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CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
.:. E~ta fuerza realiza un trabajo; 10 eual haee
.:. cambiar la energfa cinetica del bloque.La impulsion de la fuerza "F" modifieo la .:.eantidad de movimiento de la bala. :::
I=~p
ITI = mlVf - Vol
260 x 10-3 = m~400- 600/
m=1,3xlO-3kg
.:. En el grafteo F - x :
.:.
.. (m = 1:3 g 1 Rpta (II) :~:
Clave: D·:·.:.
PROBLEMA 35· Sem. CEPREUNI :::
Un bloque de 6 kg es desplazado horizontal- :;:mente sobre un piso liso horizontal median- .;....'te una fuerza tambien horizontal que varia .:.con "x", seglin se ilustra en la grafica. De- :;:termine la cantidad de movimiento (en N-s) .:..:.en la posicion x= 12 m, si el bloque parti6 .:. Tramo ABdesde x=O con una velocidad de 2i m/s. .:. -----.:.
F(N)
10 -------------iM:K =W%s
EKB - EKA = area neta
1 2 1 22mV,f -2mVo =A1 -A2 +A3
.:.
.:. ~ x 6 x Vf2 - ~ x 6 x 22 = 3 x 2 - 4 x 7 + 6 x 10.:. 2 2
.:.
A) 5,/6 iD) 10 i
B) ,/6iE) 10,/6 i .:. La cantidad de movimiento en x= 12 se eal-
:;: cula par :
.:.EI bloque es desplazada desde x=O hasta .:.x= 12 mediante una fuerza variable. .:..:.
Pf=mVf'
P- -6!J° ~f- -13
Si la velocidad media entre dos puntos es .:....igual a la velocidad instantanea, entonces .:.se trata de un M.R.U. :~:A)
.:.
.:. C)
:~:E) (-V2 )N-s:~:RESOWCION:~:Evaluemos la velocidad en B :
Rpta. .:.
Clave: E :~:
PROBLEMA 36,La velocidad media de una particula :~:(m=10 kg) en 10 s de movimiento es igual .:..:.a su velocidad instantanea. Calcular la .:.magnitud de su cantidad de movimiento en :~:el 5to segundo. Si se desplaz6 130 m en los .:.2 segundos iniciales, en forma rectilfnea. :~:A) 550 N-s B) 560 N-s ?.:.C) 250 N-s D) 350 N-s .:..:.E) 650 N-s .:..:.RESOLUCION .:.
La rapidez constante con la cual se mueve .:..:.es : ?
v=i= 130 =65t 2
V = 65 m/s 1_
Luego : :~:En el 5to segundo tiene la misma veloci- .:.
. dad, por 10 tanto : , :~:
P=mVP=mV
P = 10x65 kgxm/s
:.' (P=650 ,N3 Rpta.Clave: E
La argolla de la figura se ,suelta desde A ycae debido a su peso de 5N a 10 largo delaro verticalliso. Calcule la cantidad de mo-vimiento en B. (g = 10 m/s2
)
y
A
B) 2i N-sD) -2i N-s
CANTIDADDE MOVIMIENTO - IMPULSO- CHOQUES
PROBLEMA 38 Sem.CEPREUNI .:..:. Nos piden el impulso desde A hasta B.
Un proyectil de 1 kg se lanza con una rapi- .:.dez de 5 m/s formando un angulo de 53°. :~: T = APCalcule el impulso de la fuerza gravitatoria :~: T = m (VB - VA)desde que el proyectil aIcanza su altura .:.maxima hasta que Begue riuevamente al:~: T =1 (3i - 4] - 3i)piso. Oesprecie resistencia del aire (dar res- .:. - A m
. .:. I =-4j kgx-~puesta en umdades kg· m/s) .:. s
.•:.y .) Luego, su m6dulo sera :
.:. -----:. ~=4k9~]
Como no hay rozamiento; por conservacionde la energfa mecanica :
EMA = EMB
EpA = EKB
mg (2R) =.!x mV~2
VB =.J4xlOxO,1
VB = 2 m/s ~
La cantidad de movimiento en "B" sera :
Rpta. .:.Clave: C :~:
A) 50)2
B)4E) 1
.:. RESOLUCION:~:En el movimiento parab6lico realizado des-.:. componemos la velocidad inicial..:..:. Por teorfa, la rapidez de salida es la misma.:..:. con la que llega.
Rpta.
Clave: B
.:.
.:. Una esferita de 1 kg de masa es soltada en
.:. el extremo A de una superficie semicilfndrica.:.
~ ~---- J:·UZCANQ ----------------~lisa de radio R= 1 m, tal como muestra la .:.figura. Determine el impulso (en N-s) sobre ':'la esfera al ir de B hacia C. (g = 10 m/s2
) :~:
A 1m v
"""'A"" ~~.~~::~'-'-' :~:7°' ....;-... .:.
i J!j C .:.~>. i .:.B' : .:.
A) 2.J7· B) 3.J7D) s.J7 E) J26RESOLUCION
Para calcular el impulso es necesario calcu- ':''.'
lar las velocidades en Bye. .:..:.(N.R: Nivel de referencia) ':'
.:.
* hI =0,8 m
* h2 =0,6 m
Por principio de conservaci6n de la energfa :::mecanica. .;.
I) EMA = EMB
Tomando de referencia "NRI "
~ +EpA =EKB + ~
1 2O+mghl ='2mVs
lOxO,8 = V~2 .VB = 4 m/s~
'Usando el nivel de referencia "NR2 "
~ +EpA = EKe + ~
1 2O+mg h2 =-mVc +02
V210xO 6 =~, 2
Vc = 2J3m/s ~.
••/~" ••'://' V
c
VB ····Ii
?S;;':'!1iJ., '.,/. .•. .
