Dam m2

LES

DIF

ICU

LTA

TS D

’APR

ENEN

TATG

E D

E LE

S M

ATE

MÀ

TIQ

UES Mòdul 2:

Dificultats en els processos de càlcul

Formació Psicopedagògica

Josetxu Orrantia

1

índex

1. Introducció

2. Desenvolupament de les habilitats de càlcul

2.1 Els esquemes protoquantitatius

2.2 El desenvolupament de les primeres destreses numèriques:

el recompte

2.3 Estratègies de recompte i operacions bàsiques

3. Què és el que no fan bé els alumnes amb dificultats

3.1. Dificultats en les operacions bàsiques

3.2. Explicació de les dificultats

3.3. Subtipus de dificultats en les matemàtiques

4. El problema de l’avaluació

4.1. Avaluació del coneixement conceptual del recompte

4.2. Avaluació de les estratègies de recompte

5. La intervenció en operacions bàsiques

5.1. Desenvolupament del número

5.2. Operacions bàsiques

2

2

3

5

7

14

14

16

18

21

21

24

28

28

33

LES DIFICULTATS D’APRENENTATGE DE LES MATEMÀTIQUESMòdul 2: Dificultats en els processos de càlcul

Formació Psicopedagògica


2

1. INTRODUCCIÓ

En aquest primer apartat, ens centrarem en les dificultats que troben els alumnes a exe-

cutar les operacions bàsiques. Per tal de fer-ho, considerarem els punts següents:

a) partirem d’una teoria que ens expliqui el desenvolupament normal d’aquesta habilitat;

b) posteriorment, ens centrarem en les dificultats que troben certs alumnes en

l’execució de les operacions bàsiques i en l’explicació d’aquestes dificultats;

c) acabarem amb l’exposició d’alguns procediments per a avaluar i intervenir amb

aquests alumnes.

2 DESENVOLUPAMENT DE LES HABILITATS DE CÀLCUL

Els plantejaments més clàssics sobre el desenvolupament del coneixement matemàtic,

especialment des de posicions properes a la tradició piagetiana, consideren que aquest es

va forjant com a conseqüència de l’evolució d’estructures intel·lectuals més generals, de

tal manera que la construcció del nombre és correlativa al desenvolupament del pensa-

ment lògic.

Els nens i les nenes, abans dels sis o set anys, serien incapaços d’entendre el nombre i

l’aritmètica perquè no posseirien el raonament i els conceptes lògics que es necessiten (pen-

sem en les conegudes tasques piagetianes de la conservació del nombre i de la classificació).

Això no obstant, cada vegada són més els qui pensen que el procés de construcció del

coneixement matemàtic comença molt abans que els infants entrin en l’educació primària.

Algunes investigacions (per exemple, P. Starkey i R.G. Cooper, 1980; R. Starkey, E.S. Spelke

i R. Gelman, 1990; K. Winn, 1992) indiquen, fins i tot, que certs elements bàsics del co-

neixement quantitatiu són presents en bebès de sis mesos d’edat, de tal manera que són

capaços de discriminar la “nombrositat” de conjunts petits.

Per exemple, mitjançant el paradigma de l’habituació, s’ha comprovat que els bebès presten

atenció a imatges amb objectes a què estan habituats quan aquestes han estat modificades

numèricament i no pas quan es modifiquen altres variables com ara la densitat o la grandària.


3

Tot i que aquestes primeres nocions del nombre són importants, és a partir dels tres anys

d’edat quan la mainada comença a desenvolupar el primer coneixement quantitatiu. Aquest

desenvolupament s’acompleix per mitjà de l’adquisició, d’una banda, d’uns esquemes

que L.B. Resnick (1989) anomena protoquantitatius i, de l’altra, de la primera destresa

numèrica: comptar. Concretament, establirem com, gràcies a la integració d’aquests es-

quemes amb l’experiència de comptar, es desenvolupen les habilitats implicades en les

operacions bàsiques, tal com es recull en la figura:

2.1 Els esquemes protoquantitatius

El primer coneixement quantitatiu que constitueix una de les bases més importants per al

posterior desenvolupament matemàtic s’adquireix per mitjà de tres esquemes proto-

quantitatius:

1) Un d’aquests esquemes s’anomena esquema protoquantitatiu de la comparació.

Gràcies a l’adquisició d’aquest esquema, la mainada pot anar disposant d’un seguit

de termes que expressen judicis de quantitat sense precisió numèrica, com més gran,

més petit, més o menys, la qual cosa permet decidir, per exemple, si un vas d’aigua

conté més quantitat que un altre o si una pilota és més gran que una altra. En aquest

sentit, mitjançant aquest esquema s’assignen etiquetes lingüístiques a la comparació de

grandàries.

2) El següent esquema definit per L.B. Resnick és l’esquema protoquantitatiu incre-

ment-decrement. Utilitzant aquest esquema, els infants de tres anys són capaços de

raonar sobre canvis en les quantitats quan se’ls afegeix o se’ls pren algun element.

Per exemple, un infant sap que si té certa quantitat de qualsevol cosa, posem dues

joguines, i n’aconsegueix una altra, en tindrà més que no pas abans. Així mateix, si li

prenen una joguina, en té menys o, si no canvia el nombre, en té igual quantitat, fins i

tot en el cas que es modifiqui la distribució espacial dels objectes.

Recompte

Operacions bàsiques

Esquemesprotoquantitatius


4

Aquest raonament indicaria alguna mena de comprensió bàsica de la conservació del nom-

bre, com s’observa en la tasca de la “sessió de màgia” desenvolupada per R. Gelman (1972,

citat per J.H. Flavell, 1984, de l’edició en castellà) amb nens i nenes d’educació infantil.

Tasca de la sessió de màgia de R. Gelman

En aquesta tasca, es presentaven als infants dues safates, cadascuna de les quals contenia una filera de ratolins i havien de designar quina safata era la guanyadora. Posteriorment, es cobrien les safates i es feien transformacions numèriques (es treia, per exemple, un ratolí de la filera guanyadora) o transfor-macions que no eren pertinents per a la quantitat (s’allargava o s’escurçava la filera guanyadora).

La mainada no parava esment a les transformacions no pertinents per a la quantitat (la safata guanyadora continuava sent la guanyadora). Això no obstant, se sorprenien moltíssim quan es destapaven les safates i no apareixia la guanyadora; quan se’ls preguntava què havia passat, deien que s’havia tret un ratolí de la safata guanyadora; i quan se’ls demanava com es podia arreglar, deien que afegint la figura que falta-va, un component sens dubte important per al posterior coneixement del nombre

3) Per acabar, l’esquema protoquantitatiu part-tot permet als preescolars acceptar

que qualsevol peça, per exemple un pastís, pot ser dividida en parts més petites i que,

si les tornem a ajuntar, donen lloc a la peça original. A més, poden raonar que quan

uneixen dues quantitats, obtenen una quantitat més gran. Així, almenys de manera

implícita, els infants comencen a conèixer la propietat additiva de les quantitats.

Poden saber, per exemple, que el tot és més gran que les parts i poden arribar a eme-

tre aquest tipus de judicis sense necessitat de tenir a la vista les quantitats (el pastís

i les seves parts). Tal com assenyala L.B. Resnick (1989), aquesta comprensió de les

relacions part-tot sembla que contradiu els plantejaments piagetians de la tasca de la

inclusió de classes.

En definitiva, malgrat els límits atribuïts als infants pel que fa al coneixement

quantitatiu, especialment des de la tradició piagetiana, els esquemes de raonament

protoquantitatius constitueixen un element bàsic per al desenvolupament

matemàtic posterior. Tanmateix, aquest coneixement, que podem anomenar

intuïtiu, no és suficient per a abordar tasques quantitatives (per exemple, saber

quantes joguines hi ha o en quantes peces es divideix un pastís), per la qual cosa

els infants necessiten utilitzar eines de quantificació més precises, com ara el

recompte.


5

2.2 El desenvolupament de les primeres destreses numèriques: el recompte

El recompte és una activitat que als ulls d’un adult pot semblar senzilla però, en realitat,

necessita integrar un seguit de tècniques. Per exemple, si volem determinar si un conjunt

de nou punts és més gran o més petit que un de vuit, ens caldrà dur a terme un seguit

d’accions que van des de generar els noms dels números en l’ordre adequat o aplicar les

etiquetes de la sèrie numèrica (un, dos, tres...) una per una a cada objecte d’un conjunt,

fins a comprendre que la posició d’un número en la seqüència en defineix la magnitud,

de tal forma que es pugui establir que el nou ve després del vuit i, per consegüent, és

més gran.

A.J. Baroody afirma que el recompte constitueix “un repte intel·lectual imponent per als infants de tres anys d’edat. Quan arribin als cinc, la majoria dominaran aquestes tècniques bàsiques i estaran llestos per a afrontar nous desafiaments”.

