaN-R-E-S-N:

- 6V + I3 . 2Ω - I2 . 6Ω + 4V = 06Ω . I2 - 2Ω . I3 = -2V (19)

- Se necesita aún otra ecuación pues las incógnitasson tres. Podría plantearse la segunda ley de Kirchhoffpara el circuito cerrado M-V-E-R-N-S-M, pero no seríauna ecuación independiente, es decir:

- si se combina con la (18) da la (19).- si se combina con la (19) da la (18).Por lo tanto, no es útil para resolver el problema.

La ecuación faltante la obtendremos aplicando la pri-mera ley de Kirchhoff a algún nodo del circuito, el Epor ejemplo:

+ I1 - I2 - I3 = 0

Es decir:I1 = I2 + I3 (20)

- Reemplazando I1 de (20) en la (18):

3Ω . (I2 + I3) + 6Ω . I2 = 12V

O sea:

9Ω . I2 + 3Ω . I3 = 12V (21)

Despejando I3 de la (19):

I3 = 3 . I2 + 1A


6

I1

S

2 Ω

M

N

V = 8V1

V = 6V3

I 3

V = 4V2

I2

6 Ω

2 Ω

R

E

1 Ω

VI1

66

Que reemplazada en la (21) permite obtener:

I2 = 0,5 A

También:

I3 = 2,5 A

Utilizando la fórmula (20):

I1 = 3 A

- Así quedaría resuelto el problema. Para comprobarsi la solución es correcta, plantearemos la ecuación dela trayectoria cerrada M-V-E-R-N-S-M, que no utilizamosen la resolución:

+ 8V - I1 . 1Ω - I3 . 2Ω + 6V - I1 . 2Ω = 0

Introducimos ahora en esta ecuación los valores deI1 e I3 calculados:

+ 8V - 3A . 1Ω - 2,5A . 2Ω + 6V - 3A . 2Ω = 0

14V - 14V = 0

Comprobamos de esta forma que las soluciones ha-lladas son correctas.

Observemos también que todas las corrientes resul-taron positivas, lo que indica que los sentidos supues-tos eran los correctos.

Sea ahora el circuito de la figura 7a para el que de-bemos calcular:

- Las corrientes en todas las ramas del circuito.- Las caídas de tensión en los cinco resistores.

Para la resolución del circuito, debemos seguir lossiguientes pasos:

- Las corrientes del circuito son tres: Las denomina-mos I1, I2 e I3.

- Las incógnitas del problema son las corrientes.Una vez conocidas I1, I2 e I3, las caídas de tensión se

calculan directamente por ley de Ohm.- Las ecuaciones que plantearemos son las de ten-

siones de las dos mallas y la de corrientes de un nodo:

malla C-M-A-N-C:

+12V - 6Ω .I1 + 18Ω . I3 = 0 (22)

malla S-V-A-N-S:

+3V - 6Ω . I2 + 18Ω . I3 = 0 (23)

nodo A:I1 + I2 + I3 = 0 (24)

- Eliminamos I3 entre la (22) y la (23), restándolas

miembro a miembro, para obtener I1:

+9V - 6Ω . I1 + 6Ω . I2 = 0 (25)

I1 = 1,5A + I2 (26)

Sustituyendo I1 en (24):

I3 = - 2 . I2 - 1,5A (27)

Reemplazando I3 en la (23) obtenemos:

I2 = - 0,57A (28)

Volviendo a la (26) calculamos I1:

I1 = 0,93A (29)

Finalmente, de la (24):

I3 = -0,36A (30)


7

12 V

+

–

18 Ω

N

A 3 Ω

3 Ω

–

+ –

+

V

S

3 V

(a)

–+

+–

2 Ω

4 Ω

I1

M

C

I . 31

I . 21

I . 1

83

I . 32

I . 32

I2

(b)

I3

–

++

– +

––+

+–

I1 I2

I3

77

- Estos resultados indican que los sentidos supues-tos para I2 e I3 eran erróneos. Por lo tanto, en la figura

7b se representa nuevamente el circuito con los senti-dos correctos.

- Utilizaremos ahora la ecuación de la trayectoriaC-M-A-V-S-N-C, que no empleamos anteriormente, paracomprobar los resultados.