,/ "f?'• C'~Ih
............."tl
.:.
l~vl=~(2J3t+42.:..:..:..:. I~vl=4.J7 m/sL.:..:.
..-- -~CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
I=m!LlVII = 1 x 4J7 kg x mls
* \70=(22 ;-4)mls
- Fmed. = (-400 ; 120)N
ilt = 3xlO-3s
( 1=4J] N-s ]] Rpta. :~:.•..•."""""'''''''''' ..••••..,..,.,..,...,g.. ':'" m=0,06 kg IClave: C.:. ---I-
:~:Calculo de impulsoSem. CEPRE UNI .:..:.
Una pelota de tenis de 0,6 N tiene una velo- .:.cidad V = (22i - 41) m/s antes de ser gol- :~: T = (-400 ; 120) x 3 x 10-3
peada por una raqueta, la eual apliea una: [ ]'fuerza F=(-400i+1201)N. Eltiempode :~: :.I=(-1,2;O,36)N-s Rpta. (I)
eontaeto es de 3 ms. .;. C 'I I d I I id d fi I.'. a cu 0 eave oc a ma_ I) (.Que eomponentes "x", "y" tiene el lm- .;.
pulso de la fuerza aplicada a la pelota ';' De : I = ilP'.'
de tenis? (en N-s). .:..:.II) (.Que eomponentes tiene la veloeidad fi- .:.
naI? (en mls). :::Reemplazando sus valores :
A) (1,2; -0,36) ; (2; 10) :~ (-1,2; 0,36) = 0,06(\7f -(22 ; - 4))B) (1,2; -0,36) ; (-2; -10) .:. -C) (-1,2; 0,36); (42; 10) ::: (-20; 6)= Vf-(22; -4)
.:. -------D) (-1,2.; 36) ; ~2;~) ::: ~'. (~f= (2; 2) m/s] Rpta. (II)E) (-1,2,0,36) , (2,2) .:. ••••••••••••••""""""•••••••~ Clave: E
.:.RESOWCIONEsbozando el grafico :
~.:..:. EI tubo Iiso mostrado tiene la forma de pa-::: ra-bola de ecuaci6n y = x2
, ubic?do en el.:. plano vertical. Una masa ~'m" ingresa por::: B y sale por A con VA = 3..[5 (i + 21) m/s.::: Si el impulso recibido es J65 N x s. ('Cal-::: eule el valor (en kg) de la masa?::: (g = 10 mls2
)
III
VIm)!
0-.: ,:·<_.__. L ~: 1 X(m)
A) 1 kgD) 0,2 kg
B) 5 kgE) 0,5 kg
y = x2
si X =1 ==> y=l m
.. [h=lm]Ademas:
VA= (3../5 ; 6../5) mls
VA=~(3../5)2 +(6../5)2
VA = 15 m/s~
Par canservacion de la EM
EMs = EMA
121 2. -mVB =-mVA +mgh2 22 2 .
VB = 15 + lOx12 2VB = 7../5 m/s~
.:. I =~p.:.
.:. I =m~V.:.
.:. T =m(VA -VB).:.
.:.T ='m((3../5 ; 6../5)- (7../5 ; 0)).:.
.:.
.:. T = m (-4../5 ; 6../5).:.
.:.I = m~(-4../5)2 + (6../5t.:.
.:.
.:. 1= mxZ../5 x13.:.
..[65 = m x 2../5 x.J13
.. (m = 0,5 kg] Rpta.Clave: E
.:.
.:. Una masa de 100 g realiza un movimiento.:.
.:. circunferencial con una frecuencia de 4Hz.::: Conociendo que en t=O s. La masa esta.:. pasando ppr el punta A de la figura en senti-::: do antihorario, determine el impulso que ac-';' ilia sobre la masa durante los 1/16 s iniciales.'.'
.:. ~Que fuerza media ejerce el impulso?::: Dar respuesta en kg ~ y N, respectivamen-.:. te.~ y
::: A) -0, 8n (i + 1) ; - 12,8n (i + 1):~:B) 0~8n(i +1) ; 12,8n(i +1)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
C) -0, 41t(i + J) ; -6,41t(i+ J)
D) 0,41t(i+J); 6,41t(i+J)
E) -0,81t(i+ J) ; 12,81t(i+ J).:.
RESOLUCION .;. . .La partfcula realiza un M.C.U (f=4 Hz); su :~:rapidez lineal se calcula por : .;..:.
.;. PROBLEMA 43
Rpta. (II)
Clave: A
.:.
.;. La posicion de una partfcula de 3 kg que seV = 81t m/s ~ .;. mueve sobre una recta esta dad a por :
Si f=4Hz, entonces T = ~ = % s ::: X(l) = (3t2 - 9t + 12) m
Luego : en 1/16 s habra recorrido 1/4 del :~:Calcule la magnitud (en N-s) del impulsoarco de circunferencia. .;. que recibe desde que inicia su movimiento
y .;. hasta el instante en que haya ejecutado un:;: desplazamiento cera.~ A) 42 B) 46 C) 50.:.~ D) 54 E) 58
:;:RESOWCION.:..;. Recordando cinematica :.;. Si la ecuacion del movimiento de una parti-.:..;. cula es :
I:N=VB-VA
L1v==(-vi-VJ)
L1V == -81t (i+J) lCcilculo del impulso
EI cambio de velocidad entre ''/\' y "B" es: .;.:~:Haciendo analogia con :.;. V 1 2.;. X(t) == Xo + ot + 2at.:.
