177

Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 2: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 3: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 4: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 5: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 6: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��������

�� �� ����� ������ �� ��� ���� ������ �� ���������� ����� �� ������

�� ��� ������ � ���� ������� �� �������� � ���� ����� ��� �� ������ �

�� ���� � ������ �� �� ���� ��� ����� � ��� ������ � ���!� ��� ����

��������� � ���������� �� ��� �� �����"��� ������ ����������# �� $�� !%

�� &������# "�� �� ��������� �� �� ��������� �������� �� ���"��� '�������

��� ���

(� � ������ �� ��� ��� ������ � �������� �� � ������ ������

���� ����# "�� ������� �� ���� �� �)������ ��������� � ��� �� �)������ �������%

���# ��� �� ���� �� �������* �� ��� ���! ����� ��������� �� ���

�� ���� ������ �� ����+�, ��������

-��� �� ������ ������� �������� ��� ��� ��� ������ � ���� ������ ��

���� ��� �� &��� �� .!����� & ����� ����� ������ ���# � �� ������ ���%

����� ��� �� &���/�� $�� !��� 0�������� ����� ��� �� �������

�� �������

� �� � ���

������ ����

Page 7: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

Page 8: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���������

�� ��������� � ���� ���� �� ��� �������� �

�� ������� ����� ��� ���������� ����������� ��� ���������� ���������� ��

�� ��������� � ���� ���� �� ��� ������� �� ������� ��

�� ������������ ���� �� ������ ���������� ���� �� ������ ���� ������� ���� ������������ ��� ������ ���������� ���� ������������ ��� ������ ���� ������� ���� �������� ��

�� ������� � ������ ����������� �

�� ��� ��� ����� !��� ���������� ����������� !��� ���������� ���������� ���

�� !����� � "����� ���������� �� #����$��� ��%

�� ������������ ����� �������� ��"

!��������� ���

&�$"�����'(�� �%�

)� �" �� "� ����������� �%�

�� #������ ������������ ����� $������� �� ������ ���������� ���

Page 9: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

Page 10: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��������

����������� � ���� � ����� � ��� ��� ������

���������� � ������ �� �� �� � ��� �� �� ���� �������� ����� �����

������ �� ��� ����� ����� ���� �������� ������� ������ � �� ���

���������� ������� ��� ������ ���������������� �� � ���� � ������ ��� ���

��� �� �������� ���� �� ��� ���������� �� ��� ��������� �� � ������

�� ����� � ������� ���� ������� ���� ������� �� � ��� �� �� ���� �

��� ������ �� ����� �� � ������ �� ������ ��������� �� ��� ���������

�� ��� ��� ������ ������ !� ������� �� ���� ������� � ������� �� � ����

�"� �"��� ��������

��� ������� �����

#� �������� � ��� �� ��� ��� � ������� �� �� ���� ��������� ��������

������� �� ��������� �����$

%� &�������� ��� ����� �� ������������ �� � ��� ��� ��� ���� �����������

'� &�������� ��� �������� �� ������ ��������� �� ��� ������� �� � ���

�����

(� &�������� � ������) �� � ��� ��� �������� ��� ���� ���������� � �

�������

*� &�������� �� �������� �� �� �)����� ������� �� ��� ����� � ����

+� ����� �� ��������� �� � ������ � ������ �� ����� �� ������� �

��" � ���� �������� �

,� -��� � ��" � �� � ����

Page 11: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ������������ ��� C : P(x, y) = 0 ��� ���� �� R2 ����� P(x, y) � ��

��������� �� �� ������� x � y�

�� �� ����� ������� �� C ��� �� ��� Ox � ���������� �� ������� �� ��������

P(x, 0) = 0 � �� ����� ������� �� C ��� �� ��� Oy �� ������� �� ��������

P(0, y) = 0 .

�� �� P(x, y) = 0 ≡ P(x,−y) = 0 �� ���� C � �������� �� ����� �� ��� Ox� ��

����� ������ � P(x, y) = 0 ≡ P(−x, y) = 0 �� ���� C � �������� �� ������� ��� Oy� �������������� � P(x, y) = 0 ≡ P(−x,−y) = 0 �� ���� C � �������� �� ����� �� ������ �� ���������� �

�� ��� ���������� �� � !����� �������� �� C � ������ P(x, y) �� ������� �� ��������� y � � ������ � ���� �� ���"������ �� �� �������� �# ����� ������������

���� ���������� �� � !����� $���%������ �� C � ������ P(x, y) �� ������� �� �� ������� x � � ������ � ���� �� ���"������ �� �� �������� �# ����� �� ����

����� ���� ���������� �� � !����� ������� �� C � ������ P(x,mx + b) ��

������� �� �� ������� x � � ������� � ���� �� ���"������ �� �� �� ��������

�# ���� �

��� ������� ��� ���� ��

��� � ����� &�� ����� �� ���� C : 2xy2 − x3 + 8 = 0�

�������� &�� ����� � �� ������"������

P(x, y) = 2xy2 − x3 + 8 .

�� �������� P(x, 0) = 0 ������� −x3+8 = 0 ���� '���� ������� ���� � x = 2� ��

����� (�� P(0, y) = 0 ������� �� �� ���� 8 = 0 �� (�� ������ (�� �� ���� C �� ������ ���� ��� �� ��� Ox� �� �� ���� �)��� �� �� ���� C '��������� ����� ���� ����� Ox �� �� ����� (2, 0)�

��� ���������� �� ����� ���� ���� �� �� ������� x � ��������# � �� ����� y

�� ������� �� x

y = ±√

x3 − 8

2x. *���+

���'� � ������� �� *���+ �� ������� y � ����# ����� ����� ������ � ������

Page 12: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ������� �� �� ������ x ����� ���� �� �� �� �� ������ �� �� ������

x3 − 8

2x≥ 0 . �����

������ ��� ������� ������� ���� x ���� ����� ��� ������� x ∈ 〈−∞, 0〉∪ [2,+∞〉 ���� ���� ������ ����� �����√

x3 − 8

2x≥ 0 ∨ −

√x3 − 8

2x≤ 0 ,

�� �� ������� �� ������ ���� �� y ≥ 0 ∨ y ≤ 0 . � �� ���� ��� ������� �������

���� y ���� ����� ��� ������� y ∈ [0,+∞〉 ∪ 〈−∞, 0]� �� ����� ����� ��� �������

y ∈ R�

�������� ��� ���� ����� ��������� � �� � ����

P(x,−y) = 0 ≡ 2x(−y)2 − x3 + 8 = 0 ,

≡ 2xy2 − x3 + 8 = 0 ,

≡ P(x, y) = 0 ,

�� �� ��� ��� �� ����� C �� ��!���� �� �������� �� ��� Ox� "� ���� ���

P(−x, y) = 0 ≡ 2(−x)y2 − (−x)3 + 8 = 0 ,

≡ −2xy2 + x3 + 8 = 0 ,

≡ 2xy2 − x3 − 8 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��# ��� �� ����� � ������ � �� �����#�� �� �������� �� ��� Oy� $ ���� ���

P(−x,−y) = 0 ≡ 2(−x)(−y)2 − (−x)3 + 8 = 0 ,

≡ −2xy2 + x3 + 8 = 0 ,

≡ 2xy2 − x3 − 8 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� C ������� �� ��!���� �� �������� �� ���� �

Page 13: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ ���� � ��� � � ������ � ��� � ������� � �� ����� ������� �

y �

P(x, y) = 2xy2 − x3 + 8

� ����� �� ������ 2x = 0� ������ �� ����� �������� ������� � C � �� ����

x = 0� ��� ������� ��� � � ������ � ��� � ������� � �� ����� ������� �

x �

P(x, y) = −x3 + 2y2x+ 8

� ����� � ������ −1 = 0� � ���� � �� ���� C �� ��� �������� �����������

��� ���� ����� ��� � � ������ � ��� ��� �������� � ��� ��� �������� � �

����� � x �

P(x,mx+ b) = 2x(mx+ b)2 − x3 + 8 ,

= (2m2 − 1)x3 + 4bmx2 + 2b2x+ 8 ,

� ����� � ������ ⎧⎪⎨⎪⎩

2m2 − 1 = 0 ,

4bm = 0 .

���� �������� ������ ����� ��� ������� � ��� ��������� ������� � ��

!���� y = mx+ b� ��� ��

y = − x√2, y =

x√2.

� ������������ ������ � ���� "#�#$ � �� �������� �� ������ �����

x −2 −1 −12 3 5

y ±2 ± 3√2±√

658 ±

√196 ±3

√1310

�� ��� ������ ��� ���������� � ��� ����� � ����� � ���� �!����� ����

������ �� �� ��� � �� ���� C�%� �������� � ����� �� �� ��� � �� ���� C ��� � ���� � ����� � �� ����

#�#�

Page 14: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

��� ���������� �������� � ��� � C : yx2 − xy2 − 1 = 0�

�������� ���������� � ����������

P(x, y) = yx2 − xy2 − 1 .

�� ������� P(x, 0) = 0 ������� � ������� −1 = 0� � ��� ���� ��� � ��� � C ��

�� ��������� ��� � ��� Ox� ���������� P(0, y) = 0 ������� � ���� ��������

�� ����� � ��� � C ������� �� ��������� ��� � ��� Oy�

���� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y

�� ������� �� x�

y =x2 ±√x4 − 4x

2x. ����

!��� ���� ��� � ����� y ������ ����� ������ ������ " ������ �� ����� ��

� ����� x �������#��� � �������� ������ �� � ��������

x4 − 4x ≥ 0 ∧ x �= 0 .

���$�� �� ����� ������� ���� x ����� ����� �� ����� x ∈ 〈−∞, 0〉∪[ 3√4,+∞〉 �

%� ���� ����� �� ��������� � �������� x �� ������� �� y�

x =y2 ±

√y4 + 4y

2y.

!��� ���� ��� � ����� x ������ ����� ������ ������ " ������ �� ����� ��

Page 15: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� �������� y �������� �� � �� � ����� �� �� ��������

y4 + 4y ≥ 0 ∧ y �= 0 .

���� � � � ��� ��� ���������� ���� y ���� � � � � ��� ��� y ∈ 〈−∞,− 3√4] ∪

〈0,+∞〉�

����������� � � ����� ���������� � � ������

P(x,−y) = 0 ≡ (−y)x2 − x(−y)2 − 1 = 0 ,

≡ −yx2 − xy2 − 1 = 0 ,

≡ yx2 + xy2 + 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� ���� �� ����� C �� �������� � ������ �� ��� Ox� ���������

P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)2 − (−x)y2 − 1 = 0 ,

≡ yx2 + xy2 − 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��� ���� �� ����� � ������ ��� � ������ ������� � ������ �� ��� Oy� �

��� ����

P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)(−x)2 − (−x)(−y)2 − 1 = 0 ,

≡ −yx2 + xy2 − 1 = 0 ,

≡ yx2 − xy2 + 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� C ��� � �� �������� � ������ �� �����

� ��� ��� ��� ������� �� ������� � ��� �� � �!���� �� �� ��" � � ���� ��

y �

P(x, y) = −xy2 + yx2 − 1

�� ���� �� ������� −x = 0� � ��� �� #��� ��� � ������� �� C �� �� ����

x = 0� $� �� ����� % ���� ������� �� ������� � ��� �� � �!���� �� �� ��" �

��

Page 16: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�������� � x ��

P(x, y) = yx2 − xy2 − 1

� ������� �� �� ����� y = 0� � ��� � � �� ����� ������� ���������� � �� � ���

C � �� ����� y = 0� ��� ���� ���� �� � � �� ���� � ���� �� ���������� � ��

� �������� �� ���� � x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)x2 − x(mx+ b)2 − 1 ,

= m(1−m)x3 + b(1− 2m)x2 − b2x− 1 ,

� ������� �� ����� ⎧⎪⎨⎪⎩

m(1−m) = 0 ,

b(1− 2m) = 0 .

� �� �� ����� �������� ������� �� �� ������ � �� ������� ����� � � ��

����� y = mx+ b� ��� ��

y = 0† , y = x .

������ ������ ������� �� � ���� !"�#$ � �� �������� �� �� ����� �����

x −3 −1 −14

3√4 3 4

y −9±√936

−1±√52

−1±√2578

3√42

9±√696

4±√152

�� � �� �������� �� �������� � �� � ��� � � ������� ���� ���������� ����

������ �� ������ � �� � ��� C�%� ���������� � ����� �� ������ � �� � ��� C ��� � ���� � � ���� �� �� �� ��

"�&�

��� ���������� '���� �� �� � ��� C : yx− x2 + y − 2 = 0�

�������� '������� �� ������������

P(x, y) = yx− x2 + y − 2 .

†���� �������� �� � �������� ��� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��� ���� �������� �� �� � ���������� ��� m = 0�

��

Page 17: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

�� �������� P(x, 0) = 0 ����� −x2 − 2 = 0 �� �� ����� ��� ��������� �� ���

������ ��� �� ���� C �� �� ��������� ��� �� ��� Ox� �� ����� ���� P(0, y) = 0

����� y− 2 = 0 �� � ����� �������� ��� �� y = 2� �� �� ����� �������� �� ����

C ���������� ��������� �� ��� Oy �� �� ���� (0, 2)�

��� �������� ��� ������ ���������� �� �� ������� x �� ������ � ������ y

�� ������� �� x�

y =x2 + 2

x+ 1. � �!"

���� ������ ��� ��� ������ ���������� �� x ���� ����� ��� ������ x ∈ R−{−1}�#� ���� ������� �� ������ � ������ x �� ������� �� y�

x =y ±

√y2 + 4y − 8

2.

���� ������ ��� �� ������� x ������ ������ ������ ����� ������ ��� ������ ��

�� ������� y �����$��� �� �������� �������� �� �� ����������

y2 + 4y − 8 ≥ 0 .

���� ������ ��� ��� ������ ���������� �� y ���� ����� ��� ������

y ∈ 〈−∞,−2√3− 2] ∪ [

2√3− 2,+∞〉 �

��

Page 18: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����������� � � ����� ���������� � � ������

P(x,−y) = 0 ≡ (−y)x− x2 + (−y)− 2 = 0 ,

≡ −yx− x2 − y − 2 = 0 ,

≡ yx+ x2 + y + 2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� ���� �� ����� C �� �������� � ������ �� ��� Ox� ���������

P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)− (−x)2 + y − 2 = 0 ,

≡ −yx− x2 + y − 2 = 0 ,

≡ yx+ x2 − y + 2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��� ���� �� ����� � ������ ��� � ������ ������� � ������ �� ��� Oy� �

��� ����

P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)(−x)− (−x)2 + (−y)− 2 = 0 ,

≡ yx− x2 − y − 2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� C ��� � �� �������� � ������ �� �����

�� ��� ��� ��� ������� �� ������� � ��� �� � ������ �� �� ��� � � ���� ��

y �

P(x, y) = (x+ 1)y − x2 − 2

�� ���� �� ������� x+ 1 = 0� � ��� �� ��� ��� � ������� �� C �� �� ����

x = −1� !� �� ����� " ���� ������� �� ������� � ��� �� � ������ �� �� ��� �

� ���� �� x �

P(x, y) = −x2 + yx+ y − 2

�� ���� �� ������ −1 = 0� �� � � ��� �� ����� C � ��� ��� � � ��# ���

$ � � ��� � ������� �� ������� � ��� � � � ������� �� ��� � � � ����� �%�

��

Page 19: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)x− x2 + (mx+ b)− 2 ,

= (m− 1)x2 + (m+ b)x+ b− 2 ,

�� ����� �� ������ ⎧⎪⎨⎪⎩

m− 1 = 0 ,

m+ b = 0 .

� �� ��� ��� ������ ������ �� �� ���� �� �� �������� ��� � �� �� �����

y = mx+ b� ���� ���

y = x− 1 .

� ����� ����� ������� �� � ���� ����� �� �� �������� �� �� ���� ����

x −6 −4 −2 −32 −1

2 2 5

y −274 −6 −6 −17

292 2 9

2

�� � �� ������� ��� ����������� �� ��� � ���� � � ������� ���� ��������� ����

��� �� �� ���!�� �� �� � ��� C�"� !��������� �� ��� � �� ���!�� �� �� � ��� C ��� � ���� �� � ����� �� �� !� ��

��#�

���� ���

��

Page 20: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ���������� �������� � ��� � C : xy + 2x2y − y − 1 = 0�

�������� ���������� � ����������

P(x, y) = xy + 2x2y − y − 1 .

�� ������� P(x, 0) = 0 ������� � ������� −1 = 0� � ��� ���� ��� � ��� � C�� �� ��������� ��� � ��� Ox� ��� ���� ������ P(0, y) = 0 ������� −y − 1 = 0�

���� ������ �� y = −1� �� ������� ���� ��� � ��� � C ��������� �� ���������

��� � ��� Oy �� � ����� (0,−1)����� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y

�� ������� �� x�

y =1

2 x2 + x− 1. ��� !

"��� ���� ��� �� ����� ������� ���� x ����� ����� �� ����� x ∈ R−{−1, 12}�#� ���� ����� �� ��������� � �������� x �� ������� �� y�

x =−y ±

√9 y2 + 8 y

4 y.

"��� ���� ��� � ����� x ������ ����� ������ ������ � ������ �� ����� ��

� ����� y �������$��� � �������� ������ �� � ��������

9y2 + 8y ≥ 0 ∧ y �= 0 .

���%�� �� ����� ������� ���� y ����� ����� �� ����� y ∈ 〈−∞,−89

]∪〈0,+∞〉�&�%��������� ���� ����� ��������� � ����������

P(x,−y) = 0 ≡ x (−y) + 2 x2 (−y)− (−y)− 1 = 0 ,

≡ −x y − 2 x2 y + y − 1 = 0 ,

≡ x y + 2 x2 y − y + 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ������ ���� � ��� � C �� �� ������� ��� �������� � ��� Ox� '%��������

P(−x, y) = 0 ≡ (−x) y + 2 (−x)2 y − y − 1 = 0 ,

��

Page 21: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

P(−x, y) = 0 ≡ −x y + 2 x2 y − y − 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��� ���� �� ��� �� ��� ��� ����� ����� � ���� �� �� ���� � �� ��� Oy� �

���� ����

P(−x,−y) = 0 ≡ (−x) (−y) + 2 (−x)2 (−y)− (−y)− 1 = 0 ,

≡ x y − 2 x2 y + y − 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ��� C ����� �� ���� �� �� ���� � �� ������

����� ���� ��� ������� �� ������ � �� �� ������ � �� �� ���� �� ���� ��

y ��

P(x, y) = (2x2 + x− 1)y − 1

�� �� ���� �� ������ 2x2 + x − 1 = 0� �� ���� ��� ��� ���� � �� �� ����� �� C��� ��� � �� x = −1 � x = 1

2 � �� �� ����� ����� ������� �� ������ � �� ��

������ � �� �� ���� �� ���� �� x ��

P(x, y) = yx2 − y2x− 1

�� �� ���� �� ������ y = 0� �� ���� ��� �� ��� ���� � � ���!�� �� �� �� ���

C �� �� � � y = 0� "� � � ����� ������� �� ������ � �� ��� ������ �� �� ���

��� �� ����� �#� �� �� �� x ��

P(x,mx+ b) = x(mx+ b) + 2x2(mx+ b)− (mx+ b)− 1 ,

= 2mx3 + (2b+m)x2 + (b−m)x− b− 1 ,

�� �� ���� �� ��� ��� ⎧⎪⎨⎪⎩

2m = 0 ,

2b+m = 0 .

