1. 1. PER Ministerio de EducacinPER Ministerio de EducacinPER Ministerio de EducacinPER Ministerio de Educacin PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA EDUCACIN SECUNDARIA MDULODE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA L A G E O M E T R A A N U E S T R O A L R E D E D O R
2. 2. Mdulo de Actualizacin en Didctica de la Matemtica. La geometra a nuestro alrededor Educacin Secundaria MINISTERIO DE EDUCACIN Calle Del Comercio 193, San Borja, Lima, Per Telfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe Ministro de Educacin: Jaime Saavedra Chanduv Viceministro de Gestin Pedaggica: Flavio Figallo Rivadeneyra Directora General de Educacin Bsica Regular: Cecilia Ramrez Gamarra Elaboracin de contenido: Vernica Ugarte Galdos Zoe Anne Gillett de Pumayalli Edicin: Gerson Rivera Cisneros Revisin y organizacin pedaggica del enfoque: Pedro David Collanqui Colaboradores: Hugo Tamara Salazar Olber Muoz Sols Correccin de estilo: Cecilia Castillo Vargas Diagramacin: Christian Bendez Impresin: xxxxxxxxxx Tiraje: xxxxxxxxxx Primera edicin, primera impresin, xxxxx 2015 Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N. 2015-04619
3. 3. AGRADECIMIENTOS A la comunidad educativa, profesoras, personal administrativo, padres de familia y estudiantes de la I. E. Manuel Gonzles Prada, en especial al subdirector de Formacin General I lic. Faustino Jurupe Yampufe, a los profesores Joe Condori Marcos y Ezequiel Matos Prez y al auxiliar Jos Carlos Maldonado Huatuco.
4. 4. 4 Lectura previa: La geometra y sus aplicaciones ................................................... 13 Primera situacin para la reflexin pedaggica: Reconociendo regiones de amenaza de tsunamis y rutas de evacuacin...................................................................... 16 Resumen de la secuencia didctica de la situacin................................................ 30 TAREA: Reflexionando sobre la primera situacin propuesta ................................. 31 Primer taller presencial ....................................................................................... 33 Segunda situacin para la reflexin pedaggica: Diseando crculos de seguridad... 35 Resumen de la secuencia didctica de la situacin................................................ 49 TAREA: Reflexionando sobre la segunda situacin propuesta ................................ 50 Crculo de interaprendizaje colaborativo 1 ........................................................... 52 Orientaciones para la elaboracin de la propuesta de prctica pedaggica en el aula... 53 Profundizacin terica y pedaggica: Enseanza de la geometra .............................54 Recursos en lnea ............................................................................................... 67 TAREA: Sobre la profundizacin terica y pedaggica ........................................... 68 Segundo taller presencial ................................................................................... 70 Presentacin de las propuestas pedaggicas........................................................ 71 Foro de intercambio: Planificacin de las prcticas pedaggica .............................. 72 Crculo de interaprendizaje colaborativo 1 ........................................................... 73 Ejecucin de la prctica pedaggica 1 en el aula y elaboracin de la narracin documentada.............................................................................. 74 Tercer taller presencial ....................................................................................... 76 II. GEOMETRA I. INFORMACIN GENERAL Programa de Actualizacin en Didctica de la Matemtica - Educacin Secundaria..... 6 Presentacin del mdulo de actualizacin La geometra a nuestro alrededor ......... 8 Actividades y tareas........................................................................................... 9 Secuencia formativa del mdulo ......................................................................... 10 Productos previstos para este mdulo.................................................................. 12 CONTENIDO
5. 5. 5 Ejecucin de la prctica pedaggica 2 en el aula y elaboracin de la narracin documentada ............................................................................. 78 Crculo de interaprendizaje colaborativo 3............................................................ 79 Continuacin de la elaboracin de las narraciones documentadas.......................... 79 Crculo de interaprendizaje colaborativo 4............................................................ 80 Entrega de las propuestas y narraciones documentadas........................................ 81 Cuarto taller presencial....................................................................................... 82 Autoevaluacin del participante........................................................................... 83 Glosario ........................................................................................................... 84 Bibliografa ....................................................................................................... 86 Anexo 1. Organizacin del mdulo ...................................................................... 87
6. 6. 6 PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA CONDICIONES PARA APRENDER IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA la GEOMETRA a nuestro alrededor 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA
7. 7. 7 LOS DOCENTES PARTICIPANTES TEMARIO Reflexionan sobre su desempeo con relacin a la enseanza de geometra, reconociendo aciertos y proponiendo mejoras. Formulan secuencias didcticas contextualizadas y reales para desarrollar nociones de geometra usando diversas estrategias y considerando la pertinencia al contexto, necesidades e intereses de sus estudiantes.. Reconocen estrategias valiosas, desarrolladas en el mdulo o compartidas por otros docentes, y las incorporan en su actuar cotidiano. Resuelven adecuadamente problemas de geometra contextualizados con su realidad, y explica los aspectos claves, as como los pasos necesarios para su resolucin. Fortalecen sus competencias pedaggicas y disciplinares interactuando en comunidades de aprendizaje. Hacemos geometra en reas de recreacin de nuestro entorno Diseando crculos de seguridad Enseanza de la geometra
8. 8. 8 Este mdulo tiene por finalidad aportar a la prctica pedaggica que diariamente realizas en el aula para orientar a los estudiantes en el logro del aprendizaje fundamental relacionado con matemtica. En este sentido, te presentaremos dos situaciones didcticas: a. Hacemos geometra en reas de recreacin de nuestro entorno b. Diseando crculos de seguridad Esperamos que este mdulo contribuya al logro de los aprendizajes esperados de los estudiantes que estn a tu cargo. PRESENTACIN DEL MDULO DE ACTUALIZACIN en didctica de la Matemtica: LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR
9. 9. 9 En este mdulo, el participante de la modalidad semipresencial intervendr en talleres presenciales y crculos de interaprendizaje colaborativo. Adems, interactuar en un foro, elaborar propuestas pedaggicas para aplicarlas en el aula y presentar tareas y narraciones documentadas de la prctica realizada. El participante que siga la modalidad virtual (e-learning 1 o 2) participar en todas las actividades mencionadas, excepto en los talleres presenciales y los crculos de interaprendizaje. ACTIVIDADESYTAREAS A continuacin te presentamos la secuencia formativa del mdulo en la modalidad semipresencial.
10. 10. 10 FORODE Foro para plantear consultas, REFLEXIN 2 SITUACIN 2 SITUACIN PARA REFLEXIONAR1 REFLEXIN SOBRE LASITUACIN PRESENTADA1 TAREA TAREA TALLER PRESENCIAL CIAC CIAC LECTURA PREVIA EJECUCINDELA PRCTICA1 Y ELABORACIN DELANARRACIN DOCUMENTADA EJECUCINDELA PRCTICA2 Y ELABORACIN DELANARRACIN DOCUMENTADA CONTINUACINDELA ELABORACINDELAS NARRACIONES DOCUMENTADAS *CIAC: crculo de interaprendizaje colaborativo SECUENCIA FORMATIVA DEL MDULO 10
11. 11. 11 DUDAS dudas, sugerencias y dicultades sobre el mdulo. TALLER PRESENCIAL TALLER PRESENCIAL CIAC* CIAC PROFUNDIZACIN TERICAY PEDAGGICA AUTOEVALUACIN PRESENTACINDE LASPROPUESTASDE PRCTICAPEDAGGICA FORODEINTERCAMBIO: PLANIFICACINDELAS PRCTICAS1Y2 ENTREGA DE LASPROPUESTAS Y NARRACIONES DOCUMENTADAS TALLER PRESENCIAL TAREA (MODALIDAD SEMIPRESENCIAL) 11
12. 12. 12 Los productos previstos se elaborarn a partir de la planificacin e implementacin en el aula de dos propuestas pedaggicas, cada una de las cuales consiste en una secuencia didctica que puede durar una, dos o ms sesiones de aprendizaje. Estas propuestas se acompaarn de su respectiva narracin documentada. Estos productos son los siguientes: a.Una propuesta de prctica pedaggica y su narracin documentada sobre la resolucin de problemas con reas y permetros de tringulos, rectngulos y trapecios, las cuales se encuentran en "Primera situacin para la reflexin pedaggica" pedaggica de este mdulo. b.Una propuesta de prctica pedaggica y su narracin documentada sobre la resolucin de problemas con crculos y circunferencias, las cuales se desarrollan en la "Segunda situacin para la reflexin pedaggica" de este mdulo. Las propuestas se realizarn en el aula teniendo en cuenta las diversas caractersticas educativas de los estudiantes con el fin deplantear situaciones de aprendizaje pertinentes y con propsitos claros. PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MDULO Las narraciones documentadas irnacompaadas de evidencias delproceso (fotos, dilogos, trabajosde algn estudiante, entre otras). Nota
13. 13. 13 Naturaleza de los objetos geomtricos Antes de comenzar a estudiar la geometra y de ver cmo podemos ayudar a los nios a que aprendan geometra, consideramos necesario aclarar de qu trata esta rama de las matemticas y reflexionar sobre la naturaleza de sus objetos. El significado etimolgico de la palabra geometra, 'medida de la tierra', nos indica su origen de tipo prctico, relacionado con las actividades de reconstruccin de los lmites de las parcelas de terreno que tenan que hacer los egipcios, tras las inundaciones del Nilo. Pero la geometra dej, hace ya hace mucho tiempo de ocuparse de la medida de la tierra. Con los griegos, la geometra se interes por el mundo de las formas, la identificacin de sus componentes ms elementales y las relaciones y combinaciones entre dichos componentes. La geometra se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras como, punto, recta, plano, tringulo, polgono, poliedro, etc. Tales trminos y expresiones designan figuras geomtricas, las cuales son consideradas abstracciones, conceptos, entidades ideales o representaciones generales de una categora de objetos. Por tanto, hay que tener en cuenta que la naturaleza de los entes geomtricos es esencialmente distinta de los objetos perceptibles, como este ordenador, una mesa o un rbol. Un punto, una lnea, un plano, un crculo, etc., no tienen ninguna consistencia material, ningn peso, color, densidad, etc. Un problema didctico crucial es que, con frecuencia, usamos la misma palabra para referirnos a los objetos perceptibles con determinada forma geomtrica (el tringulo es un instrumento de percusin) y al concepto geomtrico correspondiente (el tringulo issceles). Adems, en la clase de matemticas, y en los textos escolares, no se diferencian los dos planos (objeto abstracto, realidad concreta) y encontramos expresiones como la siguiente: Dibuja una recta (un tringulo, etc.)". Como entidades abstractas que son, LECTURA PREVIA LA GEOMETRAY SUS APLICACIONES1 [[ 1 Recuperado de Godino y Ruiz (2002). Godino y Ruiz. "Cmo crear contextos adecuados para poder ensear matematizando? [...]necesitamos problemas matemticos que tengan un contexto significativo para los estudiantes". (Freudenthal, 1983: )
14. 14. 14 parece obvio que no se puede dibujar una recta o un tringulo. Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente. La recta, como entidad matemtica, es ilimitada y carece de espesor, no as los dibujos que se hacen de ella. Del mismo modo, un tringulo no es una pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el papel: es una forma controlada por su definicin. Las entidades matemticas y tambin las geomtricas son creadas en ltima instancia mediante definiciones, reglas que fijan el uso de los trminos y expresiones. Ciertamente que no sern reglas arbitrarias, sino que se harn de manera que sean tiles para la descripcin del mundo que nos rodea o de mundos imaginarios, pero su naturaleza hace que establecer una propiedad geomtrica (por ejemplo, que la suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo plano sea un ngulo llano) sea un acto esencialmente distinto al de descubrir que todos los leones son carnvoros. Esta naturaleza es de tipo gramatical (puesto que se deriva de las reglas de uso de las palabras y expresiones) y es la que concede a las entidades matemticas su carcter necesario, universal y atemporal. El lenguaje geomtrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo de las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamao y posicin en el espacio. Pero superada la primera fase de clasificacin de las formas, de identificacin de las propiedades de las clases de objetos y la creacin de un lenguaje que permita su descripcin de manera precisa, la actividad geomtrica se ocupa de estructurar el mundo de entidades geomtricas creadas y de deducir las consecuencias lgicas que se derivan de los convenios establecidos. Rpidamente somos arrojados fuera del cmodo mundo de nuestras percepciones para entrar en el mundo del lenguaje, de la gramtica y de la lgica. Cuando pedimos a un nio que entre una coleccin de paralelogramos identifique los rectngulos, no le exigimos que discrimine la forma perceptible de los rectngulos de entre las restantes figuras, sino que sea capaz de aplicar los convenios que hemos establecido para el uso de la palabra rectngulo. Siendo un poco exigentes, incluso podemos criticar la pertinencia de esa tarea, ya que visualmente es imposible saber si un romboide, cuyos ngulos miden 89 (y 91) debe ser considerado o no un rectngulo. La respuesta correcta que un nio debera dar sera algo as: "Si los ngulos de estas figuras son efectivamente rectos, entonces, decimos que son rectngulos; tambin debera incluir los cuadrados entre los rectngulos. Como conclusin, debemos tener claro que cuando hablamos de figuras o formas geomtricas no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque ciertamente los dibujos, imgenes y materializaciones concretas son, al menos en los primeros niveles del aprendizaje, la razn de ser del lenguaje geomtrico y el apoyo intuitivo para la formulacin de conjeturas sobre las relaciones entre las entidades y propiedades geomtricas.
