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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael

SISTEMAS DINÁMICOS I Comisiones 3 y 4

2010

Razones de cambio y derivadas

Introducción: dos problemas, una solución

Podemos introducirnos al tema a plantear a través de un análisis de dos situaciones distintas pero con una misma solución.

En primer lugar analicemos el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Si la curva es regular, como por ejemplo una circunferencia, el problema admite soluciones geométricas. Si la curva responde a un modelo cualquiera, no es tan sencillo.

En segundo lugar analicemos el problema del desplazamiento o cambio de posición en el tiempo de un objeto. Supongamos que se desea analizar con que velocidad se movió para recorrer

una cierta distancia. Si conocemos la distancia y el tiempo empleado, plateamos el cociente d

vt

Δ=Δ

,

obtendremos nuestro resultado. Sin embargo si deseamos conocer con que velocidad se desplazaba en cada instante del intervalo de tiempo analizado, nos encontramos con la situación que nuestro ∆t debiera ser 0, y en ese caso tendríamos una división por cero. ¿Qué solución aporta la matemática en este caso? Un recurso ya conocido por nosotros, que es el límite. ¿Cómo aplicar el concepto?. Esto es lo que analizaremos en los desarrollos siguientes. Incrementos En el estudio que proponemos el concepto de incrementos resulta fundamental para comenzar a plantear las soluciones a los problemas que se han planteado. Los incrementos son variaciones en las variables. Los incrementos generalmente se indican con la letra griega ∆. Así ∆x es la variación que se produce en la variable independiente “x” y ∆y el incremento resultante en el valor de función. Si partimos de un punto perteneciente a la función de coordenadas (a, f(a)), y

1 2 3 4

2

3

4

5

-1 1 2 3

0.5

1.5

2

2.5

∆y

∆x = h

a a+h

f(a)

f(a+h)

x

y f(x)

2 aplicamos incremento de variable, “h” , se obtendrá un punto (a+h, f(a+h)). O sea:

∆x = (a+h) − a= h

∆y = f(a+h) − f(a)

En algunos casos nos referiremos al incremento de variable “x” como ∆x y en otros casos lo llamamos “h”, según la necesidad, pero son conceptos equivalentes. Cuando se desea hacer referencia a un incremento genérico se suele usar ∆x, y cuando se analiza a partir de un valor determinado, “a” en este caso es frecuente llamarlo “h”. Así, dada

f(x)= x2 + 2x Si se desea incrementar la función a partir de un valor x=a, será: ∆x = h f(a)=a2 + 2 a f(a+h)= (a+h)2+ 2 (a+h)= a2+2 a h +h2+2 a+2 h ∆y = f(a+h) − f(a)= a2+ 2 a h +h2+2 a+2 h− ( a2 + 2 a)= ∆y = a2 + 2 a h + h2 + 2 a + 2 h − a2 − 2 a = 2 a h + h2 +2 h En Math sería:

f@x_D = x2 + 2 x;

∆y= f@a+ hD − f@aD

−2 a− a2+ 2Ha+ hL+ Ha+ hL2

Simplify@∆yD

hH2+ 2 a+ hL Cociente de incrementos o cociente incremental

Llamamos cociente de incrementos al cociente yx

ΔΔ

. Su interpretación básica es que

representa la variación de la función con respecto a una variación de la variable. En cada aplicación tendrá una interpretación distinta.

y f(a h) f(a)x h

Δ + −=

Δ

a) Pendiente de una recta secante Si analizamos una f(x) cualquiera, y tomamos dos puntos sobre ella, al trazar una secante que

une a los dos puntos, vemos que el cociente de incrementos representa el valor de la pendiente de la recta secante:

sec ante

y f(a h) f(a)m

x hΔ + −

= =Δ

∆y

∆x

a+h a

f(a+h)

f(a)

3

Sea por ejemplo f(x)= x2 − 3 x. Deseamos trazar una secante que pase por (2,f(2)), (4,f(4)).