Arthur J. Baroody (1987).

Per tant, des del punt de vista cognitiu, aquesta no és una tasca senzilla. Ara bé, quin

curs segueix el desenvolupament d’aquesta habilitat? No hi ha una resposta fàcil per a

aquesta qüestió. Alguns creuen en l’existència d’un seguit de principis (coneixement

conceptual del recompte) que permeten una progressiva sofisticació del recompte. Des

d’aquest punt de vista, hi hauria un coneixement conceptual del recompte que precedeix i,

per tant, governa l’adquisició d’aquesta habilitat.

D’altres pensen que en un primer moment el recompte és un aprenentatge memorístic

i mancat de sentit, especialment de la seqüència numèrica estàndard, per anar dotant, a

poc a poc, aquestes rutines de continguts conceptuals (D.J. Briars, R.S. Siegler, 1984; A.J.

Baroody, H.P. Ginsburg, 1986; C. Sophian, 1987). En aquest cas, l’ús del procediment

estàndard del recompte (recitar els números) precedeix el coneixement dels principis

subjacents.

No és aquest el lloc per a determinar quina d’aquestes dues posicions és la correcta, es-

pecialment perquè el debat encara resta obert. No obstant això, i independentment de si

el recompte precedeix o està induït pel coneixement dels principis, el que sí que sembla

evident és que una comprensió plena del nombre per a tasques de quantificació passa


pel desenvolupament del coneixement dels principis sobre el coneixement conceptual

del recompte.

Són els principis de correspondència d’un a un, d’ordre estable, de cardinalitat,

d’abstracció i d’irrellevància (R. Gelman i C.R. Gallistel, 1978):

1) El principi de correspondència d’un a un implica etiquetar cada element d’un con-

junt només una vegada. Comporta, per tant, la coordinació de dos processos: partició i

etiquetació, de tal manera que els infants, mitjançant la partició, van controlant els ele-

ments comptats i els que falten per comptar, tant si és separant-los com assenyalant-

los, alhora que disposen d’un seguit d’etiquetes, de manera que cadascuna correspon

a un objecte del conjunt comptat.

És interessant fer notar que les etiquetes utilitzades no han de seguir una seqüència

correcta, fins i tot es poden repetir etiquetes dins de la seqüència; allò que importa és

assenyalar-los una única vegada mentre se’ls assigna una etiqueta, com en el gràfic

següent:

2) El principi d’ordre estable estipula que per a comptar és imprescindible l’establiment

d’una seqüència coherent, per bé que, com indiquen R. Gelman i C.R Gallistel (1978),

aquest principi es pot aplicar sense necessitat d’haver d’utilitzar la seqüència numèrica

convencional, ja que es pot emprar una seqüència pròpia no convencional (com pot

ser la de l’exemple anterior), però sempre de manera coherent.

3) El principi de cardinalitat estableix que la darrera etiqueta de la seqüència numèrica

representa el cardinal del conjunt, és a dir, la quantitat d’elements que conté el con-

junt. R. Gelman i C.R. Gallistel (1978) consideren que els infants comprenen aquest

principi si repeteixen o posen un èmfasi especial en el darrer element de la seqüència

de recompte.

6

Assenyala

Etiqueta 1 2 4 6 7


7

4) El principi d’abstracció determina que els principis anteriors es poden aplicar a qual-

sevol tipus de conjunt, tant amb elements homogenis com amb elements heterogenis

(objectes de diferent color o de diferent entitat física).

5) Per acabar, el principi d’irrellevància indica que l’ordre pel qual es comenci a enume-

rar els elements és irrellevant per a la seva designació cardinal. Així, es pot comptar

d’esquerra a dreta, de dreta a esquerra o del centre als extrems, sense que això afecti

el resultat del recompte.

Els principis de correspondència, d’estabilitat de l’ordre i de cardinalitat establi-

rien les regles processuals sobre com comptar un conjunt d’objectes. A partir

de les seves experiències amb el recompte, l’infant va adquirint la seqüència

numèrica convencional, i això li permetrà establir quants elements té un conjunt,

allò que es coneix amb el nom de comptatge.

L’abstracció i la irrellevància de l’ordre serveixen per a generalitzar i flexibilitzar

el rang d’aplicació dels principis anteriors, allò que d’altres han anomenat carac-

terístiques no essencials del recompte (D.J. Briars i R.S. Siegler, 1984).

Per exemple, és comú que un infant consideri com a característica essencial el fet de

comptar d’esquerra a dreta, de tal forma que, quan es comença a comptar pel centre, ho

considera un error. Això significa que no ha adquirit el principi d’irrellevància.

Així que els infants han adquirit el coneixement conceptual del recompte, i integren

aquest coneixement amb els esquemes protoquantitatius, com es recull en la figura del

subapartat 2.1, utilitzen aquesta habilitat per a encarar-se amb tasques més complexes,

com poden ser les operacions bàsiques.

2.3 Estratègies de recompte i operacions bàsiques

L’experiència de comptar, juntament amb els esquemes protoquantitatius, permeten a

la mainada descobrir què fa canviar un nombre. Així, a partir de l’esquema increment-

decrement unit al seu coneixement de l’enumeració, els nens i les nenes poden raonar

que, si afegim o traiem objectes en un conjunt, el seu cardinal varia. D’aquesta manera


van descobrint els conceptes més elementals relacionats amb les operacions.

A partir d’aquestes experiències, els infants inventen estratègies de recompte molt ele-

mentals que els permeten resoldre operacions d’addició i de subtracció senzilles. Amb

la pràctica, aquestes estratègies es van fent més sofisticades fins que desapareixen en

favor de la recuperació immediata de la solució de les operacions des de la memòria. En

les línies següents, descriurem breument aquestes estratègies que han estat documentades

en nombrosos estudis (T.P. Carpenter i J.M. Moser, 1984; E. de Corte i L. Verschaffel, 1987;

K.C. Fuson, 1988, 1992; R.S. Siegler i E. Jen-kins, 1989; entre d’altres) i que recollim en

l’esquema següent:

L’estratègia més elemental per a la suma s’anomena comptar-ho tot, o model sum en la

terminologia clàssica de G.J. Groen i J.M. Parkman (1972), i els infants la fan servir per a

representar els dos sumands amb dos conjunts d’objectes que prèviament han comptat

per a formar-los. Aquests objectes, que també poden ser els dits, són comptats de cap i

de nou per a trobar el resultat total.

Una altra estratègia més sofisticada que l’anterior consisteix a comptar a partir del pri-

mer dels sumands. En aquesta no es compta el primer sumand, sinó que el recompte

comença amb el seu cardinal, i se li afegeix el segon. És una estratègia més sofisticada

que l’anterior, ja que com assenyalen W. Secada, K.C. Fuson i J. Hall (1983) i K.C. Fuson

8

1. Comptar objectes (dits) per a representar el primer sumand.

Diferents estratègies de recompte que s’utilitzen per a sumar 5 + 3

Estratègia

Comptar-ho tot

Comptar a partirdel primer

Procediment Acció

2. Comptar objectes per a representar el segon sumand.

3. Comptar tots els objectes per a determinar la suma.

1. Partir del cardinal del primer sumand.

2. Comptar el segon seguint la sèrie des del cardinal.

Fets coneguts 1. Recuperació immediata del resultat. “5 més 3 és igual a 8”

“6 7 8”

“5”

“1 2 3 4 5 6 7 8”

“1 2 3”

“1 2 3 4 5”


9

(1992) calen tres subhabilitats específiques per a la transició d’una estratègia a l’altra:

- ser capaç de comptar a partir de qualsevol punt de la seqüència numèrica,

- saber convertir el número cardinal del primer conjunt en un número més amb què

prosseguir el recompte, i

- poder prosseguir el recompte en passar al segon sumand.

Una estratègia semblant a aquesta consisteix a comptar a partir del més gran (model

min en G.J. Groen i J.M. Parkman, 1972), en què el recompte comença amb el cardinal del

sumand més gran; per exemple, per a sumar 3 + 5, l’infant faria “5; 6, 7, 8”.

Finalment, i des de la seva experiència amb les operacions, els infants van emmagatzemant en

la memòria fets coneguts, de tal manera que recuperen directament la solució de l’operació

sense fer ús de cap recompte. Aquesta recuperació es pot fer a partir d’operacions cone-

gudes que utilitzen els números que apareixen en l’operació enunciada (per exemple,

6 + 7 = 13), i operacions derivades que utilitzen i posen en relació el record d’altres

operacions que no són exactament iguals a l’enunciat (6 + 6 = 12, + 1 = 13).