15. 15. 15 Aplicaciones de la geometra La geometra estudia las formas de las figuras y los cuerpos geomtricos. Son muchas y variadas las aplicaciones de esta parte de las matemticas. En la vida cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones fsicas de esos objetos ideales de los que ella se ocupa. Una de las principales fuentes de estos objetos fsicos que evocan figuras y cuerpos geomtricos se encuentra en la propia naturaleza. Multitud de elementos naturales de distinta especie comparten la misma forma, como ocurre con las figuras en espiral (conchas marinas, caracoles, galaxias, hojas de los helechos, disposicin de las semillas del girasol, etc.). Igualmente encontramos semejanzas entre las ramificaciones de los rboles, el sistema arterial y las bifurcaciones de los ros; o entre los cristales, las pompas de jabn y las placas de los caparazones de las tortugas. La naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un nmero reducido de formas parecidas, y parece que tuviese predileccin por las formas serpenteantes, las espirales y las uniones de 120. Pensemos en la disposicin hexagonal perfecta de las celdillas de los panales de las abejas, cuyo interior se recubre de poliedros, como el rombododecaedro. El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imgenes ideales que obtiene de la observacin de la naturaleza: realiza objetos de cermica, dibujos, edificios y los ms diversos utensilios para proyectar en ellos las figuras geomtricas que ha perfeccionado en la mente. El entorno artstico y arquitectnico ha sido un importante factor de desarrollo de la geometra. As, desde la construccin de viviendas o monumentos funerarios (pirmides de Egipto) hasta templos de los ms diversos estilos, han impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geomtricas. Muchos trabajos, adems de los que desarrollan los matemticos, los arquitectos y los ingenieros, necesitan y usan la geometra: albailes, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados de latn), tejedores de alfombras, bordadoras (encajes de bolillos), decoradores, coregrafos, diseadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma ms o menos consciente, utilizan el espacio y las formas geomtricas. Tambin se encuentra la geometra en los juegos: billar (bolas y mesa en forma de doble cuadrado con rombos en los bordes), parchs, ajedrez, la rayuela, el juego de los barcos, as como multitud de juegos de ordenador. El mundo de los deportes est repleto de figuras geomtricas: ftbol (el rectngulo del campo, las reas, el baln, las porteras, etc.), baloncesto (canastas, zonas, campo, etc.), tenis, rugby, bisbol, etc. Seguramente el lector puede completar estas listas de situaciones y mbitos donde podemos encontrar objetos geomtricos, y cuyo manejo facilita el conocimiento de tales mbitos.
16. 16. 16 Esta situacin sucede en un en un aula de cuarto de Secundaria. Busca que los estudiantes se enfrenten a una problemtica real relacionada con los desastres naturales, para la cual deben usar mapas, obtener reas de regiones geomtricas regulares y no regulares, y emplear ngulos y razones trigonomtricas en contextos diversos. El nfasis de la situacin est en relacionar la informacin y desarrollar estrategias de resolucin que involucran el uso de la proporcionalidad. PRIMERA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA [[ RECONOCIENDO REGIONES DE AMENAZA DETSUNAMISY RUTAS DE EVACUACIN PROPSITO APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD CIERRE DE LA ACTIVIDAD Desarrollar la competencia Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin relacionada con modelos basados en mapas, obtencin de reas, uso de escalas y resolucin de problemas de ngulos y relaciones trigonomtricas. 1. PROPSITO Adaptar y combinar estrategias heursticas relacionadas con la proporcionalidad al re- solver problemas con ayuda de mapas o planos, recursos grficos, etctera. Describir diseos de planos a escala con regiones y formas bidimensionales. Expresar los procedimientos de diseos de planos a escala con regiones y formas bidi- mensionales. 2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES SECUENCIA DIDCTICA: RECONOCIENDO ZONAS DE RIEGOS HACIENDO USO DE MAPASTOPOGRFICOS 3. PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD El docente reconoce un problemtica relacionada con los desastres naturales. A partir de esta situacin se plantea las siguientes interrogantes: Qu aprendizajes voy a promover con esta situacin? Qu conocimientos espero que los estudiantes desarrollen? En las situaciones que nos rodean, reconocemos figuras geomtricas, cuando hacemos un proceso de abstraccin que expresa las las propiedades caractersticas del tamao y forma de dichas situaciones.
17. 17. 17 En la situacin donde se menciona el tsunami, se reconoce la necesidad de identificar o reproducir caractersticas de las zonas en peligro. Esto permite reconocer los atributos de formas bi y tridimensionales, ubicar la posicin de los objetos y reconocer relaciones entre ellos. Cules son las caractersticas de mis estudiantes? Qu esperara de ellos al desarrollar sus aprendizajes? En el VII ciclo los adolescentes estn en condiciones de desarrollar aprendizajes ms complejos. En lo social y emocional, vuelven ms autnomos y tienden a la formacin de grupos, en los que puedan expresarse expresarse y sentirse bien. El adolescente asume conscientemente los resultados de su creatividad, muestra inters por las experiencias cientficas. Se comunica de manera libre y autnoma en los diversos contextos donde interacta. Lo que se esperara de ellos es que manipulen adecuadamente mapas y planos, empleen la proporcionalidad en el uso de escalas, reconozcan cuando una forma geomtrica es regular e irregular. Con qu recursos cuento para plantear actividades y desarrollarlas? Esto involucra investigar entre otros aspectos, los siguientes sobre el tsunami: Reconocer cmo se origina. Cmo afecta a las olas que llegan a las costas. La distancia de penetracin de las olas. Qu hacer antes y durante el tsnami, etc. Qu conocimientos estn vinculados a esta situacin? Es necesario elaborar un esquema de los mapas. serepresentan mediante quetienen Coordenadas geogrcas Coordenadas cartesianas Figuras poligonales serepresentan Forma Tamao Reducir Ampliar cuadriculas Polgonos conocidos secalcula por sonde Tres tipos Geomtricamente MAPAS La supercie Grcas Numricas semiden Escalas TopogrcoGeogrco Perl altimtrico puedeser Regular Irregularestaspermiten
18. 18. 18 4. REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD a. Inicio El docente muestra una noticia a los estudiantes sobre un simulacro de sismo y tsunami que se llev a cabo en la regin, pero en el que solo particip el 40 % de la poblacin. A continuacin, el docente comparte con los estudiantes un hecho que sucedi hace algunos aos: El 23 de junio de 2001, como resultado de un evento ssmico de tsunami en Camana, provincia de Arequipa, se generaron tres olas, la mayor alcanz una altura de 8,14 m y caus la muerte de 23 personas, adems de 63 desaparecidos y cuantiosos daos materiales. Asimismo, el docente brinda informacin a los estudiantes respecto sobre las medidas de prevencin que se deben tomar ante un tsunami. El docente formula preguntas interrogantes (lluvia de ideas) a los estudiantes sobre el tsunami y las medidas de prevencin que se deben tomar. Asimismo, pregunta sobre el significado de 40%, si menor o mayor que la mitad, y en esta situacin qu significa. Esta situacin se desarrolla en el aula de Secundaria de un colegio de Arequipa. Arequipa: participacin en simulacro de sismo fue de 40 % La participacin de la ciudadana arequipea durante el I Simulacro Nacional de Sismo y Tsunami fue de solo el 40 %, de acuerdo con la evaluacin de la capacidad de respuesta realizada por el Centro de Operaciones de Emergencia de la Provincia de Arequipa. https://www.dhn.mil.pe/cnat/index.php?cat=tsunamis
19. 19. 19 El docente plantea la siguiente interrogante: si nuestra localidad se encuentra en una zona de la costa, qu debemos saber sobre ella para poder actuar en caso de un tsunami? A continuacin, muestra mapas de la regin que pertenece a la capitana de la caleta de Quilca, en Arequipa, la cual fue afectada por el tsunami del 2001.