La pendiente de la recta secante será:

4 2 4 2 34 2 2sec ante

y f(a h) f(a) f( ) f( )m

x hΔ + − − +

= = = = =Δ −

La ecuación de la secante será: r(x)= 3 (x−2) + f(2)= 3 x − 8

b) Velocidad media

El concepto de velocidad media es bastante intuitivo para la mayoría de las personas. Si un móvil recorre 45 km en 0,5 horas, es común decir que su velocidad media es:

45 900 5m

d kmv km /h

t , hΔ

= = =Δ

Para dar mayor precisión sobre la expresión correspondiente, supongamos llamar a la posición en función del tiempo y(t). Entonces la razón de cambio media será:

0 0 45 0 900 5 0m

y(t t) y(t )yv km /h

t t ,+ Δ −Δ −

= = = =Δ Δ −

Supongamos que el objeto se desplaza, desde 10 km hasta los 23 km en el tiempo transcurrido entre 5 seg y 6,5 seg. La velocidad media será:

23 10 13 8 66 5 5 1 5m

yv , km /h

t , ,Δ −

= = = =Δ −

Razones de cambio cuando h→ 0 Si bien los conceptos de velocidad media y pendiente de una secante son importantes, hay preguntas que estos cocientes no pueden responder.

• ¿Cuál es la pendiente de una recta tangente en un punto? • ¿Qué velocidad exactamente tiene un móvil en un cierto t0?

Estas preguntas requieren en realidad posicionarnos en un h = 0, o un ∆t = 0. Esto obviamente no tienen respuesta a menos que introduzcamos otro concepto, que es el de límite. Así podremos decir que:

0 0tangente x h

y f(a h) f(a)m lim lim

x hΔ → →

Δ + −= =

Δ

0 0

0 0instantánea t t

y(t t) y(t )yv lim lim

t tΔ → Δ →

+ Δ −Δ= =

Δ Δ

A continuación analizamos el comportamiento de la función f(x)= x2. Supongamos que se

desea calcular la pendiente de una recta tangente trazada a la curva por el punto (1, f(1)) o sea (1,1). Utilizaremos distintas aproximaciones, a través de valores diferentes de h (incremento).

En un primer intento usaremos un h variando de 1 a 0,1, en intervalos de 0,1. Luego lo repetiremos para h variando entre 0,1 y 0,01, con intervalos de 0,01. Se construirán sendas tablas

en las que se calcula el valor de la pendiente de las secantes, sec

f(1 h) f(1)m

h+ −

= .

2 4-2

4

4

In[4]:= TableB:1 + h,f@1 + hD − f@1D

h>, 8h, 1, 0.1, −0.1<F êê TableForm

Out[4]//TableForm=2. 3.1.9 2.91.8 2.81.7 2.71.6 2.61.5 2.51.4 2.41.3 2.31.2 2.21.1 2.1

Se advierte que hay una aproximación al valor 2, que se notará más en la siguiente tabla.

In[5]:= TableB:1 + h,f@1 + hD − f@1D

h>, 8h, 0.1, 0.01, −0.01<F êê TableForm

Out[5]//TableForm=1.1 2.11.09 2.091.08 2.081.07 2.071.06 2.061.05 2.051.04 2.041.03 2.031.02 2.021.01 2.01

Tal como decíamos los valores de la pendiente de la secante se aproxima a 2. Este valor es el límite al cual tiende la pendiente. La recta secante tiene también un límite, que es la tangente. En el caso de la pendiente de la recta tangente, la idea que analizamos es que la secante se comienza a trazar entre el punto dado y uno cada vez más cercano, que es lo que matemáticamente decimos h→0. Así, la secante se transforma en tangente. In[11]:= LimitBf@1 + hD − f@1D

h, h → 0F

Out[11]= 2

En cuanto a la velocidad, al hacer que ∆t→0, hacemos que la velocidad pase a medirse en t0. Sería la velocidad que el conductor del móvil vería en su velocímetro.

1 2 3 4

-4

-2

2

4

5 Derivada de una función en un punto (valor de la derivada en un punto) A partir de los cocientes antes definidos, que representaban en realidad razones de cambio medias, a través del concento de límite se pueden transformar en razones de cambio instantáneas, que se llaman se llaman derivada de la función en un punto, siempre y cuando el incremento se produzca a partir de un valor x= a determinado, perteneciente al dominio de f(x).