��� ������� ���� � �� ��� �� ������ �� �� ���� � � ������ �� �� ����

��

Page 22: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

y = mx+ b� ���� ���

y = 0† .

� ���������� ����� � �� ����� ����� �� �� ������� � �� ������ �����

x −2 −54 −3

414

34

32

y 15

87 −8

5 −85

87

15

�� ��� ������� ��� ���� ��� �� � ��� ����� �� ������� ���� ��������� ����

������ �� ������ � �� ���� C� � ���������� �� ����� �� ������ � �� ���� C ��� ! ���� �� ������ �� �� ����

��"�

���� ���

��� ���������� #������ �� ���� C : y2x− y2 − x3 = 0�

�������� #��� $���� �� ���������

P(x, y) = y2x− y2 − x3 .

%� ������ P(x, 0) = 0 ��� �� −x3 = 0� �!� ������ �� x = 0� &����������

P(0, y) = 0 ��� �� −y2 = 0� �!� ������ �� y = 0� %� ������� � �� �� ��

���� C ���� ��� �� ����� � ���� ��� �� O(0, 0)�

†���� �� �� ������� �� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��������� �� ���� ������� ��� m = 0�

��

Page 23: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ��������� �� ����� ��������� �� � ������ x �� ��������� � �������� y

� ������� �� x�

y = ±√

x3

x− 1. �����

���� ����� ��� � ������ y ������� ����� ������ ������� � ����� �� ����� ��

� ������ x ��������� � ������ ������ �� � ��������

x3

x− 1≥ 0 . ��� �

!��"�� �� ����� ��������� ���� x ���� ����� �� ����� x ∈ 〈−∞, 0]∪〈1,+∞〉���� ���� ������ ��� � ������√

x3

x− 1≥ 0 ∨ −

√x3

x− 1≤ 0 ,

�� �� ������� �� ������ ���� ��

y ≥ 0 ∨ y ≤ 0 .

#�$ ���� �� ����� ��������� ���� y ���� ����� �� ����� y ∈ [0,+∞〉∪ 〈−∞, 0]�

�� ������ ����� �� ����� y ∈ R�

%�"��������� ���� ����� ���������� � ���������

P(x,−y) = 0 ≡ (−y)2x− (−y)2 − x3 = 0 ,

≡ y2x− y2 − x3 = 0 ,

≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� ���� � ��� � C �� ��������� �� �������� � ��� Ox� %� �����"��

P(−x, y) = 0 ≡ y2(−x)− y2 − (−x)3 = 0 ,

≡ −y2x− y2 + x3 = 0 ,

≡ y2x+ y2 − x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��$ ���� � ��� � � ������� � �� ��������� �� �������� � ��� Oy� & ���� ����

P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)2(−x)− (−y)2 − (−x)3 = 0 ,

��

Page 24: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

P(−x,−y) = 0 ≡ y2x+ y2 − x3 = 0 ,

≡ −y2x− y2 + x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� C ���� �� � ���� �� �� ������ �� � ����

����� ��� ��� ������ �� ������ � ��� �� ���� ���� �� �� ���� ���� � ��

y ��

P(x, y) = (x− 1)y2 − x3

�� �� ��� �� ����� �� x−1 = 0� ������� �� ������� ���� ��� �� C �� �� ����� x = 1�

�� �� � ��� ����� ������ �� ������ � ��� �� ���� ���� �� �� ���� ���� � ��

x ��

P(x, y) = −x3 + y2x− y2

�� �� ��� �� ������ −1 = 0� �� ��� �� �� ����� C � ��� ������� �� ������ ��

������ �� ������ � ��� �� ���� ����� �� ��� �� ���� �� � � ����� �� x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)2x− (mx+ b)2 − x3 ,

= (m2 − 1)x3 +m(2b−m)x2 + b(b− 2m)x− b2 ,

�� �� ��� �� � ����� ⎧⎪⎨⎪⎩

m2 − 1 = 0 ,

m(2b−m) = 0 .

���� ���� �� ��� �� ������ �� ����� �� �� �� ������� �� ��� �� �� ����

y = mx+ b� ��� ���

y = x+1

2, y = −x− 1

2.

� ��� ���� ��� ��� ��� �� ������ !"�#$ �� �� ������� �� � �� ���� �����

x −1 −12

98 2

y ± 1√2± 1

2√3±27

8 ±√8

�� ���� ��� ��� ��� ��������� �� �� ���� ��� ���� � � �� �������� � ���

������ �� �� ��� �� �� ����� C���

Page 25: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ��������� � ���� �� ����� �� �� ����� C �� � ���� � ����� �� �� � �������

���� ���

��� ���������� ������� �� ����� C : yx3 − y − 5x2 = 0�

�������� ��������� �� ������������

P(x, y) = yx3 − y − 5x2 .

�� �������� P(x, 0) = 0 ������� −5x2 = 0� ���� ������� � x = 0� ������������

P(0, y) = 0 ������� −y = 0� ���� ������� � y = 0� �� ������� ������ ��� �� �����

C ��� ��� �� ��� �� �� ���������� O(0, 0)�

��� ��������� �� ������ �����!�� �� �� �����!�� x � ��������� � ����"�� y

�� ������ �� x�

y =5x2

x3 − 1. #��$%

&� ������ ��� �� ������ �����!�� ���� x ���� ��� �� ������

x ∈ R− {1} . #��'%

�� ��� ����� #��'% ������ (���� �� � ����� ����������

−∞ < x < 1⇒ 0 ≤ x2 < +∞⇒ 0 ≤ 5x2 < +∞ #���)%

��

Page 26: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

−∞ < x < 1⇒ −∞ < x3 < 1

⇒ −∞ < x3 − 1 < 0

⇒ 0 < 1− x3 < +∞⇒ 0 <

1

1− x3< +∞ ������

� ������ ��� ������ � ������ �� ������

0 <5x2

1− x3< +∞

−∞ <5x2

x3 − 1< 0

−∞ < y < 0 ������

� ����� ����� ����� � ��� �� � �� � ����������

1 < x < +∞⇒ 1 < x2 < +∞⇒ 5 < 5x2 < +∞ ������

1 < x < +∞⇒ 1 < x3 < +∞⇒ 0 < x3 − 1 < +∞⇒ 0 <

1

1− x3< +∞ ������

�� ���� ����� ������ ��� ������ � ������ �� ������

0 <5x2

x3 − 1< +∞

0 < y < +∞ ������

�! "��� ������ �� ���� ������� ������ � �� ����� "�� � ���� C � � ��� ����#�� �� ������� � �� ��� � ����� ������� � � y ���$� ���� ��� � ����� y ∈ R�

%�#�� ����� ���� ����� ���� ��� ����� �&�

P(x,−y) = 0 ≡ (−y)x3 − (−y)− 5x2 = 0 ,

≡ −yx3 + y − 5x2 = 0 ,

��

Page 27: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

P(x,−y) = 0 ≡ yx3 − y + 5x2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ������ ��� � ����� C � �� ��������� � � ������� � ��� Ox� �����������

P(−x, y) = 0 ≡ y(−x)3 − y − 5(−x)2 = 0 ,

≡ −yx3 − y − 5x2 = 0 ,

≡ yx3 + y + 5x2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ��������� � � ������� � ��� Oy� � ���

���

P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)(−x)3 − (−y)− 5(−x)2 = 0 ,

≡ yx3 + y − 5x2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

� ����� C ���� � �� ��������� � � ������� � ������

�� �� ��� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ ��

y ��

P(x, y) = (x3 − 1)y − 5x2

�� ������ � �������� x3 − 1 = 0 ���� ����� � ����� ��� �� x = 1 ��� ���� �

����� �� ������� �� C �� � ����� x = 1� � � ����� ! ��� ������� �� ������ �

��� � � �������� �� � ��� � � ������ �� x ��

P(x, y) = yx3 − 5x2 − y

�� ������ � �������� y = 0 ��� ���� � ����� �� � ��" ��� �� C �� � ����� y = 0�

# � �� �� ������� �� ������ � ��� � � ��������� �� �� � � � ������� �$�

���� �� x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)x3 − (mx+ b)− 5x2 ,

= mx4 + bx3 − 5x2 −mx− b ,

��

Page 28: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������� �� ����� ⎧⎪⎨⎪⎩

m = 0 ,

b = 0 .

�� �������� ������ ������� � ������� �� � ������ ������ �� � ���

y = mx+ b� ���� ���

y = 0† .

� ������������ �������� �� ����� ����� �� � ������� � ��������� ���

x −4 −2 −12

12

74 3

y −163 −20

9 −109 −10

7980279

4526

� ��� �������� �� ��������� �� ��� ������ ��� �������� ��� ��������� ��

�� � � ���!� �� � ���� C�"� !������� �� �� � ���!� �� � ���� C �� ��� �� ����� �� � !���

��#�

���� ���

†���� �������� �� � �������� ��� ���� ��� �� ��� ���������� ���� ��� ���� �������� �� �� � ���������� ��� m = 0�

��

Page 29: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ���������� �������� � ��� � C : x2y3 + y3 − 2x2 + 1 = 0�

�������� ���������� � ����������

P(x, y) = x2y3 + y3 − 2x2 + 1 .

�� ������� P(x, 0) = 0 ������� −2x2 + 1 = 0� ����� �������� ��� x = − 1√2�

x = 1√2� ��� ���� ������ P(0, y) = 0 ������� y3 +1 = 0� ���� ���� ������ ��� ��

y = −1� �� ������� ���� ��� � ��� � C �� ��������� ��� � ��� Ox �� �� ������(− 1√

2, 0)�(

1√2, 0)� � ��� � ��� Oy �� � ����� (0,−1)�

���� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y

�� ������� �� x�

y =3

√2x2 − 1

x2 + 1. � � !"

#��� ���� ��� �� ����� ������� ���� x ����� ����� �� ����� x ∈ R� $� ����

����� �� ��������� � �������� x �� ������� �� y�

x = ±√

y3 + 1

2− y3.

#��� ���� ��� � ����� x ������ ����� ������ ������ � ������ �� ����� ��

� ����� y �������%��� � �������� ������ �� � ��������

y3 + 1

2− y3≥ 0 .

���&�� �� ����� ������� ���� y ����� ����� �� ����� y ∈ 〈−1, 3√2]�

'�&��������� ���� ����� ��������� � ����������

P(x,−y) = 0 ≡ x2(−y)3 + (−y)3 − 2x2 + 1 = 0 ,

≡ −x2y3 − y3 − 2x2 + 1 = 0 ,

≡ x2y3 + y3 + 2x2 − 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ������ ���� � ��� � C �� �� ������� ��� �������� � ��� Ox� (� ���������

P(−x, y) = 0 ≡ (−x)2y3 + y3 − 2(−x)2 + 1 = 0 ,

��

Page 30: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

P(−x, y) = 0 ≡ x2y3 + y3 − 2x2 + 1 = 0 ,

≡ P(x, y) = 0 ,

��� ���� �� ��� �� ��� ��� �� ���� �� �� ���� � �� ��� Oy� � ���� ����

P(−x,−y) = 0 ≡ (−x)2(−y)3 + (−y)3 − 2(−x)2 + 1 = 0 ,

≡ −x2y3 − y3 − 2x2 + 1 = 0 ,

≡ x2y3 + y3 + 2x2 − 1 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ��� C �� �� ���� �� �� ���� � �� ������

����� ���� ��� ������� �� ������ � �� �� ������ � �� �� ���� �� ���� ��

y ��

P(x, y) = (x2 + 1)y3 − 2x2 + 1

�� �� ���� �� ������ x2 + 1 = 0� ��� �� ����� ��������� ������ �� ���� �� ���

C �� ����� ���� � � �� ���� ��� ������� ������� �� ������ � �� �� ������ �

�� �� ���� �� ���� �� x ��

P(x, y) = (y3 − 2)x2 + y3 + 1

�� �� ���� �� ������ y3 − 2 = 0� �� ���� ��� �� ���� ���� � � ��� �� �� �� ��

��� C �� �� � � y = 3√2� !� � � ����� ������� �� ������ � �� ��� ������ ��

�� ��� ��� �� ����� �"� �� �� �� x ��

P(x,mx+ b) = x2(mx+ b)3 + (mx+ b)3 − 2x2 + 1 ,

= m3x5 + 3bm2x4 +m(m2 + 3b2)x3 +

+(3mb2 + b3 − 2)x2 + 3b2mx+ b3 + 1 ,

�� �� ���� �� ��� ��� ⎧⎪⎨⎪⎩

m3 = 0 ,

3bm2 = 0 .

�� ���� �� ���� � ����� �� ��������� ��� b� ����� ��� �� ��� C �� �����

���� � �� ��������

��

Page 31: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

� ����������� �������� �� ������ ����� �� �� ��������� �� ��������� �����

x −4 −2 −12

12 2 4

y 3

√3117

3

√75 − 3

√25 − 3

√25

3

√75

3

√3117

�� ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ ��� �������� ���� ���������� ����

������ �� ������ �� �� ����� C� ��������� �� ����� �� ������ �� �� ����� C ��� ! ���� �� ������� �� �� �����

��"�

��� ���������� #�������� �� ����� C : xy2 + x− y2 + 2 = 0�

�������� #�����$���� �� ������������

P(x, y) = xy2 + x− y2 + 2 .

%� ������� P(x, 0) = 0 ������� x + 2 = 0 ��!� ������� �� x = −2� &�� ��������� P(0, y) = 0 ������� −y2 + 2 = 0 ��!�� ���������� ��� y = −√2 ! y =

√2�

%� �������� ������ ��� �� ����� C �� ���������� ��� �� �'� Ox �� �� ����� (−2, 0)( !��� �� �'� Oy �� ��� ������

(0,−√2

)!(0,√2)�

&��� ���������� ��� ������� ���������� �� �� �������� x �� ��������� � �����'�� y

��

Page 32: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������� � x�

y = ±√

x+ 2

1− x. � � ��

��� ����� ��� �� �������� y ������ ������ ������ ������ � ����� �� ������ �

�� �������� x ����������� �� �������� ������� � �� ����������

x+ 2

1− x≥ 0 . � � ��

��!�� �� ������ ������� ���� x ���� ��� �� ������ x ∈ [−2, 1〉 � "� ���������� � �������� � ������ x �� ������� � y�

x =y2 − 2

y2 + 1.

��� ����� ��� �� ������ ������� ���� y ���� ��� �� ������ y ∈ R�

#�!��������� ���� ���� ��������� � ������������

P(x,−y) = 0 ≡ x(−y)2 + x− (−y)2 + 2 = 0 ,

≡ xy2 + x− y2 + 2 = 0 ,

≡ P(x, y) = 0 ,

� ������ ���� �� ����� C � �������� ��� ������� �� ��� Ox� $� ��������

P(−x, y) = 0 ≡ (−x)y2 + (−x)− y2 + 2 = 0 ,

≡ −xy2 − x− y2 + 2 = 0 ,

≡ xy2 + x+ y2 − 2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�% ���� �� ����� �� ������� �� � �������� ��� ������� �� ��� Oy� & �� ����

P(−x,−y) = 0 ≡ (−x)(−y)2 + (−x)− (−y)2 + 2 = 0 ,

≡ −xy2 − x− y2 + 2 = 0 ,

≡ xy2 + x+ y2 − 2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ����� C �� � �������� ��� ������� �� ���!�����

Page 33: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ ���� � ��� � � ������ � ��� � ������� � �� ����� ������� �

y �

P(x, y) = (x− 1)y2 + x+ 2

� ����� �� ������ x− 1 = 0� ��� ������� � x = 1� ������ �� ���� C ���

��� �������� ������� � �� ���� x = 1� ��� ������� ��� � � ������ � ��� �

������� � �� ����� ������� � x �

P(x, y) = (y2 + 1)x− y2 + 2

� ����� �� ������ y2+1 = 0� � �� ��� �������� ����� ��� � �� ���� C ��

��� ��������� ������������ ��� ���� ����� ��� � � ������ � ��� ��� ��������

� ��� ��� �������� ��� ����� � x �

P(x,mx+ b) = x(mx+ b)2 + x− (mx+ b)2 + 2 ,

= m2x3 +m(2b−m)x2 + (b2 − 2bm+ 1)x− b2 + 2

� ����� � ������ ⎧⎪⎨⎪⎩

m2 = 0 ,

m(2b−m) = 0 .

� ���� ��� ������� �������� �������� ���� b� ������ � �� ���� C �� ���

��������� ��������

� ������������ ������ � ���� !�!"# � �� �������� �� ������ �����

x −32 −1

212

y ± 1√5±1 ±√5

�� ��� ������ ��� ���������� � ��� ����� � ������� ���� �$����� ����

������ �� ������ � �� ���� C�%� �������� � ����� �� ������ � �� ���� C ��� � ���� � ����� � �� ����

!�&�

��

Page 34: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

��� ���������� �������� � ��� � C : x2y2 − 4xy + x2 + y2 = 0�

�������� ���������� � ����������

P(x, y) = x2y2 − 4xy + x2 + y2 .

�� ������� P(x, 0) = 0 ������� x2 = 0� ���� ������ �� x = 0� �� ����� �����

P(0, y) = 0 ������� y2 = 0� ���� ������ �� y = 0� �� ������� ���� ��� � ��� �

C ���� ��� � ����� �� ����������� O(0, 0)�

���� ��������� �� ����� ������� �� � ����� x �� ��������� � �������� y

�� ������� �� x�

y =−2x±√3x2 − x4

x2 + 1. !�!"#

$��� ���� ��� � ����� y ������ ����� ������ ������ � ������ �� ����� ��

� ����� x �������%��� � �������� ������ �� � ��������

3x2 − x4 ≥ 0 .