Vegem un resum de les diferents estratègies utilitzades per a restar:

1. Comptar objectes (dits) per a representar el primer minuend.

Diferents estratègies de recompte que s’utilitzen per a restar 5 - 3

Estratègia

Separació

Retrorecompte

Procediment Acció

2. Treure un nombre d’objectes igual al subtrahend.

3. Comptar els elements restants per a determinar la resposta.

1. Partir del cardinal del minuend.

2. Comptar cap enrere les unitats del subtrahend.

3. Donar el darrer número comptat com a resposta. “2”

“4 3 2”

“5”

“1 2”

“1 2 3”

“1 2 3 4 5”


Pel que fa a la subtracció, l’estratègia més elemental és la separació en què l’infant forma

un conjunt igual al número més gran de l’operació, per separar després tants elements

com marca el número petit i comptar els que li han quedat.

El retrorecompte és una estratègia més complexa que l’anterior, ja que implica que

l’infant sap comptar regressivament, que és més difícil que comptar progressivament.

Consisteix a comptar cap enrere tantes unitats com indiqui el subtrahend, per a la qual

cosa ha de dur el compte de les unitats que va traient, operació que pot fer amb els dits

(per exemple: 5 - 3 és 5; 4 [en trec una], 3 [en trec dues], 2 [en trec tres]; la resposta és

dues).

Aquesta estratègia és més utilitzada quan el subtrahend és petit però, a mesura que hi

intervenen números més grans, els infants han d’aprendre o descobrir altres estratègies,

com ara el compte progressiu, en què l’infant comença el compte des del subtrahend fins

al minuend o número més gran, i obté la resposta després de comptar els numerals que ha

utilitzat en el recompte (per exemple: 9 - 7 és 7; 8 [és un], 9 [és dos]; la resposta és dos).

Per acabar, i igual que en les operacions d’addició, la pràctica amb les operacions permet

que els infants recuperin directament des de la memòria fets coneguts per a donar la res-

posta immediatament.

Com es pot observar, hi ha un ampli ventall d’estratègies que els nens i nenes poden posar

en funcionament. Alguns autors fins i tot n’han descrit algunes més que es poden intercalar

entre les que hem presentat. Evidentment, un infant no posseeix alhora totes les estra-

tègies (pensem en la despesa de temps i recursos que suposaria per a un infant haver

d’escollir-ne una entre totes cada vegada que s’encarés amb una operació que, a més,

10

Compteprogressiu

1. Partir del cardinal del subtrahend.

2. Comptar cap endavant fins a arribar al minuend.

3. Respondre amb les unitats comptades.

1. Recuperació immediata del resultat.

Fets coneguts

“4 5”

“3”

“2”

“5 menys 3 és igual a 2”


11

encara no domina). És possible que, fins i tot, algunes estratègies mai no siguin utilitzades

per un nen determinat.

Malgrat això, el que sí que sembla clar és que els nens i les nenes acostumen

a posseir al mateix temps diverses estratègies disponibles per a l’addició o per

a la subtracció. A més, unes estratègies són evolutivament més madures que

d’altres (generalment, d’acord amb l’ordre en què les hem exposat tant per a

l’addició com per a la subtracció).

Aleshores, de què depèn la selecció d’una estratègia d’entre les que es posseeixen en un

determinat moment? Per a contestar aquesta pregunta són possibles diverses respostes

que, en bona part, tindran a veure amb les diferències individuals de cada infant o, fins i

tot, amb les circumstàncies variables en un mateix.

A més, les estratègies difereixen en l’exactitud, en la quantitat de temps que necessiten

per a executar-se, en les demandes cognitives o en el rang de problemes a què es poden

aplicar.

Una possibilitat ha estat apuntada per R.S. Siegler (1986, 1987, 1988; R.S. Siegler i J. Shra-

ger, 1984) en el seu model d’elecció d’estratègies. D’acord amb aquest autor, l’elecció

d’una estratègia depèn de dos paràmetres:

a) la força de les associacions entre l’operació que s’ha de fer (per exemple: 5 + 3) i els

candidats a resposta (per exemple: 8, 7, 9, etc.);

b) un criteri de confiança, que representa un estàndard intern amb què es mesura la

confiança en l’exactitud de la resposta recuperada.

Quan un candidat a resposta té una força associativa prou alta per excedir el criteri de

confiança, aleshores aquesta resposta es recupera directament i ràpidament. Si no

s’excedeix aquest criteri, es passa a la utilització d’estratègies de suport basades en el

recompte.


12

Dins d’aquest context, i com es recull en la figura anterior, l’elecció d’una estratègia

dependrà de la disponibilitat de fets numèrics en la memòria, ja que, pels escassos

recursos cognitius que consumeix, aquesta sol ser l’estratègia que s’intenta en primer

lloc.

Això no obstant, aquesta disponibilitat de fets en la memòria depèn, al seu torn, de les

estratègies de recompte, ja que l’execució d’una estratègia de recompte comporta el

desenvolupament d’una associació entre els números del problema i la resposta generada.

En aquest sentit, amb cada execució d’una estratègia de recompte s’incrementa la

probabilitat de recuperació directa de fets per a posteriors solucions d’aquest problema.

En resum, i per tancar aquest subapartat dedicat al desenvolupament, po-

dem dir que el coneixement de les operacions bàsiques sorgeix a partir del

coneixement matemàtic informal que els nens i les nenes adquireixen abans

de l’ensenyament formal de les matemàtiques.

Recuperacióde la resposta

Recerca del’associació en

la memòria8, 7, 9

Excedeix el criteride confiança?

Estratègia derecompte

Reforç de l’associació

Resposta

Resposta

Sí

No

5 + 3


13

Des d’aquesta integració, la mainada va descobrint diferents estratègies cada vegada

més sofisticades que utilitza per a resoldre operacions d’addició i de subtracció.

Aquesta adquisició possiblement no és una qüestió de tot o res, tal com es

defensa des de les posicions clàssiques piagetianes on el coneixement mate-

màtic no apareix fins a l’estadi de les operacions concretes, sinó que evolucio-

na lentament com a resultat directe d’integrar un seguit d’esquemes proto-

quantitatius a l’experiència de comptar.


14

3. QUÈ ÉS EL QUE NO FAN BÉ ELS ALUMNES AMB DIFICULTATS

En aquest subapartat, i considerant el marc teòric del subapartat anterior, ens centrarem

en l’estudi dels alumnes i les alumnes que presenten dificultats en l’execució de les

operacions, basant-nos en treballs que han comparat alumnes amb dificultats en les

matemàtiques i alumnes sense dificultats.

A més, considerarem les possibles explicacions d’aquestes dificultats. Per acabar, plante-

jarem la possibilitat d’establir diferents subtipus de dificultats de càlcul.

3.1 Dificultats en les operacions bàsiques

Els estudis que han comparat les habilitats de càlcul d’alumnes amb dificultats en les

matemàtiques presenten dos tipus de dèficits funcionals bàsics: dèficits procedimentals

i dèficits en la recuperació de fets (D.C. Geary, 1990, 1993; D.C. Geary, S.C. Brown i V.A.

Samaranayake, 1991; S.R. Goldman, J.W. Pellegrino i D.L. Mertz, 1988; J.R. Kirby i L.D. Becker,

1988), tal com es recull en el quadre següent:

Pel que fa als dèficits procedimentals, en el quadre es recullen les característiques que

els defineixen. Els alumnes amb dificultats en les matemàtiques tendeixen a presentar

procediments aritmètics (estratègies de recompte) evolutivament immadurs. Per exem-

1. Procedimental

Dèficit Característiques Diagnòstic

• Estratègies menys madures

• Errors de recompte

• Execució lenta

Possibles retards en el desenvolupament

2. Recuperació de fets • Representació atípica

• Errors de recuperació

• Temps de resposta no sistemàtics

Possibles diferències en el desenvolupament


15

ple, utilitzen molt més l’estratègia “comptar-ho tot” o “separació”, en comparació amb

els alumnes sense dificultats, que tendeixen a utilitzar estratègies més madures com

“comptar a partir del més gran”. A més, fan errors freqüents de recompte verbal quan

utilitzen les estratègies de recompte. I, quan executen estratègies, mostren una velocitat

de recompte més lenta que els alumnes sense dificultats.

Alguns treballs han considerat que per a molts d’aquests infants aquestes diferències po-

den desaparèixer amb el temps (solen abandonar estratègies menys madures com ara el

recompte total en favor del recompte a partir d’un dels sumands), per bé que la velocitat

a l’hora de comptar continuï sent més lenta que la dels alumnes sense dificultats.

Això ha portat alguns autors (per exemple: S.R. Goldman i altres, 1988) a

afirmar que les habilitats procedimentals dels alumnes amb dificultats en les

matemàtiques poden arribar a aproximar-se a les dels alumnes sense dificultats,

és a dir, hi hauria un retard en el seu desenvolupament.