+12V - 4Ω . I1 - 3Ω . I2 - 3V - 3Ω . I2 - 2Ω . I1 = 0

+9V - 6Ω . I1 - 6Ω . I2 = 0

9V - 9V = 0

- Calculamos las caídas de tensión:

VMA = I1 . 4Ω = 0,93A.4Ω =

VAV = I2 . 3Ω = 0,57A . 3Ω =

VSN = I2 . 3Ω = 0,57A . 3Ω =

VNC = I1 . 2Ω = 0,93A . 2Ω =

VAN = I3 . 18Ω = 0,36A . 18Ω =

VMA = 3,72V

VAV = 1,71V

VSN = 1,71V

VNC = 1,86V

VAN = 6,48V

Los signos de las caídas de tensión son los indicadosen la figura.

Resolución de CirResolución de Circuitos cuitos con otras Excitaciones con otras Excitaciones

Las leyes son aplicables a circuitos con cualquier ti-po de excitación y de componentes. A modo de ejem-plo, consideremos la malla representada en la figura 8:

Recordando las expresiones de las caídas de tensiónen los capacitores e inductores, la ecuación que surgede la segunda ley de Kirchhoff es:

t+e1 - (1/C) ∫ i1 dt -i1 . R1 + (di2/dt) - e2 + i3 . R3 - i4 . R4 = 0

o

Como puede apreciar, aquí aparece el cálculo inte-gral, el cual puede no ser interpretado por muchos lec-tores, dado que se trata de matemática superior. Sinembargo, creemos oportuno mencionar dicho “cálculo”,dado que es la base de todo proyecto avanzado y nodebe ser tenido en cuenta por los estudiantes que noposean experiencia en dichas formulaciones matemáti-cas. El obviar estos cálculo no le impedirá comprenderel resto de la lección.

La ecuación dada no es suficiente para resolver elcircuito. Habría que plantear otras, basadas en otrasmallas y/o nodos que no se muestran.

Las corrientes son normalmente funciones del tiem-po. No obstante ello, satisfacen en cada instante las le-yes de Kirchhoff.

Divisores de tensiónUna de las aplicaciones más comunes de las leyes

de Kirchhoff es como divisor de tensión. Supondremosque la corriente de salida sea cero, es decir, que la car-ga no consume energía del divisor. En el caso en quedeba considerarse la corriente de salida, el circuito re-sulta más complicado.

Según el tipo de elemento que se utilice, existen di-visores de tensión resistivos, capacitivos e inductivos.

a) Divisor resistivoEl circuito tiene la forma mostrada en la figura 9. En

dicho circuito se deduce que:


8

N– +

–

+

M – + R

+

–

V

L4

R4

R3i3

i3

L2e2

i1

R1

C1

e1

88

ve(t) = ie(t) (RA + RB)

y ademásvs(t) = ie(t) RB

Combinando ambas ecuaciones se tiene que:

RBvs (t) = ________ ve (t) (31)

RA + RB

Esta expresión permite calcular la salida del divi-sor resistivo.

b) Divisor capacitivoEn el divisor capacitivo de la figura 10, se cumple

que por estar ambos capacitores en serie con respectoa la tensión de entrada:

1 1 t

ve (t) = ( ____ + _____ ) . ∫ ie (t) dtCA CB o

En los terminales A y B de salida tendremos:

1 tvs (t) = ____ . ∫ ie (t) dtCA o

Dividiendo las dos ecuaciones resulta:

CAvs (t) = _________ ve (t) (32)

CA + CB

Esta ecuación vincula la entrada y la salida de un divi-sor capacitivo.

c) Divisor inductivo

La figura 11 muestra el esquema de un divisor in-ductivo. Las ecuaciones de la entrada y la salida son:

die (t)ve (t) = (LA + LB) _______

dt

die (t)vs (t) = LB

_______

dt

De las expresiones anteriores se obtiene:

LBvs (t) = ____________ . ve (t)

LA + LB

Se deduce entonces, que en todos los casos latensión de salida es una fracción de la de entrada, y dela misma forma. Estos circuitos se denominan tambiénatenuadores.