O sea:

0 0x h

y f(a h) f(a)f '(a) lim lim

x hΔ → →

Δ + −= =

Δ

siempre que ese límite exista. Este valor obtenido representa el de la pendiente de la recta tangente a la curva en x=a. Una

función será “derivable” en un punto si en un valor de x perteneciente al dominio de la función admite el trazado de una tangente no vertical, ya que en ese caso el límite arriba expuesto no existiría. En el caso de estar analizando una función posición, la derivada de la función para un t =t0 será la velocidad instantánea. Función derivada o derivada de una función

Al analizar una función y sus derivadas en cada punto en que exista, podemos obtener un conjunto infinito de puntos de la forma (a, f’(a)). Por ejemplo si f(x)= x2, podemos, haciendo uso de Mathematica hacer una tabla de valores de los límites del cociente incremental para distintos valores de a, siempre con respecto a la función f(x)= x2. También hemos realizado una tabla con los valores de las derivadas en los mismos puntos a través del comando específico de Mathematica. f@x_D = x2; In[24]:= TableBLimitBf@a + hD − f@aD

h, h → 0F, 8a, 0, 4<F

Out[24]= 80, 2, 4, 6, 8<

In[25]:= Table@f'@aD, 8a, 0, 4<D

Out[25]= 80, 2, 4, 6, 8< Este conjunto de valores muestra cuales son las derivadas de la función para cada valor

elegido, en este caso de 0 a 4, en intervalos de 0,5. Vamos a formar una tabla en la que el primer elemento es un valor del dominio de f (x) y el segundo el valor correspondiente a la derivada para el mismo. In[21]:= t1 = Table@8a, f'@aD<, 8a, 0, 4, 0.5<D

Out[21]= 880., 0.<, 80.5, 1.<, 81., 2.<, 81.5, 3.<,82., 4.<, 82.5, 5.<, 83., 6.<, 83.5, 7.<, 84., 8.<<

En el gráfico siguiente representa la tabla de valores ordenados. Se advierte que forman un lugar geométrico, que seguramente responde a un modelo matemático.

6 In[22]:= g1 = ListPlot@t1, PlotStyle → PointSize@0.02DD

Out[22]=

1 2 3 4

2

4

6

8

En el siguiente gráfico vemos la función,

Si definimos a través de Mathematica una función llamada FUNCIÓN DERIVADA, y la graficamos: In[19]:= g3 = Plot@f'@xD, 8x, 0, 4<D

Out[19]=

1 2 3 4

2

4

6

8

Si vemos en un mismo gráfico el conjunto de puntos que representan las derivadas, la función y la que llamamos función derivada:

7 In[23]:= Show@g1, g2, g3D

Out[23]=

1 2 3 4

5

10

15

Se ve que la gráfica de la función derivada contiene al conjunto de puntos, por lo tanto el

modelo representativo de la misma también incluirá a todos los pares ordenados de las derivadas en cada punto del dominio.

El modelo capaz de representar al conjunto de puntos se llama “función derivada”. Definimos derivada de una función o función derivada al siguiente límite, si existe.

0 0x x

y f(x x) f(x)f '(x) lim lim

x xΔ → Δ →

Δ + Δ −= =

Δ Δ

El límite anterior no existe para aquellos valores para los que f’(a) no existe. Queremos decir que una función puede admitir una expresión general para su derivada, aunque esta no exista para todos los valores del dominio de f(x). El dominio de f’(x) representa el conjunto de valores reales para el que la función es derivable (o diferenciable). Téngase en cuenta que cuando decimos que x 0Δ → estamos excluyendo el valor x 0Δ = . En caso de que pudiese tomar este valor, resultaría un y 0Δ = y estaríamos frente a una indeterminación

del tipo 00

.

Notación de la función derivada Existen distintos tipos de nomenclatura para designar a una función derivada:

f´(x); y’ ; Dy; Dxy; dydx

(notación de Leibnitz)

Procedimiento para el cálculo de función derivada (o derivada en un punto) Procedimiento Derivada en un punto Función derivada 1 Se incrementa la función f (a +h) f(x + ∆x)

2 Se plantea el incremento de función ∆y= f (a +h)−f(a) ∆y= f (x +∆x)−f(x)

3 Se forma el cociente de incrementos

y f(a h) f(a)x h

Δ + −=

Δ y f(x x) f(x)

x xΔ + Δ −

=Δ Δ

4 Se lleva el cociente de incrementos al límite cuando ∆x→0

0 0x h

y f(a h) f(a)lim lim

x hΔ → →

Δ + −=

Δ 0 0x x

y f(x x) f(x)lim lim

x xΔ → Δ →

Δ + Δ −=

Δ Δ

5 Al resolver el límite, se obtiene: dy

f (x)dx

= f ’(a)

En cualquier procedimiento para obtener la derivada de la función en un punto o la

función derivada, encontraremos el inconveniente ya mencionado del 00

.