Respecte als dèficits en la recuperació de fets, en el quadre se’n resumeixen les caracterís-

tiques. Els alumnes amb dificultats en les matemàtiques mostren una atípica representació

de fets aritmètics en la memòria semàntica a llarg termini, de manera que només tenen em-

magatzemats uns pocs fets que poden recuperar directament. A més, quan recuperen

aquests pocs fets emmagatzemats, hi ha una alta proporció d’errors en comparació amb

la dels alumnes normals, i els temps de resposta en la recuperació són molt variables i

gens sistemàtics.

Per exemple, els infants sense dificultats tarden menys de dos segons a recuperar la

resposta, mentre que en els infants amb dificultats en les matemàtiques la variabilitat és

gran i, cada vegada que recuperen una res-posta, poden tardar un segon, dos, quatre, o

més i tot.

Aquestes dificultats se solen mantenir en el temps, és a dir, no hi ha canvis

en el nombre de fets que poden recuperar de la memòria, ni en el temps

d’execució de la recuperació, la qual cosa pot suggerir que no hi ha un retard

en el desenvolupament, sinó més aviat una diferència en el desenvolupament

respecte als alumnes que no presenten dificultats.


16

3.2 Explicació de les dificultats

En aquest apartat ens centrarem en les possibles explicacions que poden contribuir a

comprendre en què consisteixen els dèficits procedimentals i de recuperació de fets en

els infants amb dificultats en les matemàtiques.

D’una banda, i pel que fa a l’explicació dels dèficits de tipus procedimental, alguns treballs

han plantejat la possibilitat que les estratègies de recompte menys madures i els errors en

l’ús d’aquestes estratègies que presenten els infants amb dificultats en les matemàtiques

es relacionin amb el desenvolupament del coneixement conceptual de comptar. Concre-

tament, es proposa la hipòtesi que un coneixement del recompte evolutivament imma-

dur contribueix a les pobres habilitats procedimentals dels infants amb dificultats en les

matemàtiques.

D.C. Geary (1992) afirma que si els alumnes amb dificultats en les matemàtiques no tenen

un coneixement conceptual correcte del recompte no poden “adonar-se” dels errors que

fan quan utilitzen estratègies de recompte per a resoldre operacions, com s’ha considerat

que succeeix en el cas dels alumnes sense dificultats.

En aquest sentit, l’alumnat amb dificultats en les matemàtiques manifesta un coneixement

menys madur de les característiques essencials i no essencials del recompte. Per exemple,

si se’ls presenta una tasca de detecció d’errors en què han de decidir si el recompte és co-

rrecte o no, hi ha un elevat percentatge de fracàs respecte a la resta d’alumnes a l’hora

de detectar errors que violen alguns dels principis del recompte, com ara el principi de

correspondència; fins i tot alguns pseudoerrors, com ara començar a comptar per la part

central d’una filera d’objectes sense ometre’n o repetir-ne cap (relacionat amb el principi

d’irrellevància), són considerats com autèntics errors de recompte.

Per tant, es veu reforçat l’argument que, per a molts alumnes amb dificultats en les ma-

temàtiques, un retard evolutiu en el coneixement conceptual del recompte contribueix a

potenciar les dificultats procedimentals.

Pel que fa a l’explicació dels dèficits en la recuperació de fets, algunes investigacions

apunten la possibilitat que aquests dèficits es relacionen amb la disponibilitat de recursos


17

de la memòria de treball. Per exemple, L. S. Siegel i E. B. Ryan (1989) han comprovat que

els infants amb dificultats en les matemàtiques tenen problemes seriosos per a mante-

nir informació numèrica en la memòria de treball, la qual cosa ha dut a considerar que

aquests escassos recursos explicarien la dificultat que tenen els alumnes amb dificultats

en les matemàtiques per a representar i recuperar fets numèrics de la memòria a llarg

termini (D.C. Geary, 1993; D.C. Geary i altres, 1991).

L’argument que s’ha seguit per fer aquesta afirmació es basa en el plantejament de R.S.

Siegler (1986) sobre el desenvolupament de la representació de fets en la memòria, se-

gons el qual l’execució d’estratègies de recompte permet reforçar les associacions entre

les operacions i la resposta. Perquè aquesta associació s’efectuï, l’operació i la seva res-

posta han d’estar activades simultàniament en la memòria de treball.

No obstant això, sabem que els infants amb dificultats en les matemàtiques són més lents

i fan més errors executant estratègies de recompte; i com que la quantitat de números

que es poden activar en la memòria de treball es relaciona amb la velocitat a l’hora de

comptar, si aquesta és lenta hi ha més probabilitat de decaïment de les representacions

de la memòria abans de completar el recompte. D’aquesta manera, s’impediria que es

creés l’associació entre la resposta generada pel recompte i la representació original de

l’operació (D.C. Geary i altres, 1991).

En la figura següent es recull l’explicació de les dificultats de càlcul que presenten els

alumnes amb dificultats en les matemàtiques.

Font: adaptat de D.C. Geary, 1993.

Memòria de treball

Habilitats

procedimentals

• Coneixement conceptual• Recompte

Recuperació de fets

Execució


En la figura es recull, d’una banda, la influència de la comprensió immadura del recompte

en les dificultats procedimentals que presenten molts infants amb dificultats en les mate-

màtiques. D’altra banda, la influència de la memòria de treball en els dèficits de recuperació

de fets.

Hi figura també una relació entre les habilitats procedimentals i la recuperació de fets. En

realitat, aquesta relació explica la influència de la memòria de treball, ja que els dèficits pro-

cedimentals (velocitat lenta en l’execució d’estratègies de recompte i elevada freqüència

d’errors de còmput) impedeixen associar l’operació a la resposta.

En resum, des dels estudis que hem revisat se suggereixen dos dèficits funcio-

nals diferents en els infants amb dificultats en les matemàtiques: procedimentals

i de recuperació de fets de la memòria. Les dificultats procedimentals sembla

que es relacionen amb un coneixement immadur del recompte i és probable

que, en relació amb els infants sense problemes, en certs casos aquestes difi-

cultats es considerin un retard en el desenvolupament.

Els dèficits relacionats amb la recuperació de fets, en canvi, sembla que

persisteixen durant el desenvolupament i és probable que es relacionin amb

la velocitat i els errors en l’execució d’estratègies de còmput, així com amb la

disponibilitat de recursos de la memòria de treball.

3.3 Subtipus de dificultats en les matemàtiques

Alguns estudis elaborats des de la neuropsicologia cognitiva també plante-gen aquesta

distinció entre dèficits procedimentals i de recuperació de fets.

Un estudi neuropsicològic que té especial interès és el dut a terme per Christine Temple

en el camp de les discapacitats de càlcul evolutives (C. Temple, 1991), atès l’escàs nombre

de treballs que hi ha en aquest tipus de casos.

Estudi sobre les discapacitats de càlcul evolutives

C. Temple (1991) aporta dos casos de discapacitat de càlcul evolutiva en adolescents que il·lustren la distinció entre dificultats procedimentals i de recuperació. Així, en un dels casos, un noi de disset anys,

18


19

amb un coeficient intel·lectual dins de la normalitat, una memòria a curt termini també normal, així com la comprensió del vocabulari i la lectura, mostrava problemes continus amb l’aritmètica, malgrat haver tingut l’entrenament i l’experiència educativa perquè no fos així.

Les dificultats es trobaven especialment en els procediments aritmètics, sense mostrar aquests problemes en altres àrees de la competència numèrica. Així, el processament numèric en la lectura de números i en els judicis de magnitud era completament normal. En el sistema de càlcul presentava un desenvolupament normal en el record de fets però, això no obstant, tenia una dificultat selectiva amb els procediments arit-mètics quan s’encarava amb operacions multidígits, especialment en la subtracció, la multiplicació i la divisió.

Els errors no eren completament aleatoris, ja que, principalment, incloïa passos inadequats en una operació (que podien ser apropiats en una altra operació diferent) o executava passos incorrectes quan manipulava números d’una columna a una altra.

Alteració dels sistemes de càlcul

En contrast amb l’anterior, C. Temple descriu el cas d’una estudiant d’infermeria de dinou anys sense cap alteració neurològica coneguda. El seu processament numèric era completament normal (lectura i escriptura de números i judicis de magnitud), però mostrava un sistema de càlcul selectivament alterat.

Així, els procediments aritmètics els executava sense cap dificultat, llevat d’uns pocs errors en la mul-tiplicació escrita, motivats principalment pels problemes que presentava en la recuperació de fets multiplicatius, que es trobava molt per sota del nivell normal.

