Universidad Técnica

“Luis Vargas Torres”

Integrantes:

Cristhoper Jama Delgado

Asignatura:

Dibujo Técnico

Maestro:

Ing. Arcesio Ortiz

Carrera:

Ingeniería mecánica

Ciclo:

Segundo Ciclo

Año:

2014

Pitágoras

(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497

a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició

la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Filósofo y matemático griego (582 - 500 antes de Cristo), cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de

Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates.

Hacia el 530 antes de Cristo se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. Era una especie de secta cuyo símbolo era el

pentágono estrellado. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos y pretendía conciliar la antigua visión mítica del mundo con el

creciente interés por la explicación científica.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de

consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del

alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

El sistema de filosofía resultante del pitagorismo aunó las creencias éticas, sobrenaturales y matemáticas en una visión espiritual de la vida. Los pitagóricos

enseñaron y practicaron un sistema de vida basado en la creencia de que el alma es prisionera del cuerpo, del cual se libera al morir y se reencarna en una forma de existencia, más elevada o no, en relación con el grado de virtud alcanzado.

El principal propósito de los seres humanos tendría que ser la

purificación de sus almas mediante el cultivo de virtudes intelectuales, la abstención de los placeres de los sentidos y la

práctica de diversos rituales religiosos.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e

impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista

aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios,

establecieron una base científica para las matemáticas.

En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como Teorema, que establece que el cuadrado de la

hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración de

este teorema geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado difícil demostrarlo, debido al misterio que

rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.

Existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema. Por ejemplo, los hindúes

explícitamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva – Sutra que data del siglo VII antes de Cristo. Por otra parte, los babilonios

aplicaban el teorema 2000 años antes de Cristo, pero tampoco se conoce de la existencia de una

demostración, ya que la geometría no era para ellos una teoría formal sino un cierto tipo de aritmética aplicada, en la cual las figuras venían representadas en forma de

números. A su vez, los egipcios conocían que el triángulo de lados 3,4 y 5 es rectángulo pero no se

conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del teorema.

Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio

griego conoció el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla.

La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento

científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un

esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva.

(Ampliar imagen)

Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos

de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, dedujeron que el movimiento planetario produce una “música de las esferas” y

desarrollaron una “terapia a través de la música” para lograr que la humanidad encontrara su armonía con las esferas celestes.

Identificaron la ciencia con las matemáticas y mantuvieron que todas las cosas

son reductibles a números y figuras geométricas. Realizaron grandes contribuciones a las matemáticas, la teoría musical y la astronomía.

Matemáticas

Tetraktys.

La «ciencia matemática» practicada por Pitágoras y los matematikoi difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver

problemas matemáticos», ni existían para ellos «problemas abiertos» en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la

matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba». Como señala Brumbaugh,21 "Es difícil para nosotros hoy en día, acostumbrados como estamos a la abstracción

pura de las matemáticas y el acto mental de la generalización, el apreciar la originalidad de la contribución pitagórica."

Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos».21 El número diez era especialmente valorado, por ser la suma de los primeros cuatro

enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se pueden disponer en forma de triángulo perfecto: la «tetraktys». Para los pitagóricos, «las cosas son números»,9 y observaban esta relación en el cosmos, la astronomía o la música.

Entre los descubrimientos matemáticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras se encuentran:

Teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si bien este resultado y las

ternas pitagóricas eran conceptos ya conocidos y uti lizados por los matemáticos

babilonios y de la India desde mucho tiempo, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que

se encuentra en Los Elementos de Euclides. También demostraron el inverso del teorema: si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo.22 Debe hacerse hincapié además, en que «el cuadrado de un

número» no era interpretado como «un número multiplicado por sí mismo», como se concibe actualmente, sino en términos de los lados de un «cuadrado

geométrico».11

Sólidos perfectos. Los pitagóricos demostraron que sólo existen 5 poliedros

regulares.22 Se cree que Pitágoras sabía cómo construir los tres (o cuatro)

primeros,11 pero fue Hipaso de Metaponto (470 a.C.) quien descubrió el dodecaedro. Nota Se debe a Teeteto la demostración de que no existen otros

poliedros regulares convexos.

Ángulos interiores de un triángulo. Encontraron que la suma de los ángulos

interiores de un triángulo es igual a dos rectos, así como la generalización de este resultado a polígonos de n - lados.11

Un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de origen pitagórico (según Diógenes).

Construcción de figuras dada un área determinada. Por ejemplo la resolución de ecuaciones como a•(a-x)=x² por métodos geométricos.11

La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Los pitagóricos descubrieron que la

diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros.22 Este evento marca el descubrimiento de los números

irracionales,11 si bien a la época, sólo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad de magnitudes [números] «enteras», o «proporciones geométricas».nota 11 Un método de aproximación (aproximación diofántica)

posiblememente desarrollado por Arquitas, utiliza el algoritmo de Euclides, y está presente en Los Elementos.23

El descubrimiento de los Números perfectos y los Números amigos.nota 12 Jámblico atribuye a Pitágoras el haber descubierto el par de números amigos (220, 284).22

Medias. Los pitagóricos examinaron exhaustivamente las razones y proporciones

entre los números enteros; la media aritmética, la media geométrica y la media

armónica y las relaciones entre ellas.22

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

El descubrimiento de los Números poligonales. Un número es «poligonal»

(triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de puntos se pueden acomodar formando el polígono correspondiente (ver figura).

Tetraktys. Se atribuye a Pitágoras el haber ideado la «Tetraktys», la figura

triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas. Fue un símbolo de especial importancia para los pitagóricos, que solían juramentar en su nombre

Área de un polígono regular

Formula Enésima del Área De Un Polígono

En función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

Además , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

Sustituyendo el lado:

Finalmente:

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin

necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto

podemos determinar cuál es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

Donde el ángulo central es:

Sabiendo que el área de un polígono es:

Y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

Ordenando tenemos:

Sabiendo que:

Resulta:

O lo que es lo mismo:

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número

de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente

manera:

Sea el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

Despejando la apotema tenemos:

Sustituimos la apotema por su valor:

Se puede ver en el dibujo que y la fórmula puede escribirse también

como .

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos

calcular su superficie.

Demostración de cómo hallar el área del Heptágono