8

Esto se sortea utilizando recursos algebraicos, consistentes normalmente en escribir el cociente incremental de otra forma.

Ejemplos Sea f(x)= x2 + x 1. Derivada de f(x) en x = 1, o sea f ‘(1):

• f(1+h)= (1 +h)2 + (1 + h) = 1 + 2 h + h2 + 1 + h • ∆y= f(1 +h) − f(1)= 1 + 2 h + h2 + 1 + h −(1 +1)= =3 h + h2

• 2

0 0 0 0 0

1 1 3 3 3 3x h h h h

y f( h) f( ) h h h( h)f '(x) lim lim lim lim lim( h)

x h h hΔ → → → → →

Δ + − + += = = = = + =

Δ

• f ‘(1)=3

2. Función derivada de f(x), o sea f ‘ (x).

• 2 2 22f(x x) (x x) (x x) x x x x x x+ Δ = + Δ + + Δ = + Δ + Δ + + Δ

• ( ) ( )2 2 22y f(x x) f(x) x x x x x x x xΔ = + Δ − = + Δ + Δ + + Δ − + =

• 22y x x x xΔ = Δ + Δ + Δ

• ( )2

0 0 0

2 2 1 2 1x x x

y x x x xf '(x) lim lim lim x x x

x xΔ → Δ → Δ →

Δ Δ + Δ + Δ= = = + Δ + = +

Δ Δ

• f ‘(x) = 2 x + 1

Obviamente si en f ‘(x) hacemos x = 1 será: f ‘ (1)=2.1 +1 = 3 que coincide con lo que hallamos en 1.

Reglas básicas de derivación

1. Derivada de una función constante Sea f(x)= k Hallemos ∆y: ∆y= f(x +∆x) − f(x)= k − k = 0

0 0

0 0x x

ylim lim

x xΔ → Δ →

Δ= =

Δ Δ

Entonces si f(x)= k ⇒f ‘(x) =0

En notación de Leibnitz:

0d(k)dx

=

La función derivada de una constante es 0

9 2. Derivada de un múltiplo constante de una función

Sea f(x) = k u(x) Hallemos ∆y: ∆y= f(x +∆x) − f(x)= k . u(x+∆x )− k .u(x) = k. (u(x+∆x )− u(x))

0 0 0x x x

y k. (u(x+ x ) u(x)) u(x+ x ) u(x)lim lim k. lim k.u'(x)

x x xΔ → Δ → Δ →

Δ Δ − Δ −= = =

Δ Δ Δ

Entonces si f(x)= k u(x)⇒f ‘(x) =k.u’(x)

En notación de Leibnitz: d(k.u)

k.u '(x)dx

=

La función derivada de un múltiplo constante de una función es igual a la constante por la derivada de la función. 3. Derivada de una suma de funciones

Sea f(x)= u(x) + v(x) Hallemos ∆y: ∆y= f(x +∆x) − f(x)= u(x+∆x )+v(x+∆x) − (u(x)+ v(x))

0 0 0x x x

y (u(x+ x)+v(x+ x) ) (u(x)+v(x)) (u(x+ x) u(x))+ (v(x+ x) v(x))lim lim lim

x x xΔ → Δ → Δ →

Δ Δ Δ − Δ − Δ −= = =

Δ Δ Δ

0 0x x

u(x+ x) u(x) v(x+ x) v(x)lim lim u'(x) v '(x)

x xΔ → Δ →

Δ − Δ −= + = +

Δ Δ

Entonces si f(x)= u(x)+v(x)⇒f ‘(x) =u’(x)+v’(x)

En notación de Leibnitz: d(u(x) v(x))

u'(x) v '(x)dx+

= +

La función derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las funciones derivadas.