20. 20. 20 En caso de emergencia, una de la recomendaciones es buscar zonas seguras que se encuentren en sitios altos, es decir, cuyas lneas de seguridad se ubiquen a 30 msnm. Si el lugar se halla a menos altitud, este se considera una zona de amenaza de tsunami. Los estudiantes se organizan en grupos de trabajo, analizan la informacin de los mapas y se plantean la problemtica que van a desarrollar. Al respecto, el docente plantea lo siguiente: "Supongamos que ustedes forman parte del co- mit de defensa civil de la caleta de Quilca. Qu estrategias llevaran a cabo para lograr una mayor participacin de la poblacin en los simulacros de evacuacin frente a los tsunamis?" Las cinco partes planteadas en esta situacin: reconoce un problema vinculado a la realidad, concreta una finalidad problemtica y reconoce como resolverla, hace suposiciones o experimenta, realiza la formulacin matemtica, y valida la solucin, responden a la propuesta de orientaciones didcticas para desarrollar prcticasdeaprendizajebasadasenproblemasdemodelacinmatemtica.Dicha propuesta se encuentra en el fascculo de Matemtica de las Rutas de Aprendizaje (Minedu 2015). I.
21. 21. 21 La docente garantiza que los estudiantes comprendan el problema en su contexto, y cuenten con los datos necesarios para resolverlo. Puede reconocerse cmo la docente pro- mueve que el estudiante participe y se conflictue, expresando sus ideas y nocio- nes matemticas en torno a la situacin mostrada. b. Desarrollo 1. Reconocer un problema muy vinculado a la realidad Miriam: Hemos reconocido que la informacin de los mapas y las imgenes nos ubican en la caleta de Quilca. Docente: Qu informacin nos proporcionan cada una de estas fuentes? Javier: Expresan lneas y curvas. Tambin nos indican lugares como el faro de Punta Quilca y el desembarcadero pesquero artesanal. Ximena: Adems, las lneas estn acompaadas de nmeros. Docente: Excelente, Ximena. Qu creen que significa que estos valores de las lneas? Miriam: Las lneas me indican las distancias que hay entre los lugares. Docente: Puedes explicar mejor esto con un ejemplo. Miriam: S, profesora. Por ejemplo, la distancia entre el faro de Punta Quilca y el puesto de capitana de la caleta de Quilca es de aproximadamente 180 metros, porque sum 60 m + 50 m + 40 m + 40 m, que son los valores que se indican en el mapa.
22. 22. 22 Docente: Qu opina el resto del equipo? Alberto: Uhm... Me parece que para conocer la distancia entre el faro de Punta Quilca y el puesto de capitana de la caleta de Quilca, se tiene que usar la informacin que se indica debajo del mapa, es decir, hacer uso de la escala. Ximena: Se muestra que el Faro est a una mayor... ahhh..., y que puerto de la capitana est ms cerca del mar. Miriam: Entonces las lneas que estn asociadas a los mapas nos permiten reconocer las diferentes alturas respecto al nivel del mar. Docente: Y para qu nos ser til toda esta informacin Alberto, Ximena, Javier y Miriam:Para hallar las regiones de hasta 30 metros sobre el nivel del mar que pueden ser afectadas por un Tsunami. Prudencio:Profesora, tambin se podra identificar las zonas de ms altura para evadir los estragos del tsunami y establecer una ruta de acceso a ellas segn la ubicacin de las personas. Docente: Muy bien, Prudencio. Qu conocimientos matemticos se deben desarrollar? conocimientos matemticos nos sern necesarios desarrollar. Miriam:uhmm... rea de regiones regulares e irregulares. Lectura de mapas a escala grfica. Empleo de escalas Procedimientos de conversin de unidades. Docente: Muy bien. Les parece si en esta situacin concretamos nuestro objetivo? Vamos a reconocer los lugares que podran ser considerados zonas de riesgo de tsunami y las reas aproximadas que seran afectadas. Docente: Si tomamos como ejemplo el faro de Punta Quilca, qu reconocemos entre los dos mapas?
23. 23. 23 2.Concretar una finalidad problemtica y reconocer cmo resolverla Jaime: Profesora, hemos marcado con un color las zonas que seran afectadas por un tsunami. Docente: Muy bien, y caractersticas tienen esas zonas? Pamela: En esta situacin tenemos problemas, profesora, debido a que muestran tienen formas irregulares. Docente: Y por qu tienen formas irregulares? Fiorella: Es que las curvas nos han indicado las variaciones de altura que hay respecto al nivel del mar, adems, estas curvas no son regulares. Docente: Timoteo, cmo podramos hallar el rea en regiones irregulares? Timoteo: Podemos calcular un valor aproximado reconociendo figuras regulares conocidas. Jaime: S, y podemos generar cuadrculas en todo el mapa; consideraramos la medida a escala Podemos reconocer formas geomtricas basadas en cuadrados y rectngulos con el fin de obtener la superficie. 6,5 cm < > 250 m Lado del cuadrado = 0,5 cm Lado del cuadrado = 1,6 cm c. Hace suposiciones o experimentar Desarrollo del grupo 01
24. 24. 24 Todos los lados del cuadrado = 0,5 cm d. Realizar la formulacin matemtica Desarrollo del grupo 01 Hay 6 cuadrados que miden aprox. 1,6 cm por lado. Hay 142 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado. Obtenemos el valor real de los cuadrados que miden 1,6 cm por lado, empleando la escala grfica. Obtenemos el valor real de los cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado, usando la escala grfica. rea del cuadrado (de aprox. 1.6 cm) = (61.54) (61.54) rea del cuadrado (de aprox. 1.6 cm) = 3787.17 m2 Se cuenta con 6 cuadrados= 6 (3787.17 m2 ) = aprox. 22723.02 m2 L1 = aprox. 61,14 cm L1 = aprox. 19,23 cm Si: Si: = 6,5 cm 1,6 cm 250m L1 = 6,5 cm 0,5 cm 250m L1 =L 250m(1,6cm) (6,5 cm)1 =L 250m(0,5 cm) (6,5 cm)1
25. 25. 25 rea del cuadrado (de aprox. 0,5 cm de lado) = (19,23) (19,23) rea del cuadrado (de aprox. 0,5 cm) = 369,79 m2 Se cuenta con 142 cuadrados = 142 (369,79 m2 )= aprox. 52 510,18 m2 Total de rea aproximada afectada por un tsunami. Se cuenta con 6 cuadrados = 6(3 787,17 m2 ) = aprox. 22 723,02 m2 Se cuenta con 142 cuadrados = 142(369,79 m2 ) = aprox. 52 510,18 m2 Total rea aprox. = 22 723,02 m2 + 52 510,18 m2 En el caso de los cuadrados que miden 0,5 cm por lado: Se considera el conteo de los cuadrados y se halla el rea: 179 x 0,25 cm2 = 44,75 cm2 104 x 0,25 cm2 = 26 cm2 rea total = 70,75 cm2 (1) La escala grfica muestra lo siguiente: 6,5 cm 250 m 1 cm x Si: 1 cm 38,46 m Considerando (1): 1 cm2 1 479,2 m2 70,75 cm2 y Por tanto, el: El rea total de la superficie menor o igual que 30 msnm es la siguiente: 11 cm2 1 479,2 m2 Total rea aprox. = 75 233,2 m2 Desarrollo del grupo 02 0,5 cm 0,5cm A = (0,5 cm)2 = 0,25 cm2 x x= = 1cm x 250 cm 6.5 cm 38.46m y y= = 70.75cm x1 479,2 cm 1cm 104 653.4m 2 2 2 2 rea total = 104 653,4 m2
26. 26. 26 e.Validacin de la solucin Solucin obtenida por el grupo 1 Solucin obtenida por el grupo 2 Hay 6 cuadrados que miden aprox. 1, 6 cm por lado. Hay 142 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado. Un rea total de 75 233,2 m2 . Hay 179 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado. Hay 104 cuadrados compuestos que miden aprox. 0,5 cm por lado. Un rea total de 104 653,4 m2 . Docente: Qu estamos reconociendo de las respuestas y procedimientos desarrollados? Javier: Que los resultados y grficos de cada grupo son diferentes. Ximena: Profesora, en un grfico se reconoce que las medidas son de 1,6 cm, mientras que en otro son de 0,5 cm. Docente: Se debe a estas medidas el que no se obtuvieran los mismos valores? Miriam: Es que han sido aproximaciones, adems, hay regiones irregulares. Ximena: Profesora, lo que pasa es que nuestro grupo no consider en el conteo las regiones irregulares como...(grupo 1)
27. 27. 27 Docente: Qu hizo el grupo 2 en esta situacin? Javier: Docente: Qu opinan del procedimiento? Cmo podramos obtener con ms precisin el rea de esta zona de Quilca? Miriam: Podramos cuadricular ms estas regiones y reconocer sus medidas, es decir, dividir los cuadraditos de 0,5 cm de lado a cuadraditos de 0,1 cm x 0,1 cm. Docente: Qu les parece si comprobamos la afirmacin de Miriam resolviendo la siguiente situacin? (grupo 2) Cuadrados de 0,1 cm
28. 28. 28 Docente: Qu conclusiones podemos sacar de la experiencia? Ximena: Mientras ms pequea sea la regin que se toma como referencia en la medida de las figuras irregulares, ms precisa es esta medida. Javier: Hemos visto un tipo de mapas en de mapas, donde es importante reconocer informacin sobre la escala y los relieves de las regiones, que en este caso son zonas de riesgo. Fiorella: Tambin hemos usado medidas, conversiones de medidas y relaciones de proporcionalidad. DESCRIPCIN DEL MAPA: ZONA DE ALTO PELIGRO: (es de color rojo. Est circunscrita a un rea semicircular alre- dedor del crter. ZONA DE MODERADO PELIGRO: (es de color naranja. Se extiende desde los 3.0 km hasta una distancia mxima de 12 km (flanco sur) del crter. ZONA DE BAJO PELIGRO: es de color amarillo. Seproyecta hasta un radio aproximado de 16 km alrededor del crter. 5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD El docente aclara trminos que surgieron durante la participacin de los estudiantes. Estos se relacionan con los siguientes conceptos: Relaciones proporcionales. Regiones regulares e irregulares. Valores de reas en cm2 y m2 . Asimismo, explica la siguiente informacin sobre los mapas topogrficos:respecto a los mapas topogrficos: Dada la forma tridimensional de una parte deL terreno, se dibujan sobre una superficie plana algunas lneas curvas, llamadas curvas de nivel, en las que confluyen todos los puntos que tienen la misma cota. Cerca de algunas curvas de nivel se indica la altura en metros respecto al nivel del mar.