X(t) == 3t2 - 9t + 12
x(t) == 12 - 9t + 3t2
I ==L1PI= mL1VI == (10-1)[ -81t(i+J)]
.. (I ~ -O,81t(i + j)kg : I
••...•cu~ .GmI!Nos piden evaluar el impulso desde que ini- .;.cia el movimiento (en X= 12 m) hasta cuan- .;.do vuelve a pasar por el mismo pun to. :;:(Equivalente a decir que su desplazamiento .;. II) Para 10:-:;t < 12 ; F=6es nulo). :;: III) Para 12:-:;t < tfLuego : I i1P .;.
= .;. El valor de "F" ira disminuyeno desde F=6I = mi1V .;. hasta F=O ..:."I=m(Vf-VO)
r = 3 x (9i- (-9i))A m
I =54i kgx-5
I = 54kg x m/s
:. ( 1=54 N-s J .:.Rpta. .;.
Clave: D·;·.:..;. Por dato .:
Sem. CEPRE UNI .~'.' Por teorfa, el impulso se determina calcu-~obre un bloque acrua una fuerza F (en N) ~: lando el area debajo la curva F - t .variable en el tiemyo "t" (en 5) 5egUn : :;: -AI +A2 + A3 + A4 = I
{
t - 4 si 0 :-:;t < 10 :;: 4 x 4 6 x 6 2 6 6 x (tf -12) _ 40F= 6 si 1O:-:;t<12 .;. --2-+-2-+ x + 2
.:.f si 12:-:;t < tf .;. Resolviendo:
Si luego de 12 5 la fuerza di5minuye :~ tf = 18Iinealmente hasta anularse, y consideran- .;.do que el impulso resultante es de 40 N - 5, :;:determine el valor de "f" (en N) cuando .;.t=17,0 s. :;:
A)1 B)2 C)3 :0)4 E)5 ~.:.RESOWCION .;•.;.Para realizar la grafica F vs t establecemos ~105 puntos crftic05 en 105interval os de tiem- :~po mencionad05. :;:
I) Para 0:-:;t < 10 ; F =J - 4
si t=O => F=-4
si F=Osi t = 10 =>
=> t=4F=6
.;. Entonces :.:.•;. F(N)
EI valor de "f" cuando t= 17 5 5e calcula enla recta desde 12::;;t < 18 .
F(N)
6 fPor semejanza de triangul05: 6 = 1: .
:. (f = iN ) Rpta.. Clave: A
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES
CENTRO DE MASATambien conocida como el centro de inercia. EI centro de masa de un sistema de partfcu-las, nos indica la ubicacion dellugar 0 punto definido respecto de un sistema de coord ena-das; donde en forma real 0 hipotetica se situa la masa del sistema, que a su vez estarelacionada con parametros como su posicion, velocidad, aceleracion, etc.
Para entender mejor definamos un sistema de partfculas discretas.
La posicion del centro de masa (7CM) se definira :
n2: miri
- _ i=1rCM --n--
Imi;=1
~celeraci6n del centro de masa (itCM)
Suponiendo que cada partfcula presenta cierta aceleraci6n, entonces para el sistema se define :
La cantidad de movimiento del sistema de partfculas, es la misma de la cantidadde movimiento de su centro de masa.
IpCM=p;]1I~CM=P~brt~t~·+pJJ
Si en un sistema aislado de particulasno aciUanfuerzas ex:ternas, entonces se cumple :
It!tM2?c§~1
Si en un sistema aislado de partfculas no actuan fuerzas externas e individuales su
VCM = 0; entonces se cumple :
Las propiedades anteriores las usaremos con frecuencia, establecida el principio deconservaci6n de la cantidad de movimiento.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
PROBLElMAS DE AP~leACIONPROBLEMA 45 Sem. CEPRE UNI .:. tienen su centro de masa ubicado en :
D 'I d 2 k :~: I' = (4i + 61) mos parhcu as e masas m1 = g y .:.m2 =3 kg estan en 105 puntos (0;1) y ::: Determinar las masas de las partfculas si la(-1 ; 0) respectivamente, Hallar la posi- .;. sum a de ambas es 6 kg.
cion del centro de masa. :~:A) m1 = 1 kg ; m2 = 5 kgA) (-3/5; 2/5) B) (3/5; 2/5) .:.
.:. B) m1 = 2 kg ; m2 = 4 kgC) (3/5; -2/5) D)(O; 0) .:.E) (-1/2; 1/2) :~:C) m1 = 2,5 kg ; m2 = 3,5 kg
RESOLUCION :~:D) m1 = 3 kg ; m2 = 3 kg.:.
Datos : .:. E) m1 = 5 kg ; m2 = 1 kg.:- .
.:.
Cl . A':' 19ualando componentes :ave. .:.o 2ml+5m2=24.:.
Sem. CEPRE UNI .:. 2ml + 8m2 = 36.:. -------
Dos partfculas ubicadas en : :~: 3m2 = 12.:- ? = 41
1'1=(2i+21)m y 1'2=(5i+81)m :~: m~
,~ 'Masa ' c 'Posicion2kg (0; 1)
, ~kg (-1; 0)
De la relacion :
- mlrl +m2r2rCM =
ml +m2Reemplazando datos :
_ 2x(0; 1)+3(-1; 0)r -
CM - 2+3
_ (0; 2)+(-3; 0)rCM =
5
- (3 2J'reM = -5; ~ Rpta.
:~:RESOWCION:~:De la relacion anterior:
(4; 6)= ml(2;2)~m2(5;8)
(24; 36) = (2m1 ; 2ml)+ (5m2; 8m2)
(24; 36) = (2m1 ; 5m2; 2ml + 8m2)y I =r
IDI
2mI +Sx4 = 24
ml = 2 ~
mt = 2 kg
m2 =4kg"====~
1~i't1td~JJ :~:Podemos notar que la distribucion de las 9 .;..:.partfculas denota simetria respecto de la .;.bisectriz deXOY; ademas que las masas son :~:EI centro de masa del sistema de partfculasidenticas. .;. que se muestra en la figura, formado por :
Por tanto la ubicacion del centro de masa :~: ml = 2 kg ; m2 = 6 kg ; m3 = 2 kg y eldel sistema estara en su centro geometrico, :~:C.M. se encuentra localizado en el pun-es decir en: (a, a). :~:to (2 ; 2) .
