CÁLCULO II

(CÁLCULO INTEGRAL)

DIFERENCIALES

MAPA CONCEPTUAL

Una variable continua presenta siempre posibilidad de cambio como cualidad esencial y en particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se define al diferencial como aquella cantidad diferente de cero que satisface la propiedad:

dxxlímx

0

El Diferencial

Hasta este momento, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta ninguna característica diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su definición; sin embargo, su importancia y utilidad se presenta cuando analizamos que ocurre en una función.

O bien: dxxxxlímx

)(0

Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos al x deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura.

Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia Δx = (x – x0)→0, es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma forma se puede observar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de la recta tangente resulta:

CONCEPTO DE DIFERENCIALDe la figura anterior la ecuación de la recta tangente que aproxima a la función dada en el punto x0 es:

y – y0 = f ´(x0) (x – x0)

dy = f´(x0) dx

Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su significado geométrico se puede observar en la figura.

)(' xfdxdy dxxfdy )('

Es importante señalar que en la notación de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dy para encontrar la misma expresión, es decir:

De acuerdo a la definición dy = f ’(x0) dx, el cálculo del diferencial depende esencialmente de la determinación de la derivada, así por ejemplo:

FUNCIÓN DIFERENCIAL

13)( 23 xxxf

xxg cos)(

tth ln)(

3

34 rV

dxxxdf 63 2

dxxsendg

dtt

dh 1

drrdV 24

Para qué sirvenPROBLEMA 1.Estimar un aumento ó una disminución en alguna función.Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.PROBLEMA 2.Estimar errores en la medición de algunas magnitudesEjemplo 2. Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a 100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30°. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3°.

Resuelven Problemas¿ ?

ACTIVIDAD.De cinco ejemplos de diferenciales de funciones.

TAREA.Resolver los ejercicios del libro 11 al 17 (impares), pág. 255, sección 3.10