Divisores de corriente

a) Divisor resistivoEl circuito de un divisor de corriente resistivo se

muestra en la figura 12. Se cumple lo siguiente:


9

V (t)e

i (t)e

RA

RB

i (t) = 0s

V (t)s

99

V (t)e

i (t)e

CA

CB

i (t) = 0s

V (t)s

1010

V (t)e

i (t)e

LA

LB

i (t) = 0s

V (t)s

1111

1 1ie (t) = ( ____ + ____ ) . v (t)

RA RB

1is (t) = ______ . v (t)

RA

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

b) Divisor capacitivoLas ecuaciones que rigen el divisor capacitivo de la

figura 13 son las siguientes:

dv (t)ie (t) = (CA + Cs) .

_______

dt

dv (t)is (t) = Cs . _______

dt

De las que se obtiene:

CSis (t) = ________ ie (t)CA + Cs

Con dicha fórmula es posible cal-cular la corriente que circulará por ca-da rama.

c) Divisor inductivoLas ecuaciones que rigen al divisor

inductivo de la figura 14 son las si-guientes:

tie(t) = (1/La + 1/Ls) ∫ v(t) dt

o

tis(t) = (1/Ls) ∫ v(t) dt

o

De aquí, se deduce que:

LAis (t) = __________ . ie (t)

LA +LS

La salida del divisor tendrá la misma forma que la

señal de entrada, pero con una amplitud menor.

TTeoreorema de Théveninema de Thévenin

Entre dos puntos cualesquiera de un circuito existeuna cierta tensión e impedancia. Lo hemos comproba-do muchas veces, al intentar intercalar o “colgar” algúnelemento en el circuito, con resultados diversos segúnsean los puntos elegidos. Esta característica de los cir-cuitos fue estudiada por Helmholtz en 1853 y por M. L.Thévenin treinta años después. Este último formuló elteorema que lleva su nombre y que simplifica el análi-

sis de los circuitos al permitir la cons-trucción de circuitos equivalentes alos dados. El teorema de Thévenin es-tablece lo siguiente:

Cualquier dipolo (circuito de dosterminales) compuesto por elementos pasivos lineales y fuen-tes de energía que alimenta unacarga arbitraria formada porcomponentes pasivos se puede


10

i (t)eRA v (t)RS

i (t)a i (t)s

1212

i (t)eCA v (t)CS

i (t)a i (t)s

1313

V (t)e

i (t)e

LA

LB

i (t) = 0s

V (t)s

1414

reemplazar por la combinación en serie de ungenerador ideal VT equivalente y una impedan-cia “interna del generador” ZT.

En el esquema de la figura 15, VT y ZT deben cum-

plir las siguientes condiciones:

- VT es la tensión que se obtiene entre los terminales

del circuito cuando se desconecta la carga (tensión acircuito abierto).

- ZT es la relación entre la tensión a circuito abierto

y la corriente de cortocircuito entre A y B. Tam-bién se puede decir que es la impedancia que se“observa” entre los terminales del circuito cuan-do se desactivan todos los generadores que éstecontiene y se desconecta además la carga. Recor-demos que al desactivar los generadores se losdebe reemplazar por sus respectivas impedanciasinternas.

En cuanto a ZL, el circuito de la parte (b) de la

figura 15, es el equivalente del de la parte (a).Si los dos circuitos de la figura 16 son equiva-lentes para cualquier valor de la impedancia decarga, también lo serán para ZL = ∞ y ZL = 0.

- El valor ZL = ∞ corresponde a la condición de

circuito abierto. En la figura 16a se observa queal comparar el circuito dado con su equivalente,resulta:

Tensión a circuito abierto del circuito original = VT

- El valor ZL = 0 significa condición de cortocir-

cuito. De la inspección de la figura 16b surgeque:

ZT = VT / ICC

Otra demostración del teorema resulta de aplicaral circuito los principios de superposición, y desustitución.

- Si en el circuito de la figura 15a se retira lacarga y se coloca un generador de corriente (fi-gura 17a), de igual valor que la corriente IL que

circulaba por la carga, la tensión VAB entre los termi-

nales A-B no se altera (principio de sustitución). Estatensión será:

V1 = IL . ZT

Donde ZT es la impedancia que presenta el circuito

sin carga entre los terminales A y B (tengamos encuenta que el generador auxiliar de corriente conecta-do tiene impedancia interna infinita).


