Procesos industriales área manufactura

Probabilidad y estadística; Distribuciones de probabilidad.

Danny Chavarría Martinez

2-D-¿Qué tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero. -Bien... Dando probabilidad y estadística... Respondo. -¡Ah! Probabilidad... Yo suelo jugar a la lotería... Dice mientras me pasa la cuchilla. -Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de probabilidad de ganar y un 50% de perder. -¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

Distribución de Bernoulli

Definición: Es una variable discreta que consiste en dos posibles resultados, denominados como Éxito y Fracaso, siendo éxito denominado como X=1 resultando en éxito y X=0 en caso contrario.

Formula: P ( x )=px ¿

Ejemplo:

Si se lanza una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga águila?

-Siendo p= ½ siendo esto porque solo hay dos resultados, entonces la probabilidad de que solo caiga águila es del 0.5%

Ejercicios:

1- Si tenemos 9 cartas, enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta con el numero 9?

La probabilidad de que obtengamos la carta 9 es:P(x=1) = (1/9)1(8/9)0 =1/9 = 0.111

La probabilidad de NO obtener la carta 9 es:P(x=0) = (1/9)0(8/9)1 =8/9 = 0.888

2- Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darle un premio a aquel que escoja, pero la maestra lo seleccionara con los ojos cerrados ¿Cuál es la probabilidad de que escoja al número 16?

La probabilidad de que escoja al alumno 16:P(x=1) = (1/16)1(15/16)0 =1/16 = 0.0625

La probabilidad de que escoja a cualquier otro alumno: P(x=0) = (1/16)0 (15/16)1 =15/16 = 0.9375

3- Se hace una rifa de un automóvil, y se venden 500 boletos ¿Qué probabilidad hay de que al momento de sacar el boleto gane el boleto con el numero 500?

La probabilidad de que salga el boleto 500 es:P(x=1) = (1/500)1(499/500)0 =1/500 = 0.002

La probabilidad de que NO salga el boleto con 500 es:P(x=0) = (1/500)0(499/500)1 =499/500 = 0.998

4- En una industria se reporta que de un lote de 700 piezas 1 sale defectuosa, sabiendo esto ¿Cuál es la probabilidad de que sea la pieza 458 la que sufra de ese error?

La probabilidad de que sea la pieza 458 la que tenga un defecto es:P(x=1) = (1/700)1(699/700)0 =1/700 = 0.001428

La probabilidad de que No sea esa pieza la que resulte con el defecto es:P(x=0) = (1/700)0(699/700)1 =699/700 = 0.9985

5- Un jugador de basquetbol lanzara 20 tiros a la canasta, ¿Cuál es la probabilidad de que enceste 7 veces?

La probabilidad de que enceste 7 veces es:P(x=1) = (7/20)1(13/20)0 =7/20 = 0.35

La probabilidad de que NO enceste 7 veces es:P(x=0) = (7/20)0(13/20)1 =13/20 = 0.65

Distribución Binomial

Definición: Es una probabilidad de distribución discreta el cual mide el número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes.

Formula: P(x=k ) n !k ! (n−k ) !

Pk ¿ x∽Bin(n , p)

Ejemplo:

Sabiendo que x∽Bin(25,0.1), Se toma una muestra de 15 piezas de una población grande en la cual el 5% de los elementos esta defectuoso.

a) Determina la probabilidad de que ninguna de las muestras este defectuosa.

P(x=0) 25 !0! (25−0 )!

(0.1 )0 ¿

Ejercicios:

1- La empresa Dts industries fabrica 2,500 piezas de computadoras, si se toma una muestra de 100 piezas, Si se sabe que x∽Bin(100,0.06)

a) Probabilidad de que ninguna pieza presente algún defecto.b) Probabilidad de que 5 piezas tenga algún defecto.c) Probabilidad de que 10 piezas tengan algún defecto.

a) P(x=0) 100 !0! (100−0 )!

0.040¿

b) P(x=5) 100 !5 ! (100−5 )!

0.045¿

c) P(x=10) 100 !10 ! (100−10 ) !

0.0410¿

2- Determina la probabilidad de la variable aleatoria X si x∽Bin (18,0.53 )Determine P(X=3), P(X=6) y P(X=9)

a) P(x=3) 18!3 ! (18−3 ) !

(0.53 )3¿

b) P(x=6) 18 !6 ! (18−6 )!

(0.53 )6 ¿ 0.47808055

c) P(x=9) 18 !9 ! (18−9 )!

(0.53 )9 ¿

3- En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga

imperfección?b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga

imperfección? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga

imperfección?x∽Bin (4,0.5 )

a) P(x=0) 4 !0! (4−0 ) !

(0.5 )0 ¿

b) P(x=1) 4 !1 ! (4−1 ) !

(0.5 )1¿

P(x ≥1)

c) P(x=1) 4 !1 ! (4−1 ) !

(0.5 )1¿

P(x=2) 4 !2 ! (4−2 )!

(0.5 )2 ¿

P(x=3) 4 !3 ! (4−3 )!

(0.5 )3 ¿

P(x=4) 4 !4 ! (4−4 ) !

(0.5 )4 ¿0.0625

0.25+0.375+0.25+0.0625=0.9375

4- Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos está defectuoso.a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra

esté defectuoso. b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos. c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la

muestra estén defectuosos. d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra

tenga defectos.

a) P(x=0) 5 !0! (5−0 )!