��

Page 35: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ ��� ����� � ������� �� x ����� ����� ��� ����� x ∈ [−√3,√3]� ��

��� �� ���� �� ��������� ������� x �� ��� ���� �� y�

x =−2y ±

√3y2 − y4

y2 + 1.

���� ����� ��� � ����� y �� ��� ����� ������ ��� ��� � ����� ��� ����� ��

� ����� y ���������� � �������� �������� �� � ���������

3y2 − y4 ≥ 0 .

������ ��� ����� � ������� �� y ����� ����� ��� ����� y ∈ [−√3,√3]�

������ ����� �� � ����� �������� �����������

P(x,−y) = 0 ≡ x2(−y)2 − 4x(−y) + x2 + (−y)2 = 0 ,

≡ x2y2 + 4xy + x2 + y2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

�� ��� ���� � ��� C �� �� �� ����� ��� �������� � ��� Ox� �� ��� �������

P(−x, y) = 0 ≡ (−x)2y2 − 4(−x)y + (−x)2 + y2 = 0 ,

≡ x2y2 + 4xy + x2 + y2 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

� ���� � ��� �� �������� �� �� �� ����� ��� �������� � ��� Oy� !� ��������

P(−x,−y) = 0 ≡ (−x)2(−y)2 − 4(−x)(−y) + (−x)2 + (−y)2 = 0 ,

≡ x2y2 − 4xy + x2 + y2 = 0 ,

≡ P(x, y) = 0 ,

� ��� C �� �� ����� ��� �������� � �������

"#��� ��� ��� ������� �� ����� ���� �� ���$������ �� � ��� ������� ��

y ��

P(x, y) = (x2 + 1)y2 − 4xy + x2

�� ������� � ������� x2+1 = 0� ��� �� ����� ���������� ������ �������� � ��� C�� ����� � ����� ��������� �� ��� ����� ������� �� ����� ���� �� ���$������

��

Page 36: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� �� ����� ���� � �� x ��

P(x, y) = (y2 + 1)x2 − 4yx+ y2

�� �� ��� �� ����� �� y2+1 = 0� ��� �� ���� ����� ���� ������� ��� ��� �� ����� C ��

���� ������� ��� �������� ��� ��� ����� ������ �� ������ � ���� ��� ����� ����

�� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� x ��

P(x,mx+ b) = x2(mx+ b)2 − 4x(mx+ b) + x2 + (mx+ b)2 ,

= m2x4 + 2bmx3 + (m2 − 4m+ b2 + 1)x2 +

+2b(m− 4)x+ b2

�� �� ��� �� � ���� ⎧⎪⎨⎪⎩

m2 = 0 ,

2bm = 0 .

�� ����� �� ��� � ��� �� ����� ���� ��� b� �� �� ��� �� ����� C �� ����

������� ��� �����

� ��� ���� ��� �� ���� �� ����� � � !" �� �� ��������� �� � �� ��� ����

x −32 −1

212

12

y −12±√2713

−4±√115

−4±√115

−12±√2713

�� ���� ��� ��� ��� ����������� �� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��#����� � ���

����� �� ������ �� �� ����� C�$� ��������� �� ���� �� ������ �� �� ����� C �� � ���� �� ������ �� �� �����

�!�

���� ���������� %����� � �� ����� C : y3 − 8 + x3 = 0�

�������� %��� ������ �� ��� ���� ��

P(x, y) = y3 − 8 + x3 .

&� ����� �� P(x, 0) = 0 ������ −8 + x3 = 0� ���� '� �� ����� �� ���� �� x = 2�

��

Page 37: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

�� ���� ������ P(0, y) = 0 ��� �� y3−8 = 0� � � ���� ��� ���� �� �� y = 2�

�� ����� ����� � � � � � C �������� � ��� Ox �� �� � ��� (2, 0) � � ��� Oy�

�� � �� (0, 2)�

� ������� ��� ����� ��������� �� � ����� x �� ������� ������ y

�� ������� �� x�

y =3

√8− x3 . ���� !

"��� ����� � � ��� ����� ��������� � x ���� ����� ��� ����� x ∈ R� �� ����

������ �� ������� ������ x �� ������� �� y�

x = 3

√8− y3 .

"��� ����� � � ��� ����� ��������� � y ���� ����� ��� ����� y ∈ R�

#�$ �������� ���� � ��� ������ ������ ����

P(x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 8 + x3 = 0 ,

≡ −y3 − 8 + x3 = 0 ,

≡ y3 + 8− x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��

Page 38: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������ ��� � ����� C � �� ��������� � � ������� � ��� Ox� �����������

P(−x, y) = 0 ≡ y3 − 8 + (−x)3 = 0 ,

≡ y3 − 8− x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ��������� � � ������� � ��� Oy� � ���

���

P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 8 + (−x)3 = 0 ,

≡ −y3 − 8− x3 = 0 ,

≡ y3 + 8 + x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

� ����� C ���� � �� ��������� � � ������� � ������

�� �� ��� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ ��

y ��

P(x, y) = y3 − 8 + x3

�� ������ � ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C � � ��� ����� ��� ���������� �� �

����� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ �� x ��

P(x, y) = x3 − 8 + y3

�� ������ � ���� ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C ���� � � ��� ����� ���

� ��! ������ " � �� �� ������� �� ������ � ��� � � ��������� �� �� � �

� ������� �#� ���� �� x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)3 − 8 + x3 ,

= (m3 + 1)x3 + 3bm2x2 + 3b2mx+ b3 − 8 ,

�� ������ � ������� ⎧⎪⎨⎪⎩

m3 + 1 = 0 ,

3bm2 = 0 .

���� � ����� ������� ������ � �������� �� � ����� �� ����� �� � ���

��

Page 39: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

y = mx+ b� ���� ���

y = −x .

� ���������� ����� � �� ����� ������ �� �� ������� � �� ������ �����

x −4 −2 32

52 4

y 2 3√9 3√16

3√372 − 3

√612 −2 3

√7

�� ��� ������� ��� ���� ��� �� � ��� ����� �� ������� ���� ��������� ����

������ �� ��� �� � �� ���� C�!� ��������� �� ����� �� ��� �� � �� ���� C ��� " ���� �� ������ �� �� ���

�����

���� ����

���� ���������� #������ �� ���� C : y3 − 4x+ x3 = 0�

�������� #��� $���� �� ��� �����

P(x, y) = y3 − 4x+ x3 .

%� ������ P(x, 0) = 0 ��� �� −4x + x3 = 0� �"� �������� ���� ��� x = −2���

Page 40: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

x = 0 � x = 2� ���������� P(0, y) = 0 ����� y3 = 0� ���� ������� � y = 0�

�� ������ ����� �� �� ����� C ������� �� � Ox ��� ���� (−2, 0) � (2, 0)�

� ����� ��� �� � ���� O(0, 0)�

���� ������� ��� ������ ��������� � �� ������� x � ������ � �� ��� y

������� � x�

y =3

√4x− x3 . ��� �!

"��� ����� �� ��� ������ ��������� ��� x ��� ����� ��� ������

x ∈ R . ��� !

# ��� �� ��� ! � �� ������� ����

−∞ < x < +∞ ,

� ��

−∞ < 4x < +∞ ��� $!

−∞ < x3 < +∞ ��� %!

&'���� ������ ��� $! � ��� %! � ����

−∞ < 4x− x3 < +∞−∞ <

3

√4x− x3 < +∞

−∞ < y < +∞

"��� ����� �� ��� ������ ��������� ��� y ��� ����� ��� ������ y ∈ R

��������� ���� �� � ������ � ���������

P(x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 4x+ x3 = 0 ,

≡ −y3 − 4x+ x3 = 0 ,

≡ y3 + 4x− x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��

Page 41: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������ ��� � ����� C � �� ��������� � � ������� � ��� Ox� �����������

P(−x, y) = 0 ≡ y3 − 4(−x) + (−x)3 = 0 ,

≡ y3 + 4x− x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

��� ��� � ����� �� �������� ���� � �� ��������� � � ������� � ��� Oy� � ���

���

P(−x,−y) = 0 ≡ (−y)3 − 4(−x) + (−x)3 = 0 ,

≡ −y3 + 4x− x3 = 0 ,

≡ y3 − 4x+ x3 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

� ����� C ���� � �� ��������� � � ������� � ������

�� �� ��� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ ��

y ��

P(x, y) = y3 − 4x+ x3

�� ������ � ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C � � ��� ����� ��� ���������� �� �

����� ��� ������� �� ������ � ��� � � �������� �� � ��� � � ������ �� x ��

P(x, y) = x3 − 4x+ y3

�� ������ � ���� ������ 1 = 0 ��� ���� � ����� C ���� � � ��� ����� ���

� ��! ������ " � �� �� ������� �� ������ � ��� � � ��������� �� �� � �

� ������� �#� ���� �� x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)3 − 4x+ x3 ,

= (m3 + 1)x3 + 3bm2x2 + 3b2mx− 4x+ b3 ,

�� ������ � ������� ⎧⎪⎨⎪⎩

m3 + 1 = 0 ,

3bm2 = 0 .

���� � ����� ������� ������ � �������� �� � ����� �� ����� �� � ���

��

Page 42: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

y = mx+ b� ���� ���

y = −x .

� ���������� ����� � �� ����� ������ �� �� ������� � �� ������ �����

x −4 −1 1 4

y 2 3√6 − 3

√3 3√3 −2 3

√6

�� ��� ������� ��� ���� ��� �� � ��� ����� �� ������� ���� ��������� ����

������ �� ������ � �� ���� C� � ���������� �� ����� �� ������ � �� ���� C ��� ! ���� �� ������ �� �� ����

�����

���� ���������� "������ �� ���� C : 4y2x2 − x3 − 4 = 0�

�������� "��� #���� �� ���������

P(x, y) = 4y2x2 − x3 − 4 .

$� ������ P(x, 0) = 0 ��� �� −x3 − 4 = 0� �!�� �������� ��� x = − 3√4� %�

����� ��� P(0, y) = 0 ��� �� �� ���� � −4 = 0� $� ������� � �� �� �� ����

C &�������� ��������� �� �'� Ox �� ��� ����� (− 3√4, 0)�

(��� �������� ��� ������� � ������ � �� ������� x �� ����� ��� � ����'�� y

��

Page 43: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������� � x�

y = ±√x3 + 4

2x. � ����

��� ����� ��� �� ������ ������� ���� x ���� ��� �� ������ ��� ����������

�� �������� ������� � �� ����������

x3 + 4 ≥ 0 . � ����

��� �� �� ������ ������� ���� x ���� ��� �� ������

x ∈[− 3√4,+∞

⟩. � ��!�

"�� ���� ����� � ���� �������

0 ≤√x3 + 4 < +∞ . � ��#�

$��� � ��!� ������� %���� �� � ������ ��������

− 3√4 ≤ x < +∞⇒ −2 3

√4 ≤ 2x < +∞

⇒ 0 <1

2x≤ − 1

2 3√4

� ��&�

$%���� ������������ � ��#� ' � ��&� � ����

0 <

√x3 + 4

2x< +∞ ∨ −∞ < −

√x3 + 4

2x< 0

0 < y < +∞ ∨ −∞ < y < 0 � �()�

*� ��� ���� ������� �� ������ � �()� ' �� %��%� ��� �� ����� ��� ��� �� �����

(− 3√4, 0)� �� ������ ������� ���� y ���� ��� �� ������ y ∈ R�

+� ��������� ���� ���� ��������� � ������������

P(x,−y) = 0 ≡ 4(−y)2x2 − x3 − 4 = 0 ,

≡ 4y2x2 − x3 − 4 = 0 ,

≡ P(x, y) = 0 ,

��

Page 44: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������ ��� � ����� C � �������� ��� �� ����� � ��� Ox� �� �� �����

P(−x, y) = 0 ≡ 4y2(−x)2 − (−x)3 − 4 = 0 ,

≡ 4y2x2 + x3 − 4 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

� � ��� � ����� �� ��� ���� � �������� ��� �� ����� � ��� Oy� � ���� ���

P(−x,−y) = 0 ≡ 4(−y)2(−x)2 − (−x)3 − 4 = 0 ,

≡ 4y2x2 + x3 − 4 = 0 ,

�≡ P(x, y) = 0 ,

� ����� C �� ��� ���� ������� ��� �� ����� � �������

����� ���� ��� �� ��� �� ������ � ���� � ���������� �� � ����� �������� ��

y ��

P(x, y) = y3 − 4x+ x3

� ������� � �� ���� 1 = 0 ������� � ����� C �� �� �� � ������ �������� � �� �

�� �� ���� �� ��� �� ������ � ���� � ���������� �� � ����� �������� �� x ��

P(x, y) = x3 − 4x+ y3

� ������� � �� �� �� ���� 1 = 0 ������� � ����� C ������� �� �� � ������

����!����� � "�� ���� ��� �� ��� �� ������ � ���� � ���������� �� � ��

�������� �# ��� �� x ��

P(x,mx+ b) = (mx+ b)3 − 4x+ x3 ,

= (m3 + 1)x3 + 3bm2x2 + (3b2m− 4)x+ b3 ,

� ������� � � ���� ⎧⎪⎨⎪⎩

m3 + 1 = 0 ,

3bm2 = 0 .

���� ������ ������� ������� � �������� �� � � ������ ������ �� � ����

y = mx+ b � �� �

y = −x .��

Page 45: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

� ����������� �������� �� ������ ����� �� �� ��������� �� ��������� �����

x −1 −12

12 2 4

y ±√32 ±

√318 ±

√338 ±

√32 ±

√174

�� ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ ��� �������� ���� ���������� ����

������ �� ��� �� �� �� ����� C�! �������� �� ����� �� ��� �� �� �� ����� C ��� " ���� �� ������� �� �� ����

�����

��� ������� ��� ����

� ����������� �� ���� �������� " ������ �� ��� �� �� ���� ��� �� ��� ����������

�����������

�� x2y − xy2 + 5 = 0

�� x2y − x2 + 6x = 2

#� y =x2

x2 − 9

$� y2 =9x

x2 − 9

��

Page 46: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� y =2x

x2 − 5

�� y =x2 − 2

x+ 2

�� y =x3

x2 − 2x+ 8

�� x2y2 + 2x3y − 2x− 1 = 0

�� x4y2 + 2x5y − 2 = 0

��� y2 =x3

x2 − 9

��� y2 =100x

x3 − 27

�� y2 =9x

x+ 2

�� x2 + y2 + x2y2 = 9

��� yx2 + 2xy = 1

��� x2 + y2 − xy2 = 9

��� x(4 + y2) = 8

��� x3 = y2(16− x)

��� (x2 + y2)2 = 9x3

��

Page 47: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��������

����������� � ���� � ����� � ��� ��� ������

��� � ���

��� �������� �

������ �� � ������ ���� � ����� ���� �� ���������� ����� ���� � ��������

��� ������� �� ����� � ������ ������ � ��� ���������� �������� �� ���

������� � ��� �� �� �������� � �������� � ������ �� ���� �� � ��� �����

������� � � ������ ��� �������� ��� ����� � ������� � � ����� �� ��������

�� ������ ����� ������� ����� �� ����� � ���

�������������� ������������

� � ��� ����� ����� �� ���� ���� �� ���� ��������� ����� !� �� ��" ����"

������" � ���" ������" �� ���" #�����" �� ���" ��������" �� ����� � ����$� %"

������" �������� �� ��������" ���

& ��� ����� � �� ���� ��� �� ���� � ��������� � ������� ��� '����

������� � �� ���� � ������������� � ������� ��� (� #�� (� )�#�

��� �� � �� ��������

& ���� � �������� �� � ������� ��� ����� �� �������

��������" �������"

��� ���" �������

�� ������" ��� ���� �� ����� ����������" �� ������ ������� �� ��� ��� � ����

������

��� ������ �� ����� ���������� � � �������� � � ������� � � ������

��

Page 48: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������� �� ����� ��������

���� ����� ���� ���� � �� �� ����� ����� �������� � �� ����� � �������

��� ��������� ������ � ��� ������ � � �� ������ � ���������� �� ������ ��

�� �������

�������������������������

�����������������1, . . . ��������n���������

������� �� ����� ����� �

���� ����� �� ������� � �� ���� ��� �������� ������ �� �� ������� � ��

������� � �� �� �� ������ �� �� �������

����� �� ����������������

������� �� ����� � ��� �

���� ����� ������� ��� ����� ��� ������� ��� ������ � �� ��� �� � �������

������ � �� ����� � ��������� �� ������ �� �� �������

� ��� ������������������

������ �� ����� �� � �

���� ����� ������ ������� ������� ������ �� ��� ��� �������� ������ �����

��� ����� ������ � � ������� �� ������ �� �� �������

�� � �������1� . . .� �����n� x, xmin, xmax� y, ymin, ymax�

���������� �� ����� �� � � ������ ������� ��� �� ����� �� ��� �� ���!

