Derivadas Parciales

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”EXTENSIÓN PUERTO LA CRUZ

CARRERA: T.S.U. ELECTRICIDAD MENCIÓN MANTENIMIENTO.

Estudiante:• Br. Gerardo GarcíaPROFESORA:• Ing. Ranielina Rondón

Derivadas ParcialesUna derivada parcial de una función de diversas

variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes.

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función:   :

Para ello recordemos que la derivada de la función  z = eu  es:   z’ = u’ . eu siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante).

Derivadas Parciales

Así tenemos:

Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:

mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :

Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:

en cada una de ellas se consideran constantes los dos parámetros distintos a los que se realiza la derivada.

Diferencia entre variables ordinarias y derivadas

parcialesLas derivadas ordinarias se realizan a funciones

con una variable independiente En cambio las derivadas parciales se realizan en

funciones de varias variables tomando una variable para derivar y tomando al resto de variables como constantes para poder derivar.

1-.Ejercicio

2-.Ejercicio

3-.Ejercicio

4-.Ejercicio

Derivadas Parciales de Orden Superior

Las expresiones

fxy(x,y) ; D12f(x,y) ;

son todas equivalentes y representan la segunda derivada de la función f derivando primero con respecto a x y el resultado derivándolo con respecto a y. Así por ejemplo, si tomamos la función 

f(x,y) = 4y³x² - 12xy + 16x³

buscamos todas las derivadas parciales de segundo orden obtendremos:

fx(x,y) = 8y³x - 12y + 48x² fy(x,y) = 12y²x² - 12x , y así

fxx(x,y) = 8y³ + 96x fxy(x,y) = 24y²x - 12

fyx(x,y) = 24y²x – 12 fyy(x,y) = 24yx²

obsérvese que fxy(x,y) = fyx(x,y), esto no es casual. Para que ocurra debe darse cierta condición:

Si estas derivadas parciales son continuas en un disco abierto, entonces fxy(a,b) = fyx(a,b) para todo (a,b) que pertenezca a dicho disco.

Ejercicio

fxy(-1,2)=12-40=-28

Fin de la Presentación

Muchas Gracias