De fet, aquests pocs errors en la multiplicació eren a causa que el procediment li resultava molt laboriós ja que, quan topava amb algun fet que no coneixia o del qual no esta-va segura (per exemple: 7 x 8), utilitzava l’estratègia de l’addició repetida (escrivia un 7 i afegia 7 per fer 14, 7 per fer 21, etc.). Però quan se li demanava que expliqués els passos per fer una multiplicació, ho feia sense cap problema.

En aquest sentit, aquest cas no presenta dificultats en els procediments, però sí en la recuperació de fets, especialment els no inclosos en les taules de multiplicació.

De l’anàlisi d’aquests casos, se’n podria establir que els processos implicats en

cadascun d’aquests components (procedimental/recuperació de fets) poden

ser relativament independents o incloure diferents subsistemes modulars.

Aquesta consideració ha propiciat que alguns autors plantegin diferents subtipus de difi-

cultats en les matemàtiques. En aquest sentit, D.C. Geary (1993) proposa una taxonomia

temptativa en què inclou dos subtipus generals:


1) L’un es relacionaria amb les dificultats en la memorització i en la recuperació de fets,

per bé que no és una qüestió de tot o res, atès que alguns infants amb dificultats en

les matemàtiques poden recuperar certs fets de la memòria a llarg termini, però mostren

altres característiques d’execució que els diferencien dels altres infants, com ara uns

temps de resolució poc sistemàtics.

2) L’altre subtipus inclouria la utilització de procediments aritmètics evolutivament

immadurs, retard en l’adquisició de conceptes procedimentals bàsics i errors fre-

qüents en l’execució de procediments immadurs, encara que no queda del tot clar si

aquestes dificultats són reflex d’un retard en el desenvolupament (D.C. Geary i altres,

1991) o són dificultats reals que persisteixen en l’aprenentatge procedimental (C. Tem-

ple, 1991).

De qualsevol manera, i tal com ho planteja el mateix D.C. Geary (1993), aquesta classi-

ficació és temptativa, ja que, malgrat la revisió que hem presentat, es necessita un cos

d’investigació més gran per a validar aquests subtipus.

20


21

4. EL PROBLEMA DE L’AVALUACIÓ

D’acord amb el marc teòric que hem proposat, l’objectiu de l’avaluació seria descriure

què és el que fa i no fa correctament un alumne, és a dir, els processos que poden estar

alterats quan afronta tasques de càlcul. En aquest sentit, l’avaluació hauria d’indicar si les

dificultats que presenta un alumne es troben en la recuperació de fets i/o en les estratègies

de recompte per a executar operacions (el grau de maduresa i el grau d’exactitud).

En el cas de trobar-se en les estratègies de recompte, també seria convenient avaluar fins

a quin punt el coneixement conceptual del recompte és adequat, atesa la seva influència

en els dèficits procedimentals.

Com que no hi ha al mercat cap test que avaluï aquest tipus de coneixement, plantejarem

l’avaluació mitjançant procediments informals.

4.1 Avaluació del coneixement conceptual del recompte

Amb la simple observació dels alumnes durant les tasques de recompte, és probable que

ens adonem del funcionament d’aquesta activitat. Malgrat això, s’han utilitzat un seguit de

tasques experimentals per a comprovar els principis fonamentals relacionats amb el re-

compte.

Per exemple, V. Bermejo i M.O. Lago (1991) utilitzen un seguit de tasques recollides de

la bibliografia experimental per a avaluar el coneixement que tenen els infants quant al

valor funcional del recompte:

a) Una de les tasques que fan servir avalua la correspondència, i consisteix a inferir el

cardinal d’un conjunt a partir de la relació quantitativa d’equivalència entre dos con-

junts després del recompte previ d’un dels dos.

Per a fer-ho, es presenten dues fileres de fitxes de dos colors (per exemple, vermell

i blau) i es demana a l’infant que comprovi si hi ha alguna fitxa de color vermell que

no tingui la fitxa blava corresponent. Un cop hagi arribat a la conclusió que són equi-

valents, se li demana que compti la filera de cercles vermells, tot preguntant-li per la

cardinalitat.


22

Per acabar, se li pregunta pel nombre de fitxes blaves. La tasca és correcta quan es

respon amb el cardinal de la filera comptada, sense necessitat de comptar les fitxes

blaves.

b) Una altra tasca que presenten s’utilitza per a avaluar el principi d’ordre estable.

Primerament, es componen dues fileres de cercles del mateix color disposades en corres-

pondència d’un per un, entre les quals hi ha una diferència quantitativa de tres elements.

La tasca de l’infant consisteix a comptar, per començar, la filera gran i a dir-ne la cardina-

litat i, posteriorment, a comptar la filera petita i a establir-ne també el cardinal.

A continuació, es repeteixen els cardinals que ha obtingut mentre s’assenyalen les

fileres corresponents, i se li demana que creï una nova filera, més petita que la del

cardinal major i més gran que la del cardinal menor (independentment que hagi assolit

o no el resultat correcte). És una tasca utilitzada comunament en la comparació de

magnituds.

c) Finalment, proposen una tasca per a avaluar la cardinalitat, en què presenten a

l’infant una filera d’elements i li demanen que compti la filera i n’indiqui el cardinal. Un

cop fet això, se li repeteix el cardinal obtingut i se li demana que construeixi un conjunt

equivalent a aquest cardinal i que li afegeixi x elements més. La tasca és correcta si les

respostes ofereixen la quantitat exacta indicada en les instruccions.

Gràcies a aquestes tasques es pot establir fins a quin punt un alumne compta amb les

regles processuals sobre com comptar un conjunt d’objectes, és a dir, si té el coneixement

dels principis relacionats amb el procés de recompte.

Un altre plantejament diferent per a l’avaluació del coneixement de recompte es basa en

el paradigma de la detecció d’errors (R. Gelman i E. Meck, 1983, 1986; D.J. Briars i R.S. Sie-

gler, 1984). En aquest cas, la tasca de la criatura consisteix a jutjar correcte o incorrecte

el recompte que fa un titella. Per exemple, en el treball de D.J. Briars i R.S.Siegler (1984),

el titella comet diversos tipus d’errors i pseudoerrors que violen algunes de les caracterís-

tiques essencials i no essencials del recompte, tal com es recull en la figura següent:


23

Com es pot apreciar en la figura, alguns errors violen característiques essencials del

recompte: ometre un numeral tot assenyalant l’objecte; saltar-se un numeral sense

assenyalar l’objecte; etiquetar un lloc on no hi ha cap element o utilitzar múltiples etiquetes

per a un objecte assenyalat.

Molts alumnes que no són capaços de percebre aquestes violacions de les caracte-

rístiques essencials del recompte tendeixen a mostrar errors de càlcul en l’execució

d’operacions.

D’altra banda, els pseudoerrors no són errors, ja que violen característiques no essencials

del recompte. Són, per exemple:

- el recompte en direcció contrària a la que l’alumna o alumne utilitza habitualment;

- comptar primer els elements del mateix color (adjacència);

- començar el recompte per la meitat de la filera;

- el doble assenyalament d’un dels objectes, però assignant-li un únic numeral.

Amb aquestes tasques podem fer-nos una idea de fins a quin punt l’infant que presenta

dificultats en les operacions té un coneixement conceptual adequat del recompte.

Paraula omesa

1 2

Saltar objecte Paraula extra Doble recompteErrors

1 2 1 2 3 4 1 2 3 4

Assenyalament

Etiquetació

Direcció inversa

3 2 1

Adjacència Començar pel mig Doble assenyalament

Pseudoerrors

1 2 3

Assenyalament

Etiquetació 1 3 2 3 1 2


D’aquesta manera, podem esbrinar si els errors que es fan en les operacions tenen ben

establerts els principis sobre el recompte, aspecte que tindrà un interès especial a l’hora

de la intervenció.

4.2 Avaluació de les estratègies de recompte

Pel que fa a l’avaluació de les estratègies de recompte utilitzades en l’execució

d’operacions bàsiques, la simple observació directa del comportament dels infants també

pot ser suficient per a comprovar-ne el grau de maduresa. Això no obstant, pot succeir

que l’observació no ens proporcioni gaire informació.

En aquest cas, pot servir la simple utilització d’objectes concrets o bé un senzill procedi-

ment ideat per W. Secada, K.C. Fuson i J. Hall (1983), que consisteix a utilitzar un seguit de

targetes en què es representen fileres de punts i d’altres amb el cardinal d’aquests con-

junts, tal com es recull en la figura següent:

La tasca consisteix a ensenyar a l’alumne la primera targeta amb punts, tot indicant “aquí

tenim vuit punts” i, alhora, mostrar-li la targeta amb el cardinal corresponent. Posterior-

ment, es gira la targeta amb els punts i se li mostren dues targetes més (l’una amb punts

i l’altra amb el cardinal). Aleshores, li demanem que dugui a terme l’operació correspo-

nent, fent-li explícita la possibilitat de tornar a girar la targeta oculta.