.;. ('Cual es la distancia (en em) desde la posi-
:~:cion de m4 hasta el eje Y? (C.M : centro de
:~:masa).
Sem. CEPRE UNI .;....Encontrar la posicion del centro de masa :~:del sistema mostrado. Todas las masas son .;.identicas. :~:
2a ------(>------€1), .· .· .a ------~------~, ., ., .· .· .· .
A) 3a(i+ 1)C) a(i + 1)E) (9a/8)(i+ 1)RESOWCION
B) (i + 1)D) 2a(i+ 1)
mIl'! = m(O ; 0)
m2r2 = mea ; 0)
m3r3 = m(2a ; 0)
m4r4 = m(O ; a)
msrs = m(a; a)
m6r6 = m(2a ; a)
m7r7 = m(O; 2a)
msrs = mea ; 2a)m9r9::::::m(2a ; 2a)
.:.
.;. Luego:
.:._ m(9a ; 9a) t~(a; a)reM = 9m - t~
m.a4 -----------------------0
____________Qm3 im1 ::0_-----2 : :
I ::, ", ", "• I.,: : I
A)4cmD) 5,4 cm
B) 5,6 cmE) 6m
RESOWCI0NDatos:
masas (m)
ml = 2 kgmz =6 kgm3 = 2 kgm4=m
* Lm =10+m
posicion (r)1\=(-2;2)rz=(O;O)1'3=(3;3)r4=(a;4)
* rCM = (2; 2)
De la relacion :
- _mlrl+mZrZ+m3r3+m4r4rCM - Lm
(2; 2)= 2(-2; 2)+6(0; 0)+2(3; 3)+m(a; 4)10+m
Luego:
(1O+m)(2; 2)=(am+2; 10 +4m)
T - -------r-Igualando componentes :(1O+m)x2=10+4m
20+ 2m = 1O+4m
m=~
(10+5)x2=ax5+2
.. a=5,6~.:..:. En el grafico inicial podemos notar que la:~:distancia desde la posicion de m4 hasta el.:. eje Y sera :.:.
.. (a=5,6cm)1 Rpta.___ =!JClave: B
:~:PROBLEMA 49
:~:Se tienen 4 partfculas de masas iguales';' a m. Dispuestas sobre la recta y=2x tal'.'.:. como muestra la figura. Halle la posicion:~:del centro de masa.
:~:A) (3 1+ 5 1).:.
::: C) (21+41).:.
:~:E) (3 1+ 6 1)
B) (2,51+ 2,51)
D) (2,51+51)
.:.RESOWCI0N.:.
:~:IMetodol I I:~:La recta donde estan ubicadas las partfcu-.:. las tiene por ecuacion: y=2x.:..:. Luego, tabulando :.:.
CITIIITIIIJ~
~ ....•II- C·UZCANO ----------------~
.:. Hallese la posicion del centro de masa para.:.
.:. el sistema dado, si ::~: ' m1 = 2m2 = m3 = 4m4 = 4ms.:. Z(m).:.
.:._ (1;2)+(2;4)+(3;6)+(4;8) .:.rCM = '4 .:..:.- _(10;20J ~rCM - 4 .:.
---"--------., .:.:. (rCM = (2,5l + 5i)m) Rpta. :~:A) (5/61+ 2/3J + 1/3k)m
IMeto~611I·1-..- ...=- :~:B) (5/61+2/3J+1/2k)m
El C.M para dos partfculas identicas, se de- :~:C) (2/31 + 51 6J + k) mfine en un punta equidistante a ambas. :~:D) (2/51 + 2/3 J + k)m
O···············~~~·······_--------O :~:E) (wi + 8J + 6k) mt---d I d-----l .'. •
.:.RESOWCIONComo puede notarse el sistema presenta si- .;. Para ubicar la posicion del C.M. del siste-metria. Tomando las masas dos ados es :~:ma, primeramente ubiquemos la posicionfaci! de deducir': .:. de cada masa :.:.
m m C.M. m m0-------0-------·-------0--- .. ·--0I--d-+-d/2-+-d/2-f-d----i
Es decir en la figura esta corresponde a :VIm)
1 2t3 4
2.5
(rCM =(2,5 ;5)1}~==-~Rpta. .:.Clave: D':'~~~"'".:.
.:. Si
.:.
.:.
.:.
.:..:..:.
.:.
.:..:..:..:..:..:..:.
';' De los datos :... _-----ms =m=>m4 =m
m2=2m
Masa(1!',) .
1. 4m
2. 2m
3. 4m
4. m
m
(0;0 ;0)
(O;0;6m)
(8m;0;0)
(2m;4m;0)
Una partfcula de 5 kg tiene una velocidad :~:
VI = (2i - 31) m/s, otra partfcula de 3 kg :~:
tiene velocidad V2 = (lOi-51) m/s. En- :~:A) (5,5i+1O,51)mcuentre la velocidad del centro de masa. .:.