29. 29. 29 SUGERENCIAS METODOLGICAS Acciones que favorecen la aplicacin de los conocimientos geomtricos en problemas reales: Acciones que dificultan la aplicacin de los conocimientos geomtricos en problemas reales: Promover actividades de representacin de figuras y cuerpos, en las que se trate un objeto desde varios puntos de vista y con diversos procedimientos. Por ejemplo: Disear esquemas de superficies a partir de un contexto dado. Plegar y cortar figuras de tal manera que se aprecien los atributos de forma y propiedades. Determinar el rea y el permetro de regiones sombreadas regulares e irregulares. Considerar diferentes puntos de vista o reconocerlos a partir de relacionar variadas fuentes. Los estudiantes pueden reconocer una nica representacin de un concepto, de modo que generan la representacin de un objeto particular y no de un objeto geomtrico general. Por ejemplo: Un ngulo recto debe tener siempre un ngulo horizontal. Para ser lado de una figura, el lado debe de ser siempre vertical. A partir de situaciones basadas en formas dadas, promover la reproduccin de formas geomtricas de similar o distinto tamao para explorar en ellas. Por ejemplo: Recortar o reproducir una figura igual, de mayor o menor dimensin. Promover que los estudiantes escuchen, localicen, lean, relacionen e interpreten informacin geomtrica que se obtiene de diferentes fuentes. Por ejemplo: Seguir instrucciones escritas. Atribuir significado a los smbolos convencionales. Inventar smbolos y luego compararlos con los convencionales. No tener cuidado con trminos que tienen sonido parecido, pero significado distinto; por ejemplo: razn y radio, generatriz y bisectriz, etc. Usar trminos del lenguaje cotidiano cuando no significan lo mismo en trminos matemticos. Por ejemplo: Lnea y recta Borde y permetro Congruente e igual Direccin y sentido, etc. A Lado LadoLado Lado B O 90 90 90 90 90
30. 30. 30 Resumen de la secuencia didctica de la situacin INICIO DESARROLLO CIERRE Presentacin de una situacin relacionada con la prevencin de riesgos. Fuentes de informacin Relacionan fuentes de informacin Concretan una nalidad relacionada con el uso de escalas, mapas y reas en regiones irregulares Empleo de instrumentos (tambin se pueden utilizar las TIC, por ejemplo, Google Earth), desarrollo trazos a partir de diversos puntos de vista. Uso de la proporcionalidad para identicar relaciones entre cantidades y establecer valores en cm, cm2 , m y m2 . Caractersticas de los mapas topogrcos, reconocimiento de procedimientos para calcular el valor de rea de regiones en mapas o planos a escala. Conexiones con saberes previosReconocer un problema vinculado a la realidad Los estudiantes analizan y asocian informacin sobre el reconocimiento de zonas de riesgo de tsunami. Concretar una nalidad problemtica y y establecer cmo resolverla En equipos de trabajo, los estudiantes se plantean cmo localizar la zona de riesgo de tsunami, as como el rea que se vera afectada. Lanzar suposiciones o experimentar Cada grupo de trabajo entiende que es necesario hallar el rea de las regiones irregulares. Para conseguirlo, utilizan diversos planteamientos de solucin, a partir de instrumentos y trazos. Realizar la formulacin matemtica Los grupos ubican el rea de la regin expuesta a un tsunami, gracias a valores de equivalencia relacionados a escala, conceptos de rea y regiones conocidas basadas en cuadrados. Validar la solucin Los estudiantes obtienen diversos valores a como solucin del problema, debido a los diversos mtodos efectuados. Sin embargo, comprueban que mientras ms pequeas sean las unidades de referencia, los resultados se aproximan ms a los valores reales de la supercie de la situacin. Los estudiantes reconocen los procedimientos efectuados para calcular el rea de las zonas de tsunami y transeren los conocimientos a otra situacin. Fuentes de informacin Razn, proporcionalidad, escalas Conversin de unidades Regiones regulares e irregulares
31. 31. 31 Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la primera situacin propuesta segn las indicaciones y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA PRIMERA SITUACIN PROPUESTA Reflexiona sobre la situacin planteada y, a partir de ella, responde las siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. Segn la situacin planteada: a. Revisa los comentarios del docente durante la situacin planteada e identifica momen- tos en que los estudiantes llevan a cabo lo siguiente: Relacionan informacin a partir de dos fuentes. Tienen conflictos que pueden generar la lectura de un mapa topogrfico. Las acciones que ejecutan los orientan a a superar el conflicto. Seleccionan y utilizan la unidad de referencia apropiada para determinar las regio- nes sombreadas. 1. ANLISIS DELTEXTO a. Qu aspectos del rol desempeado por el docente implementas en tu aula? b. Segn tu experiencia, menciona un factor que favorece la aplicacin de conocimientos geomtricos en situaciones reales, as como uno que lo dificulta (deben ser distintos a los de la tabla de sugerencias metodolgicas). Identifica dos aspectos de tu entorno que puedes considerar al momento de plantear situaciones problemticas relacionadas con el empleo de mapas a escala. Revisa el "Mapa de progreso de la competencia" (Minedu 2015:110-114). a. Identifica aspectos relacionados con esta situacin. b. Describe los aspectos que aplicaras en una sesin correspondiente. 2. RELACIN CONTU PRCTICA PEDAGGICA 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 4. RELACIN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL
32. 32. 32 Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mate Sec Geo Tarea 1_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
33. 33. 33 PRIMERTALLER PRESENCIAL Los talleres presenciales tienen como finalidad acompaar a los do- centes en su proceso de formacin profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexin sobre la didctica de la matemtica desde el enfoque basado en la resolucin de problemas. Ofrecen informacin actualizada y difunden prcticas pedaggicas, secuencias didcticas, actividades, videos y publicaciones especficas. Generan un clima de confianza y camaradera entre los docentes. 1. PROPSITOS El participante: Se presenta ante el grupo y expresa sus inquietudes y expectativas sobre el mdulo; se familiariza con este y aclara dudas sobre que ah se plantean. Comparte con los otros docentes su comprensin sobre las propuestas pedaggicas que debe aplicar el aula, as como las narraciones documentadas respectivas. Propone actividades relacionadas con las nociones previas para el reconocimiento de reas en regiones irregulares a partir de mapas topogrficos. Comparte sus opiniones sobre la lectura motivadora. Comparte con otros docentes sus ideas acerca de cmo se construyen las nociones de permetro y rea de figuras planas considerando mapas y planos. Comparte sus respuestas sobre la tarea que se desarroll en la primera situacin de aprendizaje.primera situacin de aprendizaje.
34. 34. 34 Aplicar en el aula nuevas estrategias aprendidas en el taller. Iniciar el diseo de las propuestas de las prcticas pedaggicas que se aplicarn en el aula. Organizar un cronograma de fechas en la que cada docente comparta con sus colegas estrategias didcticas sobre la enseanza de la geometra. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS 2. TEMAS ATRATAR: Lectura previa: La recta y el punto: un romance matemtico. Situacin para la reflexin pedaggica 1: Aplicamos la geometra en reas de recreacin de nuestro entorno. Esquema del mdulo, tareas, orientaciones para la propuesta de prctica pedaggica y orientaciones para la narracin documentada.
35. 35. 35 SEGUNDA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA [[DISEANDO CRCULOS DE SEGURIDAD Esta situacin se plantea a los estudiantes, a fin de que propongan alarmas de Tsunami, reconozcan el valor de distancias inaccesibles, empleando conocimientos sobre el teorema de Pitgoras, la circunferencia y puntos notables, poniendo nfasis en las estrategias de resolucin de problemas. PROPSITO APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD CIERRE DE LA ACTIVIDAD Desarrollar la competencia de "Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin", empleando conocimientos del teorema de Pitgoras, el punto notable circuncentro para resolver un problema de su comunidad. Seleccionar informacin para obtener datos relevantes en situaciones de distancias inaccesibles, ubicacin de cuerpos, y de superficies, con el fin de dar a conocer un modelo que refiera a relaciones mtricas de un tringulo rectngulo, el teorema de Pitgoras y ngulos de elevacin y depresin. Expresar las relaciones mtricas en un tringulo rectngulo (teorema de Pitgoras). Emplear procedimientos con lneas y puntos notables del tringulo y la circunferencia al resolver problemas. Expresar las lneas y puntos notables del tringulo usando terminologas, reglas y convenciones matemticas. 1. PROPSITO 2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES 3. PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD El docente reconoce una problemtica relacionada con la prevencin de riesgos. A partir de la situacin se plantea las siguientes interrogantes. SECUENCIA DIDCTICA: PROPONEMOS ALARMAS PARA ALERTAR DETSUNAMIS HACIENDO USO DE LA GEOMETRA
36. 36. 36 Qu aprendizajes voy a promover con esta situacin? Qu conocimientos espero que los estudiantes adquieran? En esta situacin los estudiantes van a analizar informacin, realizar trazos, emplear escala. Con esto, se pretende que los estudiantes resuelvan problemas. Cules son las caractersticas de mis estudiantes? Qu esperara de ellos al desarrollar sus aprendizajes? En el VII ciclo los adolescentes estn en condiciones de desarrollar aprendizajes ms complejos. En lo social y emocional, se vuelven ms autnomos, tienden a la formacin de grupos, en los cuales pueden expresarse y sentirse bien. El adolescente asume conscientemente los resultados de su creatividad, muestra inters por las experiencias cientficas. Y se comunica de manera libre y autnoma en los diversos contextos donde interacta. Con que recursos cuento para plantear actividades y llevarlas a cabo? Esto involucra analizarla siguiente informacin en torno al punto de la capitana de Quilca. Reconocer las distancias a partir de las condiciones del problema. Emplear escalas. Hallar ngulos de elevacin y depresin. Qu conocimientos se vinculan con esta situacin? PUNTOS NOTABLES Para hallar ngulos de elevacin CIRCUNCENTRO Interseccin de mediatrices Circuncentro RELACIONES MTRICAS TEOREMA DE PITGORAS Lnea de mira ngulo de elevacin Observador Lnea horizontal Objeto TRINGULOS MEDIANAALTURABISECTRIZMEDIATRIZ LNEAS NOTABLES Para hallar distancias inaccesibles A c b aC B c2 =a2 +b2 LADOS VRTICES NGULOS
37. 37. 37 4. REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD: a. Inicio El docente muestra el afiche informativo de un sistema de alerta para tsunamis. Asimismo, ensea el mapa topogrfico de la regin de la capitana de Quilca. TSUNAMI SISTEMAS DE ALERTA TEMPRANA Sirenas de alta potencia, voz y sonido; cobertura individual de un radio de 250 m aproximadamente, segn condiciones de terreno. Bocinas fabricadas en aluminio de alta resistencia frente a condiciones ambientales. Unidad de control en gabinete metlico, para instalacin en intemperie. Alimentacin monofsica de 220 vac con respaldo de bateras. Esta situacin presenta en el aula de Secundaria de un I. E. en Arequipa.