4. Derivada de una potencia Sea f(x)= xn Hallemos ∆y: ∆y= f (x+∆x) − f(x)=(x + ∆x)n − xn

Desarrollando por Binomio de Newton (ver al final):

1 2 2 1

0 1 2 1n n n n n n n nn n n n n

f(x x) f(x) (x x) x x x x x x ... x x b xn n

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ Δ − = + Δ − = + Δ + Δ + + Δ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2 1

0 0

0 1 2 1n n n n n n

x x

n n n n nx x x x x ... x x x x

n nyf '(x) lim lim

x x

− − −

Δ → Δ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ Δ + Δ + + Δ + Δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

Δ Δ=

10

1 2 2 1

0 0

1 2 2 1

0

1 2

0

1 2 1

2 1

2 1

n n n n n n

x x

n n n n

x

n n

x

n n nx x x x x ... x x x x

nyf '(x) lim lim

x xn n

n.x x x x ... x x xn

limx

n nx n.x x x ... x

nlim

− − −

Δ → Δ →

− − −

Δ →

− −

Δ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ Δ + Δ + + Δ + Δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Δ + Δ + + Δ + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =Δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ + Δ + + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

2 1

1 2 2 1 1

0 2 1

n n

n n n n n

x

x x

xn n

lim n.x x x ... x x x n.xn

− −

− − − − −

Δ →

⎛ ⎞+ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ =Δ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + Δ + + Δ + Δ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Entonces si f(x)= xn⇒f ‘(x) =n xn−1

En notación de Leibnitz:

1n

nd(x )n.x

dx−=

5. Derivada de un producto de dos funciones Sea una función formada por el producto de dos funciones: y = f(x) = u(x). v(x) El incremento de función será entonces:

y f(x x) f(x) u(x x).v(x x) u(x).v(x)Δ = + Δ − = + Δ + Δ − Y el cociente incremental por lo tanto:

y f(x x) f(x) u(x x).v(x x) u(x).v(x)x x x

Δ + Δ − + Δ + Δ −= =

Δ Δ Δ

Como vemos no quedan determinados claramente los incrementos de ambas funciones. Para lograrlo se recurre a sumar y restar un término a fin de formarlos.

y u(x x).v(x x) u(x).v(x)x x

Reagrupando y extrayendo factores comunes:y u(x x).(v(x x) v(x)) v(x)(u(x x) u(x)x x xy (v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)

u(x x). v(x).x x x

Δ + Δ + Δ −=

Δ Δ

Δ + Δ + Δ − + Δ −= +

Δ Δ ΔΔ + Δ − + Δ −

= + Δ +Δ Δ Δ

- u(x +Δx).v(x)+u(x +Δx).v(x)

Ahora se ve que han quedado los dos cocientes incrementales definidos. Por lo tanto se puede llevar al límite:

11

x 0 x 0

x 0 x 0 x 0

x 0

y (v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)lim lim u(x x). v(x).

x x x

Aplicando propiedades de límites:

y (v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)lim lim u(x x). lim v(x).

x x xy

lim lix

Δ → Δ →

Δ → Δ → Δ →

Δ →

Δ + Δ − + Δ −⎛ ⎞= + Δ +⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

Δ + Δ − + Δ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + Δ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Δ

=Δ x 0 x 0 x 0 x 0

(v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)m u(x x). lim lim v(x). lim

x xΔ → Δ → Δ → Δ →

+ Δ − + Δ −+ Δ +

Δ Δ

Analizando un poco cada límite:

x 0lim u(x x) u(x) ya que no depende del valor de xΔ →

+ Δ = Δ

x 0

(v(x x) v(x))lim

xΔ →

+ Δ −Δ

=v’(x)

x 0lim v(x) v(x) ya que tampoco depende del valor de xΔ →

= Δ

x 0

(u(x x) u(x)lim u'(x)

xΔ →

+ Δ −=

Δ

Por lo tanto:

x 0

ylim u(x).v '(x) u '(x).v(x) f '(x)

xΔ →

Δ= + =

Δ

Entonces:

⇒Si f(x) = u(x).v(x) f'(x) = u'(x).v(x)+u(x).v'(x)

En notación de Leibnitz será

d(u.v) du dv.v(x) .u(x)

dx dx dx= +

“La función derivada de un producto de dos funciones es igual a otra función, igual al producto de la función derivada de la primera, por la segunda función sin derivar, más la primera sin derivar por la función derivada de la segunda”