( ~~) (~~) '.::'.C') (l1i+2{J')mA) 7i-4,25j m/s B) 5i-4j m/sC) (3i+5,251) m/s D) (5i-3,751) m/s :~:E) (1O,5i+5,51)mE) (8i - 3,751) m I s :~:RESOWCION
':' Evaluemos primeramente la posicion deRESOWCION :;:cada partfcula en t= 10 s.La velocidad del centro de masa del siste- .:.::.: I Mavil IA Ima de dos partfculas se calcula de :
:~:Si : V = 1 m/s
:~: d=lOm~
_ (10m ; 8m ; 6m)rCM=
12m
)'1'\ (10 ; 8 ; 6)12)'1'\
(5~ 2~ 1~)rCM = -i+-j+-k m6 . 3 2
.:.Clave: B·:·
-V m1V1 +m2V2CM =
m1 +m2
Reemplazando sus datos :
V _5x(2;-3)+3(1O;-5)CM - 5+3
VCM= (10 ;-15)+(30 ;-15)8
V-(40 ;-30)CM =
8
(VCM = (Si-3,7SJ) m/S):::::azm~:n:t:uz_~_
:~:Dos partfculas forman un sistema aislado y.:. se encuentran en las posiciones mostradas:~:en el grafico. Halle la posicion del centro.:. de masa al cabo de 10 s. Considere que las.:..:. masas son iguales..:.
B) (5i+101)m
D) (21i+ll1)m
.. La posicion de "pt sera :
TA = i + lOi = lli ~ ,
:~: I Mavin B I.:. Si : V=2 m/s ; el) t= 10 s recorre :.:..:. d = 2 x 10 = 20 m.:.:~: :. Su posicion sera: TB= 21 1 1_
:~:La posicion del centro de masa sera ::~: - mATA+mBTB
Clave: D·:· rCM= mA + mB.:.
Masa , Ve16Cidad
ml=2 kg (4; 3) m/sm2=2 kg (6; 1) m/s
m3=2 kg (2; 2) m/s
(rf = ra + Vt)rl = (-2 ; 0) + (4; 3) x 2
rl=(6;6)m~
1'2 =(0; 0)+(6; 1)x21'2 =(12; 2) m~
r3 =(4; 0)+(2; 2)x2r3 = (8; 4) m~
Las pamculas que se muestran en el siste- :~:ma tienenmasa 2 kg y parten en t=O s' de ':''.'las posiciones mostradas con velocidades : .:. *VI = (4 i+ 3 j) m/s , V2 = (6 1+ j) m/s , :::
y V3 = (2 1+ 2 j) m/s. :~:*Determine la-posicion (en m) del centro de :::masa del sistema en t=2s. .;.
.:. La posicion del centro de masa en el instan-
.:. te t=2s es ..:. .
A) (121+3 J)C) (26/3)1+4 j
E) (17/3)1
RESOLUCION
Seg(ln el problema :y
B) (261-4 j)
D) (16/3)1+4/3j
_ 2(6; 6)+2(12; 2)+2(8; 4)r - ------~-~-~
CM - 2+2+2_ (26; 12)rCM:;: 3
Rpta.Clave: C
.:.
.:. Tres partfculas cuyas masas son m, 2m y:;: 3m se mueven en el plano X - Y con velo-.:. cidades constantes. En t=O sus posiciones::: son las indicadas en la figura. Encuentre la.;. velocidad del centro de masa (en m/s)..:.
: A) (lli-4,5J)m ; (i-1,5J) m/s:~~;~v:~::~~~i:-~:B) (lli+4,5J)m ; (i+l,5J) m/s
m2=2m V2=(7;O)m/s :~:C) (lli+4,5J)m; (l,si-J) m/s
1113=3m V3= (2; 5) m/s ~:D) (4,5i - 6J)m ; (i + 1,5J) m/s
~ velocidad del centro de ~asa se calcu--:~:E) t4,5i-llJ)m ; (i+1,5J) m/s
a : .) RESOWCIONVCM = mi VI + m2V2 + m3V3 :~:Si las dos masas estan dentro de un sistem~
. ml + m2 + m3 ' :: aislado, entonces la cantidad de movimien-.:. to del sistema (0 de su centro de masa) se..:. .
.:. conserva. La velocidad de su centro de:~:masa se mantiene constante y se calcula
VCM:: (4; 3)+(14; 0)+(6; 15) ~:por:- 6 .:.
VCM = (24; 18) :~:6 . ~
.)
.. (VCM = (4~:~)m/S] Rpta. :~:
Clave: A :~:
X(m)
B) (4i-3J) m/s.:.
D) (4,8i+3,6J) m/s :~:
A) (4i+3J) m/s
C) (8i-6J) m/s
E) (24i + 18J) mls
RESOWCIONDe los datos del problema :
'VCM = m(4 ;-3)+2m(7; 0)+3m(2; 5)- m+2m+3m
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
:::'PROBLEMA 55'~
:::Dos esferas se mueven sobre una superficie.:. horizontallisa y en un instante deterrninado.:...:. estan dispuestas como se muestra en.la fi-:~:gura. Hallar los vectores posicion y veJoci-.:. dad del centro de masa 3 segundos despues:~:de producido eJ choque. (Considere a /as';' esferas como un sistema ais/ado)'.'.:. Y(m).:.
lkg 4m/s... ,
+2m/s-4 ~._ ~
3kg
V _lx4i+3xZJCM - 1+3
( ~ (Velocidad enyCM = (i + 1,SJ) m/s~ todo instante) .G~ _ •• =-~""'Rpta. (II)
~ ~__ C·UZCAIfQ ----------------~
---~Hofq.-En la figura original podemos notar fo-ci/mente que a los dos segundos de ini-ciado el movimiento las partfculascolisionan; aLin as! Psist. = cte en todoinstante.
Masa Velocidad
ml=4 kg Vl=(4; 2t) m/s
m2=6m V2=(2t; -8) m/s
La posicion inicial del centro de masas se :~:La velocidad del centra de masa en cual-calcula par : .:. quier instante sera :
.:._ mlrl + m2rZ .•:.
rCMo .:.ml +mz .:.