38. 38. 38 El docente plantea la siguiente situacin: La capitana de Quilca se dispone a instalar sistemas de alarmas, contra tsunamis por encima de las zonas de riesgo como una medida de prevencin. De esta forma, la poblacin podr reconocer la procedencia de la alerta y dirigirse a ese lugar. Propn lugares donde ubicaras las alarmas y justifica su radio de accin con respecto a la poblacin. Calcula la distancia entre el puesto de capitana y cada alarma (considerar que los postes para las alarmas tienen una altura aprox. de 5 m). Halla el ngulo de elevacin con que el jefe de capitana verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas asume que la altura promedio de una persona es 1,75 m). Si deseas instalar tres postes de alarma tomando como criterio que estn en la misma distancia que puesto de la capitana y cumplan su funcin, ubica en el mapa qu puntos seran. Al respecto, el docente plantea lo siguiente: supongamos que ustedes forman parte del comit de defensa civil de la caleta de Quilca. Qu procedimientos llevaran a cabo para ubicarlas zonas seguras y rutas de acceso con el fin de promover la realizacin consciente de simulacros y as consciente de simulacros y evitar prdidas de vidas humanas? Los estudiantes se organizan en grupos de trabajo, analizan la informacin de los mapas e imgenes, y se plantean la problemtica que van a desarrollar. A continuacin, se muestra el desarrollo de un taller matemtico, el objetivo de esta orientacin didcticaesqueelestudianteseenfrente aproblemascon un gradode complejidadparaque mo- vilicen sus competencias y capacides desarrolladas. Esto involucra lo siguiente: La familiarizacin. Problemas de traduccin simple Problemas de traduccin compleja Problemas de interpretacin, aplicacin y valoracin Del documento Rutas del Aprendizaje, versin 2015. Matemtica, ciclo VII. b. Desarrollo Familiarizacin De acuerdo con la problemtica que se plantea en la situacin, los estudiantes reconocen condiciones que se exponen. Por ejemplo, para resolver el primer problema, ubican las zonas pobladas en el mapa y las resaltan con un color, con el fin de saber dnde se colocaran las alarmas de prevencin contra tsunamis.
39. 39. 39 A continuacin, los estudiantes reconocen y plantean propuestas basadas en razonamientos sobre la ubicacin de las alarmas. Docente: Cmo van, chicos? Maritza: Profesora, hemos llegado a la conclusin de que para proponer las alarmas debemos de saber las zonas que estn pobladas en Quilca. Docente: Qu otras condiciones debemos saber para ubicar las alarmas? Jaime: Profesora, debemos conocer la medida del radio de accin de las alarmas. Estas tienen que estar distribuidas de tal forma que no sobren ni falten. Docente: Y como hallamos este radio de accin. Evelyn: Segn lo que nos indica la situacin, el radio de accin es de 250 m. Podemos emplear la escala grfica para hallar este valor en el mapa. PROBLEMA DE TRADUCCIN SIMPLE Grupo 01 Actividad 01 Plantea tres lugares donde ubicaras las alarmas, justificando su radio de accin con respecto a la poblacin.
40. 40. 40 Los estudiantes por medio de la regla y compas van proponiendo las zonas donde se colocaran las alarmas. La docente adopta el rol de coordinadora y solo interviene como mediadora. Cada grupo de trabajo expresa sus planteamientos, los cuales se basan en razonamientos consensuados entre los miembros. Por ejemplo, el grupo 2, ubicara un poste para la alarma cerca del faro, mientras que el grupo 1 lo colocara en el otro extremo de la baha . Reconocimiento para una alarma. Grupo 02 Actividad 2 Halla la distancia entre el puesto de la capitana y cada alarma (considerar que los postes para las alarmas tienen una altura aprox. de 5 metros). a. Reconociendo la distancia entre el punto de capitana (P) y la alarma (A). b. Hallando el valor real de la distancia AP como base. L1 = aprox. 165,4 cm Si: L 250m(4.3cm) (6.5 cm)1 = A B Alturasobre elniveldelmar 350 300 250 200 150 100 50 0 0 3 6 91 4 7 10 122 5 8 11 13 14 15 16 ro 6,5 cm 250 m 4,3 cm L1 =
41. 41. 41 c. Expresando los valores y condiciones del problema en forma grfica d. Hallando el valor d1 . En el ABP: (d1 ) = (35 m)2 + (165,4 m)2 d (35m) (165,4m) d 1225m 27357,16m d 169.1m 1 2 2 1 2 2 1 2 = + = + = La resolucin de este problema involucra varias etapas, entre las que se encuentran las siguientes: Identificar los datos en el mapa. Hallar el valor real a partir de la escala grfica. Representar la situacin y considerar puntos particulares en un soporte grfico. Formular una ecuacin (basada en el teorema de Pitgoras) para resolver el problema. El estudiante puede plantearse interrogantes para reconocer la resolucin de un problema mostrado. Es decir, el desarrollo de este problema involucra la movilizacin y combinacin de estrategias heursticas. Capitana de Quilca 165,54 m d1 35 m 10 m 5 m 165,4 m d1 35 m A P B
42. 42. 42 Actividad 3 Halla el ngulo de elevacin con que el jefe de capitana verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas (se asume que la altura promedio de una persona es 1,75 m). Hallando el ngulo de elevacin con el que el jefe de capitana puede ver una alarma para verificar su permanencia y funcionamiento. a. Reconociendo la distancia entre el punto de capitana (P) y la alarma (A). b. Expresando los valores y condiciones del problema en forma grfica. c. Hallando el valor d1 . A B Capitana de Quilca Lnea de mira ngulo de elevacin Lnea horizontal 165,4 m d1 33,25 m 1,75 m 10 m 5 m 165.4 m d1 33,25 m A P B
43. 43. 43 En el ABP: Para: d. Usand la tabla de valores naturales de las RT. Tg 33,25m 165,4 m Tg 0,2 = = Tg 0,2 = Ang. Sen Cen Tan Ctg Sec Cosec 0 00 0,0000 1,0000 0,0000 --------- 1,0000 --------- 90 00' 1 00 0,0175 0,9998 0,0175 57,290 1,0002 57,299 89 00' 2 00 0,0349 0,9994 0,0349 28,636 1,0006 28,654 88 00' 3 00 0,0523 0,9986 0,0524 19,081 1,0014 19,107 87 00' 4 00 0,0698 0,9976 0,0699 14,301 1,0024 14,336 86 00' 5 00 0,0872 0,9962 0,0875 11,430 1,0038 11,474 85 00' 6 00 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144 1,0055 9,5668 84 00' 7 00 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443 1,0075 8,2055 83 00' 8 00 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154 1,0098 7,1853 82 00' 9 00 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138 1,0125 6,3925 81 00' 10 00 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713 1,0154 5,7588 80 00' 11 00 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446 1,0187 5,2408 79 00' 13 00 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046 1,0223 4,8097 78 00' Toma el valor aproximado de 11. El ngulo de elevacin con que observa una persona la alarma sealada es de 11 aprox. = 11 En la resolucin de este tipo de problemas de traduccin compleja, en la que se desarrollan varias etapas y estrategias heursticas, el docente promueve la reflexin del estudiante planteando interrogantes. Por ejemplo: Qu procedimientos te permitieron resolver el pro- blema? En que parte del problema encontraste una dificul- tad?, cmo la superaste? Si ahora quisiramos hallar la distancia del obser- vador a la alarma, cmo variaran los datos en relacin con la actividad 2? Es decir, en el desarrollo de este problema involucra la movilizacin y combinacin de estrategias heursticas.
44. 44. 44 Problemas de interpretacin, aplicacin y valoracin Actividad 04 La instalacin de las alarmas, requieren de una unidad de control, que equidiste de las ubicaciones de las tres alarmas planteadas. Reconoce dnde estara situada la unidad de control y toma en consideracin que debe encontrarse fuera de la zona de riesgo de tsunami. Para esta actividad, podrs considerar hacer ajustes a la propuesta inicial desarrollada en la primera actividad. A continuacin, se muestra el fragmento de un dilogo, en el cual se reconoce que el empleo del concepto de la mediatriz est relacionado con el del circuncentro, el cual es importante para hallar el punto en que equidistan las alarmas planteadas en el problema. En los dos extractos siguientes de la clase, se ilustran formas de razonamiento para llevar a cabo una construccin geomtrica con respecto al problema. En la primera seccin, un estudiante pretende utilizar un procedimiento de construccin del punto medio del segmento, para lo cual utiliza una regla graduada. Docente: Por tanto, la mediatriz del segmento no es nada ms que la lnea recta perpendicular a dicho segmento, al que divide en dos partes exactamente iguales, de acuerdo? La divisin se hace para conseguir el punto medio de ese segmento y partirlo en dos partes iguales. Alexnder:Podra medirla con esto? (Levanta una regla). Docente: Podra medirlo con la regla, pero me saldra exactamente igual. Podra... Patricio: Con el comps. Docente: Con el comps... (agarra el comps). El comps es el instrumento de medida adecuado para que el centro del segmento me salga a la perfeccin. Por otro lado, en el extracto que aparece a continuacin docente comprueba que la construccin cumple las propiedades de la definicin. Docente: Por tanto, una condicin es que la recta que divide el segmento en dos partes iguales es la mediatriz del segmento que ha de ser perpendicular. Cmo El desarrollo de este tipo de problemas adquiere de un alto grado de complejidad debido a que involucra la movilizacin de referentes conceptuales y el desarrollo de procedimientos creativos, debidamente justificados en la solucin.
45. 45. 45 Asimismo, con respecto a la situacin planteada, algunos grupos de trabajo van a ubicar la unidad de control dentro de la zona de riesgo de tsunami; por esto, va a realizar ajustes a la propuesta empleando los conceptos de circuncentro y mediatrices. Igualmente, el procedimiento requiere una lectura y comprensin del mapa para que se puedan proponer otros puntos de ubicacin de las alarmas. puedo yo saber si estas dos rectas son perpendiculares? De qu manera lo puedo verificar? Perpendicular (con las manos seala los cuatro cuadrantes que se forman en la interseccin del segmento y la recta perpendicular a este). Hugo: Midindolo con el transportador de ngulos. Docente: Midindolo con el transportador de ngulos (agarra el transportador de ngulos). Anely: Es un ngulo recto. Docente: Y me tiene que dar... Kenny: Un ngulo recto, noventa grados. Docente: ... y me tiene que dar cuatro ngulos rectos. Uno, dos, tres y cuatro. Si yo pongo el transportador de ngulos aqu (coloca el transportador sobre el segmento y mide el ngulo del primer cuadrante) y lo hago coincidir, seguro que, que me sale perfectamente un ngulo de 90. Lo ven? Si lo pongo al revs, aqu me sale tambin exactamente 90. Por lo tanto, yo puedo decir que la mediatriz del segmento y que lo divide en dos partes perfectamente iguales. Exactamente.
