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Universidad Fermín Toro

Vicerrectorado Académico

Facultad de Ingeniería

Nombre:

Jorge Zambrano

CI: 22.200441

Cabudare, 23 de Noviembre del 2014

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INTRODUCCIÓN.

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es

similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una

herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades.

En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio

descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.

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Índice

Distribución gamma………………………………….………….……..Pág. Nº 4

Distribución Exponencial…………………………………….....…..…Pág. Nº 6

Distribución Erlang…………………………………………………….pág. Nº 9

Distribución Weibull…………………………………………………...Pág. Nº 12

Conclusión………………………………………………….…………...Pág. Nº 16

Bibliografías………………………………………………………….…Pág. Nº 17

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Distribución gamma

Aunque la distribución normal se puede utilizar

para resolver muchos problemas en la ingeniería y las ciencias, hay numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de

densidad. Tal es el caso de las distribuciones gamma y exponencial. Estas distribuciones

juegan un rol fundamental en los problemas de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempos de fallas de

partes componentes y sistemas eléctricos.

La distribución gamma deriva su nombre de la conocida función gamma, que se estudia en muchas áreas de la matemática.

La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores es

Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la función

gamma es (el factorialde ). En este caso - por ejemplo para

describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución distribución Erlangcon un

parámetro .

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

Relaciones

El tiempo hasta que el suceso número ocurre en un Proceso de Poisson de

intensidad es una variable aleatoria con distribución gamma. Eso es la suma de variables aleatorias independientes de distribución exponencial con parámetro .

Ejemplos

1. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución

de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra

menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada

del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

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a : Escala 6,0000

p : Forma 2,0000

Punto X 1,0000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo

pacientees 0,98.

2. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son

sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución

Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

El tiempo medio de supervivencia.

Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que

0,1.

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

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Distribución exponencial

En estadística la distribución exponencial es

una distribución de probabilidad continua con un parámetro cuya función de densidad es:

Su función de distribución acumulada es:

Donde representa el número e.

El valor esperado y la varianza de una variable

aleatoria X con distribución exponencial son:

La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable

aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.

Calcular variables aleatorias

Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial por medio de

una variable aleatoria dedistribución uniforme :

O, dado que es también una variable aleatoria con distribución ,

puede utilizarse la versión más eficiente:

Relaciones

La suma de variables aleatorias independientes de distribución exponencial con

parámetro es una variable aleatoria de distribución gamma.

Ejemplos

El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de miu=2 años

¿Cuál es la probabilidad de que al menos ocho de 10 de tales interruptores, que

funcionan independientemente, fallen despuesde3er año?

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2) cierto proceso de manufactura produce pernos que tienen un diametro distribuido

uniformemente entre 1.20 y 1.25 pulgadas ¿que porcentaje de los pernos tendra un diámetro menor a 1.23 pulgadas?

b) cuanto de los siguientes 1000 pernos producidos se espera tengan un diametro menor a 1.23 pulgadas?

c)¿ cual es la probabilidad de que el sexto perno producido con un diametro menor a 1.23 pulgadas se encuentre hasta el onceavo perno revisado?

Si el promedio de fallos es 2 años sabemos que

E(X)=1/λ

Por lo tanto

2=1/λ λ=1/2=0.5

las fórmulas de la exponencial es

f(x) = λ*exp(-λ*x)

P(X<=x) = F(x) = 1-exp(-λ*x) La probabilidad que un interruptor falle

despues de 3 años es

P(X>3) = 1-P(X<=3) = 1-F(3) =

1- ( 1-exp(-0.5*3) ) =

0.2231

Es decir que la probabilidad que un interruptor falle es p=0.2231

Para calcular la probabilidad que al menos 8 de 10 fallen despues del 3 año,

necesitamos la distribución binomial con parametros

n=10 p=0.2231

La fórmula es

P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

En este caso

P(X=x) = C(10,x) * 0.2231^x * 0.7769^(10-x)

y debemos calcular

P(X>=8) = P(X=8) + P(X=9) +P(X=10)

P(X=8) = C(10,8) * 0.2231^8 * 0.7769^(10-8) = 0.0001667

P(X=9) = C(10,9) * 0.2231^9 * 0.7769^(10-9) = 0.0000106 P(X=10) = C(10,10) * 0.2231^10 *

0.7769^(10-10) = 0.000000305

La suma de las probabilidades es 0.000178 y por lo tanto

P(X>=8) = 0.000178

2) la funciones son

f(x)=1/(b-a) = 1/(1.25-1.20) = 20

F(X)= (x-a)/(b-a) = (x-1.20)/0.05 = 20x-24

Es decir que

f(x)=20

F(x) = P(X<=x) = 20x-24

a) Debemos calcular

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P(X<1.23) = F(1.23)