�� � ��� ��

��� �� ���� ������� ������

�� � ��� ������� ������ �� �� ���"�� ��� ������� ��� ����� �� ����

������� #� ������ � �"� ����� �� �� ��������

������� ������������������

��

Page 49: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ������������ � ����� ����������

���� �������� �� ���� �� ������� �� �� ������ � � ����� ������ ������������� ��

����� ���������� �� �� ��� ��� � ������ � � ����������

������

�� ���� ���� �� ���� �� ���� �����������

� �� ��� ������������ �

�� ���� � ���� ����� ������� ��� �� ������ ��������������� ���� ���� �����

��� �� �� ���������

����������� � ������������������� �!�������

���������� �!������

�� � � ������ �� �������� �� �� ������� � �� � ������� �� ����� ��� ����� �

��� ������������ � ����� �����"���"���#

���� �������� �� ������ ������� �� �� ������ � � ������� ������ �� ��������

����� �

������

�� ���� ���� �� ���� �� ���� ���� ��������

� ��� ��� ������"���"���#� �

��� �� ����

��� �������� ������ �� �����

C : 2xy2 − x3 + 8 = 0

��������� !�"����

�������� �� �� �� � ����� � �� ��������#

��

Page 50: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ���� ������ ������ �

������

������ ��� � ����� � �������� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� ���� ���������������������

� ���� [x = 2]

� ���� ���������������������

� ���� [ ]

������

������������� ��� � ����� � ����� ������� �� �������� � ������ y �� ������� �� x� � ��� �������

����� �� � ������ � �������� ��� ���������! � ������������� �� � �������� � ��"� ���� � ��

������������! � ����� ������� �� � ������� x� #���� � �� � ����� � ������������ ����

������ ���$� �������� ��

� ���� �����������

� ����

[y = −

√x2− 8

x√2

, y =

√x2− 8

x√2

]� ���� ������� !��"�#��� �$%����

� ���� [[x < 0], [x >= 2]]

���� ������ ������ ����� � �� �������� ������� �� �� �� ��� ��� �� �

�������� �� ��� �� ���������� �� � �� �� ����� y��� �� ��� �� �� ������� x ��

�� ���� �� y� �������� �� ������ ������ � �� � ��� � ���� ��� ����� ��� � ��

�� �� � � ��� � � �� �� � � ����������

��%� ��!�� ����� ���� �� � ���� � �������� ���� � ��������� � �� ��� ���� ����� �� ���������� &�'�

()

Page 51: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

�� ������� x � �� ��� �� y �� ������ �� ������� ��������� ��� ������ ��� �� ����

��������� ��� ������ �� ������� �� �� ������� y� ��� ��� �� ������ �� �������� ��� �� ������

���� ���� ���������� �� ������ �� ������� ���� �� � �� ��� �� �������� � ������� ��

������ �� ������ �� ������� ��������

� ���� ������ ��

� ����

⎡⎢⎢⎣x =

(−√3 i2 − 1

2

) (232

√54−y6

332

+ 4

) 1

3

+2(√

3 i2− 1

2

)y2

3

(2

32

√54−y6

3

32

+4

) 13

,

x =(√

3 i2 − 1

2

) (232

√54−y6

332

+ 4

) 1

3

+2(−

√3 i2− 1

2

)y2

3

(2

32

√54−y6

3

32

+4

) 13

,

x =

(232

√54−y6

332

+ 4

) 1

3

+ 2 y2

3

(2

32

√54−y6

3

32

+4

) 13

⎤⎥⎥⎦

� ���� ��������������� �������

� ���� [[y >= −1.94416, y <= 1.94416]]

������

�� �������� ��� ����������� ������ � ��� ������ � ����� � � ����� ����� ��� ��� ����

y �∈ [−1.94416, 1.94416] �� ������� ����� ������ ����� ��� x� � ���� ������� ��� ������ �� �������

��� y � ������� � �� �������� 54− y6 ≥ 0 ��� �� ������� ���� ���� � �� ����� � ���� �

���� ���� ������ �� ������� ����� ����� ��� � �� ������� ��� �������� �!�

� ����� ���������� ������ �!��"������"#$ ���%"��

� ����� [x = −0.16008204608743, x = −6.989667620450047,x = 7.149749666537473]

"#

Page 52: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� �������� �� ����� �������� � ������

� ���� [x = −1.440237129256727 i− 1.165373043062415,

x = 1.440237129256727 i− 1.165373043062415,

x = 2.33074608612483]

� ����� �������� �� ���� �������� � ������

� ���� [x = −1.440237129256727 i− 1.165373043062415,

x = 1.440237129256727 i− 1.165373043062415,

x = 2.33074608612483]

� ����� �������� �� ���� ������� ����� � � ������

� ��!� [x = −0.16008204608743, x = −6.989667620450047,x = 7.149749666537473]

������

������ �� ����� �� �� ����� � ������� ���� ������� �� ������ ���� �� ������� �� ������

��� � ���� ���� ���

� ���"� ���� ������

� ��"� 2 x y2 − x3 + 8 = 0

� ���#� ����� ������

� ��#� 2 x y2 − x3 − 8 = 0

� ���$� ����� %���� ����&��

� ��$� 2 x y2 − x3 − 8 = 0

��

Page 53: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ������ � � ��������� �� �� �� �����

����������

� ����� ���� ���������

� ����� 2 x y2 − x3 + 8 = 0

� ����� �������������� ���������������

� ����� 2 x = 0

� ����� ����������������� �����

� ����� [x = 0]

������

����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������� � � ��������� �� �� �� �����

����� ���� ����� ��� �� ��� ��� � ������� ��� ���� �������

� ��� � ���� ���������

� ��� � 2 x y2 − x3 + 8 = 0

� ���!� �������������� ���������������

� ���"� −1 = 0

� ���#� ���$��������������� �����

� ���#� [ ]

��

Page 54: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ��� � �� ���� �� � �� ��������

���������

� ����� ���� ���������������������

� �����(2m2 − 1

)x3 + 4 bmx2 + 2 b2 x+ 8 = 0

� ����� ��������������

�!"��!�#� $��%%����������$��%%��������&"�#�

� ���"�[2m2 − 1 = 0, 4 bm = 0

]� ����� '�(��'�(��� �!"��!�#� ���#��

� �����[[b = 0,m = − 1√

2

],[b = 0,m = 1√

2

]]� ����� ��(�$)�'����(��� �� �#����������������'�(��

� �����[y = − x√

2, y = x√

2

]

������

������� �� ������ � ����� ��� ���� � ����� ���� ������ �� ���� � �� ��� � �� �����

� ���*� (�'+�� &��&"�&",����*#�

��+��)(����(�'+���

� ���-�

⎡⎢⎣x −2 −1 −1

2 3 4

y [−2, 2] [− 3√2, 3√

2] [−

√65

232

,√65

232

] [−√19√6,√19√6] [−√7,

√7]

⎤⎥⎦

���� �� ������ ������ �� �� ����� � ���*� �� ������ �������� ��� �� �������

+��)(�� �������� �� ����� �������� �� �� ������ �������� ��������� �� �������

�� ��������� ����������� �������� �� ���� ������� ������� ���� �������� ��

������� �������� �)��� ��� ���� ������ � �������������

��

Page 55: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

��������� �� ������ ������ ����� � ����� �� � � ��� � ���������

� ����� ���� ��� ��������

� � ���

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x y

−2 [−2, 2]

−1 [−2.121320343559642, 2.121320343559642]

−0.5 [−2.850438562747844, 2.850438562747844]

3 [−1.779513042005219, 1.779513042005219]

4 [−2.645751311064591, 2.645751311064591]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

������

������ �� � ����� �� ������ � �� ���� �������� �� �� ��� � �� ����� ��������� � ���� �

��� �� ����� �� � � x � �� ����� �� ���� � �� �����������

� ����� ���������� ������� �������������� ��� �����

������������� ������������� ��!�"� !�!�#

� �����

��

Page 56: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� �������� �������� � ��� �

C : yx2 − xy2 − 1 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ����� ���� ��� ���� �

������

����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� ����� ���������������������

� ����� [ ]

� ����� ���������������������

� ����� [ ]

������

������������ � ���������� � ����� ������� �� � ������� x�

� ����� ����������

� �����[y = −

√x4−4x−x2

2x , y =√x4−4x+x2

2x

]� ��� � ����������� �!�������"����

� ��� � [[x ≤ 0], [x ≥ 1.5874]]

��

Page 57: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

�� ������� ���� �� �� ���� �������� ��� ������� ������� �� �� ������� y�

� ����� ����� ���

� �����

[x = −

√y4+4 y−y2

2 y , x =

√y4+4 y+y2

2 y

]

� ����� �������������������������

� ����� [[y ≤ 0], [y ≥ 1.5874]]

������

����� �� �������� ��� ������� ��� ��� ���� � �� ������

� ����� ���� ������

� ����� x y2 + x2 y + 1 = 0

� ����� ��� ������

� ����� x y2 + x2 y − 1 = 0

� ��� � ��� !���� ����"��

� ��� � x y2 − x2 y − 1 = 0

������

� ����� ���� �� �������� ��� �� ������ �� ��� ��������� ����������

� ���#� ��$�%��&������ ���

� ���#� −x y2 + x2 y − 1 = 0

� ���'� (��%)�$�*���$� ��+ ,��--���$� � (����

��

Page 58: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� −x = 0

� ����� ��� ���������� �����

� ����� [x = 0]

������

������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����

� ����� ����������������

� ����� −x y2 + x2 y − 1 = 0

� ����� ����������������� � ������������

� ���!� y = 0

� ����� ����"������������� �����

� ����� [y = 0]

������

����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��

� ���#� ���������������$%&�'(�����

� ���#�(m−m2

)x3 + (b− 2 bm) x2 − b2 x− 1 = 0

� ���)� �����������������

*+��+�,�* � ������������ � ����������-��,�

� ���.�[m−m2 = 0, b− 2 bm = 0

]� ���/� ����������*+��+�,�*(�%,��

� ���/� [[b = 0,m = 0], [b = 0,m = 1]]

��

Page 59: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� ����� ������������������������������ ���

� ����� [y = 0, y = x]

������

������� �� ����� � ��� ����

� ����� � ���� !� �� �"#�#$��"!��!�#�%

����&�' �� �������&�(�� �����

� ���)�

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x y

−3 [−√93+96 ,

√93−96 ]

−1 [−√5+12 ,

√5−12 ]

−14 [−

√257+18 ,

√257−18 ]

41

3 [413

2 ]

3 [−√69−96 ,

√69+96 ]

4 [−√15−42 ,

√15+42 ]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

������

�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� � � ��� ����� ��� ����

� ���!� �&�*�&������'�(��

� �'���� ���&���� ���&�*�'��� ������ ��

����� !�+��� +�+�%

��

Page 60: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� �����

��� �������� �������� � ��� �

C : yx− x2 + y − 2 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ����� �� � �������� �

������

����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� ����� ������������������ ��

� ����� [ ]

� ����� ������������� �������

��

Page 61: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� [y = 2]

������

�� ���� ���� � ��� ����� �������� ������� �� ������� y �� ��� ��� � ��� �� � ������� ������������

�� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�

� ����� ����� ���

� �����[y = x2+2

x+1

]

������

����� �� ��� � � ����� �� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y �� ����� � �� � �������

�������������

� ����� ����� ���

� �����

[x = −

√y2+4 y−8−y

2 , x =

√y2+4 y−8+y

2

]� ����� ����������������������� !��

� ����� [[y ≤ −2√3− 2], [y ≥ 2√3− 2]]

������

��� � �� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� � � � �����

� ���!� ���� � ����

� ���!� x y + y + x2 + 2 = 0

� ���"� ��� � ����

� ���"� x y − y + x2 + 2 = 0

!

Page 62: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� ����� ��� �����

� ����� x y − y − x2 − 2 = 0

������

� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������

� ����� ����������������

� ����� x y + y − x2 − 2 = 0

� ����� ����������������� ��� �����������

� ���!� x+ 1 = 0

� ���"� ���#���$�%���%�$���� ����

� ���"� [x = −1]

������

����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������

� ����� ����������������

� ����� (x+ 1) y − x2 − 2 = 0

� ���&� ����������������� ��� �����������

� ���'� −1 = 0

� ��&(� ����)��#�$�%���%�$���� ����

� ��&(� [ ]

��

Page 63: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����

� ����� ���� ���������������������

� ����� (m− 1) x2 + (m+ b) x+ b− 2 = 0

� ����� ��������������

�� ��� �!��"��##����������"��##��������$��!�

� ���%� [m− 1 = 0,m+ b = 0]

� ���&� '�(��'�(����� ��� �!�����!��

� ���&� [[b = −1,m = 1]]

� ���)� ��(�"*�'����(��� ����!����������������'�(��

� ���)� [y = x− 1]

������

������� �� ������ �� ������ ���

� ���+� (�',���$+�$&�$��$%-��$�-����)!�

��,��*(����(�',���

� ���.�

⎡⎢⎣x −6 −4 −2 −3

2 −12 2 5

y [−385 ] [−6] [−6] [−17

2 ] [92 ] [2] [92 ]

⎤⎥⎦

������

�������� �� ����� �� ���� � � �� ����� ��� ��������� ��� ����� �������� � �� ���� � ������ ��

� �� ��� y�

� ����� ,�/���"*�"�������

�'��,�,�'���,�"�(�'����/��,�(�'���(�"*�'��

��*�,�'���0��!!����$��)1.)���$������

Page 64: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� �����

��� �������� �������� � ��� �

C : xy + 2x2y − y − 1 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ����� ��� ������������ �

������

����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� ����� ���������������������

� ����� [ ]

� ����� ���������������������

��

Page 65: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� [y = −1]

������

�� ���� ���� � ��� ����� �������� ������� �� ������� y �� ��� ��� � ��� �� � ������� ������������

�� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�

� ����� ���� ����

� �����[y = 1

2x2+x−1]

������

����� �� ��� � � ����� �� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y �� ����� � �� � �������

�������������

� ����� ���� ����

� �����

[x = −

√9 y2+8 y+y

4 y , x =

√9 y2+8 y−y

4 y

]� ����� ������������������������ ��

� ����� [[y ≤ −89 ], [y ≥ 0]]

������

��� � �� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� � � � �����

� ���!� "��� ���"���

� ���!� 2 x2 y + x y − y + 1 = 0

� ���#� ��� ���"���

� ���#� 2 x2 y − x y − y − 1 = 0

!

Page 66: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ����� ����� �� ��������

� ����� 2 x2 y − x y − y + 1 = 0

������

� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������

� ����� � ���������������

� �����(2 x2 + x− 1

)y − 1 = 0

� ����� ����������� ������ ������� ����������

� �� !!�2 x2 + x− 1 = 0

� �� ! ���"���#�$���$�#��� �� ��

� �� ! �[x = 1

2 , x = −1]

������

����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������

� �� !%�� ������������ ��

� �� !%�2 x2 y + x y − y − 1 = 0

� �� !&������������ ��� �� ������� ��� ��� ��

� �� !'�2 y = 0

� �� !(�����)��"�#�$���$�#��� �����

� �� !(�[y = 0]

��

Page 67: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����

� ��������� ����������������������

� � ����2mx3 + (m+ 2 b) x2 + (b−m) x− b− 1 = 0

� ����������� �������

�!���!"#� $ �%%���������$ �%%�������&��#�

� � ��'�[2m = 0,m+ 2 b = 0]

� ����(�) *���) *���� �!���!"#� ���#��

� � ��(�[[b = 0,m = 0]]

� ������ �*�$+�)����*������ �#���������������) *��

� � ����[y = 0]

������

������� �� ������ �� ������ ���

� ������*�),�� &"�&-./�&0./��./�0./�0."#�

��,��+*�����*�),���

� � ��"�

⎡⎢⎣x −2 −5

4 −34

14

34

32

y [15 ] [87 ] [−85 ] [−8

5 ] [87 ] [15 ]

⎤⎥⎦

��

Page 68: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

���������� � ���� �� � ��� �� �� ����� � �������� �� ����� �������� � �� ����� �� ����������

��� �� ��� y�

� ������������ ��������

���������������������������������� ���

��� ������������������������ ������!

� ������

��� �������� �������� � ��� �

C : y2x− y2 − x3 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

���������� � �������� �� �������� ���� �� �� ������� ��

� ����"��# $�%�� $���$�&� !

��

Page 69: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

����� �� ����� �� ��� �������� �� �� ���� x � y� ��������������

� ���������������� ���������

� �����[x = 0]

� ���������������� ���������

� �����[y = 0]

������

����������� �� ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�

� ���������� ����

� �����[y = −x√

xx−1 , y = x

√x

x−1]

� �������������������������������

� �����[[x ≤ 0], [x > 1]]

������ ��� � ���� �������� �� ���� � � ������ x� �� ������� ��� ���

������ ��������� �� � ������ y �� ������� � ���� �� �� ������ ��� �� ����

� �� ������� ���� �� �� ����� ���� ������� � ��� �� ��� �� ���� � ��

������ � � ������ ��� ������� !�"�

������

��� � �� ���� ��� �� ����� ��� �� �� ���� � � � ����

� ��������� �������

� �����x y2 − y2 − x3 = 0

��

Page 70: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� �� ��

� ������x y2 + y2 − x3 = 0

� ����������� �� ��������

� ������x y2 + y2 − x3 = 0

������

� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������

� ������ ���������������

� ������(x− 1) y2 − x3 = 0

� ���������������� ������ �� � ����������

� ����!�x− 1 = 0

� ����"��#���$%��%�$�� �� ��

� ����"�[x = 1]

������

����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������

� ����&� ������������ ��

� ����&�x y2 − y2 − x3 = 0

� ����'����������� ��� �� �� � ��� ��� ��

� ����(�−1 = 0

��

Page 71: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� ����������� �����

� �����[ ]

������

������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����

� ������������������������� !�����

� �����(m2 − 1

)x3 +

(2 bm−m2

)x2 +

(b2 − 2 bm

)x− b2 = 0

� ������"�����#�������$

%�&���&�'�%(�))�������"���(�))�������"�*��'�

� �����[m2 − 1 = 0, 2 bm−m2 = 0]

� ���������������%�&���&�'�%!��'��

� �����[[b = 1

2 ,m = 1],[b = −1

2 ,m = −1]]� ����+�!��(,����������!���%�'��������� !���������

� ���+�[y = x+ 1

2 , y = −x− 12

]

������

������� �� ������ �� ������ ���

� ����-���� ��%*��*�.���./��'$

��� �!,�������� ���

� ���0�

⎡⎢⎣x −1 −1

298 2

y [− 1√2, 1√

2] [− 1

2√3, 12√3] [−27

8 ,278 ] [−2 3

2 , 23

2 ]

⎤⎥⎦

��

Page 72: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

���������� � ���� �� � ��� �� �� ����� � �������� �� ����� ���������� ��� �� ��� ���������

��� ��� ���� �� ������ � �� ����� ���������

� ���������� � �������

������������ ������������������� ����

������������������

��������� ������!

� ������

��� �������� �������� � ��� �

C : yx3 − y − 5x2 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

���������� � �������� �� �������� ���� �� �� ������� ��

� ����"��# $�%�� ��$�%&'� !