(0.1 )0 ¿

b) P(x=1) 5 !1 ! (5−1 ) !

(0.1 )1¿

c) P(x=1) 5 !1 ! (5−1 ) !

(0.1 )1¿

P(x=2) 5 !2 ! (5−2 )!

(0.1 )2¿

P(x=3) 5!3 ! (5−3 ) !

(0.1 )3 ¿

P(x=4) 5 !4 ! (5−4 )!

(0.1 )4 ¿

P(x=5) 5 !5 ! (5−5 )!

(0.1 )5 ¿

0.0729+0.0081+0.00045+0.00001=0.08551ó 8.551%

d) P(x=0) 5 !0! (5−0 )!

(0.1 )0 ¿

P(x=1) 5 !1 ! (5−1 ) !

(0.1 )1¿

P(x=2) 5 !2 ! (5−2 )!

(0.1 )2¿

0.59049+0.32805+0.0729=0.99144ó99.144%

5- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1? c) ¿Cuál es la probabilidad de que seis de los bits sean 1? d) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos de los bits sean 1?

a) P(x=8) 8 !8! (8−8 )!

(0.1 )8 ¿0.00390625

b) P(x=3) 8 !3 ! (8−3 ) !

(0.5 )3¿

c) P(x=6) 8 !6 ! (8−6 )!

(0.5 )6¿

d) P(x=0) 8 !0! (8−0 )!

(0.5 )0 ¿

P(x=1) 8 !1 ! (8−1 )!

(0.5 )1 ¿0.03125

P(x=2) 8 !2 ! (8−2 )!

(0.5 )2 ¿0.109375

0.00390625+0.03125+0.109375=0.144531

Distribución de Poisson

Definición: Es una distribución de probabilidad discreta que expresa a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante un cierto periodo de tiempo.

Formula: p ( x )=P (X=x )=e−λ λx

x !

Ejemplo:

Una central telefónica recibe en promedio 4 llamadas por hora, calcula las siguientes probabilidades:

P(x=0), P(x=1) P(x=2)

p ( x=0 ) e−4 40

0!=0.18315638

p ( x=1 ) e−4 41

1 !=0.73762552

p ( x=2 ) e−4 42

2 !=0.146525111

Ejercicios:

1- Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de 2-D son inteligentes ¿Cuál es la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes?n=100 p=0.03λ= 100*0.03= 3x=5

p ( x=5 ) e−3 35

5 !=0.10081

2- La producción de televisiones en LG trae asociada una probabilidad de defecto 2%, si se toma un lote o una muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.n=85 p=0.02λ= 85*0.02= 1.7x=4

p ( x=4 ) e−1.7 1.74

4 !=0.0635746

3- En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso, calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar, 3 de ellos hablen ruso.n=20p=0.15λ= 3x=3

p ( x=3 ) e−3 33

3 !=0.2240418

4- Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen problemas de vista, si tomamos una muestra de 50 personas al azar, calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan problemas de vista.n=50p=0.20λ= 10x=10

p ( x=10 ) e−10 1010

10 !=0.12511

5- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros, calcular la probabilidad de que en 5 registros exista algún problema.n=40p=0.08λ= 3.2x=5

p ( x=5 ) e−3.2 3.25

5 !=0.1139793

Distribución ExponencialDefinición: Es una distribución continua, nos ayuda a calcular un evento antes de que suceda sin embargo a este tiempo se le conoce como Tiempo de espera.Formula: p (X ≤x )=1−e− λx

Ejemplo:El fabricante de baterías ofrece un año de garantía, ofreciendo cambiar gratuitamente el producto si presenta problemas antes de 1 año. Si la vida útil de estas baterías es de un promedio de 10 años, calcular el porcentaje de las baterías que fallaran antes de un año.

p (X ≤1 )=1−e−0.1 (1)=0.095162Ejercicios:

1- En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atendido es cajas al pagar es de 7minutos, determine la probabilidad de que.a) Un cliente espere menos de 4 minutosb) Un cliente espere más de 9 minutos

p (X ≤4 )=1−e−0.142857 (4 )=0.428571p (X ≥9 )=1−e−0.142857 (9)=0.723546

2- El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación tiene distribución exponencial con media de dos años.a) ¿Cuál es el valor del parámetro λ? b) ¿Cuál es la mediana del tiempo de vida de dicho fusible?

λ=0.5p (X ≤1 )=1−e−0.5 (1)=0.393469

3- Una investigadora de catalizadores afirma que los diámetros, en micrones, de los poros de un nuevo producto que ella ha fabricado sigue una distribución exponencial con parámetro λ = 0.25.a) ¿Cuál es la media del diámetro de los poros?

p (X ≤1 )=1−e−0.25 (1 )=0.221199216

4- Alguien argumenta que el tiempo de espera, en minutos, entre las visitas a un sitio web tiene una distribución exponencial con parámetro λ = 1.a) Sea X el tiempo de espera hasta la siguiente visita. Si la

afirmación es verdadera, ¿a qué es igual P(X = 5)?p ( x=5 )1−e−1 (5 )=0.993262053

5- Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de Poisson a una razón media de dos por segundo. Sea T el tiempo de espera, en segundos, entre las emisiones.a) Determine P (T = 2).

p ( x=2 )1−e−1 (2 )=0.864664716