.:._lxO+3x(8 ;-4) .:.
rCMo.:.
1+3 .:.(fCMo =(6;-3)m]
.:.
.:... .:.
VCM= _m_I_V_I_+_m_ZV_zmi +mz
v _ 4 (4 ; 2t) + 6 (2t ; - 8 )CM- 4+6
V _ (16+12t; 8t-48)CM - 10
La posicion del C.M. 3 segundos despues .:. En t=.4s sera :de la colision, significa 3+2=S segundos des- :~:pues de iniciado el movimiento. .:..:.
Resolviendo : :~: ..
:. (fCMf = (Hi +4~5j).:JJRpta (1) :~:
Clave: B :;:.:. PROBLEMA 57.
Sem. CEPRE UNI .:..:. Tres partfculas m 1 = 2 kg, m z = S kg y
En el instante (t=O) una partfcula de masa ':' m3 = S kg se encuentran en movimiento.!!II = 4)<g s~ esta moviendo con velocidad :;:
( )m3 se encuentra en calda libre y mz tiene
VI = 4i + 2tj m!s y otra de masa :~:
(• ) aceleracion de (21+ 43) m/sz. Hallese la
mz = 6 kg can Vz = 2ti - 83 m/s; determi- :::ne la velocidad (en m/s); deLcentro de masa .;. aceleracion (en m/s
z) de mI, si se sabe que
del sistema en el instante t=4s. .:. la aceleracion del centro de masa del con-::: junto de partfculas es cera.
:~:A) 101- S] B) S1-IS].:. C) 101- 6] D) 151- S].:..:. E) -S[+ 15j.:.
rCMf=(6 ;-3)+(1; 1,S)xS
A) (5,21+1,43) ~
C) (2,61+4,8])
E) (1,91 + 2,83)
B) (1,81-2,6])
D) (6,41-1,63)
V _(16+12x4;8x4-48)CM- 10' .
VCM= (6,4; -1,6)
(~CM = (6,4i -1,6j) mlS] Rpta.
Clave: D
RESOWCIONDe los datos del problema :
Y(m)
'fMasa -;0... Aaieraci6n
ffil=2 kg ??ffi2=5 kg (2; 4) m/s2
ffi3=5kg (0 ; -10) m/s2
(0; 0)= 2al +5(2; 4)+5(0; -10)2+5+5
(0; 0)=2al +(10; -30)
al=(-5;15)
.. ( al = (-51+ 151) m/s2 ]
CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES
:~:locidad de (-8i + 20] ) m/ s. Determine la.;. velocidad del centro de masa 2s despues del';' disparo.
:~:A) (2,8i+2])m/s B) (-2,8i-2])m/s
:~:C) (1,4i-])m/s D) (-1,4i+])m/s
:~:E) (-2,8i+16])m/s
:~:RESOWCION.:..;. Seglin la condici6n del problema :.:.
~. Vt
·.....~Ojt 15~/~~... t./----~'~~ :;:'\:------8r I' om, sf
100m
:~:Datos:m1 = 2 kg
m2 =3 kg
Ambas partfculas Ilevan la misma acele-racion :
~ A m.;. a=g=-lOj -_:. 52
Rpta. :~:Calculo de la5 velocidade5 de la5 particula5Clave: E';' en t=25.
- :~:De: [-V-f-=-V-O-+-a-t)PROBLEMA 58 Sem. CEPREUNI .:.
Desde 10 alto de una torre de 100 m de al- :~:-I M-o-'vt-'I-/I-I
tura, 5e disparan 5imultaneamente do5 par- :~:tfculas una de 2 kg con una velocidad de .:.(5i+151 )m/5 y otra de 3 kg con una ve- :~:
.:.
V1 = (5i+15])+ (-101) x 2
V1 = (5i-15]) = (5 ;- 5) m/5L
~ ~_pUZCA •• ----------------~IM6vul21
Vz = (-8i + 201) + (-101)(2)
Vz =(-81)=(-8; 0) ITl/s~
La velocidad del centro de masa se calcula :~:por: ~,......--~=--'""""":=-"' .:.
PCM = PI + Pz.:..:. Reemplazando sus datos :.:.
VCM = 2(5 ;-5)+3(-8; 0) :~:2+3 .:..:. PROBLEMA60 Sem.CEPRE UNI
VCM = (-14; -10) :~:Una partfcula de 2 kg tiene una ac;re-______ 5_____ :~:raci6n al = (3t i - 3 1) m/sZ y otra parti-
:. ( VCM = (-2,81 :-2j) m/S)) Rpta. :~:cula de 3_kg se Amueve con velocidad-...."""'",...""""="""'''''''''''''''''''''''''~Clave: B·;' constante VZ = (2 i) m/s. Encuentre la ace-
.:' leraci6n del centro de masa del sistema en..'~. . . .:. t=2sPROBLEMA59 Sem.CEPRE UNI.:. . A A
La cantidad de movimiento del C.M. de dos :;: A) (1,2 i - 0,6 j) m/sz
particulas antes de irripactar es .~.B) (2,4 i-I, 2 1) m/sZ
PCM = (5J + 121) N x s. Si despues del cho- :~:C) (4,8 i - 2,4 ]) m/sz
que la c~ntidad~ de ~ovimiento de u~a de :~:D) (2,4 i -0,8]) m/szellases PI=(31+4J) Nxs. Determmela.:. E) (24i-16':)m/szcantidad de movimiento de la otra. (Consi- .:. ' , Jdere al sistema de partfculas como un siste- ';' RESOWCION_ v
ma aislado). .:. Seg(In leisdatos del problema, podemos no-A) (i + 1) N - s B) (3i + 41) N - s :~:tar que la partfcula de 3 kg se mueve con
C) (2i+8]) N-s D) (5i+12}) N-s :~:v~!ocidad constante; por tanto su acelera-
(A A) . CIon es nula.