Page 73: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

����� �� ����� �� ��� �������� �� �� ���� x � y� ��������������

� ��������� �� �����������

� ������[x = 0]

� ��������� �� �����������

� ������[y = 0]

������

� ���� ����� � ��� ���� ������� ������� �� ������� y � ��� ��� � ��� �� � �����

������������ �� � ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�

� �������� ������

� ������[y = 5x2

x3−1]

������ ��� � ���� �������� �� ���� � � ������ x� �� ������� ��� ���

������ ��������� �� � ������ y �� ������� � ���� �� �� ������ ��� �� ����

� �� ������� ���� �� �� ����� ���� ������� � ��� �� ��� �� ���� � ��

������ � � ������ ��� ������� ��!�

������

��� � �� ���� ��� �� ����� ��� �� �� ���� � � � ����

� ������� ���������

� ������x3 y − y + 5 x2 = 0

Page 74: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� �� ��

� ������x3 y + y + 5 x2 = 0

� ���������� �� ��������

� ������x3 y + y − 5 x2 = 0

������

� ����������� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� �������

� ������ ���������������

� ������(x3 − 1

)y − 5 x2 = 0

� ���������������� ������ �!!� ����������

� ����"�x3 − 1 = 0

� ����#��$� �%&��&�%�� �� ��

� ����#�[x = 1]

������

����� � ���� ����� �� ��������� �� �� ������� �� ���������

� ����'� ������������ ��

� ����'�x3 y − y − 5 x2 = 0

� ����(����������� ��� �� �!!� ��� ��� ��

� ������y = 0

��

Page 75: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� ����������� �����

� �����[y = 0]

������

������������� �� ������� ��� � �� ���� � ��� �������� ���� ����

� �������������������������� �����

� �����mx4 + b x3 − 5 x2 −mx− b = 0

� ����!�"�����#�������$

%�&���&�'�%(�))�������"���(�))�������"�*��'�

� �����[m = 0, b = 0]

� ����+����������%�&���&�'�% ��'��

� ���+�[[b = 0,m = 0]]

� ����,� ��(-���������� ���%�'���������� ���������

� ���,�[y = 0]

������

������� �� ������ �� ������ ���

� ����.���� ��%*!�*��*�/���/��,/!��'$

��� � -�������� ���

� ���0�

⎡⎢⎣x −4 −2 −1

212

74 3

y [−1613 ] [−20

9 ] [−109 ] [−10

7 ] [980279 ] [4526 ]

⎤⎥⎦

��

Page 76: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

���������� � ���� �� � ��� �� �� ����� � �������� �� ����� �� ���������� ��� �� ��� ������

���� ��� ��� ���� �� ������ � �� ����� ���������

� ���������� � �������

������������ ������������������� ����

������������������

���������������

� ������

��� �������� �������� � ��� �

C : x2y3 + y3 − 2x2 + 1 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

���������� � �������� �� �������� ���� �� �� ������� ��

� ������� �!"#�!$%�!$�"#�!"%�&� �

!

Page 77: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

����� �� ����� �� ��� �������� �� �� ���� x � y� ��������������

� ��������� �� �����������

� ������[x = − 1√

2, x = 1√

2

]� ��������� �� �����������

� ������[y = −1]

������

� ���� ����� � ��� ���� ������� ������� �� ������� y � ��� ��� � ��� �� � ����� ������������

�� � ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� x�

� �������� ������

� ������

[y =

(√3 i−1) (2x2−1)

13

2 (x2+1)13

, y = −(√3 i+1) (2x2−1)

13

2 (x2+1)13

,

y =(2x2−1)

13

(x2+1)13

]

������

����������� �� ���� ��� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y� ���� ��� � ����� ������ ����

�� ���� ��� ����� ��� � ����� ������ � ���� � ����� � ��� �� � ����� ������

� �������� ������

� ������[x = −

√− y3

y3−2 − 1y3−2 , x =

√− y3

y3−2 − 1y3−2

]� �������� �������������

��

Page 78: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ������[x = −

√−y3+1

y3−2 , x =√−y3+1

y3−2]

� ��������� ��� ��������������������������

� ������[[y ≥ −1, y < 1.259921]]

������

����� �� �������� �� ������� ��� �� ���� � � �������

� ����������� ������

� ������x2 y3 + y3 + 2 x2 − 1 = 0

� ����!����� "��"��

� ����!�x2 y3 + y3 − 2 x2 + 1 = 0

� ����������� #"��" ����$��

� ������x2 y3 + y3 + 2 x2 − 1 = 0

������

� ����������� �� �������� �� ���������� �� �� ������� ������ ���

� �������"%�&��'������ ���

� ������(x2 + 1

)y3 − 2 x2 + 1 = 0

� ������(��&)�%�*��"%� ��+ ,��--��"%� � (����

� ������x2 + 1 = 0

��

Page 79: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� �������� �����

� ������[ ]

������

������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����

� ������������ ������

� ������y3 + x2(y3 − 2

)+ 1 = 0

� ��������������������� �� ����������

� ������y3 − 2 = 0

� ����!����"��� �������� �����

� ����!�[y = 2

1

3

]

������

����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��

� ����#������� ������$%&�'(�����

� ����#�m3 x5 + 3 bm2 x4 +(m3 + 3 b2m

)x3+

+(3 bm2 + b3 − 2

)x2 + 3 b2mx+ b3 + 1 = 0

� ���!)����������������

*+��+,-�*�� ������������ ��������.��-�

� ���!��[m3 = 0, 3 bm2 = 0

]� ���!,����������*+��+,-�*(�%-��

� ���!,�[ ]

��

Page 80: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� ��� �� �� �����������������������

� ������[ ]

������

������� �� ����� � ��� ����

� �������� ��!��!"�!�#"��#"�$#����%

�� � &�'��� ��

� ����(�

⎡⎢⎣x −4 −2 −1

212 2 4

y [3113

1713

] [713

513

] [−213

513

] [−213

513

] [713

513

] [3113

1713

]

⎤⎥⎦

������

�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����

������ ��� ��� ���� ������� ����

� ����)� & * &���� ���+�'�� ��+ � ����& �� �����&�*�+ ���

���� ��� ����+ �����!�#�,& �"��-����#�,& �"��-��

�-�!�������!(�(���!"�"�%

� � ��)�

Page 81: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� �������� �������� � ��� �

C : xy2 + x− y2 + 2 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ��������� ���� ����� �

������

����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� ���������������������������

� ������[x = −2]

� ���������������������������

� ������[y = −√2, y =

√2]

������

������������ � ���������� � ����� ������� �� � ������� x�

� �������������������� ���

� ������[y = −

√−x+2

x−1 , y =√−x+2

x−1]

� �����������!�� !�"�#������$����%����

��

Page 82: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ������[[x ≥ −2, x < 1]]

������

�� ���� ���� � ��� ����� �������� ������� �� ������� x �� ��� ��� � ��� �� � ������� ������������

�� � ���� ���� �� ��� �� ��������� �� � �� ���� y�

� ���������� ����

� ������[x = y2−2

y2+1

]

������

��� � �� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ���� � � � �����

� ��������� �������

� ������x y2 − y2 + x+ 2 = 0

� ���������� �������

� ������x y2 + y2 + x− 2 = 0

� ���������� ��������������

� ������x y2 + y2 + x− 2 = 0

������

� ������������ �� ���� ����� �� ���������� �� �� ��������� �� �������

� ������������������� ����

��

Page 83: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ������(x− 1) y2 + x+ 2 = 0

� ������� �������������� �����������������

� ������x− 1 = 0

� ���������������� ��������� �����

� ������[x = 1]

������

������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����

� ���������� �� �!���"����

� ������x(y2 + 1

)− y2 + 2 = 0

� �������� �������������� �����������������

� ������y2 + 1 = 0

� ����#�����$�!����� ��������� �����

� ����#�[ ]

������

����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��

� ����%����� �� �!������"��&'(�)*�����

� ����%�m2 x3 +(2 bm−m2

)x2 +

(−2 bm+ b2 + 1)x− b2 + 2 = 0

� ����+��� ��������������

,�-���-�. ,��������������������������������/��.�

� ������[m2 = 0, 2 bm−m2 = 0

]

��

Page 84: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ��������� �� ��� ��� �����������

� �����[ ]

� ��������������������������� ����� !"���������

� �����[ ]

������

������� �� ����� � ��� ����

� ����#���$���%&'��%�'���'��(

���$��)��� �$������*���$����

� �����

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x y

−32 [− 1√

5, 1√

5]

−12 [−1, 1]

12 [−√5,

√5]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

������

�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����

������ ��� ��� ���� ������� ����

� ������$��+��� �����)�*��

���)$$���� �$��� �����+)$� ����������

�����)$����%��������%���$�����������$�������

!�%&�����%,�,�(

Page 85: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ������

��� �������� �������� � ��� �

C : x2y2 − 4xy + x2 + y2 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ���������� ������ ���� ���� �

������

����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� �������������������� ������

� ������[x = 0]

��

Page 86: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ��������� �� �����������

� ������[y = 0]

������

���������� �� ������� �� �� ���� ������� �� �� � ������ � x�

� �������� �������������

� ������[y = −x

√3−x2−2xx2+1 , y = x

√3−x2+2xx2+1

]� �������� ������������ �!����

� ������[[x ≥ −√3, x ≤ √3]]

������

���� ����� �� ������� �� �� ���� ������� �� �� � ������ � y�

� ����"��� �������������

� ����"�

[x = −y

√3−y2−2 yy2+1 , x =

y√

3−y2+2 y

y2+1

]

� ����#��� ������������ �!����

� ����#�[[y ≥ −√3, y ≤ √3]]

��

Page 87: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

����� �� �������� �� ������� ��� �� ���� � � �������

� ���������� ����

� ������x2 y2 + y2 + 4 x y + x2 = 0

� ���������� ����

� ������x2 y2 + y2 + 4 x y + x2 = 0

� ����������� ���� �����

� ������x2 y2 + y2 − 4 x y + x2 = 0

������

� ����������� �� �������� �� ���������� �� �� ������� ������ ���

� �����������������������

� ������(x2 + 1

)y2 − 4 x y + x2 = 0

� ������������������������ ��!!�������������

� ����"�x2 + 1 = 0

� ����#���$� �%�&���&�%��� �����

� ����#�[ ]

��

Page 88: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����

� ���������� ���������

� ������x2(y2 + 1

)+ y2 − 4 x y = 0

� �������������������� ���������������

� ������y2 + 1 = 0

� ���������������� �� ��!�� �����

� ������[ ]

������

����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��

� ���"#����� �����!����$%&�'(�����

� ���"#�m2 x4 + 2 bmx3 +(m2 − 4m+ b2 + 1

)x2+

+(2 bm− 4 b) x+ b2 = 0� ���")���������������

*�+)��+�,�*����������������������������-)�,�

� ���"��[m2 = 0, 2 bm = 0

]� ���""� ���� ��!��*�+)��+�,�*(�%,��

� ���""�[ ]

� ���".��(���/� �%����%( ��*�,��!��$%&�'(����� ����

� ���".�[ ]

��

Page 89: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

������� �� ����� � ��� ����

� ���������� �������������������

�����������������

� ������

⎡⎢⎣x −3

2 −12

12

32

y [−332+1213 , 3

32−1213 ] [−

√11+45 ,

√11−45 ] [−

√11−45 ,

√11+45 ] [−3

32−1213 , 3

32+1213 ]

⎤⎥⎦

������

�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����

������ ��� ��� ���� ������� ����

� ������������������� ����

�� ���!��������"����� �������������

����� �� #�#����

$������%�������

� �����

Page 90: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� �������� �������� � ��� �

C : y3 − 8 + x3 = 0

������� ������

�������� � ������� � ����� �� � ��������

������

������������ � ������� � ������ � ���� �� � ������� ��

� ����������� ����� �

������

����� � ������ � ������������ ��� � ��� x � y� ���������������

� ���������������������������

� ������[x = 2]

� ���������������������������

� ������[y = 2]

������

�� ��� ���� � ������ � �������� ����� �� ������� y �� ������� � �� �� � ����� � ������������

���� ���������� � ����� ������� �� � ������� x�

� ������������������� ���

� ������

[y =

(√3 i−1) (8−x3)

13

2 , y = −(√3 i+1) (8−x3)

13

2 , y =(8− x3

) 1

3

]

��

Page 91: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

���� ������ ��� � �� ������� ������ �� ������� �� ������� x�

� ����������� �� �������

� ������

[x =

(√3 i−1) (8−y3)

13

2 , x = −(√3 i+1) (8−y3)

13

2 , x =(8− y3

) 1

3

]

������

���� �� ������ � ��� �������� � ��� ���� � �� ���� �

� ���������� ������

� ������y3 − x3 + 8 = 0

� ��������� ������

� ������y3 − x3 − 8 = 0

� ���������� ����� �������

� ������y3 + x3 + 8 = 0

������

� � �� ���� �� ������ � ��� ����� �� �� ��� ��� ����� ���������

� ��������������� ���� ���

� ������y3 + x3 − 8 = 0

� ����!�"���#���$����� ��% ���������� � "����

� ����&�1 = 0

��

Page 92: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� �������� �����

� ������[ ]

������

������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������� ����

� ������������ ������

� ������y3 + x3 − 8 = 0

� �������������������� ��!!����������

� ������1 = 0

� ����"����#��� �������� �����

� ����"�[ ]

������

����������� �� ������ � � � ��� ������ �� � � ������ � ������ ��

� ������������ ������$%&�'(�����

� ������(m3 + 1

)x3 + 3 bm2 x2 + 3 b2mx+ b3 − 8 = 0

� ��������������������

)*��*�+�)��!!������������!!��������,��+�

� ����-�[m3 + 1 = 0, 3 bm2 = 0

]� ����.����������)*��*�+�)(�%+��

� ����.�[[b = 0,m = −1]]

��

Page 93: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ���������� ��� �� �� �����������������������

� ������[y = −x]

������

������� �� ����� � ��� ����

� �������� ��!"�!��#$���$��"�%

�� & '������ � &�(��� ���

� ���)*�

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x y

−4 [2 91

3 ]

−2 [24

3 ]

32 [37

13

2 ]

52 [−61

13

2 ]

4 [−2 7 1

3 ]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

������

�� ����� �� � � � ����� �� � ���� � ��� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� �� ����

������ ��� ��� ���� ������� ����

� ���)+� & , &���� ���'�(��

��' � ����& �� �����&�,�' ������� ���

����' �������*���*������

��!������!����%

��

Page 94: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

� ������

��

Page 95: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��������

���������� � ������ ��� �������

��� ����� ��� ���

�� �� ����� ��� ��� � ��� ������� �� ��� ��� ��� ���� ��� �� ����� ��

�� ��� ��� �������� �� �� ������� �� �������� � ��� ���� ��� � ����� ���

������ �� ������� �� �������� �� ���� �� ����� ��� ���� � ��� � ��� ��

�� ������� ����� � � ����� ��� ��� � �� �� � �� ��� � � ����� �� ��

��������

������������ �� ��� ������ �� �� ����� ��� �� ���� ���� ����� �� ����

���� �� �� �� ������ ���� �� � ��������� � �� �� ��� ������ �� �� �����

��� ����� �� � ������� �� � ���� ���� ���� ��������� �� ���� �� �� � ���

������ ��� �� ������� ���� ���� ���� ��� ���� �� ���� �� �� �� ��� ���������

��� �� ���� ���� ��� ��� ������ ��� �� � ��� �� ������!� �� ������ ��� ��

���� � �� � �� ���� ���

��� �������� ����������

��� ���������� "����� �� ���� �� ��� ��� ������ �� �� ��� ����� �� �� ����

���� �� �� � ����� �� � ��� ����� ����� F1(−c; 0) ! F2(c; 0) �� �� ���� ���

���������� �� � a2� #��� ��� ������ �� �� ����� �� ����� ���� � ������

$�� %�&'�

�������� (�� M(x0, y0) � ���� ��) ���� � �� ��� ����� ��� ���� � ���� ������

��������

√(x0 + c)2 + y20

√(x0 − c)2 + y20 = a2

��

Page 96: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

√[(x0 + c)2 + y20] [(x0 − c)2 + y20] = a2√

c4 − 2c2x20 + x40 + 2c2y20 + 2x20y20 + y40 = a2√

c4 − 2c2(x20 − y20) + (x20 + y20)2 = a2

(x20 + y20)2 − 2c2(x20 − y20) = a4 − c4

���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������

(x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = a4 − c4 � �����

�� ����� �� ����� � ������� ���� � � ��� ������� � a c� !� ����� ��� �"� ��

�� �������� �#������� #����� ��� ��$��

��� ���������� %����� �� �������� �� ���� ��������� � ��� ������ &�� �� ��� ��'

�� � ��� ��������� � �� ������ � �� F1(−a; 0) F2(a; 0) �� ��� ����� � ����'

����� ���� � a2� (��� ���� ��������� � ������ �� ����� ��������� � ���� ����

��� ����� �%����� ������� �� �������� � �� ���������� ����������� ������

����� ���� ��� ���� �� ���� ���������� �� ����� � ���������

� ������� !�� M(x0, y0) �� ����� ���������� &�� �����#��� ��� ��� ������� � ��

��������

��

Page 97: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

���

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

���

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

���

���� ��� ������� � (x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = a4 − c4� ��� �� ��� a > c ��� a = c � ��� a < c�

���� ���

��

Page 98: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ��� ���� ���

√(x0 + a)2 + y20

√(x0 − a)2 + y20 = a2√

[(x0 + a)2 + y20] [(x0 − a)2 + y20] = a2√a4 − 2a2x20 + x40 + 2a2y20 + 2x20y

20 + y40 = a2√

a4 − 2a2(x20 − y20) + (x20 + y20)2 = a2

(x20 + y20)2 = 2a2(x20 − y20)

���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������

(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) � �����

���� ����� ���� ���� ���� ��������� ���� �� ���� ���������� �� ����� � �������

������� �� ����������� c = a �� �� �������� ����� �� ������� � ������ � �� �� �����

!�� �� �� �������� ������

��� ���������� "����� �� �������� �� ���� ��������� � ��� ����� � ��� ������#

�������� ��$� �� �� � �� ����� � ���� ��� �� � ��� ������ !�� ����������� �� ��

%���� ���� ��� � ���%����� � �� %��� ��������� ���� � S �&� ��'��

�������� ���� (�������� �� �������� �� ��������% �� �%&�� ��� ������ ��)������� ����

������� ���������� �������������� ������� �� �������� ���� � �&� ��*��

+�� M(x0, y0) �� ����� ���������� !�� �����(��� ��� ��� ������� � �� ��������

� �� &��� ��* �� �����

��

Page 99: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

AM = BM cscα �

MD = MC secα �

���� ���

AM = x0

√x20 + y20y0

MD = y0

√x20 + y20x0

���� �� �������� �� � �����

1

2AD ·OM = S

� ������1

2(AM +MD) ·OM = S �

��� �� ����������� AM � MD �� ��� ��� ������� ����� �������� �� ����� �

1

2

(x0

√x20 + y20y0

+ y0

√x20 + y20x0

)√x20 + y20 = S �

� ������ � ��������

(x20 + y20)2 = 2Sx0y0 �

���������� ���� �������� �� ������� �� �������� �� ���� ����� ���

(x2 + y2)2 = 2Sxy �

�� � ���� � ���� ���� ����� ��� �� ���� � �� �� ��� � �!�

��� ���������� "� � �� ���� x = 2r � ��� �� ���#� ����� � ��� r $�� ����

�� �� � ���� � ��� ����� O � �� �������� � �� ����� ��� �� ����� O �� ��

� ���� �� ��� $�� �� �� � �� �� ���#� ����� �� �� �� ����� B � � �� ���� ��

�� �� ����� C� �� �� �� �� � ��� �� ������� OM = BC %���� �&'� �� �� � ��

���� (� )� �� ������� �� ������� OM � �� ����� M ��� ��� ��� �� (� �����

�������� *���� �� �������� � �� �������

��

Page 100: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

���� ���

���� ��� ���� ���

��

Page 101: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�������� ���� ��������� �� ����� � �������� � ����� � ���� ��������� ����

������� ������ � ���� ������� � ��� �� �� ����� ������ ����� �����

�� M(x0, y0) � �� � ��������� !�� ������� �� � ���� � ����" � � ��

�� �� ����� ��� � ��� �

CH = OH tanα "

BC = CH senα �

# �� �� � � ��� �� �� ���� ��� ����� ��� MNO

BC = OHsen2 α

cosα=

2ry20

x0√x20 + y20

.