6. Derivada de un cociente de dos funciones

Sea una función formada por el cociente de dos funciones:

u(x)y f(x)

v(x)= =

El incremento de función será entonces:

u(x x) u(x)y f(x x) f(x) =

v(x x) v(x)+ Δ

Δ = + Δ − −+ Δ

Y el cociente de incrementos será:

u(x x) u(x)y f(x x) f(x) v(x x) v(x)x x x

+ Δ−

Δ + Δ − + Δ= =

Δ Δ Δ

12 Reduciendo a común denominador:

u(x x) u(x) u(x x).v(x) v(x x).u(x)y v(x x) v(x) v(x x).v(x)x x xy u(x x).v(x) u(x).v(x x)x v(x x).v(x). x

+ Δ + Δ − + Δ−

Δ + Δ + Δ= =

Δ Δ ΔΔ + Δ − + Δ

=Δ + Δ Δ

Nuevamente se ve que no quedan determinados los incrementos de la función. Por lo tanto, igual que para el caso del producto, se recurre a sumar y restar un término.

( ) ( )

( ) ( )

y u(x x).v(x) u(x).v(x x)x v(x x).v(x). x

Reagrupando:

v(x). u(x x) u(x) u(x). v(x x) v(x)yx v(x x).v(x). x

v(x). u(x x) u(x) u(x). v(x x) v(x) u(x x) uv(x)y x

x v(x x).v(x)

Δ + Δ − + Δ=

Δ + Δ Δ

+ Δ − − + Δ −Δ=

Δ + Δ Δ

+ Δ − − + Δ − + Δ −Δ Δ= =Δ + Δ

+u(x).v(x) - u(x).v(x)

(x) v(x x) v(x)u(x)

x xv(x x).v(x)

+ Δ −−

Δ Δ+ Δ

Llevando la expresión anterior al límite para obtener la función derivada:

x 0 x 0 x 0 x 0

x 0x 0 x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

u(x x) u(x) v(x x) v(x)lim v(x) lim lim u(x) limy x xlim

x lim v(x x). lim v(x)

Perolim v(x) v(x)

u(x x) u(x)lim u'(x)

xlim u(x) u(x)

v(x x) v(x)lim v '(x)

xlim

Δ → Δ → Δ → Δ →

Δ →Δ → Δ →

Δ →

Δ →

Δ →

Δ →

Δ →

+ Δ − + Δ −−Δ Δ Δ=

Δ + Δ

=

+ Δ −=

Δ=

+ Δ −=

Δ

x 0

v(x x) v(x)

lim v(x) v(x)Δ →

+ Δ =

=

Entonces:

x 0

y u (x).v(x) u(x).v '(x)lim f '(x)

x v(x).v(x)Δ →

Δ −= =

Δ

O sea:

⇒2

u(x) u'(x).v(x) - u(x).v'(x)Si f(x) = f'(x) =v(x) v(x)

“La función derivada de un cociente de funciones es igual a un cociente. El numerador del mismo se obtiene derivando el numerador, multiplicado por el denominador sin derivar, menos la función

13 derivada del denominador multiplicada por el numerador sin derivar. El denominador del cociente resultante al derivar es el cuadrado de la función denominador.”

7. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) Es frecuente encontrar en el cálculo funciones compuestas para resolver problemas. Es decir encontrarnos algo como: y = f(x) = (v o u)(x) = v(u(x))

Si ambas funciones son derivables el resultado será:

f '(x) = v'(u(x)).u'(x) En notación de Leibnitz sería:

d(v(u)) dv du

.dx du dx

=

Esto significa que se deriva la función f con respecto a u, considerando ésta como variable, y

se multiplica por la derivada de u con respecto a x. Se deriva de “afuera” hacia “adentro”. Veamos un ejemplo:

3

3

f(x) x 1O sea

v(x)= x

u(x) x 1

= −

= −

12f(x) v(u(x)) u(x)= =

Aplicando la regla antes enunciada:

121

f '(x) v '(u).u'(x) u(x) .u'(x)2

−= =

Pero siendo u(x) = x3–1, u’(x)= 3.x2. Por lo tanto:

( )1 1 2

3 22 23

1 1 3xf '(x) v '(u).u'(x) u(x) .u'(x) x 1 .3x

2 2 2 x 1

− −= = = − =

−

Sea f(x) = (x3–2x)5

Significa que la función ”externa”, v(x) es la potencia, y la “interna” u(x) es el polinomio. Por lo tanto: f ‘ (x) = v’(u).u ‘(x) = 5.(u(x))4.u’(x); u’(x)= 3x2 –2 f ’ (x) = 5.( x3–2x )4. (3x2–2) 8. Derivada de la potencia en una función compuesta y= f(x) = u(x)n ⇒ f ‘(x) = n. (u(x))n–1. u’(x)

14 9. Derivada de un cociente de dos funciones (otra forma de deducir)

Consideremos al cociente como un producto:

1u(x)f(x) u(x).v (x)

v(x)−= =

Derivando como producto, y teniendo en cuenta la regla de la cadena será: f ’(x)=u´(x).v−1(x)+ u(x) (−1) v−2(x). v ’ (x)=

-1 22

u '(x) u(x).v '(x)f '(x) u '(x) v (x) u(x).v (x).v '(x)

v(x) v (x)−= − = −

Esta es otra forma de plantear la derivada de un cociente, que obviamente es equivalente a la otra, reduciendo a común denominador. Veamos en Mathematica:

DA u@xD

v@xD , xE

u @xDv@xD

−u@xD v@xD

v@xD2 DA u@xD

v@xD , xE êê Together

v@xD u @xD− u@xD v @xDv@xD2

10. Notación de Leibniz para derivadas de funciones compuestas

La regla de la cadena en notación de Leibnitz se enunciaría así:

(x)

dy dv duy f(x) v(u ) .

dx du dx= = ⇒ =

Cómo se ve es más fácil interpretar el orden de derivación.

Binomio de Newton El binomio de Newton es un procedimiento para el desarrollo de la potencia enésima de un binomio. Para llegar al mismo, vamos a inferir el comportamiento a partir de algunas potencias realizadas con Mathematica. ExpandAHa+ bL2E

a2+ 2 a b+ b2

ExpandAHa+ bL3E

a3+ 3 a2b+ 3 a b2+ b3

ExpandAHa+ bL5E

a5+ 5 a4b+ 10 a3b2 +10 a2 b3+ 5 a b4+ b5

ExpandAHa+ bL10E

a10+ 10 a9b+ 45 a8b2 +120 a7 b3+ 210 a6 b4+ 252 a5b5+ 210 a4 b6+ 120 a3b7 + 45 a2b8+ 10 a b9+ b10

Como se puede ver, el exponente de cada término del binomio va cambiando en una unidad por cada uno de ellos, es decir “a” comienza en el mayor valor, y “b” comienza en 0, terminando en el mayor valor. Es decir “a” comienza por ejemplo en a5 y “b” termina en b5. Cada

15 término tiene un coeficiente numérico. En el desarrollo original, estos coeficientes se calculan mediante los llamados “números combinatorios”. Estos se expresan de la siguiente manera: nm⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, que significa la combinación de “n “ elementos agrupados de “m” en “m”. Se calculan de la

siguiente manera: n n!

m!(n m)!m⎛ ⎞

=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

donde los factoriales significan que se multiplica cada número por todos los naturales menores que él, hasta llegar a 1. Así: 4! = 4.3.2.1= 24 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1. Trasladados estos conceptos al binomio de Newton, es:

5 5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

(a b) a a b a b a b ab b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Calculando los números combinatorios serán: 5 5 1

0 5 00

5 5 5 51 5 1 41

5 5 5 4 3 2 1 102 5 2 2 1 3 2 12

5 5 5 4 3 2 1 103 5 3 3 2 1 2 13

5 5 5 4 3 2 1 54 5 4 4 3 2 1 14

5 5 15 5 55

!!( )!

! !!( )! !

! . . . .!( )! . . .

! . . . .!( )! . . .

! . . . .!( )! . . .

!!( )!

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5(a b) a a b a b a b ab b+ = + + + + +

Si vemos el resultado del Mathematica vemos que es igual: ExpandAHa+ bL5E

a5+ 5 a4b+ 10 a3b2 +10 a2 b3+ 5 a b4+ b5

En general será:

1 2 2 3 3

0 1 2 3n n n n n nn n n n n

(a b) a a b a b a b ... bn

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Debemos recordar que 0n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=1 ; 1nn⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1n

n⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