46. 46. 46 En las siguientes propuestas los estudiantes han desarrollado las mediatrices respecto a los lados, los cuales resultan de la triangulacin de los lugares de las alarmas, as como del empleo del circuncentro. Propuesta 2 Unidad de control Alarma 2 Alarma 3 Alarma 1 Propuesta 1 Alarma 2 Alarma 3 Unidad de control Alarma 1
47. 47. 47 Respecto al problema 3 5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD Los estudiantes en grupos de trabajo elaboran organizadores. En ellos se muestran los pasos para resolver los problemas planteados y los conceptos que han empleado en dicho proceso. Respecto al problema 4 Trazo de mediatrices Punto equidistante Seleccinde puntos Uninde puntos Construccin dela circunferencia Trazo deltringulo Interseccin de mediatrices Por ejemplo: Por ejemplo: Para hallar el ngulo de elevacin con que el jefe de la capitana verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas. NGULO DEELEVACIN Seconsideralaalturadel puntodelacapitanaylaaltura delapersonaqueobserva. AplicacindeR.T. Modelacin delasituacin AplicacindeR.T. Usodelaescala grca Conversin decmam Establecelosvalores deloscatetos Aplicacin detangente Usodelatabla devaloresnaturales delasR.T. 158,1 m 33,25m
48. 48. 48 SUGERENCIAS METODOLGICAS Acciones que favorecen la aplicacin de los conocimientos geomtricos en problemas reales. Acciones que dificultan la aplicacin de los conocimientos geomtricos en problemas reales. Un aprendizaje significativo de conceptos y propiedades de la geometra debe ir de la mano con la realizacin de actividades de comprobacin y verificacin. Por ello, es aconsejable efectuar actividades de construccin con regla y compas, a la vez que se desarrollan y profundizan en los conocimientos geomtricos. Los procedimientos deben ponerse en prctica de una manera sencilla. El uso de mtodos de organizacin de ideas, como como los mapas conceptu- ales o mentales, permite representar los conceptos relacionados con smbolos. As, un mapa mental parte de una palabra central, alrededor de la cual se definen cinco a diez ideas principales que guardan relacin con ella. Plantear a los estudiantes, situaciones de desafo en las que deban utilizar uno o ms procedimientos de construccin aprendidos. A la vez, darles libertad para que apliquen su creatividad en la resolucin de dichos problemas. A continuacin, veamos algunos. Inducir a los estudiantes a realizar algunos trazos auxiliares en la resolucin de ciertos problemas les dar un panorama cada vez ms amplio de las potencialidades de las propiedades en la resolucin de problemas. Planteamiento de prcticas totalmente desligas de una construccin geomtrica. En otras palabras, se desarrolla una geometra que no se encuentra sostenida por una base espacial suficientemente slida. No tener en cuenta los recursos didcticos estructurados, semiestructurados ni los recursos TIC (geoplano, plantillas de figuras, etc.) para la construccin de los conceptos geomtricos se convierte en una fuente inagotable de obstculos didcticos que quitan consistencia y rigor al aprendizaje de esta materia. La enseanza de la geometra, basada en mtodos de demostracin y en ejercicios tipos de aplicacin de reglas y algoritmos geomtricos, permite resolver problemas del mundo real y otras disciplinas.
49. 49. 49 Resumen de la secuencia didctica de la situacin INICIO DESARROLLO CIERRE Presentacin de una situacin relacionada con desastres naturales. Fuentes de informacin Identicar informacin relevante Proponer tres puntos para instalar alarmas de tsunami Problemas para hallar distancias y longitudes inaccesibles Dicultades para reconocer puntos equidistantes Concepto de mediatriz y circuncentro Conexiones con saberes previos Familiarizacin Los estudiantes analizan y relacionan informacin respecto a la imple- mentacin de alarmas. Problemas de traduccin simple Los estudiantes realizan trazos a partir de las condiciones dadas en la situacin; los planteamientos son variados en cada grupo de trabajo. Problemas de traduccin compleja Los estudiantes desarrollan representa- ciones grcas, en las que reejan las condiciones del problema, adems, efectan varios procesos y emplean de forma exible estrategias heursticas. Problemas de interpretacin, aplicacin y valoracin Los estudiantes emplean conceptos sobre puntos y lneas notables asociadas al tringulo. Sus trazos a realizan reeren a un proceso ms reexivo respecto a la condicin del problema. Los estudiantes reconocen los procedimientos que se llevan a cabo para establecer las zonas de Tsunanmi, y como obtener el rea, lo traseren a otra situacin. Fuentes de informacin Trazos asociados a la circunferencia Regiones regulares e irregulares Teorema de Pitgoras ngulo de elevacin y depresin
50. 50. 50 TAREA Luego de leer el texto, responde las siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. Seala tres procesos de aprendizaje que hayas observado en la situacin que has ledo. Seala en qu parte se evidencian dichos procesos y explcalos (usa de referencia la pgina 19 del Mdulo de Actualizacin sobre Condiciones para Aprender). 1. ANLISIS DELTEXTO Primero, revisa los textos Resolvamos 1 y Resolvamos 2, y encuentra dos problemas relacionados con la geometra. Segundo, revisa la pgina 114 de la Rutas del Aprendizaje, versin 2015, mapas del progreso. Matemtica. "Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y localizacin" adems, seala qu aspectos de la descripcin de los niveles se desarrollan en los dos problemas elegidos. Finalmente, fundamenta tu respuesta. Has empleado previamente el enfoque de resolucin de problemas al desarrollar algn concepto matemtico? Si la respuesta es positiva, seala tres ventajas que hayas comprobado al ensear bajo dicho enfoque. Si la respuesta es negativa, menciona tres ventajas que crees que puede tener su uso. 2. RELACIN CONTU PRCTICA PEDAGGICA Redacta un problema que sea distinto del formulado en esta segunda situacin, y que permita el uso de los conocimientos de crculo, circunferencia, puntos notables y el teorema de Pitgoras, para resolver una situacin real. Recuerda que debe estar contextualizado a tu grupo de estudiantes y sus intereses. Adems, ten presente que debes incluir preguntas de alta demanda cognitiva. 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 4. RELACIN CON EL CURRCULO [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA SEGUNDA SITUACIN PROPUESTA
51. 51. 51 Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la segunda situacin propuesta, de acuerdo con las indicaciones, y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Secundaria III. Tarea 2_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
52. 52. 52 El crculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), al ser una prctica pedaggica orientada a la profesionalizacin docente, tiene por finalidad que este ample y enriquezca, de forma colectiva, su propio desempeo mediante el anlisis de su prctica pedaggica en el aula. 2. PREPARACIN PARA EL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE 3. ACUERDOSY COMPROMISOS El participante: Revisa las respuestas de la seccin "Segunda situacin para la reflexin pedaggica". Reconoce y registra ideas centrales del enfoque del rea esta seccin. Escribe las dudas e interrogantes que le suscita el material del mdulo. Selecciona actividades y estrategias para la enseanza de la geometra, segn el cronograma establecido en el "Primer taller presencial". Concretar en su aula algunas de las ideas y sugerencias recogidas de sus colegas en el CIAC. Disear actividades en las que los estudiantes tengan la oportunidad de desarrollar las competencias y las capacidades matemticas planteadas en el fascculo de Matemtica de las Rutas del Aprendizaje (Minedu 2015). Preparar estrategias didcticas para la enseanza de la geometra con el fin de compartirlas con sus colegas la semana siguiente. Incluir la manipulacin de material concreto como parte importante de la enseanza de conceptos de geometra. 1. PROPSITOS Comparte sus opiniones sobre la"Segunda situacin para la reflexin pedaggica". Identifica y comenta las ideas que subyacen a esta seccin. Comparte el desarrollo de la tarea con sus colegas. Propone actividades y estrategias para el desarrollo de la competencia financiera en los estudiantes y dialoga sobre ellos. CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 1 Comienza a pensar en las prcticas pedaggicas que podras aplicar en tu aula. Desarrollars dos de ellas.