Els nens i les nenes que utilitzin estratègies menys madures (per exemple, comptar-ho

tot) necessitaran girar la targeta, mentre que els qui utilitzin estratègies més sofisticades, no.

24

8 5

sumand no visible

8

* * * * * * * * * * * * *

5

* * * * *


25

Amb aquesta senzilla tasca podem observar el grau de maduresa de les diferents estratègies

que fa servir l’alumnat quan s’encara amb les operacions. Tot i que, insistim, l’experiència

ens diu que la simple observació, juntament amb les explicacions que puguin donar els

infants sobre allò que fan, pot ser suficient.

En definitiva, l’avaluació ens ha de ser útil per a establir quins són els punts

forts i els punts febles dels alumnes amb dificultats en les matemàtiques. Te-

nint-ho en compte, la intervenció s’ha de centrar a recuperar aquells processos

fonamentals per a executar operacions que estiguin alterats (tant perquè no hi

ha un coneixement conceptual adequat del recompte, com perquè no s’utilitzen

les estratègies més apropiades o s’utilitzen incorrectament).

A continuació exposem un exemple real del que s’ha explicat:

Un exemple concret: el cas de J.M.

J.M. va ser avaluat en el primer trimestre del tercer curs de primària de les seves habilitats re-

lacionades amb el càlcul. Es va utilitzar una prova aplicada per ordinador en la qual sortia a

la pantalla la suma de cadascuna de les combinacions possibles de dos dígits (per exemple,

5 + 9) col·locades en vertical.

La tasca del nen consistia a donar tan de pressa com li fos possible el resultat per un

micròfon que recollia el temps de resposta. A més, l’examinador observava el tipus

d’estratègia que utilitzava el nen per a cada operació, i quan no n’estava segur li preguntava

directament què havia fet per a respondre (generalment els infants no tenen dificultats a ex-

plicar com arriben al resultat).

Això darrer no va ser necessari, ja que sempre utilitzava l’estratègia de comptar amb els

dits a partir del primer sumand, independentment de la mida dels sumands, és a dir, feia

el mateix per a 3 + 1 que per a 6 + 8 o per a 1 + 6: anomenava el primer sumand i anava

afegint-hi dits fins a completar el segon sumand, amb l’agreujant que de vegades (segons

la mida dels sumands) arribava a un resultat incorrecte, generalment el resultat –1 (per

exemple, 7 + 8 = 14).


26

Unit a això, la seva velocitat de recompte era significativament més lenta que la que

mostraven els companys i les companyes de la seva classe, la qual cosa implicava temps

de resposta molt més lents.

Atesa la fixació de J.M. a utilitzar sempre la mateixa estratègia, vam decidir avaluar el seu

coneixement del recompte a través del paradigma de detecció d’errors. El seu coneixe-

ment era relativament bo, tret dels pseudoerrors, en els quals mostrava dubtes a l’hora

de considerar-los errors autèntics.

En l’entrevista amb la tutora també vam comprovar que en el curs anterior van ensen-

yar a J.M. a operar explícitament amb la mecànica de l’estratègia de comptar a partir del

primer, fet que ens va portar a suposar, atesos els errors que cometia, que el seu apre-

nentatge havia estat més memorístic que significatiu, sense una comprensió real de la

utilització de l’estratègia, i molt rígid, ja que el feia servir amb qualsevol operació, inde-

pendentment de la mida dels sumands.

Pel que fa a la resta, la seva estratègia era constant al llarg de les diferents operacions

amb minuend d’un dígit, i fonamentalment utilitzava la separació. Una dada interessant

que vam observar és que J.M. intentava utilitzar una estratègia diferent en les operacions

multidígit (resta portant-ne), ja que intentava portar el compte progressiu, és a dir, comp-

tar des del subtrahend fins al minuend.

En l’entrevista amb la tutora també vam comprovar que aquesta estratègia s’ensenyava

explícitament i directament en el context de la resta portant-ne, fet que també ens va

dur a pensar que l’ús era més mecànic que comprensible.

En relació amb tots aquests elements, quines conclusions podem treure respecte de J.M.?

Estem d’acord que les seves dificultats es troben en tres nivells:

1) En el coneixement conceptual del recompte.

2) Procedimentalment.

3) En la recuperació de fets.


Respecte de les dificultats procedimentals, les estratègies de recompte que fa servir són

immadures per la seva edat, a més dels errors que comet i la lentitud que demostra. El

seu aprenentatge més o menys mecànic i rígid fa que no apliqui l’estratègia que utilitza

correctament en determinades operacions, fet que el condueix a cometre errors. La no-

recuperació de fets de la memòria pot estar motivada per la velocitat en la utilització de

l’estratègia, i això li impedeix associar el resultat amb l’operació en utilitzar tots els seus

recursos cognitius en el recompte.

Les decisions que podem adoptar amb J.M. poden ser les que hi ha a continuació:

a) Consolidar el seu coneixement conceptual del recompte.

Un cop aconseguit això, es pot plantejar:

b) La utilització d’estratègies de recompte més sofisticades, però des d’un punt de vista

més significatiu que memorístic, a partir de la comprensió d’aquestes.

A més, i atesa la lentitud que el nen presenta en la utilització de les estratègies,

c) pot ser interessant plantejar l’ensenyament directe d’uns fets numèrics, fonamental-

ment a partir de regles.

Una altra qüestió: aprofitem aquest cas per a reclamar la necessitat de disposar d’una

teoria que ens expliqui no tan sols les dificultats que poden sorgir, sinó també que ens

indiqui el desenvolupament que segueixen aquestes habilitats.

El cas de la resta de J.M. reflecteix clarament aquesta qüestió. En una situació manipu-

lativa, utilitza l’estratègia de separació, mentre que en el context de la resta portant-ne,

conceptualment més complex, està “obligat” a fer servir una estratègia molt més sofisti-

cada evolutivament i cognitivament parlant, com és el compte progressiu, la qual cosa no

deixa de ser paradoxal.

En aquest cas, aquesta estratègia tan sols s’hauria d’utilitzar en la resta portant-ne quan

l’alumna o alumne la comprengui en contextos manipulatius.

27


5. LA INTERVENCIÓ EN OPERACIONS BÀSIQUES

Si partim dels pressupòsits que hem desenvolupat en l’apartat anterior, la intervenció amb

alumnes que presenten dificultats d’aprenentatge de les matemàtiques s’hauria de centrar

en els aspectes deficitaris mostrats pel nen o la nena, és a dir, en els punts dèbils. D’acord

amb això, i com ja hem vist, la intervenció es pot orientar vers les habilitats numèriques

prèvies o vers les estratègies de càlcul pròpiament dites. Vegem, a continuació, alguns pro-

cediments relacionats amb cadascun d’aquests aspectes.

5.1 Desenvolupament del número

Com hem tingut l’oportunitat de veure, l’execució de les operacions bàsiques, almenys en

els seus inicis, necessita el domini de l’enumeració i de la sèrie numèrica. Com han demostrat

D.C. Geary i altres (1992), el desenvolupament de les habilitats de còmput depèn en certa

manera del coneixement del recompte i de les violacions dels seus principis.

Vegem alguns procediments centrats tant en els principis per a enumerar conjunts com en

l’establiment de la sèrie numèrica.

Per a treballar l’enumeració

En l’enumeració vèiem que confluïen les regles processals del recompte, per la qual cosa

l’ensenyament hauria de destacar les operacions següents:

a) comptar a poc a poc i amb atenció;

b) aplicar una etiqueta a cada element;

c) assenyalar cada element només un cop;

d) comptar organitzadament per a estalviar esforç en el control.

Quan els elements són mòbils, una estratègia adequada per a comptar-los pot ser separar

clarament els elements comptats dels que encara queden per comptar; i quan els elements

28


29

són fitxes, el control dels objectes comptats i dels que queden per comptar es pot facilitar

amb estratègies d’aprenentatge com ara començar per un lloc ben definit i continuar

sistemàticament en una direcció.

També pot ser molt interessant fer servir històries i discutir-les posteriorment, com les

que figuren a continuació per a les estratègies “només una vegada” i “l’ordre no importa”,

corresponents als principis de recompte de correspondència i irrellevància (adaptades

dels exemples del llibre d’A.J. Baroody, 1987):

Només una vegada

Comptamalament estava molt content perquè preparava la seva festa d’aniversari. El cuiner li preguntà quants amics hi estaven convidats, i Comptamalament va treure una llista que començà a comptar. Tot i que va perdre el compte dels noms que ja havia comptat, continuà i li’n sortiren 27. Per a assegurar-se, els tornà a comptar, i aquest cop li’n sortiren 22. Estava molt confús i el cuiner li digué que no podia preparar la festa fins que no sabés quanta gent hi aniria.