$%��" �� � ����� ��� ������� � ������� � �� ������� � �������&�

OM = BC√x20 + y20 =

2ry20

x0√x20 + y20

(2r − x0)y20 = x30

�� ���� ��" �� ������� �" � ���� � �� ������� ��� ����� ��������

(2r − x)y2 = x3 �

��� ���������� � �� �� ����� x = a �a > 0� � � � ����� ���� ��� �� ������� a !��

��� �� �� ���� �� ���� ��� O � � �� �� �� � �� ����� ����' ���� �� �� � O

� %� ������ � ��� !�� ���� � �� ����� ���� ��� � �� �� � A � � �� ����� ����

� �� �� � B� (��� � �� � A � B � %� ������ ����� �������� � � �)�

Oy � Ox" �������&��� �� ����� ��*�� $� ����� �� ���" �� �� � M �� � ��������

�� ��� �����" ������� � � �+ �� ������� ���� � ������� ,����� � ������� �

�������� - ������ �� �� � ��������� M(x0, y0) !�� ������� �� � ���� �

���� ����� ��./�� 0 � ��

AB = MB secα = NH secα

��

Page 102: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ��� ���� ����

�� �������� �� ���� �� � ������ ������� BHO�

AB = (a− x0)

√a2 + y20a

� �����

�� � ������ �� �������� �� �������� ��� ���� �� ������ � ��� ��� �� ��

������ �� ��������� �� ������ � �� ��� ������ � �� ��� �������� � ��

� ��� ���� �� �� ���� �� ���

OB · AB = BH2 �

� ��� ������ �� ����� ��� ���������� ��������� �� ����� �� ��

(√a2 + y20

)((a− x0)

√a2 + y20a

)= y20 .

!� �� ������"����

x0(a2 + y20) = a3 �

��

Page 103: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������

x(a2 + y2) = a3

��� ���������� ��� � �� ����� A(−a; 0) �� �� � a > 0 �� �� ����� � ��� �����

AB ���� ����� �� �� ���� � ����� �� �� �� ����� B �� ��� ����� � ���� ��������

BM � BN � ���� ������ b �b = �������� �� ���� �� ����� ��� ������ M � N

�������� ��� ����� ����� � ��������� ����� �� ���������

������� !���� ������ �� ����� ���������� M(x0, y0) "�� �����#��� ��� ��� �������

� �� ���� ���$� � �� ����� ��#�������� N �

�� ����� � �� �%&�� ���� ���$�

AP = a+ x0 ,

��� �� ����

AM =√(x0 + a)2 + y20 .

��

Page 104: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

AB = a secα

�� ��� ������� �� ���� �� �������� ��� ������ MPA �� ������

AB = a

√(a+ x0)2 + y20

a+ x0.

������� ��� ������� ����� ����� �� ������� � ��� � ������� � ���� ���

AB ± b = AM

��� !�

AB − AM = ∓b

� ���"��� � ������

(AB − AM)2 = b2 .

���� �#�� ���� �� ��� � ������� ������ �"� �� �� ����

(a

√(a+ x0)2 + y20

a+ x0−

√(a+ x0)2 + y20

)2

= b2

�� $�� ������� �� ��������� ��� �

x20y20 + (x0 + a)2(x20 − b2) = 0 .

������� �� �������%���� �� �� ���� � �����&� ��� ���� ����� ����

x2y2 + (x+ a)2(x2 − b2) = 0 .

' ����� �� � �������� ������� �� ��� "����� �� a � b� (� �� �� ��� �)��� ��

�� ����� ��#���� �� ������ ������ ������

��� ���������� *���� �� ��� � A(−a; 0)� �� ����� a > 0� �� �%�� �� ���

AB ����� ���+�� �� �� ���� ���� ���� ��� ��� � B� �� � �%�� ���� ������ ��

BM � BN � ������ OB� �� ���� � ��� � ��� ��� �� M � N ��������� �� ���"�

���� ����������� ,��� �� �����&��

��

Page 105: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

y

x

���

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

y

x

���

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

y

x

���

���� ���� ������� � x2y2+(x+ a)2(x2− b2) = 0� ��� �� ��� a > b� ��� a = b � ��� a < b�

���

Page 106: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

�������� ����������� � ��� � ���� ����� M(x0, y0) ��� �� ������ �� �����������

����� ����� ����� � � ��� � ���������� N �

�� ������� � ������ ����� ������

AP = a+ x0 ,

��� � ���

AM =√(x0 + a)2 + y20 .

����

AB = a secα

BM = OB = a tanα

�� �!���� ������� �� ���� � � ������� ��� ����� MPA �� �����

AB = a

√(a+ x0)2 + y20

a+ x0.

BM = ay0

a+ x0

���

Page 107: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�������� � � ����� ����� ����� � ������ �� � �� ������� �����

AM ± BM = AM

��� ���

AB − AM = ∓BM

� � ��� �� ��� ��

(AB − AM)2 = BM 2 .

!"� �� #������ ��� ������������ ����� �� � �����

(a

√(a+ x0)2 + y20

a+ x0−

√(a+ x0)2 + y20

)2

=

(a

y0a+ x0

)2

�� $� ����� ��������� ��� �

x20((x0 + a)2 + y20

)= a2y20

��������� �� ���%���� � ����� �� �����&� � ���� ����� ���

x2((x+ a)2 + y2

)= a2y2 .

��� ���������� ' � ��� �� ���# ���� ���� � 2a �a > 0� $� ���� �� �

� ��� ��� ���� O � � ������ �� ( Oy� )� � ����� O � "� � �%��

��� ��� $� �� �� � �� �� ���# ���� �� � � ����� B ����� ���*�+ � �� ����

� ����� ���� � ����� B� � "�� � �%�� ���� �������� ������ � BM � BN

������� �������� b� !� �� � �� ���� ��� ������ M � N �� ��� ��� �� ��

������ ������� �� ������ ,���� �� �����&��

����� �� -���� ��� � ����� � ��� � �� M(x0, y0) $� �����#�� ��� ���������

��� ����� ���.� � � ����� # ����� N �

) ��� � �� � ���� ����� ���.��

OB = 2a cosα

���

Page 108: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

� �������� �� ���� �� ��� ���� ���� ���� MPO ���������

OB = 2ax0√

x20 + y20.

������� ��� �� ���� ����� ����� �� ������� ������ � �������� ��������

OB ± b = OM

� � ��

OB −OM = ∓b

� ��� ��� � �����

(OB −OM)2 = b2 .

!"��� �#������ �� ����������� �������� � �� �������

(2a

x0√x20 + y20

−√x20 + y20

)2

= b2

�� $� ������ �� ��������� ��� �

(x20 + y20 − 2ax0)2 = b2(x20 + y20) .

���

Page 109: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8 10 12

y

x

���

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8 10 12

yx

���

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8 10 12

y

x

���

���� ���� ������� � (x2 + y2 − 2ax)2 = b2(x2 + y2)� ��� �� ��� a > b� ��� a = b � ���a < b�

���������� ���������� � �� ������� �� �������� �� ���� ���������

(x2 + y2 − 2ax)2 = b2(x2 + y2) .

�� ����� �� ������� � ������ ���� � � ��� ������� � a � b� �� ����� ��� ��� ��

�� �������� ��������� ������ ���� !�"#$�

��� ���������� %� ������� � ������ 2a �� ����� � ������ &�� ��� �'������

����� ����� �� �� � �� ������ �� ��� ���� � ���� ��� ��� (����� �� �������� � ��

����������� � �� ���� M � �� ������ ������ ���� � �� ����� � ���� ��� �� ��

������� ��� !�")$� *� ����� M ������� ��� ����� ����� � ���� �� ����� �����

�� ������ +���� ������ �� ����� ���������� M(x0, y0) &�� ��������� ��� ��� �������

� �� ��� !�,-$� *�������

CM = OM tanα ,

MB = OM cotα .

. ������ � �� ������ �� �������� ��������� OHM

CM =√

x20 + y20y0x0

,

MB =√x20 + y20

x0y0

.

���

Page 110: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ���

�� ������� � ������ � � ��� ��� �� ������ ��� ���� � � �� ���� �� ���� ��

���

CM +MB = 2a .

� ������� �� ��� ��� �� ������� ���� ����� ���� �� ������√x20 + y20

y0x0

+√x20 + y20

x0y0

= 2a .

����� ������� ��

(x20 + y20)3 = 4a2x20y

20 .

�������� ���������� �� ������ � � � �� ��� ���� �������� �

(x2 + y2)3 = 4a2x2y2 .

���� ��������� ! ������� �� ������� a �� ����� �� ��� ��� ��� �"������

���� ������� ���� �� ������ � ��� �#�� �� ������� $��� % &'( )�� ��� �"���*

��� ��� ������� �� � ����� �� �� ������ ��� �#�� �������� ��� ��

������ �� � �� ���� P +��� � � � �� �� � ��,� ���� �� � ��� M �� �

������� ��� �#� ��� ���� P � ������� ��� ��,� ���� �� ��� ��������

���� �� -���������� �� ���� �������� M(x0, y0) ��� ����� � �� ��� ����

��� $��� % &&( ��� ��

���

Page 111: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

PQ = ST = x0 tanα ,

MQ = NR = y0 cotα .

�� �� ������� �������� PMR � ����� �� ������ ��������

PQ ·QR = MQ2 .

��������� �� �������� �� ������� � �������� �� ����� ��

QR = MN = y0 ,

��������

x0 tanα · y0 = y20 cot2 α ,

� ������

tan3 α =y0x0

;

� �������

tanα =y1/30

x1/30

. �����

��� ���� ������ ��� ������� �������� SOR ��������

senα =SO

a=

PR

a=

PQ+QR

a

���

Page 112: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�� ������

senα =x0

y1/30

x1/30

+ y0

a=

y1/30 (x

2/30 + y

2/30 )

a. ���

� ������ ��� �� �� �������� � �� ������� ������� ���

senα =y1/30√

x2/30 + y

2/30

���

���� ����� ������� � � � ���� �������

y1/30 (x

2/30 + y

2/30 )

a=

y1/30√

x2/30 + y

2/30

�� ��� ��� �������� �

x2/30 + y

2/30 = a2/3 .

����������� �������� ����� �� ������� �� �������� ��� ����� ����!�����

x2/3 + y2/3 = a2/3 .

���� ��������� �� �� ��� ������"������� �� ��#����� a �a > 0� ��� ���� ��� ��

������ �� ����������� O � �� �������� �� �$� Oy %���� �� ����� O �� &� ��� ���

�� ���� ��� ����� � �� ������"������� ���� �� �� ����� B� ����� �� ���� �� &� ��$���

��� ������������� BC �� �$� Ox %���� �� ����� C �� &� ��$��� ��� �������������

CM �� ���� OB %������ �� �������� �� �� ����������� ��� ����� M

�������� '����������� �� ����� ���������� M(x0, y0) ��� �����"��� ��� �����������

����� ���� (� )�������

OC = OM secα ,

CH = a−OC ,

BC = OC tanα .

���

Page 113: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4

y

x

���� ����

�� �� ������� �������� OBH � �����

OC · CH = BC2 .

� � ��� ���������� �� �������� �� ������� ��������

OC · (a−OC) = OC2 tan2 α,

� ������

a = sec3 α OM ;

�� �� ������ �� ������� �������� ONM �� ��

(x20 + y20)2 = ax30 .

����������� ������������� � ������� �� ������� ��� ��� ���������

(x2 + y2)2 = ax3 . ����

���� ���������� !� ������ ���������� � ���� �� ������ �� �"�����

� ��� ����� ���� �� ������ �� �� �#� �� ���������� � $�� �� �"����� ���

������ � %�� ������� ����� �������� � �� �#� ���������� %� �� ����� ������

�� �� ���� M � &����� �� ������� �� �� ���'������� �� M ����� �� ������ �

���� �� ���� �� �� ������ �� ����� � ������ ��� � a �a > 0 �

���

Page 114: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

���� ����

�������� ����������� � ��� � ���� ����� M(x0, y0) ��� �� ������ �� �����������

����� ����� ������ �� ������ �� � ������� ��� ����� AOB �� ����

tanα =y0x0

.

��� � �� ��� � �� � ������� ��� ����� OCA �� ������ ������ � ������ ��

�� ������ ���� �� ����

AC =√y20 − a2 ,

��� � ���� ��� �� �� !���� ��������

tanα =

√y20 − a2

a.

�������� �� ���� � �� !����� �� ������ ���� tanα �� ���� � �������

y0x0

=

√y20 − a2

a

� ��� ��� ����!� �1

x20+

1

y20=

1

a2.

������ �� �������"����� �� �� ���� � ������#� �� ���� ��� ����

1

x2+

1

y2=

1

a2. ���$�

���

Page 115: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

��� �������� �����

� ����������� � �� � ��������� �� ��������� � �� ������ ���������� �������

�� �� � �� ����� x = a �a > 0� � ��� �������������� � �� �� a/2 ��� ��� ��� ��

������ � ���� ��� � O � � �������� � �� ����� � �� � � �� ����� O � ��

����� � �� ���� ��� ����� � �� �������������� �� �� ����� A � � �� ����� � � ��

�� ����� B� �� � �� ����� A � B � ��� ����� � ����� �������� � �� ���

Oy � Ox �������!������ ��� � ������ �� C� "� �� ���� � �� ����� � ��

������� OM = BC �#��� $�%&�� �� ����� �� ���� !��'� �� ������� �� �������

OM � �� ����� M ����(� ��� ���!�� )����� �� ������� � ��� ���!��

%� �� � �� ����� x = 2a � ��� �������������� � �� �� a ��� ��� ��� �� ������ �

���� ��� � O � � �������� � �� ����� � �� � � �� ����� O � �� ����� � ��

���� ��� ����� � �� �������������� �� �� ����� A � � �� ����� � � �� �� �����

B� �� � �� ����� A � B � ��� ����� � ����� �������� � �� ��� Oy � Ox

�������!������ ��� � ������ �� C� "� �� ���� � �� ����� � �� �������

OM = AC �#��� $�%*�� �� ����� �� ���� !��'� �� ������� �� ������� OM � ��

����� M ����(� ��� ���!�� )����� �� ������� � ��� ���!��

$� �� � �� ����� x = r � ��� �������������� � �� �� r/2 ��� ��� ��� �� ������ �

���

Page 116: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

����������� O �� ������ � �� ���� ���� ����� �� ���� O �� �� ������ ��

��� ��� ���� � �� �������������� �� �� ���� B � �� ���� ���� �� �� ����

C �� �� �� �� ������� �� ������� MB = BC ����� ������ �� ����� �� ����

��!� �� ������� ��� ������� MB �� ���� M ������"� ��� ��� �� #����� ��

������$� �� ��� ��� ��

%� &� �� ��� �������������� �� ����� a ��� ���� ��� �� ������ �� ����������� O

�� ������ �� �'� Oy ����� �� ���� O �� �� ������ �� ��� ��� ���� � ��

�������������� ���� �� �� ���� B ����� B �� ���� ��� ������������� �� �'�

Oy� ��� ���� � ��� �� C� (� �� ��� �� �� ������� �� ������� OM = BC

����� ���)�� �� ����� �� ���� ��!� �� ������� ��� ������� OM �� ���� M

������"� ��� ��� �� #����� �� ������$� �� ��� ��� ��

*� &� �� ��� �������������� �� ����� a ��� ���� ��� �� ������ �� ����������� O

�� ������ �� �'� Oy ����� �� ���� O �� �� ������ �� ��� ��� ���� � ��

�������������� ���� �� �� ���� B ����� B �� ���� ��� ������������� �� �'�

Oy� ��� ���� � ��� �� C� (� �� ��� �� �� ������� �� ������� OM = OC

����� ���+�� �� ����� �� ���� ��!� �� ������� ��� ������� OM �� ���� M

������"� ��� ��� �� #����� �� ������$� �� ��� ��� ��

���

Page 117: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

�� �� �� �� ��� x = r � � � ��� ���� �� �� ����� r/2 ��� ���� ��� �� ����� ��

����� ���� O � �� � �� � � �� ��� ����� ����� �� �� � O �� �� ������ �

���� ��� ��� � �� ��� ���� �� � �� �� � B � � �� ��� ���� � �� �� �

C� � �� ���� �� �� ������ � ����� � CM = BC ����� ������ �� ����� ��

���� �� �� � M ����� � � � ��!�� "����� �� ����# �� ��� ��!��

$� �� �� �� ��� x = r � � � ��� ���� �� �� ����� r/2 ��� ���� ��� �� ����� ��

����� ���� O � �� � �� � � �� ��� ����� ����� �� �� � O �� �� ������ �

���� ��� ��� � �� ��� ���� �� � �� �� � B � � �� ��� ���� � �� �� �

C� %���� B �� �� ������ � � ��� �������� �� �&� Ox' ��� ��� � (�� � D�

� �� ���� �� �� ������ � ����� � CM = BD ����� ������ �� ����� �� ����

�� �� � M ����� � � � ��!�� "����� �� ����# �� ��� ��!��

)� �� �� � � ��� ���� �� �� ����� r ��� ���� ��� �� ����� �� ����� ���� O �

�� � �� � �� �&� Oy� ����� �� �� � O �� �� ������ � ���� ��� ��� � ��

��� ���� �� � �� �� � B� ����� B �� ���� � � ����� ������ �� �&� Oy' ���

��� � (�� � C� � �� ���� �� �� ������ � ����� � BM = BC ����� ���*��

�� ����� �� ����' !��+� �� �� ���� ��� ����� � BM � �� �� � M ����� � � �

��!�� "����� �� ����# �� ��� ��!��

,� �� �� � � ��� ���� �� �� ����� r ��� ���� ��� �� ����� �� ����� ���� O'