11

ZL

ELEMENTOS

LINEALES Y

GENERADORESB

A

(a)

ZLB

A

(a)

I

ZT

VT

1515

(a) CIRCUITO

(b) CIRCUITO

Z = ∞L

A

VAB

B

Z = 0L

AICC

B

VABZ T

VT

Z T

VT

ICCA

B

1616

VAB

ELEMENTOSLINEALES +

GENERADORES

A

B

(a) (b)

IL

IL

VI

ELEMENTOSLINEALES +

GENERADORES

A

B

IL

1717

- Si se eliminan luego los generadores del circuito,se tendrá entre dichos terminales una tensión V1 dife-rente (figura 17b).

- Finalmente, si se conectan nuevamente todos losgeneradores y se desconecta la carga y el generador decorriente auxiliar colocado previamente, se medirá unatensión VT, tal como indicamos previamente.

- Superponiendo ambas tensiones, en virtud delprincipio de la superposición, obtendremos:

VAB = VT + V1 = VT - IL . ZT

Esta expresión corresponde al enunciado del teore-ma de Thévenin. Para la carga de la figura 15, el circui-to se resuelve, una vez hallado el equivalente de Thé-venin, mediante la expresión:

I = VT / (ZT + ZL)

Podemos mencionar asímismo en relación al teo-rema de Thévenin que:

- Su importancia radica en que permite representarcircuitos activos por medio de modelos equivalentes mássencillos.

- Los circuitos complejos pueden considerarse como“cajas negras” si se dispone de dos terminales accesi-bles.

- Para aplicarlo se supone que el circuito y lacarga están aplicados directamente, es decir, nodebe existir un acoplamiento magnético.

- El teorema vale también para los circuitoslineales variables en el tiempo, aunque en estecaso su aplicación es más complicada.

Los pasos que debemos seguir para la aplica-ción del teorema de Thévenin con el objeto deencontrar el equivalente de un circuito como elde la figura 15 son los siguientes:

1. Desconectamos la sección del circuito co-nectada a los terminales de interés (en nuestrocaso, la impedancia de carga ZL).

2. Determinamos la tensión entre los termi-nales que quedaron libres (midiendo o por cál-culo). Se obtiene así VT.

3. Reemplazamos en el circuito cada generador porsu impedancia interna (un generador de tensión idealse reemplaza por un cortocircuito y uno real por unaimpedancia pequeña, un generador de corriente idealpor un circuito abierto y uno real por una impedanciamuy grande).

4. Una vez efectuados estos reemplazos, medimoso calculamos la impedancia que la carga “ve mirandohacia atrás” dentro del circuito. Esta será ZT.

Aplicación del teoremaSea el circuito de la figura 18.Calcularemos en este caso, la corriente en Z3.

Para ello, debemos realizar los dos pasos que per-miten calcular los elementos del equivalente de Théve-nin:

a) Cálculo de VT del circuito de la figura 19

En el circuito queda aislada la posición de Z3, co-

nectada entre E y S, que consideraremos como cargadel circuito a los efectos de la aplicación del teorema.Debemos calcular la tensión VT de Thévenin (a circuito

abierto en relación a la carga).- De la 2da. ley de Kirchhoff deducimos que, ob-

servando el circuito desde los terminales E y S tenemosla tensión:


12

M

4 Ω

0,4 Ω

12 V

N C

(a)

R

8 V

0,2 Ω

3 Ω 2 ΩSE

I1

I3

I2

Z1 Z3

Z2 Zi2

V1

M

4 Ω

0,4 Ω

12 V

N C

(a)

R

0,2 Ω

3 Ω 2 ΩSE

I'1

I'3

I'2

Z1 Z3

Z11 Z12

V1

Z2

Z2

M

4 Ω0,4 Ω

8 V

N C

(a)

R

0,2 Ω

3 Ω 2 ΩSE

I''1

I''3

I''2

Z1 Z3

Z11 Z12

V2

Z2

1818

VT = VES = VEC - V2

Note que no habrá caída de tensión en la impedan-cia interna del generador de V2 porque esa parte del

circuito está abierta.- La tensión entre C y D se calcula considerando la

malla N-M-E-C-N, como el producto de la corriente dela malla por la impedancia Z2:

V1VEC = I . Z2 = ________________ . Z2

Zi1 + Z1 + Z2

Reemplazando valores:

12VVEC = ________________ . 4Ω = 6,5V

0,4Ω + 3Ω + 4Ω

- Podemos calcular ahora VT :

VT = VES = 6,50 - 8 = - 1,50V

b) Cálculo de ZTLa figura 19b muestra el circuito para las condicio-

nes en que se debe calcular ZT: Se desactivaron las

fuentes y se dejaron en el circuito solamente sus impe-

dancias internas. Se observa la impedancia desdelos terminales de la carga (Z3 en este caso).