53. 53. 53 A continuacin, te ofrecemos algunas pautas para la elaboracin de las propuestas de prctica pedaggica que realizars en el aula. 1. Vuelve a revisar la seccin: Segunda situacin para la reflexin pedaggica, a fin de elaborar tu propuesta. 2. Adapta la secuencia didctica propuesta en esa seccin para aplicarla en el aula de acuerdo con tu realidad y las caractersticas de tus estudiantes. 3. Plantea una propuesta pedaggica donde se evidencien las capacidades de matema- tizacin, comunicacin, representacin y argumentacin, as como el uso de diversas estrategias y actividades que promuevan el razonamiento y la problematizacin perma- nente de los estudiantes. Tambin debe asegurar acciones que promuevan un clima fa- vorable y de confianza en el que los estudiantes manifiesten libremente lo que piensan y proponen, as como actividades de vivenciacin y uso de materiales manipulativos durante la secuencia. 4. Contina la elaboracin de las propuestas tomando en cuenta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta pedaggica Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar Propsito con el que los estudiantes desarrollarn la situacin Secuencia de las actividades que realizarn. Registro de sus avances. 5. Recuerda que la propuesta ser entregada en el aula virtual en la fecha indicada. Orientaciones para la elaboracin de la segunda prctica pedaggica Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio paraconcretar los propsitos del crculode interaprendizaje, as como losacuerdos y compromisos. Nota
54. 54. 54 ENSEANZA DE LA GEOMETRA Profundizacin tericay pedaggica Tradicionalmente, el aprendizaje de la geometra se ha fundamentado en el desarrollo l- gico que tena bsicamente como nica referencia el contenido de los libros que forman la obra Elementos, Euclides. Este planteamiento segua las pautas correspondientes a lo que usualmente entendemos como mtodo axiomtico (proposiciones que constituyen el punto de partida de la teora, sin ser deducidas de otras proposiciones). A Euclides se le debe la primera tentativa de la axiomatizacin de la geometra, la cual re- ferencia a quince axiomas. El axioma ms clebre Euclides, denominado quinto postulado, puede ser enunciado as: "Por un punto pasa una paralela a una recta y solo una. En la prctica escolar este aprendizaje comporta que los estudiantes memoricen aspectos como propiedades y definiciones sin que muchas veces se tenga en cuenta su comprensin. Por ejemplo, este dinero depositado (capital) ser trabajado por la mencionada entidad y parte del dinero generado con l ser pagado al dueo del depsito, en este caso, t. En cambio, si solicitas un prstamo bancario (capital) a cualquier entidad financiera, le tendrs que pagar intereses a ella. En cartografa, la escala es definida como la relacin matemtica que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad (en un mapa, plano, esquema o croquis, dibujo, etc.). Estas pueden ser grandes y pequeas. La escala tambin puede numrica o grfica: La geometra: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula. ESCALA ESCALA 1: 10,000 500 m Escala numrica Escala grfica 100 m
55. 55. 55 As pues, debemos tener en cuenta los siguientes aspectos al trabajar con escalas: La relacin entre una distancia medida sobre un plano a una escala dada y la distancia que hay en la realidad se establece mediante una simple correspondencia entre la medida realizada sobre el plano (mm, cm, etc.) y la medida real (mm, cm, etc.). Podemos trabajar con cualquier unidad de medida siempre que hablemos de distancia, nunca de volumen o rea, los cuales no se pueden obtener de manera directa al aplicar la escala. Todas las mediciones efectuadas en un levantamiento topogrfico deben ser representadas grficamente y en forma precisa. Generalmente, los planos topogrficos son utilizados para la elaboracin de algn proyecto, por lo que es necesario plasmar en ellos y ellos, de forma resumida, la mayor informacin posible. Cualquier persona que desee trabajar con un plano topogrfico debe ser capaz de tomar de l, de manera analtica o mediante medicin directa, cualquier tipo de informacin necesaria: coordenadas, distancias, cotas, elevaciones, depresiones etc. Clculo de distancia con escala En un mapa 1:10,000 da igual decir lo siguiente: 1 m en plano 10,000 m en realidad 1 mm en plano 10,000 mm en realidad 1 cm en plano 10,000 cm en realidad Entonces, si queremos hallar la distancia entre los puntos A y B por medio de la escala grfica, debemos considerar: Centmetros en el plano Metros reales 6,5 cm 250 m 8 cm ? Si: = 6,5 cm 8 cm 250m L1 =L (250m)(8 cm) (6,5 cm)1 =L aprox. 203,125 m1 6,5 cm < > 250 m A B 8 cm
56. 56. 56 Clculo de reas En funcin de la forma de la superficie, podemos elegir varios modos de clculo del rea. Considerar polgonos regulares: El rea rectangular es: L1 x L2 = 7395,85 m2 Si: = X 250m 2,5 cm 6,5 cm = X 250m 2 cm 6,5 cm L1 = 96,15 m L2 = 76,92 m 2 cm 2.5 cm Considerarpolgonos irregulares: Para conocer el rea de una superficie, dibujamos cuadrcu- las en ella. Contamos el nmero de cuadrculas completas que quedan dentro de la superficie considerada. A continuacin, estimamos el porcentaje de la superficie que queda dentro del rea a calcular de las cuadrculas res- tantes, y contamos su nmero. Medimos una cuadrcula y hallamos su rea, luego procede- mos a multiplicar por el nmero de cuadrculas.
57. 57. 57 La circunferencia es una lnea curva plana cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie, llamada crculo. El trmino equidistar significa 'estar a la misma distancia'. Sus principales elementos son centro, radio, dimetro, cuerda y semicircunferencia. Una semicircunferencia es cada una de las partes en las que un dimetro divide a la circunferencia. CIRCUNFERENCIA Centro Conjuntos de puntos que comprenden a una circunferencia y a su interior: CRCULO Conjuntos de puntos que conforman el borde del crculo: CIRCUNFERENCIA Plano Crculo Es la superficie plana que est que est limitada por la circunferencia. Radio Es toda recta limitada por el centro y un punto de la circunferencia. Un crculo tiene infinitos radios y todos ellos son iguales: OD, OB, OA y OC son radios. Cuerdas Es toda recta limitada por dos puntos de la circunferencia. Dimetro Es toda cuerda que pasa por el centro crculo, adems, es el doble del radio. Los infinitos dimetros de un mismo crculo son iguales. El dimetro tambin divide en dos partes iguales a la circunferencia. Cuerda Dimetro O C D A B
58. 58. 58 Entre dos circunferencias, se pueden presentar situaciones, en las cuales las circunferencias adquieren posiciones relativas. Exteriores: los puntos de cada circunferencia son exteriores a la otra. Interiores: los puntos de una de las circunferencias son interiores a la otra. Adems, si tienen el mismo centro, decimos que son concntricas. Tangentes: se presenta un punto en comn y sern tangentes exteriores o tangentes interiores, dependiendo de la posicin de los puntos que no son comunes a ambas. 1. Centro: punto fijo O. 2.Radio: segmento de recta que une el centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. R=OB 3.Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. (PQ) 4.Dimetro (D): cuerda que pasa por el centro; tambin recibe el nombre de cuerda mxima. Divide la circunferencia en dos partes iguales, llamadas semicircunferencias. AB = 2R = D 5.Secante: recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos. (L1) 6.Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un punto, llamado punto de tangencia. (L2) Dos circunferencias Elementos de la circunferencia A 01 02 Cd R1 R2 B P Q A O B E T L2 L1 L3
59. 59. 59 7.Normal: recta que pasa por el centro y por el punto de tangencia. (L3) 8. Flecha: parte del radio que se origina al trazar una cuerda perpendicular. (ET) 9. Arco: parte de la circunferencia PQ. En la figura la cuerda P subtiende al arco PQ. Se mide en unidades de longitud o tambin en unidades angulares. Toda la circunferencia mide 360. LNEAS Y PUNTOS NOTABLES La altura Es la recta que parte de un vrtice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongacin. Ortocentro Punto de concurrencia de las tres alturas de un tringulo. Todo tringulo tiene un ortocentro. En un tringulo obtusngulo Caracterstica: el ortocentro es un punto exterior. A A A B B B Acutngulo Obtusngulo Rectngulo H H Ortocentro C C C
60. 60. 60 Mediana Es el segmento de recta que une un vrtice con el punto medio del tringulo del lado opuesto. Baricentro o gravicentro Punto de concurrencia de las tres medianas de un tringulo. En un tringulo acutngulo Caracterstica: el ortocentro es un punto interior. En un tringulo rectngulo Caracterstica: el ortocentro, es un punto ubicado en el vrtice del ngulo recto. A H B O C H M N M C Alturas del VABC Medianas del VABC AN AN CH BM BM CP A P B N G C M
61. 61. 61 En un tringulo rectngulo Caractersticas: El Baricentro es siempre un punto interior en todo tringulo. Todo tringulo tiene un solo baricentro. Mediatriz Es la recta perpendicular a uno de los lados del tringulo que pasa por su punto medio. Circuncentro Punto de concurrencia de las tres mediatrices de un tringulo. Todo tringulo tiene un solo circuncentro. Bisectriz Es el rayo que biseca el ngulo interno o externo de un tringulo. En un tringulo obtusngulo Caracterstica: el circuncentro es un punto exterior. INCENTRO Punto de concurrencia de las bisectrices interiores. Caractersticas: Todo tringulo tiene un solo incentro. El incentro siempre es un punto interior al tringulo. En un tringulo rectngulo Caracterstica: El circuncentro se encuentra ubicado en el punto medio de la hipotenusa. A H B N M C G P O RQ B A C Circuncentro B I A C
62. 62. 62 Lnea visual: es la lnea recta que une el ojo de un observador con el objeto que se observa. Lnea horizontal: es la lnea recta, paralela a la superficie horizontal referencial, que pasa por el ojo del observador. EXCENTRO Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una interior. Caractersticas: Todo tringulo tiene tres excentros. Los excentros son puntos exteriores a todo tringulo. NGULOS VERTICALES Los ngulos verticales estn ubicados en un plano vertical. Es decir, se encuentran formados por una lnea visual y una lnea horizontal. A B C E Observador Horizontalngulo de elevacin ngulo de depresin Lnea de visin arriba del observador Lnea de visin abajo del observador
63. 63. 63 IMPULSAR EL USO DE MATERIALES La papiroflexia Se puede definir como la creacin de figuras con caractersticas geomtricas, simtricas y estticas fcilmente reconocibles. Se construye a partir de una hoja de papel, sin cortar ni pegar, solo con dobleces. Sus caractersticas son las siguientes: Incita a la observacin y la abstraccin. Fomenta el pensamiento matemtico y el desarrollo de estrategias. Estimula el espritu artstico y fomenta la creatividad. Desarrolla y fortalece las actitudes relacionadas con la autoestima y la confianza en uno mismo. Mara Consuelo Caadas Santiago y otros (2003) asocian acciones y contenidos implicados con esta actividad: IDEAS PARA PROMOVER EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRA Tipo de tarea Descripcin Contenidos implicados Doblado de elementos geomtricos bsicos Doblar: Un folio a partir de un folio A4. Un cuadrado a partir de un trozo irregular de papel Cuadrilateros de distintos tipos. Un tringulo equiltero Un hexgono Un pentgono regular. Otros polgonos (regulares e irregulares). Cuadrilateros, perpendicularidad, paralelismo, geometra del tringulo, clasificacin de polgonos. Simetra Calcula el simtrico de un punto con respecto a otro punto. Calcula el simtrico de un punto con respecto a una recta. Simetra plana Lugares geomtricos Doblar: La bisectriz de un ngulo La mediatriz de un segmento Las cnicas Geometra sinttica elemental Lugares geomtricos Proporcionalidad de semejanza Doblar: Un rectngulo de proporciones 1:2 Un rectngulo 1:3 Un rectngulo 1:V2 Un rectngulo 1:V3 Dos tringulos semejantes. Construye dos polgonos semejantes Divide el segmento dado. Cuadrilteros, proporcionalidad, nmeros racionales e irracionales, semejanza, teorema de Thales. Geometra del espacio Doblar: Un poliedro regular (cubo, tetaedro, dodecaedro, icosaedro) Un ditetraedro. Un icosaedro estrellado. Poliedros Problemas Problemas diversos Resolucin de problemas