�� � �� � �� �&� Oy � ��� �� �&� Ox � �� �� � E� %���� �� �� � O ��

���

Page 118: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

�� ������� � ��� ��� ���� � �� �� ����� �� ���� � �� ���� B� ����� ��

���� �� �� �� ����� ��� ����� �� ���� �� �� ������� �� ������� CD//EB�

� �� ��� �� �� ��� ��� � ������� BM = CD ����� ������ �� ����� �� ����

��� � �� ������� ��� ������� BM �� ���� M ��� ��!� �� ����� "����� ��

� �� �# �� ���� �����

$%� &� �� �� �� ����� �� �� ����� r/2 ��� ���� ��� �� ����� �� ��������� O

�� ������ �� �'� Oy( ����� �� ���� O �� �� ������� � ��� ��� ���� � ��

�� ����� �� � �� ���� B( ����� B �� ����� �� �������� �� �'� Ox� ��!�� ��

��� �� �� ��� ��� �� ������� BM = OB ����� ���)�� �� ����� �� ���� ��� � ��

������� ��� ������� BM �� ���� M ��� ��!� �� ����� "����� �� � �� �#

�� ���� �����

$$� &� �� �� �� ����� �� �� ����� r ��� ���� ��� �� ����� �� ��������� O�

�� ������ �� �'� Oy ���� �� �'� Ox � D( ����� �� ���� O �� �� �������

� ��� ��� ���� � �� �� ����� �� � �� ���� B( ����� B �� ����� ��

������� ���� �� �'� Ox� ��� ���� � *��� � C� &�!�� �� ��� �� �� ��� ���

� ������� BM = BC + CD �+�� $,�� �� ����� �� ���� ��� � �� �������

��� ������� BM �� ���� M ��� ��!� �� ����� "����� �� � �� �# �� ����

�����

$,� - ������� �� ������� � �� ����� �� ����� ��� ��� �.������ ���/ ��������

���

Page 119: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

���� ���� ���� ����

���

Page 120: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

���� �� ������ � �� ��� �� ��� ������ ���� �� � ��� O �� ��� ����� �

�� � ����� � ��� �� �������� �� ������ ��� �� �� �� � �� ���� B� � ��

� �� �� ���� � ������ OC = CB� ���� �� ���� B � C � �� � �����

���� �� ����� � �� ��� Oy � Ox� ������������� ��� � �� �� � M �����

������ ���� �� ������! �� �� � ������ �� ��� ���� M �

"�� # ������ �� ������� a � ����� �� ��� � ��� � �$� ��� ��% ������

���� �� ������ � �� ��� �� ��� ������ ���� �� � ��� O �� ��� ����� �

�� � ����� � ��� �� �������� �� ������ ��� �� �� �� � �� ���� B� � ��

� �� �� ���� � ������ BC� ���� �� ���� B � C � �� � ����� ����

�� ����� � �� ��� Oy � Ox� ������������� ��� � �� �� �M ����������

�� �������� OC = CM ����� ���&�� ���� �� ������! �� �� � ������ �� ��� ����

M �

���

Page 121: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��������

������ �� ����� ������ ��� ��� ������

��� �������� �

�������� �� � ������� ��� ����� ���������� ����� ���� �� �������� � �������� �

������������� �� ������� ������ ����������� �� ��� �� �������� � �� � � !""#

� �� $��������� �� ��������� � �� ����%� � �� $��������� �� &������� '�������

�������� ���� ������� � (��� � ��� ���� ���� ��������� � %������� ������� ���

)� ������ ��� � *���������� ��� +�����, � � *���������� ����������,� �� ������

� �� ����� �� ��� ����� �� ������� ���������� -�� ��%� ��� ���.�� �������

� ��������

) �������� ����� ������� ������������ �� ����� �/� �.���0 � ���� ���

���1����� � �� � ��� ���2 �� ����� -�� �� ���% ��3��� B ������ �� ����

A� �� ���1��� A� �� ��+ �� ��������� B� 4��� �� ��+ ����� ��1���� �������

��. �� � ������ ������ �� �������� ����� &�� �� �������� � ���1��� ��������� �

��������� �� ������ ������� ����

)� ������ ����� ��������� �� ��� � �� �� �������� ����� �� ����� �1����

��������������� ��������

� �� ���� �� ��+ ����� �������� �.����� ���� ��������� �������������� ��� ��

�������� � ��������� �� ��������3��

) ���� ���.���� �� ���� ��� �� �������� ���� ���������� �� ����� ��� +����� �� �

���� -�� �� ���� � � ���� ����������� �� � �� ��������� ��� +������

������ ���� ���� �� �������� �� ������� �� ����� ����� ��� +������ 4��� ���� ��

� ������ ������ ��� ��� �����������2

��� �� �� ����� �� ��� ��� �� � �� �� ���� ����� ������ ��

��� �� �� ����� ����� ���������

���

Page 122: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

�� ������� ������� �� ���� ��� ���� �������� ������ ��������� �������� ��

�� ������ ��� ������ ��� ����������� ������� ���� � ������� � �� ��� �����

���� ���� �������� ��� �� �� �������

��� ������

��� �������� ������� �� �� ���� �������� �� ��� ����� ��� �� ������� �� ���

��������� � ��� ����� ����� F1(−c; 0) � F2(c; 0) �� ��� ������� �������� ����

� a2� ���� ���� ���������

�������� ��� �� �� ���� �������� ���� ��������� �� ����� ��� �����������

��� ���� � ������� �� ������� � ������ �� ��� ����� �� �������� �� ��� ��������

�� ��!

����� �� ��� �� �����

������ �����

a = 3 "���� a = 3 �� �� ���� � ����� � � ����

��������� �� �����

������ �

c = 4 "���� c = 4 �� �� ���� � ����� � � ����

��������� �� �����

������ �

���

Page 123: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ �����

t = 0 ������� t = 0 �� � ����� �� ������� ����

�������� � �����

������ �

F1 = (−c, 0) ������� F�1 = (−c, 0) �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

F2 = (c, 0) ������� F�2 = (−c, 0) �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

A = (−6, 3) ������� A = (−6, 3) �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ � ����� �������

��� ���� ���� ���������� �� �����������

���� ���

���� ���

���

Page 124: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ���������

������ �����

������� �� ���� �� �� ���

�� �� �� ����� ����������

��� ������ t

��� ������ ����� �� ������ t� �� �� ��� � �

��������� � ���� �� ����� �� ����� ���������

�� ����� �����

��!�� �� ������ ������

������ �� �� �����"� ����

��

��� ���� �� ������ �� !���#���� ������ ���

���� ����� ��$�� ��� ���� �� ������ !�����%��

� �����%����� ������� � t� �� �� ��� �������

&���� ��� !������ ���'

0� ��� ' 12 � ����������'

0.01� �� �� �����"� �� ��

�����

������� ��� !������ ��� ��(��� ��������� ���

��!�� !������� �� ��� �������!�� ������� �� ���

����� ����� �����

������ �� ���� �� �� ����

�� �� ����� ����������

��� ����� �� ����� �

���� ���

���� ���

���

Page 125: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� ������

������ �����

������� ����� �� �� ��

�� ��

��� � � � ���� ����� �� �� �� �� �� �

��� ����� ����� ����� � �������� ��� ���� �

����� � � ������ � � !�� ����� ��"��

#��� � ������ A ���

����� Ai = i, i = 1, 240

$������ �� ������ 1 �� � ��� A1� % 2 ��

� ��� A2�& ��� ���������� % ���� ��� �

���� '� � ��� � (���� ��)���� �*

���� � ����� ������ ��� �� �+�& ����*

����� �������� !���� � �����& �����

� ��������� ������ �!���� ����� ����� ���

� � ��� A240 ����� ��",��

������� � ( ����� A +

(t,−A1/40) � � ��� B1

$������ = A+(t,−A1/40) � � ��� B1 �����

��""��

-������ ������ � ����*

�� � � � ���� ����������

� � ��� B1

��� ����� ��!� � ��� B1& � � ����� ��

�� �� �� �� & % ��� ��� ��!� � � ����

���������� ����� ��.��

$�������� � ����� �����

��� ���� % ������� � ��*

��� ������� �����& � �

���/� �����

��� ��!� �� ������ � ���0������ �������

���� % ������� ����� ����� ��1��

-�������� ����/� �

���� �0���� �� � ���

B1

2��� !���� ������� � � ���/� ����

��� ������� ����/� �3���� � ���� �����

��4��

������� ����� � �� � �

��� �������� � � ���*

/� �������

$������ � ( ����� (eˆ(−abs(Distancia

[B1, F51]Distancia[B1, F52] − aˆ2)))ˆ3 �

�� ������ � ������ � �� ����� �&

����� % ��� ����� ��6��

���

Page 126: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

���� ���

������ �����

������ �� ����� �� ����

�� �� ��� ����������

��� ���� �� ���� �

������ ��� ������ Bi

�� ��� �� ������

A + (t,−Ai/40)� ���

i = 2, 240

��������� �� ����� B1 � ����� ��� �� �� ���

��� � ����� �� �� ������ ����� ������ ��

���� �������� ��� ��� ���� ��������� ���

���� �� ���� ��� ������ ������ � ���������

����� ��� ! �� ����� ����� ������ � �� �����

B240 �"�� #�$%!�

���

Page 127: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���

���� ���

���� ���

���� ����

���

Page 128: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

���� ����

����� �� ������� ��� �����

������ �����

������� �� ��������� ��

������ ��� � �� �� t

���� ����� ���� � �� �� t� � �� ���

����������� � ���� ���� ���� �� ����� ���

������ �������� ����� ������ ��� ����

� ����� � ������� �� ��� ����� �� � �����

����� � � � ��������� � � � �� ��� ��!����

�"#����� � �� ��� �������

����� �� � ���$� � %����� ��� ������� ��������� � ����� ��� &���� �����

�#�' �������� � ����� �� ���#�%� �� ����� �� $����� ������� ��� ���

������ ���������� a = 3 � c = 4 ����� ������ (� � ������� ��� �� ���� ��� ������

��������� � ��� �� ��� a �)� c� �� � �� �� ������� ��� ����� �����������

� �� ����� �� ������ � �� ����� �� �������� ����� ����� �� % ��� �� �������

���

Page 129: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

c = 3 � ���������

������ �� ����� �� �������� � �� � �������� � ����� ����

� �� � � �� ������� ���� �������� �� � � ��������� ���������� �� �� �����

��������� a = 3 � c = 3� �� ���� ��� �� ��� �� ���������� �� ����� ��� ��� �

������

��� �������� �� �������! ������� �� �� �� � ��� 4 �"���� a ��� � ���#��

���� ����

���� ����

���� ����

���

Page 130: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� �������� ��������� � ���� �� ����� � ��� ���� � ��� ����������

������� ��� � ���� � ��������� � ��� ���� �� �������� � � ������

�������� ��������� � �� �� ��������� ����� � S� ���������� ������

�������� ��� � �� ���� �� ����� ���� �������� �� �� �� ��� �����������

��� ��� � �� ����

��� ����� ��� ����������� ��� ����� � �� � ��!

��� �� ��� "� �� �� �� ��� � ������� ��� ���

������ A(x, 0) � B(0, y)� #�� ���� � �� �� ��

xy

2= S

$%��� &�'()� ��� �� xy = 2S� �� ���� �� ������� �� �����

A � �� ������ �� ����� B �������� � ��� ������!

��� � ��� ������ P (x, y)� �� ������� ��� �� *�������

xy = 2S� ���� ����

+� �������� � � ���,� ����� �� � ��*� �������� �� � � � � ���

�������� ��*�� �� ������ � ����� � ����-

����� �� ��� �� �����

������ �����

S = 6 .����� S = 6 � �� ���� � ����� � � ����

������ �� �����

������ �

/��� �� *������� xy =

2S

.����� x ∗ y = 2S � �� ���� � ����� � �

���� ������ �� �����

������ � 0�� �� ��!

��� ������ � ����� c � ���*� *��������

1��� � ���� O .�����O = Interseca[EjeX,EjeY ] � �� ��

��� � ����� � � ���� ������ �� �����

������ �

1��� � ����� P ��� ��

*�������

.����� P = Punto[c] � �� ���� � ����� �

� ���� ������ �� �����

������ �

���

Page 131: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

������ �����

������ �� ��� A �� �� ��

��� Ox

������ A = (x(P ), 0) � �� ����� �� �������

� ����� �������� �� �����

������ �

������ �� ��� B �� �� ��

��� Oy

������ B = (0, y(P )) � �� ����� �� �������

� ����� �������� �� �����

������ �

������ AB ������ ������[A,B] � �� ����� �� �����

�� � ����� �������� �� �����

������ � ��� ���

����� �� ����� �� ����� a � ����� �������

������ �� ���� ��� ����

��� O � ��� ������������

�� AB

������ ������������� [O, a] � �� ����� �� ��

����� � ����� �������� �� �����

������ � ��� ���

����� �� ����� �� ����� b � ����� �����

������ �� ��� M �� ��

�������� �� a �� b

������ M = ���������[a, b] � �� ����� �� ��

����� � ����� �������� �� �����

������ �

������ �� ������ OM ������ ������[O,M ] � �� ����� �� �����

�� � ����� �������� �� �����

������ �

�� ���� �� ������� OAB ������ �������[O,A,B] � �� ����� �� ��

����� � ����� �������� �� �����

������ �

���

Page 132: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

���� ���

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������ �� � ����� ����

� ���� b� � �� ����� c �

�� ������ a1� b1 � o

�� �� � ����� �� ���� ��� �� ��� ���� � �

��������� �� ��� ��� �� �� ������� �� ����

����� �� � ����� ��� ������ ���� ��� �� ���

����� ���������� ����� ����� ��� ��� ���

�� � ��� � !�"#$�

%����� �� �������� ��� ��������&�� ��� &�������� � � �� �������� ���� ��

� �������� �� ���� ���� �� '� ������ �� ������� � � ��� ����� ������ � �

�� ���� ������� � (����� ����� � �������� % ���������� �� �������� �� )���

��� �������� ����� ��������&���

���

Page 133: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� �� ���� ������

���� �� ��� M

���� ����� �� �� ��� M � �� ����� �� ��

������ � ���� ���� �� �� ���� ������ ����

����� ������

������� �� ���� ��� � �

�����

���� ���� �� ���� ��� � � ����� � �� ���

�� ���������� ����� ����� ���� ���� �� ��

�� �� � �� �!"���� � � ���� ������

����� �� ��� �������

������ �����

#��� �� ��� M � ����$�

� �� ��$����

���� ���� �� ���M �� �� ����� ����� � ���

����� ��� �� ����� �������� �� ��$����

c�

%���$� � �&������ ��� ������� �� ��� �� �� � �� ��� '���� ����� �"�( �������)

�� �� ������ �� ��"��& �� ����� �� $���� ������ ��� �� ���� ���������

S = 6 ����� ������

���

Page 134: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� � ��� �����

������ �

��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ������

������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��

P �� � ����� �������� ��

������ �� �!������ �� ����� �� � ������� � ����� �� "�#�� #���� �$�% ����� &

����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��$��!� �� ����

���������� ���������' ���� � ���� ��������� S = 6 ����� ������

��� ������� (� �� � ����� x = 2r � � � ����� )��� ��� �� ����� r $�� ���� ��� �

����� �� ������ ���� O � �� �� �� �� � � �����* ����� � �� �� O �� #� ������� �

���� $�� ����� � � ����� )��� ��� ���� � � �� �� B � � � ����� ���� � � �� ��

C* � � �� #� ������� � ����� �� OM = BC� � ����� � ����' ���%� � � �����

�� ����� �� OM � � �� �� M ������� � � ����� ����� ������� +�������� �

���� ���������� �� � ������' ������ �� ,��,����

���

Page 135: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

�������� ���� �� �� ��� ���� ���� ��� ��������� �� ����� �� �����������

��� ��� � ������� �� ������ ������ �� ���� ���� �� ������� �� �� ����������

�����

����� �� ��� �� �����

������ �����

O = (0, 0) ����� O = (0, 0) �� � ���� � ����� � �

����� ������ � �����

������ �

r = 2 ����� r = 2 �� � ���� � ����� � � �����

������ � �����

������ �

�� � ��� x = 2r ����� x = 2r �� � ���� � ����� � � �����

������ � �����

������ � ���� �� !��!��

���� �� ����� a ���� ����

�� � �����"����� ��

��� r �� �� �� �� ��#

��� �� �������� � ��

������� � ���

����� �������������� [(r, 0), r] �� � ���� �

����� � � ����� ������ � �����

������ � ����

�� !��!�� ���� �� ����� c ���� �����#

"������

���

Page 136: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ �����

������ �� ��� C �� �� ��

����

������ C = �����[a] � �� ����� ������

� ����� �������� �� �����

������ �

������ �� ��� C �� �� ��

����

������ C = �����[a] � �� ����� ������

� ����� �������� �� �����

������ �

������ �� ������ OC ������ � ���� [O,C] � �� ����� ������

� � ����� �������� �� �����

������ � ��� ���

����� �� ����� �� ����� b � ����� �������

�������� b �� c ������ B = �������[b, c] � �� ����� ���

���� � ����� �������� �� �����

������ �

����� �� ����� BC ������ BC = �����[B,C] � �� ����� ���

���� � ����� �������� �� �����

������ �

������ �� ������ OM =

BC

������ M = �������[O,BC] � �� �����

������ � ����� �������� �� �����

������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

����� �� �� ���� �� ��� ��

��� A

!��� �� �� �� �� ������ ����� ��� ��

� �� ��������� �� ����� ���" � �� ����� ���

������� ��� ��� �� �� �������� �� �

������ ����� �����#� ��� ���� $%��� &�'&(�

����� �� �� ���� �� ��� ��

����� BC

!��� �� �� �� �� ������ ����� ��� ��

� �� ��������� �� ����� �����" � �� ����� ���

������� ��� ��� �� �� �������� �� �

������ ����� �����#� ��� ���� $%��� &�'&(�

���

Page 137: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

���� ����

������ ���� � �� �� ���� � ���� ��� ���������� ��� ���������� � ���

��� ��������� ���� � ������ � ��� �� ��� �� ����� � �������� �� � ���

������ ���� � �� ����� �������� �� ����� �� � �������� � ��������� �

������ ��� ����� �� ����� �� �� �����������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� �� � ��� ������

