DEMOSTRACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Desarrollado por Esp. Oscar Ardila Chaparro

Calculo Diferencial

DERIVADA

DEFINICIÓN

Confuso ?

• Definición: Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto previamente establecido.

Conceptos incluidos en la definición

En la grafica se muestra como ejemplo la recta tangente a una circunferencia (nótese que solo existe un punto de intersección entre los objetos matemáticos).

CONCEPTOS

• Recta tangente: Es una recta que tiene un único punto común con una curva o función.

Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en el eje horizontal (relación de cambio).

Notación:

ym

x

2 1

2 1

y ym

x x

CONCEPTOS

• Recta secante: Es una recta que interseca dos o más puntos de una curva.

Conceptos

Si tenemos claros los conceptos en los cuales se fundamenta la

definición su comprensión será muy sencilla

CONCEPTOS

Demostración geométrica

Tenemos una recta tangente y una secante con un punto común P. Por otra parte la secante pasa por los puntos P y Q y la distancia entre ellos sobre el eje x esta dada por ∆x. cada cuadro en la grafica equivale a la unidad.

(a, f(a)) (a+∆x, f(a+ ∆x))

( ) ( ) ( ) ( )f a x f a f a x f am

a x a x

La pendiente de la recta secante esta dada por la relación:

DEMOSTRACIÓN

Analiza la secuencia de graficas y observa como cambia el valor de Δx y la aproximación de las rectas.

1

DEMOSTRACIÓN

2

DEMOSTRACIÓN

3

Demostración

4

Demostración

• Que pasa con el valor de ∆x?• Que pasa entre las rectas tangente y secante?• Para que la recta tangente y la recta secante sean

iguales como debería ser el valor de ∆x?• Un limite podría ayudarnos con el análisis de esta

situación?

Preguntas orientadoras

DEMOSTRACIÓN

A partir de el análisis de la situación planteada podemos determinar que la derivada esta dada por la siguiente expresión:

Finalmente

0

( ( )) ( ) ( )limx

d f x f a x f a

dx x

Se lee derivada de f(x) evaluada en términos de x.

A medida que ∆x tiende a cero la recta secante se aproxima a la recta tangente. Si esto es correcto podemos afirmar que el calculo del limite y la relación planteada es equivalente al calculo de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto P establecido (definición geométrica de la derivada).

CONCLUSIÓN

GRACIAS POR TU

ATENCIÓN

Esperamos que esta información oriente un poco tu proceso de familiarización con el entorno y el seguimiento de cursos en

plataforma.

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