E) 5i+8j N -s .:..:. Luego:
RESOWCION .:.
Teoria:En un sistema ais/ado /a cantidad de mo-vimiento de/ centro de masa se conser-va.
(-p-s-;st-. ----P-C-/1-=-P-
I-+-P-
z-+-.-..-+-P-n-)
Masa Aceleraci6n
ml=2 kg a1=(3t ;-3) mlsz
mz=3 kg az=(O ; 0) mlsz
.:. La aceleraci6n del centro de masa se calcu-
.:. la:.:.
2kg ~ 3kg ~.......~ -e-.:- .
CANTIDAD DE MOVIMIENJ:0 - IMPULSO - CHOQUES
.:.Ademas del dato :• -1·.:. V2 = 50 i.:.
6V2 - V2 =50 iV2 = 10 i m/s ~
("CM = 30 i m/s) Rpta .
Clave: C
A} wi m/s B} 20i m/s C} 30i m/s.:.~.
D} 401m/s E} 501m/s.:. 8.:. X
RESOWCION.:. I •.:. d
_ 2(3t ;-3)+3xO :~aCM= . 2+3 .:.
.:.
aCM= ~ (3d - 31) m/s :::
En t=2s sera: :: En (l) :.~aCM= ~ (3 x21- 3) m/s ~:---------- .:.
.. (itCM = (2,4 i-1,2 j) m/~ Rpta. : ~~~~~.
Clave: B ·:·PROBLEMA 62. Sem. CEPRE UNI
~: La figura muestra la posicion en t=O s dePRO.~ Sem. CEPRE UNI : dos particulas con masas ml = 1 kg ,
. , ~. m2 = 2 kg que se estan moviendo a 10 lar-En el sistema se muestran dos parhculas .:. d I . X 5' I .. , d I 't d. ..~ go e e]e . I a pOSICIOne cen ro ede 2 kg y 3 kg de masa. 51 I~ velocldad -:-masa en cualquier instante posterior "t"relativa de 1 respecto de 2 es 50i m/s. De- :::esta dad a por xCM= 0,333 + 0,667 t (m) :termine la velocidad del centro de masa .:. h II I I'd d d I C M I(-). - - : a ar a ve OCIa e . . y a separa-VCM asumlendo que VCM= 3V2· ; cion inicial (d) de las partfculas (en m/s y
.:. "m" respectivamente).~.mt
Segtin los datos del problema :
... ~O ~ n~.m
~=2kg m:z=3kg
.:.
.:.A}0,667 ; 0,333::: C} 0,667 ; 0,5:~E}0,333 ; 0,48
:::RESOWCION:::Las masas m1 y m2 !levanvelocidades VI.;. y V2·
B}0,333 ; 0,5D} 0,667 ; 1,0
.EfI
~ ~-- C,UZCAN!I ----------------~Pew la posicion del centro de masa a medi- .:. Ai (4/9 , 4/9) £da que pasa el tiempo esta dada por : :~:C) (2/9 ,2/9) £
xCM =?,333+0,667t ... (I) :~:E) (1/9,1/9) £Es decir : .:. we1 .N.:. RESO 0
xCM = xCMo + VCM x t ... (II) .:..:. El eM. de una lamina triangular homo-
19ualando terrninos en (I) y (II); concJuimos: ::: genea esta en su baricentro (G).-------:. (VCM = 0,667 m/S] Rpta ([) :~:
La lamina cuadrada de lado " £ " y espesor .:...•"e" pequeno, esta farmado por dos mitades .:.triangulares iguales A y B. Conociendo que :::las densidades se relacionan - segun .:.
'..PA = 2PB' <.Desde donde se debe suspen- .:..:. *der esta lamina para que quede en posicion .:.horizontal? .:.
Y(m) ::: Las masas de cada placa esta~ relaciona-.:. dos par :.:..:. mA _ PAxvolA _ (2PB)xareaxe:~: mB - PBxvolB - (PB)xareaxe
Ademas, si :xCM = 0,333 m (Posicion iniciat del·:·
a centro de masa) .:•.:.
.. (d ""0:5 m) Rpta. (II).:.
Clave: C·:·
~~.
B) (2/3,2/3) £D) (3/2,3/2)£
En el ~, se cumplen las relaciones de10s segmentos indicados .
.:.
.:. Ubicando los C.M. de los triangulos rectan-
.:. gulos ..:.
* r =(4£ . 4£)B 6' 6
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES
EI lugar desde donde se de be suspender la .:. Para un bloque cubico :planeha y permaneee en equilibrio, es en Stl ::: vcentro de masa (C.M.) luego : .;.
fCM = 2mB(¥ ; ¥]+mB(T; ~)
2mB+mBResolviendo :
rCM=(~;~)l
15cm ,
1 ..',~....
.> Ubiquemos ahora la posicion del C.M. en~: los ejes X e Y.> y.:. Para mayor facilidad,
dividimos el conjuntoen tres bloques .
.:.PROBLEMA 64, Sem. CEPRE UNI ,.
Un nino dispone de bloques eu.bicos de 5 em ~:de arista heehos del mismo material forman- .>do la figura que se muestra, sobre el piso :~: X
horizontal. Deternine la posicion del cen- ~: Luego :
tro de masa del eonjunto de bloques. .:. - _(5 . 15)' - -(10' 5) - -(425' 5).;. rl - - , ,r2 - , - . r3 - ,,-y .:. 2' 2 ' 2
...... - .