Comptamalament estava molt trist, però arribà el seu germà Comptabé i li preguntà què li passava. Després d’explicar-li-ho, Comptabé va agafar la llista i proposà a Comptamalament que comptessin plegats. Va treure un retolador màgic i començaren a comptar la llista des del principi.

Cada vegada que comptaven un nom, li posaven una marca. D’aquesta manera, van comptar cada nom de la llista una sola vegada. N’hi havia 25 i Comptamalament, molt content, va anar a dir-ho al cuiner.

L’ordre no importa

Comptamalament havia planificat un dia molt divertit amb els amics, però no gosava sortir del llit i baixar les escales. El matí anterior havia comptat els graons en baixar a esmorzar i li n’havien sortit 10. Però, quan pujà a dormir, n’havia comptat 11. Si hi havia menys graons en baixar que en pujar, potser cauria de morros per terra! Així que, quan els amics el cridaren, es quedà al llit.

Aleshores arribà Comptabé i pujà les escales per a preguntar al seu germà què li passava. Quan sentí que Comptamalament tenia por de caure per les escales va dir que no podia ser; les escales tenen el mateix nombre de graons tant si puges com si baixes! Arrossegà Comptamalament fins a les escales i Compta-malament, molt espantat, donava les gràcies al seu germà per arriscar-se a caure. Baixaren les escales comptant-les: 10!; després, van tornar a pujar i també els en sortiren 10.

Aleshores Comptabé li digué que era la mateixa escala i que, per tant, tenia el mateix nombre de graons. Comptamalament se n’alegrà i sortí corrent a trobar els amics.

Un altre problema que poden trobar els alumnes amb dificultats pot ser el d’establir el


valor cardinal d’un conjunt, de tal manera que necessiten comptar una vegada i una altra

el nombre d’elements del conjunt per tal de saber quants n’hi ha.

Per a solucionar-ho, es pot establir amb l’alumne que, quan compta, l’últim que diu es pot

utilitzar per a recordar quantes coses ha comptat; o també proposar-li que repeteixi el darrer

número. En aquesta línia, W. Secada, K.C. Fuson i J. Hall (1983) plantegen un procediment

més inductiu basat en dues etapes:

1) La primera etapa consisteix a presentar un conjunt a l’infant i indicar-li verbalment i

mitjançant un número escrit el cardinal d’aquest conjunt. Se li demana que compti el

conjunt i que observi que el resultat del recompte coincideix amb la designació cardinal.

2) En la segona etapa es presenta un altre conjunt amb la designació cardinal i se li

demana que el compti, però abans d’acabar se li diu que predigui el resultat, tal com es

mostra a continuació.

Jerarquia de tasques d’enumeració organitzades per ordre de dificultat

Com podem veure en el quadre de la pàgina següent, una tasca com comptar objectes mòbils (B) és més senzilla que una tasca de recompte (C) d’objectes que no poden moure’s (per exemple, una filera de punts en un full). Amb els objectes mòbils, els nens i les nenes van separant els elements del conjunt i

30

Mestre: “Tenim cinc cercles (ensenya cinc cercles i una targeta amb el número cinc); compta’ls per veure quants n’hi ha”.

Etapa A

Pas 1 Pas 1

Etapa B

Mestre: “Tenim quatre quadres, compta’ls per veure quants n’hi ha”.

45

45

Infant: “1, 2, 3, 4, 5”.

Mestre: “Mira, t’he donat cinc cercles (assenyala la targeta amb el número) i, quan els has comp-tat, l’últim número que has dit era 5. El nombre de cercles que hi ha és sempre el mateix que el darrer número que dius quan els comptes”.

Infant: “1, 2...”.

Mestre: “Quin serà el darrer número que diràs quan acabis de comptar?” (El mestre corregeix i continua si ho creu necessari.)

Pas 2 Pas 2


31

etiquetant-los; cada vegada que se separa un objecte es diu un número i es comprova si hi queden més elements; quan no n’hi queden més, s’anuncia l’últim número com a cardinal.

El fet de separar físicament els objectes permet als infants ajustar-se al criteri de “només una vegada”. Amb tot, quan els objectes no es poden moure la tasca és molt similar a l’anterior, però amb un pas addicional. Cal recordar els elements que s’han comptat sense moure’ls. Aquesta tasca és encara més complexa si els elements no formen una filera, sinó que estan desorganitzats (D).

Podem considerar una tasca encara més difícil per a molts nens i nenes, com és la de comptar un sub-conjunt d’un conjunt donat (E). En aquest cas, hi ha un element més afegit, ja que cada vegada que es compta un element cal comparar-lo amb el número que ens han demanat i que prèviament ha hagut de ser emmagatzemat. Per tant, hem de tenir en compte aquestes consideracions quan treballem l’enumeració amb canalla que presenta dificultats.

Un número donat i diversos conjunts d’objectes fixos

Escollir un conjunt de lagrandària indicada pel núm.

F

Conjunt d’objectes fix,no ordenat

Comptar els objectes

D

Un número donat i unconjunt d’objectes

Comptar un subconjunt de la grandària donada

E

Conjunt d’objectes fix, ordenat

Comptar els objectes

C

Conjunt d’objectesmòbils

Comptar els objectes,extraient-los del conjunt

B

Conjunt de fins a 5 objectes,o de fins a 10 objectes

Recitar els números en ordre

A


32

Per a treballar la sèrie numèrica

Alhora que es promou l’enumeració, els nens i les nenes han d’anar dominant la sèrie

numèrica. Tanmateix, això no suposa que recitin els números de memòria, sinó que re-

quereix un coneixement ple i significatiu per al seu ús posterior en les operacions elemen-

tals. Així, és necessari que la criatura sigui capaç de fer elaboracions de la sèrie numèrica

establint, per exemple, el número següent i l’anterior d’un número donat, de la mateixa

manera que comptar regressivament.

Per a dur-ho a terme, i en la mesura que es trobin dificultats en aquest punt, la intervenció

hauria de començar ajudant la criatura a establir el número següent i l’anterior amb la part

més familiar de la seqüència (de l’1 al 5 o al 10). Al principi, es podrien utilitzar representa-

cions concretes, com ara una llista de números escrits i, més endavant, fer-ho mentalment.

Una activitat per a treballar la seriació

Un procediment senzill, descrit a N.S. Bley i C.A. Thornton (1981), consisteix a estendre targetes numera-des i en ordre damunt la taula. Sense que la criatura ho pugui veure, es posa una carta de cap per avall i se li demana (ara ja pot mirar) que esbrini quina és la carta tapada. Per a poder-ho descobrir, s’assenyala la carta posterior (anterior) a la carta tapada i es diu: quina carta és aquesta?, quina ve just després (abans)? Es continua així, fins que es tapen tots els números. Posteriorment, es van eliminant els indicis visibles de la sèrie aritmètica i se li demana que ho resolgui mentalment. Es col·loquen totes les cartes de cap per avall i se’n gira una, preguntant al nen o a la nena quin número va abans o després de l’aixecat.

En definitiva, aquestes activitats i d’altres que es poden crear a partir dels

principis exposats van encaminades que els nens i les nenes dominin la sèrie

numèrica i l’enumeració, ja que per a poder afrontar les operacions aritmèti-

ques elementals abans han de dominar les tècniques bàsiques per a comptar.

Si els infants no han tingut experiències de numeració abundants i precises no

aprendran, per exemple, que els efectes d’afegir un element a un conjunt fan

variar la seva designació cardinal per a convertir-la en el número següent de

la sèrie numèrica, aspecte amb el qual comencem la intervenció en les opera-

cions bàsiques.


33

5.2 Operacions bàsiques

Abans del domini de les combinacions numèriques bàsiques, la intervenció es pot recolzar

en els procediments de càlcul basats en el recompte amb objectes concrets (dits o blocs).

Per a treballar les estratègies de recompte

En aquest punt, diversos autors afirmen (vegeu A.J. Baroody, 1984, 1987; P. Starkey i L.

Gelman, 1982, entre d’altres) que el més convenient seria començar pels problemes més

senzills del tipus n + 1 (n – 1) amb el suport del domini de la tècnica del número següent

(anterior), és a dir, amb l’ús eficaç de la sèrie numèrica per a determinar les relacions en-

tre n i el número que el segueix o el precedeix, tal com comentàvem en el subapartat

anterior.

Posteriorment, es poden anar introduint addicions més grans, com ara n + 2 o n + 3, on els

alumnes poden utilitzar estratègies de recompte, per bé que al principi és convenient que

els sumands siguin petits (d’1 a 5) perquè els infants puguin utilitzar pautes digitals.