F(1.23) = 20*1.23-24 = 0.60 --> 60% b)

El 60% de los pernos tienen menos de

1.23 pulgadas por lo tanto se esperan entre los siguientes 1000:

1000*0.60 = 600 pernos con diametro menor a 1.23

c)

Debemos utilizar la distribcuión binomial negativa cuya fórmula es

P(X=x) = C(x+k-1,k-1) * p^k * (1-p)^x

donde k es el número de ensayos y x el éxito.

En este caso tenemos que

p=0.60 k=6 <--sexto perno x=11 <--- onceavo intento

P(X=6,k=11) = C(6+11-1,6-1) *0.6 ^6 *

0.4^11 = P(X=6,k=11) = C(16,5)*0.6^6*0.4^11

P(X=6,k=11) = 0.0085

La probabilidad buscada es 0.0085

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Distribución de Erlang

Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función

de densidad para valores es

La distribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma con el

parámetro y . Para eso es la distribución exponencial.

Se utiliza la distribución Erlang para describir el tiempo de espera hasta el suceso

número en un proceso de Poisson.

Esta función recibe su nombre del matemático e ingeniero danés Agner Krarup

Erlang que la introdujo en 1909.

Es una distribución de probabilidad continua con amplia aplicabilidad principalmente

debido a su relación con las distribuciones exponencial y gamma. La distribución de

Erlang fue desarrollado por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas

que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los operadores de las estaciones de

conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico ha sido ampliado para

tener en cuenta los tiempos de espera en los

sistemas de formación de colas en general. La

distribución se utiliza ahora en el campo de los

procesos estocásticos y de biomatemáticas.

La distribución es una distribución continua, que

tiene un valor positivo para todos los números

reales mayores que cero, y viene dada por dos

parámetros: la forma, que es un entero positivo,

y la tasa, que es un número real positivo. La

distribución se define a veces utilizando la

inversa de la tasa parámetro, la escala. Es la

distribución de la suma de las variables

exponenciales independientes con media.

Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la

distribución se simplifica a la distribución

exponencial. La distribución Erlang es un caso

especial de la distribución Gamma, donde el

parámetro de forma es un número entero. En la

distribución Gamma, este parámetro no se limita a los números enteros.

Función de densidad de probabilidad

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La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es

El parámetro se denomina el parámetro de forma y el parámetro se denomina el

parámetro de velocidad. Una alternativa, pero equivalente, parametrización utiliza el

parámetro de escala que es el recíproco de la tasa de parámetro:

Cuando el parámetro de escala igual a 2, la distribución se simplifica a la distribución

chi-cuadrado con grados de libertad 2k. Por lo tanto, puede ser considerada como una

distribución chi-cuadrado generalizada, incluso para grados de libertad.

Debido a la función factorial en el denominador, la distribución Erlang sólo se define

cuando el parámetro k es un número entero positivo. De hecho, esta distribución se

llama a veces la distribución de Erlang-k. La distribución Gamma generaliza el Erlang

por lo que permite al ser cualquier número real, el uso de la función gamma en lugar de

la función factorial.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución de Erlang es: donde es la

función gamma incompleta más baja. La CDF también se puede expresar como

Aparición

Los tiempos de espera

Los eventos que se producen con independencia de algunos tasa media se modelan con

un proceso de Poisson. Los tiempos de espera entre k instancias del evento se

distribuyen Erlang.

La distribución de Erlang, que mide el tiempo entre las llamadas entrantes, puede ser

utilizado en conjunción con la duración esperada de las llamadas entrantes para producir

información acerca de la carga de tráfico medido en unidades de Erlang. Esto puede ser

usado para determinar la probabilidad de pérdida de paquetes o retraso, de acuerdo con

diversas suposiciones hechas acerca de si las llamadas bloqueadas se abortan o en cola

hasta que se sirve. El Erlang-B y C fórmulas están todavía en uso todos los días para el

modelado de tráfico para aplicaciones tales como el diseño de los centros de llamadas.