- La impedancia entre los puntos E y S es iguala la suma de Zi2 y la combinación en paralelo

de Z2 y la serie de Z1 y Zi1.

Z2 . (Z1 + Zi1)

ZT = Zi2 + ___________________

Z1 + Z2 + Zi1Reemplazando valores:

4Ω . (3Ω + 0,4Ω)ZT = 0,2Ω + ___________________ = 2,04Ω

3Ω + 4Ω + 0,4Ω

c) El circuito equivalente

El circuito equivalente obtenido se muestra enla figura 19c.

- De acuerdo a lo expresado, y teniendo en cuentalas leyes de kirchhoff, tenemos que:

VT 1,5ΩI = ___________ = ________________ =

ZT + Z3 2,04Ω + 2Ω

Observamos que aplicando el teorema de Théveninhemos obtenido los mismos resultados que anterior-mente por utilización directa de las leyes de Kirchhoffy el principio de superposición.

TTeoreorema de Nortonema de Norton

Existe un postulado similar al teorema de Théve-nin. Es el teorema de Norton, cuyo enunciado es elsiguiente:

Cualquier circuito compuesto por elementos pasi-vos y generadores, de dos terminales accesibles,vista desde dichos terminales, se puede reempla-zar por un equivalente formado por un genera-dor ideal de corriente constante IN en paralelo

con una admitancia interna YN”.


13

V1

0,4 Ω

12 V

3 Ω

4 Ω

E

C

Z1

Zi1Z2

Zi2

8 V0,2 Ω

(a)

E

S

Z3 2 Ω

Z1

Zi1

Z2 4 Ω

Zi2

0,2 Ω(b)

S

E

VT1,5 V

2,04

Z T

I

E

S

(c)

Z 3 2 Ω

1919

- IN es la corriente de corto circuito en los termi-

nales del circuito en cuestión.- YN es la relación entre la corriente de cortocir-

cuito y la tensión a circuito abierto.

Este teorema permite transformar cualquier circuitoen un divisor, de corriente en este caso, que facilita laresolución.

La figura 20 indica la equivalencia postulada por elteorema de Norton.

Si los circuitos de la figura 20 son equivalentes paracualquier valor de la admitancia de carga YL, también

lo serán para valores extremos tales como:

- YL = ∞, que corresponde a la condición de corto-

circuito.- YL = 0, que equivale a un circuito abierto.De la observación del circuito surge que:- La corriente de cortocircuito Icc del circuito origi-

nal es IN del modelo equivalente (figura 20a).

- La tensión de circuito abierto VCA del circuito

original es igual al cociente entre IN e YN del

modelo equivalente (figura 20b).Se tiene entonces que:

IN = Icc

YN = IN / Vca

Con esto quedan definidos los parámetrosdel circuito equivalente de Norton. De la com-paración con el teorema de Thévenin tratadoen la sección anterior surge que:

ZN = 1/YN

La tensión entre los terminales A y B del

circuito de la figura 19, cuando está conectadala carga YL es:

INVAB = ___________

YN + YL

Esto es asi porque la admitancia resultante deuna serie de admitancias en paralelo es la su-matoria de las mismas.

De la misma manera, podemos decir que la corrien-te en la carga IL será:

IN . YL IN . ZNIL = ___________ = ___________

YN + YL ZT + ZL

Esta expresión es un ejemplo de la dualidad queexiste entre los modelos circuitales. Lo que pudimosexpresar en función de la tensión y la impedancia deThévenin podemos formularlo también según la co-rriente y admitancia de Norton.

Para mayor claridad, podemos indicar la dualidaden forma de tabla:

El uso de uno u otro teorema dependerá del tipode configuración del circuito a resolver. Según sea di-cha estructura, será más conveniente el empleo de mo-delos con generadores de tensión (Thévenin) o de co-rriente (Norton) a fin de lograr su simplificación.