Això no obstant, on més problemes troben algunes criatures amb dificultats és en la utilit-

zació de procediments de recompte més madurs per a l’addició o la subtracció, com hem

tingut l’oportunitat de veure en tractar de les dificultats.

Ara bé, com ja sabem, els infants sense dificultats inventen o descobreixen les estratègies

més sofisticades per si mateixos. Aleshores, es podria proposar l’ensenyament directe i ex-

plícit de procediments més madurs, com pot ser comptar a partir del primer número per a

l’addició o el compte progressiu per a la subtracció, i no dependre de la possible invenció

per part de la mainada.

Però cal tenir en compte que alguns treballs sobre el tema semblen no donar suport a

aquesta idea. Per exemple, L.B. Resnick (L.B. Resnick i W.W. Ford, 1981; L.B. Resnick i

R. Neches, 1984) argumenta que l’ensenyament verbal i explícit pot resultar confús i in-

comprensible, per la qual cosa suggereix que l’objectiu de la intervenció s’orienti cap a la

creació de situacions de l’aprenentatge on s’optimitzin les probabilitats que es produeixin

aquestes transicions vers estratègies més madures. Vegem alguns plantejaments que van

en aquesta línia.


34

Per exemple, Karen Fuson i els seus col·laboradors (K.C. Fuson, 1986; K.C. Fuson i W.

Secada, 1986; K.C. Fuson i G.B. Willis, 1988; K.C. Fuson, 1992; W. Secada, K.C. Fuson i J.

Hall, 1983) han desenvolupat una pro-posta per a ajudar els infants a utilitzar dues estratè-

gies relativament complexes, com són comptar a partir del primer i el compte progressiu.

Pel que fa a la primera, ja hem comentat que per a passar d’una estratègia de comptar-

ho tot a comptar a partir d’un dels sumands, W. Secada i altres (1983) estableixen que

l’infant ha de ser capaç de comptar a partir de qualsevol punt de la sèrie numèrica, ha de

poder convertir el cardinal del primer conjunt en un número més amb què prosseguir el

recompte i saber començar el recompte del segon sumand amb el següent element de la

seqüència de recompte.

En aquest sentit, proposen el procediment següent per a treballar amb nens i nenes:

Basant-se en aquest plantejament, K.C. Fuson (1986; K.C.Fuson i G.B. Willis, 1988) introdueix

l’ensenyament de l’estratègia del compte progressiu per a la subtracció, ja que aquesta

8 + 5

8 + 5

8 + 5

Tècnica 1: “Quan comptes tots els punts, què dius per a aquest punt?”

Tècnica 2: “Quan comptes tots els punts, quèdius per a aquest punt?”

Comptar a partir d’un sumand.Quants punts hi ha?


35

operació és conceptualment similar a comptar a partir d’un sumand.

Aquesta estratègia s’introdueix a partir de la utilització de pautes digitals. A més, ho fa en

el context de resolució de problemes verbals d’igualació. Per exemple, “en Joan té 8 bales;

en Pere en té 13; quantes bales li falten a en Joan per a tenir-ne les mateixes que en Pere?”.

A.J. Baroody (1987) ha proposat una forma més senzilla d’emprar aquest procediment: la

utilització d’objectes concrets que progressivament es poden anar retirant o barrejant amb

els dits.

1. Comptar 5 a partir de 8.

8 + 5 13 - 8

1. Comptar des del 8 fins al 13.

2. Parar quan el patró dels dits estigui en 5. 2. Parar quan es digui 13.

3. Respondre l’última paraula dita. 3. Respondre amb el patró de la mà.

8 + ? = 13

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

En aquest cas es treballa amb objectes concrets demanant a l’infant que determini quants pesos cal afegir al plat que té menys elements per a aconseguir que el pes d’ambdós plats sigui el mateix, una tasca força similar a la que es planteja en els problemes d’igualació. Per a dur-ho a terme, pot anar afegint blocs (que poden ser d’un color diferent) fins que s’arribi a l’equilibri i comptar-los, o bé comp-tar-los a mesura que els va afegint. Posteriorment, es poden utilitzar suports semiconcrets com la barra re-glada de la figura i, finalment, instar l’infant a utilitzar els dits o el recompte mental.


36

Com podem veure, aquests són alguns dels procediments que es poden fer servir per a

l’ensenyament d’estratègies cada cop més complexes i sofisticades. Amb l’efecte de la

pràctica, les alumnes i els alumnes aniran automatitzant progressivament aquestes estra-

tègies i, el més important, aniran creant associacions entre les combinacions numèriques

bàsiques i el resultat de l’operació, de tal forma que les estratègies de recompte aniran

desapareixent en favor de la recuperació de fets de la memòria, com ja hem vist en el

model proposat per R.S Siegler.

Tanmateix, també indicàvem que en molts casos això no serà així (recordem els treballs

de D.C. Geary i altres, 1991, i S.R. Goldman i altres, 1988). És del tot previsible que molts

alumnes amb dificultats en les matemàtiques tinguin problemes en la recuperació de fets,

per la qual cosa, en aquests casos també caldrà una intervenció directa.

Per a treballar la recuperació de fets

Alguns treballs (vegeu, per exemple, R. Howell, E. Sidorenko i J. Jurica, 1987) han demostrat

que la simple exposició de fets, perquè siguin memoritzats, no és efectiva per a la mainada

que presenta dificultats.

Per tant, i encara que pot ser necessària una certa interiorització de dades específiques,

sembla més eficient un plantejament d’intervenció basat en l’aprenentatge de regles (R.

Steinberg, 1985; C.A. Thornton, 1990; C.A. Thornton, G.A. Jones i M.A. Toohey, 1983; G.A.

Jones, C.A. Thornton i M.A. Toohey, 1985).

Per exemple, C.A. Thornton i els seus col·laboradors han seguit una línia d’investigació

per a l’ensenyament de fets a infants amb dificultats, basant-se en l’entrenament en

estratègies o procediments que afavoreixen la transició al record automàtic. El seu pro-

grama es fonamenta en l’ensenyament d’una sèrie de regles ordenades de més a menys

complexitat. Aquestes regles són:

a) Comptar, a partir d’un número donat, fets que contenen 1 o 2 afegits.

Gràcies al domini de la sèrie numèrica, els infants poden afrontar sense dificultat les

combinacions elementals del tipus n + 1, com comentàvem més amunt. Tocant a això,

també tenen la possibilitat de descobrir l’ús de les relacions ben conegudes de la sèrie

numèrica entre el número donat i el que el segueix o, saltant-se un número, el que ve


després d’aquest (A.J. Baroody, 1987). Alguns dels procediments descrits més amunt,

com els de N.S. Bley i C.A. Thornton (1981), poden ser interessants per a aplicar-los

aquí.

b) Regla del 0 (per exemple: 0 + 6).

S’acostuma a aprendre amb relativa facilitat, igual que alguns dobles amb núme-

ros petits com ara 1 + 1 o 2 + 2; malgrat això, les sumes de dobles més grans poden

ser més difícils d’adquirir. Per a evitar-ne la memorització, C.A. Thornton i els seus

col·laboradors proposen la utilització de mnemotècnies visuals com, per exemple, l’ús

de les dues mans per a 5 + 5, la representació d’una caixa d’ous per al 6 o una aranya

per al doble 4 + 4, tal com figura en el dibuix.

c) Dobles amb l’ús de mnemotècnies visuals.

Aquestes representacions visuals es poden anar substituint per la utilització de cubs de

diferent color que es poden posar en correspondència (R. Steinberg, 1985).

d) Dobles propers, afegint 1 o 2 al doble (per exemple: 6 + 7).

Es pot dur a terme afegint, per exemple, un cub o dos a una filera de cubs.

e) Redistribució basada en el 10, és a dir, utilitzar el 10 per a fets el número més gran

dels quals s’apropi a aquest número.

37

“Això és un vuit” “Quatre potes i quatre potes fan vuit”


38

Aquesta darrera és la regla més complexa i consisteix a descompondre el sumand menor

per a fer que el sumand més gran sigui deu i després sumar la resta a deu, tal com es

veu en la figura per a 9 + 4.

Aquestes regles es poden aplicar de la mateixa manera per al record de fets de restes

(C.A. Thornton, 1990; R. Steinberg, 1985), utilitzant el concepte de subtracció com a

invers del d’addició.

En definitiva, la intervenció amb els alumnes i les alumnes que presenten

dificultats en les operacions s’ha d’orientar cap als processos que poden

estar alterats. En aquest sentit, hem presentat un seguit de procediments

encaminats al desenvolupament de les habilitats numèriques prèvies com són

l’enumeració o l’establiment de la sèrie numèrica. Uns altres procediments

s’han centrat en les operacions pròpiament dites, tant en les estratègies de

recompte com en la recuperació de fets.

9+ 4___ 13

10+ 3___ 13

Education

Dam m2