64. 64. 64 Por ejemplo: Construyendo un trapecio D P A' B' "BASE" C A P B
65. 65. 65 El uso de estos rompecabezas geomtricos desarrolla la visualizacin, as como las habilidades de reproduccin, construccin y comunicacin. Por ejemplo: Actividad 01: construye con cartn los tangrams que se muestran en los dibujos. Actividad 02: reconstruye un cuadrado con solo, con slo dos piezas (un tringulo y un trapecio). El cuadrado se puede reconstruir de ocho formas diferentes. De cuntas formas podemos reconstruir el rectngulo, el cual obtiene al juntar cuatro piezas (dos tringulos y dos trapecios)?. Uso del tangram
66. 66. 66 Consiste en un cuadrado de madera al que previamente se ha trazado una cuadrcula (del tamao deseado). En cada punto de interseccin de dos lneas de la cuadrcula se clava un clavo dejando una parte de l fuera para que pueda sujetar ligas. Un buen nmero de clavos es 5 x 5 = 25. Con las ligas de colores pueden formarse diferentes figuras geomtricas. Ideales para validar o construir figuras simtricas. Si se elabora un libro de espejos (dos espejos pegados por uno de lados, a manera de bisagra que se abre y se cierra), se puede explorar la generacin de polgonos regulares. Cunto debe medir el ngulo entre los espejos para que, al ponerse sobre un papel con una recta dibujada, forme determinado polgono semejante? Los usos del geoplano son mltiples. A continuacin, mostramos algunos ejemplos de actividades de investigacin son: Formar en el geoplano un cuadrado, un rectngulo, un tringulo, un trapecio, etctera. Reproducir en el geoplano una figura dibujada en el pizarrn o construida en el geoplano del docente. Formar en el geoplano todos los segmentos diferentes que puedan construirse (cuando se haya estudiado el teorema de Pitgoras, se puede pedir la longitud de cada uno). Formar en el geoplano todos los cuadrados de diferentes tamaos que puedan formarse (lo mismo para rectngulos, tringulos rectngulos, etctera). Hallar la figura simtrica con respecto al eje indicado. Geoplano Uso de espejos Ejedesimetra C B B' A' C' L A
67. 67. 67 Informacin completa sobre el teorema de Pitgoras. http://teoremadepitagoras.net/ Informacin y ejercicios sobre crculos. http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part4/ geometria_part4_right.xhtml Sangakoo. Matemticas para la vida. http://www.sangakoo.com/es/temas/area-y-perime- tro-de-una-circunferencia KhanAcademy. Problemas de rea y permetro de rectngulos. https://es.khanacademy. org/math/cc-fourth-grade-math/cc-4th-measurement-topic/cc-4th-area-and-perimeter/e/ area-and-perimeter-of-rectangles-word-problems Permetros y reas. Cuadrado y rectngulo. http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/ area1.htm Elementos de la circunferencia y el crculo. www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCir- cunfelementos.htm La circunferencia y el crculo. www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm Calcular la circunferencia de un crculo. www.aaamatematicas.com/geo612x4.htm Recursos en lnea
68. 68. 68 Luego de leer el texto, responde las siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. TAREA [[sobre la profundizacin tericay pedaggica Consideras que el enfoque planteado en la "Profundizacin terica y pedaggica" desa- rrolla la autoestima de los estudiantes? Da tres razones que expliquen tu respuesta. 1. Anlisis del texto Redacta tres problemas sencillos, relacionados unos con otros, que amplen el grado de profundidad de un mismo contenido, como el indicado en el ejemplo de la "Profundizacin terica y pedaggica". Menciona con qu contenido se relacionan. 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES Revisa el Marco de buen desempeo docente, del Ministerio de Educacin y seala tres desempeos que hayan sido desarrollados por el docente de la situacin. Explica brevemente el porqu. http://www.perueduca.pe/documents/60563/ce664fb7-a1dd-450d- a43d-bd8cd65b4736 4. RELACIN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL Narra brevemente la manera en que has desarrollado con tus estudiantes algn contenido relacionado con el crculo y la circunferencia. Encuentra tres semejanzas y diferencias con el ejemplo dado en la "Profundizacin terica y pedaggica". Explica por qu son similares o distintas. 2. RELACIN CON TU PRCTICA PEDAGGICA
69. 69. 69 Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre la segunda situacin propuesta, de acuerdo con las indicaciones, y colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Secundaria III. Tarea 3_Apellido y nombre Escribe la primera versin de la narracin documentada tomando en cuenta lo siguiente: Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
70. 70. 70 El participante: Comparte algunas de las tareas realizadas haciendo nfasis en el enfoque problmico de la enseanza de geometra. Comparte su comprensin del desarrollo y secuencia de las propuestas pedaggicas que deber aplicar en el aula, as como la importancia del registro de evidencias. Comparte y discute sus propuestas pedaggicas para enriquecerlas con los aportes de sus colegas. Profundizan en algunos recursos para iniciar su narracin documentada. Selecciona las nociones sobre las que desarrollar la segunda propuesta de prctica pedaggica en el aula. Propone estrategias para el desarrollo de las nociones relativas a permetros y reas de figuras planas. 1. PROPSITO 2. TEMAS ATRATAR Aspectos por incorporar en las propuestas pedaggicas para aplicarlas en el aula, precisando las nociones que abordar cada una. La importancia de la construccin del aprendizaje por parte del estudiante mediante el enfoque problmico y la aproximacin, redondeo y ensayo-error. Propuestas pedaggicas y la narracin documentada. SEGUNDOTALLER PRESENCIAL
71. 71. 71 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Incluir estrategias constructivistas en la enseanza de las matemticas. Disear las propuestas de las prcticas pedaggicas que se aplicarn en el aula. Comprometerse a usar estrategias constructivistas para la enseanza de multiplicacin y divisin con nmeros mayores de 10. Preparar estrategias para compartir con sus colegas durante la semana siguiente. Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienenen un foro de intercambio paraconcretar los propsitos del crculode interaprendizaje, as como losacuerdos y compromisos. Nota Presentacin de las propuestas pedaggicas 1. Vuelve a revisar las situaciones para la reflexin pedaggica, desarrolladas en las pri- meras dos semanas, as como la profundizacin terica y pedaggica para mejorar tus propuestas. 2. Escribe las propuestas de prctica pedaggica y presntalas en el foro de intercambio del aula virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 4 pginas (2 pginas por propuesta). Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Sec III. Propuesta 1 y 2 _Apellido y nombre
72. 72. 72 [[Planificacin de las prcticas pedaggicasintercambio Foro de Dialoga e intercambia sugerencias sobre tus propuestas pedaggicas y las de otros co- legas, relacionadas con los siguientes aspectos: En qu medida la sesin planteada ofrece oportunidades a los estudiantes para de- sarrollar competencias y capacidades matemticas? Cul es la secuencia de las actividades que realizarn los estudiantes? Cmo se registrar el avance de los estudiantes? Brinda sugerencias acerca de las propuestas de por lo menos dos compaeros, sobre los aspectos mencionados. Incorpora a tus propuestas pedaggicas las sugerencias brindadas en el foro. Este foro lo realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.
73. 73. 73 El participante: 2. PREPARACIN PARA EL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE Revisa la primera propuesta de prctica pedaggica sobre permetro y rea de figuras planas. Escribe las dudas e interrogantes que le suscita la informacin del mdulo, leda y desarrollada hasta ahora. Selecciona actividades, juegos y estrategias para compartir con sus colegas. 1. PROPSITOS Comparte con sus colegas la primera propuesta de prctica pedaggica en el aula s, acerca del permetro y rea de figuras planas. Brinda y recibe aportes para mejorar el diseo de esta. Plantea actividades y estrategias para trabajar las nociones previas al desarrollo de problemas con permetros y reas de figuras planas. Recibe los aportes de sus pares. Recoge nuevas estrategias de enseanza, aprende juegos y toma nota de estrategias informticas que puede usar para mejorar la enseanza de las matemticas en Secundaria. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Ejecutar la primera propuesta pedaggi- ca y documentar evidencias del desar- rollo de esta. Elaborar la versin preliminar de la narracin documentada de la primera propuesta de prctica pedaggica sobre permetros y reas de figuras planas. Aplicar en el aula algunas de las activi- dades, juegos y estrategias desarrolla- das en el crculo. Preparar estrategias sobre permetro y rea de figuras planas para la semana siguiente. CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 2 Los participantes que seencuentrenen la modalidade-learning intervienen en un forode intercambio de propuestaspedaggicas con el fin deejecutarlas en el aula. Nota
74. 74. 74 Implementa en el aula la propuesta de prctica pedaggica tomando en cuenta las suge- rencias de mejora brindadas por tus colegas y tu formador. EJECUCIN DE LA PRCTICA PEDAGGICA 1 EN ELAULAY ELABORACIN DE LA NARRACIN DOCUMENTADA Esta prctica la realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Orientaciones para la elaboracin de la narracin documentada de la prctica pedaggica Escribe la versin preliminar de la ejecucin de la primera parte de tu propuesta pedaggica efectuada en el aula y colcala en el aula virtual. Toma en cuenta lo siguiente: 1. Identifica qu parte de la experiencia que realizaste en tu aula deseas compartir y por qu razn (recupera trabajos de los estudiantes, fotos, registros de dilogo, la propuesta que elaboraste, entre otros elementos que te permitan recordar lo vivido en el aula). 2. Define y escribe el ttulo de la narracin de tu experiencia. 3. El contenido del relato: Piensa y narra la prctica que llevaste a cabo. Ten en cuenta el asunto que quieres contar, los cuestionamientos y las interpretaciones que presentars. Tambin puedes apoyarte en las siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar lo sucedido): Cmo propusiste la actividad a los estudiantes y de qu manera ellos respondieron? Sucedi algo que no habas previsto? De ser este el caso, cmo enfrentaste la si- tuacin? Cmo fue la participacin de los estudiantes en la actividad? Cmo los apoyaste en el desarrollo de sus aprendizajes? Qu aprendieron ellos? Qu aprendiste t? Cmo registraste su aprendizaje? Recogeevidenciasdelaexperiencia(fotos,grabacionesdelasinteraccionesdocente-estudianteyestudiante-estudiante paradespustranscribirlas,trabajosdelosestudiantes, entreotras). Importante
75. 75. 75 Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Sec III. Prctica pedaggica 1_Apellido y nombre Escribe la versin preliminar de la segunda narracin documentada tomando en cuenta lo siguiente:
76. 76. 76 El participante: Comparte las reflexiones de la aplicacin de su primera pro- puesta pedaggica. Comparte con otros docentes su comprensin sobre el desarrollo de la narracin documentada y el anlisis respectivo. Propone estrategias inform- ticas para reforzar de las no- ciones relativas a permetro y rea de figuras planas en sus estudiantes. 1. PROPSITO 2. TEMAS ATRATAR Propuestas pedaggicas y narracin documentada. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Aplicar la segunda propuesta pedaggica y documentar evidencias del desarrollo de esta. Usar estrategias constructivistas para la enseanza de las matemticas. Desarrollar la narracin documentada analizando la primera prctica pedaggica. El grupo asignado deber preparar estrategias sobre el desarrollo de la competencia financiera para la semana siguiente. TERCER TALLER PRESENCIAL
77. 77. 77 Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Com. IV-V ciclo. Prctica pedaggica 1_Apellido y nombre. Escribe la versin preliminar de la segunda narracin documentada tomando en cuenta lo siguiente:
78. 78. 78 Implementa en el aula la segunda propuesta de prcti