A.K. Erlang trabajó mucho en el modelado de tráfico. Así pues, hay otras dos

distribuciones Erlang, ambos utilizados en el tráfico de modelos:

Distribución de Erlang B: este es el más fácil de los dos, y se puede utilizar, por

ejemplo, en un centro de llamadas para calcular el número de troncos de una necesidad

de realizar una cierta cantidad de tráfico telefónico con un cierto "servicio de destino".

Distribución de Erlang C: esta fórmula es mucho más difícil y es de uso frecuente, por

ejemplo, para calcular la llaman largos tendrán que esperar antes de ser conectado a un

ser humano en un centro de llamadas o situación similar.

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Procesos estocásticos

Distribuciones relacionadas

Si, pues, con

Si y luego

Si, pues,

Erlang distribución es un caso especial de tipo 3 de distribución de Pearson

Si, pues,

Si y luego

Ejemplos

Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo.

Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por

cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta

que ocurre el segundo ciclo. a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo

promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la media. Solución: X: Lapso

que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas. k=2l=2

ciclos/100 horas →l=0.02a-) P (m-s <>m+s) = P (29.29b-) P(X > m+2s) = P(X >

241.42) = 1 – P(X £ 241.42) =2.

Encuentre el número de dispositivos n requeridos para A = 60

Erlang y la probabilidad de pérdida de0.001.

Solución

Para E = 0.001, en las tablas puede verse que n = 83 corresponde al valor A de 60.403

Erlang, y n = 82al de A= 59.537.

Por tanto n=83. n Probabilidad de pérdida (E) n 0.000 0.0000 0.000 0.000 0.001 0.002

0.003 0.004 0.005 0.006 01 5 1 5 48.71 59.72 60.95 61.89 62.66 63.33 8 80 51.397

52.687 56.101 57.810 0 0 5 5 8 0 0 49.49 60.60 61.84 62.79 63.57 64.24 8 81 52.204

53.506 56.949 58.673 2 0 5 4 3 1 1 50.27 61.48 62.73 63.69 64.47 65.15 8 82 53.012

54.325 57.798 59.537 7 0 7 3 9 3 2 51.06 62.36 83 53.822 55.146 58.649 60.403 63 2 2

distribución de Weibull

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución

de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió

detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y

aplicada por primera vez porRosin y Rammler (1933) para describir la distribución de

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los tamaños de determinadas partículas.

La función de densidad de una variable aleatoria con la

distribución de Weibull x es:1

Donde es el parámetro de forma y es

el parámetro de escala de la distribución.

La distribución modela la distribución de fallos (en

sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a

una potencia del tiempo:

Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece

con el tiempo.

Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.

Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada

por:

Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo).

La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y

vale:

Propiedades de la distribución Weibull

Su función de distribución de probabilidad es:

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para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

La tasa de fallos (hazard) es

La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es2

donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es

En particular, el momento n-ésimo de X es:

Su media y varianza son

y

Mientras que su asimetría y curtosis son

y

Dónde .

Distribuciones relacionadas

La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se

encuentra en la literatura.2 Tiene función de densidad

Para y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde es el parámetro de

forma, es el parámetro de escala y , el de localización. Coincide con la

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habitual cuando θ=0.

La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable

aleatoria X tal que

Sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1.2 De hecho, la distribución

de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la

de distribución de Rayleigh de moda cuando k = 2.

La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente

cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad

tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la

densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene

una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene

pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la

densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a

una delta de Dirac soportada en x=λ.

La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución

uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces sigue una

distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular

numéricamente la distribución de manera sencilla.

La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull

distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un

caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este

contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.

Ejemplos

Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull

con? = 0.5 y = 0.01 . Calcular:

a. La vida media útil de ese artículo.

b. La variación de la vida útil. c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas.

Solución

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Conclusión

Para concluir distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos

los resultados posibles que podrían presentarse si se efectuara el experimento.

Las probabilidades que se asocian a cada uno de los valores que toma la variable

aleatoria x constituyen lo que se conoce como DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD,

la cual puede ser representada mediante unafunción matemática, una gráfica o una tabla

de valores. La diferencia consiste en que la función matemática se transforma en una

función probabilística.

Una distribución de probabilidad indica toda lagama de valores que pueden

representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye

una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un

escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos

fenómenos naturales

Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los

resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten

describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y

tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar

diferentes valores) aleatoria x(porque el valor tomado es totalmente al azar).

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Bibliografía

http://es.wikipedia.org/

www.ub.edu/

www.virtual.unal.edu.co/

www.ingenieria.unam.mx/

es.slideshare.net/

www.material_simulacion.ucv.cl/