..... ...1 IX
A) (14; 18,3; 5) em
B) (16; 8,3 ; 3) emC) (19; 9,2 ; 2,5) em
D) (19; 8,3 ; 2,5) emE) (19; 18,3; 2,5) em
RESOLUCION
.:.
.;. Las masas senin :
.:.
.:. _ ml = 6m ; m2 =:= 2m m3 = 5m
.;.
.:.
.:. r = (247,5; 107,5) =(190' 83).:. eM 13 '-J.-,J , .....;.....
.:. rx ry
.:. .. Finalmente la posicion del centro de masaPodemos observar que 10sladrillos estan eo- .:..'. en los ejes X, Y, Z es :loeados en hilera; por tanto la posicion del.;.centro 'de masa en la direecion (eje Z) que- ::: ..darfa definido en Z =~ em = 2,5 em . :~:
(reM = (19 ; 8,3 ; 2,5) em) Rpta.
Clave: D
~ ~II- C,UZCAIfCl ----------------~
CONS,ERVACION EN LA C'ANTIDADDE MOVIMIENTO
Para camprender este principio observemos 10 que ocurre en la siguiente situaci6n a modode lectura.EI muchacho de la figura tiene una masa de 50 kg, ademas de una "frondosa cabellera".A su costado una joven fuerte y robusta capaz de levantar cargas pesadas de hasta 200 kg.
Es facH deducir que el valor de la fuer-za de gravedad del muchacho sera(si g= 10 m/ s2 ) Fg = SOON
Surge la siguiente interrogante :
Si el muchacho fuera tirado de 105 cabellos, mediante una fuerza vertical de 600N.LPodria ser levantado? Veamos:
I La joven cage de los cabellos al muchacho usando 105 600N que se necesitaluego como esta fuerza es mayor que Fg=500 N, entonces :
@ Ahora el muchacho hace el experimento de jalarse 105 cabellos usando el mismom6dulo de la fuerza. Ocurre que :
Realizado estos experimentos, surge la pregunta:
iPorque el muchacho puede ser levantado en un caso y en otro no?
Para el analisis de estas interrogantes son relevantes 105 conceptos de sistema fisico, fuerzasextern as e -internas.
Ed(torial Cuzcano- .
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
_-_.1~.g,~/.+.....-,/ G . \., ., .. ., .. ,,-J-\ , ~,- ./
. sistema ··· f '··'. . FN .
..·---r:~OON/~'-. '\, ., ., ., ., ,, .,,-J-\ . - .:
sistema ···i~ljH.-./+ mg=500N
Se denomina as! a aquella regIOn que se encierra en forma real 0 hipotetica,sobre un conjunto de partfculas; cuando se realiza cierto analisis respecto de susinteracciones.
Un sistema mecanico es aislado cl.;'ando sobre el conjunto de partfculas, s610 estan actuan-do fuerzas internas.
En la termodinamica, en un sistema aislado ademas que no hay presen-cia de fuerzas externas, no hay transferencia de masa ni de energia, delmedio exterior al sistema 0 viceversa.
Sistematermodinamico
aislado
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPUlSO - CHOQUES
qJ Una esferita es impulsada, para moverse en una superficie horizontal Iisa.
AI ser la superficie Iisa no actUan fuerzas en direccion horizontal, luego su velocidadsera constante (principio de inercia)
'Inicro.
'01 Dos esferitas de masas iguales estan unidas mediante un resorte, el cual inicialmente escomprimido y Iiberado sobre una superficie horizontal Iisa.
~mK m~=~; .. /'
IDici~,..... ._..__... (" sistema, _-.-.------.--.--....-..-~....... / ..~.. ····V···
/V=O V=O\ /~~\.~ ...\.... ., .. -+_ ..~---- - ). , , ., m m" m m/.... .... .... -- --- ....
". ... .... Fe Fe .............. _._-_.................... .. - ..•...•.............•....... -_ ........•..
~ ~__ CUZCAN. ------------------~
U¥Hlf4~Cuando se conserva su cantidad de movimiento, fa velocidad de su centro de masaspermanece constante.
(Relaci6n : Impulso - Cantidad de movimiento)La cantidad de movimiento no se conserva, si actUa una fuerza extern a resultante en elsistema. En este caso el cambio de la cantidad de movimiento esta relacionado con elimpulso de la fuerza externa.
Una aplicacion de este principio serfa :
* Un bloque de masa "m" reposa sobre el piso liso. Se aplicaluego una fuerza extema "F", entonces :
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
NOTAS FINALES
Analisis en particulas qUE: se desintegran :
Como las fuerzas que hacen posible esto son internas, entonces :
* La trayectoria de suC.M. no cambia.
£::;..... ~It- J:,UZCAIfQ ----------------~
~lfl8P.~~Una persona de masa "m" esta parada sobre un tabl6n de masa "M"; esta a su vez reposaen un piso horizontalliso. La persona empieza a caminar avanzando de un extremo a otro.Diga usted si se conserva 0 n6 la cantidad de movimiento y cualley ffsica debe usarse enuno u otro caso si :
I) EI sistema a considerar es 5610 la persona.
II) EI sistema a considerar es 5610 el tab16n.
III) Si el sistema a considerar es la persona y el tabl6n.
Si la persona empieza a caminar sobre el tabl6n, es porque implfcitamente existe fricci6nentre 105zapatos de la persona y el tab16n, luego esa fuerza de fricci6n hara que la personay tabl6n se muevan.
mg~
~f t Nt
______el:N:
1::::I.h.
tN2.
m91·--·.. Vf
,/t~'~, .f f-== ! sistema..:..+-- t ,f---/
\ Nt':•.•....•...~.. _-_ ....'
Se puede observar, que existen fuerzasexternas tanto en la horizontal Gamo enla vertical, pero en esta ultima las fuezasse anulan.