Los pasos que deben seguirse para resolver un cir-cuito como el de la figura 21 mediante el teorema deNorton son los siguientes:


14

YLELEMENTOSLINEALES +

GENERADORES

A

B

(a)

YL

A

B

(b)

YN

IN

2020

GENERADORES+ ELEMENTOS

PASIVOS

(a)

A

BYL YL

GENERADORES+ ELEMENTOS

PASIVOSA

I = ICC N

(b)

A

B

YNYL

Z INTERNASGEN +

ELEMENTOSPASIVOS

GENERADORES

2121

1. Desconectamos la sección del circuito conectadaa los terminales que nos interesan (en este caso, se des-conecta la carga YL de los puntos A y B) (figura 21a)

2. Determinamos (por cálculo o medición) la co-rriente que circularía a través de un conductor coloca-do entre los terminales de interés (A y B). Esta corrientecon la salida en cortocircuito es la corriente de NortonIN (figura 21b).

3. Retiramos el corto de los terminales A y B. Reem-plazamos cada generador que esté dentro del circuitopor su impedancia interna (figura 21c).

4. Una vez efectuados los reemplazos, medimos ocalculamos la admitancia (o impedancia) que vería lacarga “mirando hacia atrás” (lo mismo que se hizo pa-ra el teorema de Thévenin). La admitancia obtenida esla de Norton YN (o la impedancia de Thévenin ZT).

5. Construimos el circuito equivalente conectandoun generador ideal de corriente constante IN en para-lelo con una admitancia YN (o impedancia ZT si se

quiere). Conectamos también en paralelo la carga ori-ginal YL (figura 20b).

6. Aplicamos las ecuaciones vistas para resolver elcircuito.

Aplicación del Teorema de Norton

Resolveremos por el teorema de Norton el circuitode corriente continua de la figura 22a. La incógnita esla corriente y caída de tensión en la carga RL.

a) Quitamos la carga y calculamos la co-rriente IN con los terminales A y B en corto-circuito.De la figura 22b deducimos que:

IN = V / R1IN = 90V / 30Ω = 3A

b) Retiramos el corto y dejamos los termina-les A y B a circuito abierto. Reemplazamos elgenerador de V1 por su impedancia interna(en este caso un cortocircuito porque supo-nemos que es un generador ideal), (figura22c).Calculamos la impedancia vista desde los ter-minales A y B en estas condiciones: Resulta

ser el paralelo de R1 y R2.

Z1 . Z2 30Ω . 15ΩZT = ___________ = _______________ = 10Ω

Z1 + Z2 30Ω + 15Ω

O también:

YN = 1 / ZT = 0,1 siemens

c) Construimos el circuito equivalente de Norton (fi-gura 22d). La corriente en la carga será:

IN . ZL 3A . 10ΩIL = ___________ = _______________ = 10Ω

ZT + ZL 10Ω + 20Ω

Y la tensión:

VAB = IL . RL = 1A . 20Ω = 20V

d) Si deseamos desarrollar el circuito equivalentede Thévenin del ejemplo, se puede determinar fácil-mente de acuerdo a la tabla de dualidad:

VT = IN . ZT = 3A . 10Ω = 30V

Se obtiene el circuito equivalente de la figura 23.De esta forma, si se conoce uno cualquiera de los

dos circuitos equivalentes, es muy sencilla la obtención


15

90 V

30 Ω

R1

15 Ω R2 RL

IL

VAB

20 Ω

90 V

30 Ω

R2

R1

IN A

B(a) (b)

IN YN ZL

0,1 mho

B

A

3AZ T(V )N⇐

A

B

R2

R1

(c) (d)2222

del otro. Como corolario del estudio de los teoremasde Thévenin y Norton hemos deducido otro postuladode aplicación general:

Todo generador V de impedancia asociada Zse puede sustituir por un generador de corrienteI equivalente de admitancia asociada Y, tales que:

I = V/Z ; Y = 1/Z

De esta forma, podemos elegir entre un generadorde corriente o uno de tensión ideales para representarun generador real a fin de analizar un circuito.

Hemos visto algunos métodos de resolución generalde circuitos. En cada caso particular, deberá considerar-se cuál es el método más sencillo de acuerdo al tipode circuito. Por ejemplo, si se resuelve el circuito de lafigura 18 mediante el método de Norton, se descubriráque en realidad es más rápido y fácil hacerlo por elteorema de Thévenin.

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