���� �� ��� M

!��� ����� � ��� M � �� ����� �� ��

������ � ���� ���� �� � ��� ������ ����

"#��� $��%&�

������� � ��� ��� � �

�����

!��� �� � � ��� ��� � � ����� � �� ���

�� ���������� "#��� $�'&� (�� ��� � �

����� � �� �������� � ����� �����

���

Page 138: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� ����

������ �����

������ ��� ����� � ���

��� �� �� ����� C

�� ����� �� ����� C �� �� ����� ���� �

�� ������ ����� �� ����� ��� ����� � ���

��� ��

���� ���� ���� ����

������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������

��� �� ������ �� ������ � ��� ����� �������� ���������� ���� �� ����� ��������

r = 2 !�� "�#$%�

���

Page 139: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� � ��� �����

������ �

��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ������

������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��

C �� � ����� �������� ��

������ �� �!������ �� ����� �� � ������� � ����� �� "�#�� #���� �$�% ����� &

����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��$��!� �� ����

���������� ���������' ���� � ���� ��������� r = 2 ����� ���(��

��� ������� )� �� � ����� x = a �a > 0� � � � ����� *��� ��� �� ��+����� a $��

���� ��� � ����� �� ������ ���� O � �� �� �� �� � � ����� ����, ����� � �� ��

O �� #� ������� � ���� $�� ����� � � ����� *��� ��� � � �� �� A � � � �����

���� � � �� �� B� ���� �� �� ��� A � B �� #� ������� ������ ������� � ��

�!�� Oy � Ox' ������������ ��� � ����� � ����' � �� ��M �� � ��������� �� �����

������' ������� � � % �� ����� ���� �� ������� -�������� � ���� ����������

�� � ���� �� ������' ������ �� .��.����

���� ���� /��� �� � ���� ���������� ���� ��" ���� �% ������ � � �� ��������

�� ���� � ����+�� / ������� � ������' � ���� ����' �� ������� � �� ������ ���

"�#��0

���

Page 140: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� �����

������ �����

O = (0, 0) ������� O = (0, 0) �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

a = 4 ������� a = 4 �� � ����� �� ������� ����

�������� � �����

������ �

������ � ����� x = a ������� x = a �� � ����� �� ������� ����

�������� � �����

������ � ���� ��� ��������

������ � ����� b � ����� ������

������ � �������������� ��

�������� a ��� ��� �� �

������ �� ����������� O

�� �������� � � �����

������� ���� ������[(a/2, 0), a/2] �� � ���

��� �� ������� ���� �������� � �����

������ �

���� ��� �������� ������ � ����� c � �����

���������������

������ � ���� B ����� �

�����

������� B = �����[b] �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

������ � �������� OB ���

��� � �����

������� ��������[O,B] �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

������� ��� c ��� d ������� A = ���������[c, d] �� � ����� �� ���

����� ���� �������� � �����

������ � ���� ���

�������� ������ �� ������ A1 A2 � �� ���

����� �� ������������ �����������

����� �� �� �� ������

������ �����

�������� ����������� �

���� A2

!�� ������� ����� � ���� A2 " ��� ����� �

�����" ��� ���� ����� �� y ����� �� � ������

# �� �$�� �" ����� ��� yB= 3%�

���

Page 141: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������ �� � ���� �� ��� �

����� A1

��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �

� ��������� �� ����� ������ �� � � ��� �����

�� ��� �������� ������ �� � ���� �� �!�

"�������� � ����� A2 ��#

�� ���������� A

��� ������� ����� � ����� A2� �� � � ��� ���

���� ��� ���� ���������� � ������ ��������

� ������������ ������� A �� � ����� �� �������

$ �������� ��������� � ������

�%& �

����� �� ��� �������

������ �����

'����� � ����� ����� ���

������

��� ����� � ����� ����� �������� �� � �����

�� ������ ����� ����� �� (!�

)����� ����� � ����� B

��� ������ � �*� Ox

��� ����� � ����� B $ ���� ��� ����� � �*�

Ox� �� � � ��� �������

)����� ����� � ����� B

��� ������ � �*� Ox

��� ����� � ����� B $ ���� ��� ����� � �*�

Ox� �� � � ��� ������� +��� ��� ,��,����

������ � ����� e � ����� �������

)����� ����� � ����� A

��� ������ � �*� Oy

��� ����� � ����� A $ ���� ��� ����� � �*�

Oy� �� � � ��� ������� +��� ��� ,��,����

������ � ����� f � ����� �������

����� �� ���� �� ������

������ �����

-����� � ����� M .������ M = ����������[e, f ] �� � ����� ��

������� $ ���� ��������� � �����

������ �

���

Page 142: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ����

������ ���� ��� ����� ��� � ���� � ����� ��� ���������� ���� ����������

� ����� ��������� ���� � ������ � ��� ����� � ��������� � ������

��� ����� �� ������ ����� �����������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� �� ����� ������

���� �� ���� M

���� ����� � ���� M � �� ����� �� ��

������ � ���� ���� �� ����� ������ ����

!��� "��#$�

������� � ���� ��� � �

�����

���� ���� � ���� ��� � � ����� � �� ���

�� ���������� !��� "�%$� &�� ���� � �

������ � �� �������� � ����� ������

���

Page 143: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� ����

������ �����

������ ��� ����� � ���

��� �� �� ����� C

�� ����� �� ����� C �� �� ����� ���� �

�� ������ ����� �� ����� ��� ����� � ���

��� ��

������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������

��� �� ������ �� ������ � ��� ����� �������� ���������� ���� �� ����� ��������

a = 4 !�� "�#$%�

������� ������ �

����� �� ��� ����������

������ �����

&���� �� ����� �� ��

���������

�� ����� �� ����� �� �� ��������� �� �� ���

��� �� ������������ !�� "�#'%�

(��)�� �� ����� �������� �� ����� �� ����� M � ����� ����� �� �����

B �� �� ����� �� �������

������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� �������

����� �� �������� ��� �� �� ������ ����������% �� ������ �� ������ � ��� �����

�������� ���������� ���� �� ����� �������� a = 4 !�� "�'*%�

��� ������� ����� �� ����� A(−a; 0)� �� ����� a > 0� �� �� ���)��� ��� ����

AB� �� �� ���� � ����� ����� ��� ����� B� �� ��� ���)��� ���� ��������� BM �

BN �� ���� ������� b b = �����%� &� ���� �� ����� ��� ������ M � N �������

��� ����� ������� ������� +����)�� �� ����� �������� �� �� ������� ���)����

,��,�����

���

Page 144: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ���

�������� ���� �� �� ��� ���� ���� ��� ��������� �� ����� �� �����������

��� ��� � ������� �� ������ ������ �� ���� ���� �� ������� �� �� ����������

�����

����� �� ��� �� �����

������ �����

a = 2 ����� a = 2 �� � ���� � ����� � � �����

������ � �����

������ �

b = 3 ����� b = 3 �� � ���� � ����� � � �����

������ � �����

������ �

������� �� ��� Oy ����� Y = Recta[(0,−1), (0, 1)] �� � ����

� ����� � � ����� ������ � �����

������ �

���

Page 145: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ �����

A = (−a, 0) ������� A = (−a, 0) �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

������ � ���� B ����� �

��� Oy

������� B = Punto[Y ] �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

������ � ����� ��� ���

�� �� ����� A B

������� r = Recta[A,B] �� � ����� �� �����

�� ���� �������� � �����

������ �

������ �� �����M1 M2

����� � ����� r

������� ��� ���������[B, b] �� � ����� �� ��

����� ���� �������� � �����

������ ����� ���

�������� ������ � ����� c � ���� ������������

����� ������������ ������� M = ���������[c, r]

�� � ����� �� ������� � �� � �������� �

�����

������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

!����� �� � ���� ��"#�� �

�������������� c

$�� ����� � ����� � ����� ������ ��� ���" �

� ��������� �� ���%� ��������������& �� � �����

����������� �'������ ������ �� � (��� )�*)��

+�������� � ����M1 ���

�� ��� ������ M

$�� �����%� ����� � ���� M1& �� � �����

����������& ���� ���������� � � ���� �����

���& � ������������ ������� M �� � ����� ��

������� #������� �������� � ������

�,- �

+�������� � ����M2 ���

�� N

$�� �����%� ����� � ���� M2& �� � �����

����������& ���� ���������� � � ���� �����

���& � ������������ ������� N �� � ����� ��

������� #������� �������� � ������

�,- �

���

Page 146: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ ���� ��� ����� ���� ��� � ���� � ����� ��� ���������� ����

���������� � ����� ��������� ���� � ������ � ��� ����� � ���������

� ������ ��� ����� �� ������ ����� �����������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� �� ����� ������

���� � ��� ����� M �

N

��� ����� � ���� M � �� ����� �� ��

������ � ���� ���� �� ����� ������ ����

�� !� ������ � ������� ���� � ���� N "#���

���$%�

����� �� ��� �������

������ �����

&���� ����� ������ � �����

��� �� � ���� B

��� ���� � ���� B �� ����� ����� �

�� ������ ���� � ���� ����� ������ � �����

��� ��

'����� � ����� ��� ������ �������� ����� ��� ����� ����� ���( ��)

������ � ���� � ����� � �� ����� ��������� ��������� ���� ��� ������

����������� a = 2 � b = 3 "#��� ���*%�

���

Page 147: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� � ��� �����

������ �

��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ������

������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��

B �� � ����� �������� �� ������� �� �����

���� ���� � �� �� N �

!������ �� �"������ �� ����� �� � ������� � ����� �� #�$�� $���� �%�& ����� '

����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��%��"� �� ����

���������� ���������( ���� �� ������ ����������� a = 2 � b = 3 ����� ������

���

Page 148: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� �������� ����� �� ��� A(−a; 0)� � ���� a > 0� �� � ������ � ����

AB� � �� ����� � ����� ����� ��� ��� B� �� � ������ ��� ������� BM �

BN � ������� � OB� �� ����� �� ����� ��� ���� M � N �������� �� ������ �������

����������� ���������� �� ����� ��������� �� �� ����������� �������� ���������

���� �� ��� �� � ����� ��������� ���� ������� �� ����� �� ���������

�� ����� � ���� �� �� ������� � ������� � ��� ����� �� �������� � ��� ��������

�� ��!

����� �� ��� �� �����

������ �����

O = (0, 0) ������ O = (0, 0) � �� ����� �� ������� �

����� �������� �� �����

������ �

a = 2 ������ a = 2 � �� ����� �� ������� � �����

�������� �� �����

������ �

��"���� �� �#� Oy ������ Y = Recta[(0,−1), (0, 1)] � �� �����

�� ������� � ����� �������� �� �����

������ �

A = (−a, 0) ������ A = (−a, 0) � �� ����� �� ������� �

����� �������� �� �����

������ �

$����� �� ��� B ����� ��

�#� Oy

������ B = Punto[Y ] � �� ����� �� �������

� ����� �������� �� �����

������ �

%����� �� ���� AB ������ r = Recta[A,B] � �� ����� �� ������

�� � ����� �������� �� �����

������ �

$����� ��� ����M1 �M2

����� �� ���� r

������ ��������������[B, b] � �� ����� �� ���

����� � ����� �������� �� �����

������ &�� "��

�������� ����� �� ����� c � ��� �����'���(

���)� *��������� ������ M = ���������[c, r]

� �� ����� �� ������� � �������� �������

�� �����

������ �

���

Page 149: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������ �� � ���� �� ��� �

�������������� c

��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �

� ��������� �� ����� ��������������� �� � � ���

������ ��� �������� ������ �� � ���� �� �!�

������ �����

"�������� � #����M2 ��$

�� N

��� ������� ����� � #���� M2� �� � � ���

������ ��� ���� ���������� � �#���� ������

��� � ������������ ������� N �� � ����� ��

������� % �������� #�������� � ������

�&' �

(����� ���� �� �� �� ����� �)��#�� #������ �� #�������� ��� ���������� #���

�������� � ���� ����*����� ���� �� � ��������� �� *��� �)��#�� ( ������������

�� �������� �� ����� ��� ��������� ����� �����������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

(����� � �#���� ��� ��

������ �� �� #����� M %

N

��� ������� �� � #���� M �� � � ��� �����

�� ��� % ���� ��� �� � �#���� ��� �� ����

���� + #������ �� ������ #��� � #���� N �����

�� ,!�

���

Page 150: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� ����

������ �����

������ ��� ����� � ���

��� �� �� ����� B

�� ����� �� ����� B �� �� ����� ���� �

�� ������ ����� �� ����� ��� ����� � ���

��� ��

���� ���� ���� ����

������� �� � ����� ��� ����� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������

��� �� ������ �� ������ � ��� ����� �������� ���������� ���� �� ����� ��������

a = 2 !�� "�##$�

���

Page 151: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� � ��� �����

������ �

��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ������

������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��

B �� � ����� �������� �� ������� �� �����

���� ���� � �� �� N �

!������ �� �"������ �� ����� �� � ������� � ����� �� #�$�� $���� �%�& ����� '

����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��%��"� �� ����

���������� ���������( ���� ��� �� a = 2 ����� ������

��� ������� )� �� � � ����� *��� ��� �� ��+����� 2a �a > 0� %�� ���� ��� �

����� �� ������ ���� O � �� �� �� �� � �"� Oy� !���� � �� �� O �� $� �������

� � ����� %�� ����� � � ����� *��� ��� ���� � � �� �� B, � � �����( � ����

���� �� �� �� B( �� $� ������� � �� ����� ���( ������ � BM � BN �� � �����

�� ��� �� b� � ����� � �����( �� �� ��� M � N ������� � � �����( �����

��� �� �� ��� ��� -�������� � ���� ���������� �� � ��� �� �� ��� ��( ������ ��

.��.����

���� ���� /��� �� � ���� ���������� ���� ��# ���� �& ������ � � �� ��������

�� ���� � ����+�� / ������� � ������( � ���� ����( �� ������� � �� ������ ���

#�$��0

���

Page 152: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� �����

������ �����

O = (0, 0) ������� O = (0, 0) �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

a = 1.5 ������� a = 1.5 �� � ����� �� ������� ����

�������� � �����

������ �

b = 1.5 ������� b = 1.5 �� � ����� �� ������� ����

�������� � �����

������ �

������ � �������������� ��

�������� 2a �a > 0� ���

��� �� � ������ �� �����

������� O �� �������� �

��� Oy

������� ���� ������[(a, 0), a] �� � ����� ��

������� ���� �������� � �����

������ � ����

��� �������� ������ � ����� c � ��� � �������

���������

!����� � ���� B ����� �

��������������

������� B = �����[c] �� � ����� �� �������

���� �������� � �����

������ �

����� �� �� �� ������

������ �����

!�"�� � ���� B #���� ��� ����� � ���� B$ �� � ���� ������

$ ��� ����� � �����$ ������� � ���� B �����

� �������������� c � �� ���� �$ � � �������

(3, 0)��

���

Page 153: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� �����

������ �����

������ ��� ���� r �� ����

� � � � ��� � O � B

������ r = �����[O,B] �� �� ����� �� �����

� ���� ����� ��� �� �����

������ �

������ � � ��� �M1 �M2

� ��� �� ���� r

������ ���� �������[B, b] �� �� ����� �� �

����� � ���� ����� ��� �� �����

������ �� � ��

�� ����� ������ �� ���� d � ��� ������������

����� ����������� ������ M = ��������[d, r]

�� �� ����� �� ����� � � ���� � ����� ��� ��

�����

������ �

����� �� �� �� ���������

������ �����

���� �� �� ���� ��!"�� ��

�������������� d

#��� � ��� �� � �� � ����� ������ �� ��! �

�� �������� �� ���$� ��������������% �� �� �����

����������� �&� ��� ������� �� �� '��� (�)(��

*�� ����� �� ��� M1 � �

� ���������� M

#��� �����$ � ��� �� ��� M1% �� �� �����

����������% ���� ������� ��� �� ����� �����

���% � � ��������� ������ M �� �� ������� ��

������ � "������� ����� ��� �� � ���

�+, �

*�� ����� �� ��� M2 � �

� N

#��� �����$ � ��� �� ��� M2% �� �� �����

����������% ���� ������� ��� �� ����� �����

���% � � ��������� ������ N �� �� ������� ��

������ � "������� ����� ��� �� � ���

�+, �

���

Page 154: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������ ���� ��� ����� ����� ������ �� �� �� ���� ����� ����

��������� � ����� ��������� ���� � � ����� � �� ������ � �� �� �����

����� �� ���� �� ����� ���� ���� ������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� �� ����� ������

���� � �� �� �� M �

N

���� ����� � �� �� M � �� ����� �� ��

������ � ���� ���� �� ����� ������ ����

�� �� ����� ������ ���� � �� �� N � ���

!�"#$�

����� �� ��� �������

������ �����

%���� ����� ������ � �����

������ � �� �� B

���� ��� � �� �� B �� ����� ����� �

� ����� ���� � ���� ����� ������ � �����

������

&��� � ������ �� ����� � ������ ���� �� ���� ���� ���' ��(

���� ���� � ������ �� ����� ��������� �������� ���� �� �����

���������� a = 1.5 � b = 1.5 � ��� !�)*$�

���

Page 155: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������� � ��� �����

������ �

��� ���� � ��� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ������

������ � ���� ���������� ��� ���� � �� �� M � ���� ���� � �� ��

B �� � ����� �������� �� ������� �� �����

���� ���� � �� �� N �

!������ �� �"������ �� ����� �� � ������� � ����� �� #�$�� $���� �%�& ����� '

����� ��� �� ������� �� �� � ������� ���� ������ �� ���� � � ��%��"� �� ����

���������� ���������( ���� ��� �� a = 1.5 � b = 1.5 ����� ���)��

��� ������� * ����� �� �� � ����� 2a �� ����� �� �� ��� %�� ��� �+������

���, �������� ���� � ������ � �� �"�� �� ������ ����� -��������( �� .��.���(

� ����������� �� � ��� M �� � ����� ������ �"��� �� ����� �� ������ ���� �

���

Page 156: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��������� ����� M ������� ��� ����� ��� � ���� �� ����� �����

�� ������ ��� �� �� ���� ���������� ���� �������� �� � ���� ��� ������������

��� ���� � �������

���� ���� �� �� ������������ ��� �������� ����� �

������� ��� �� �������� � �������� �� �������� ���

�� ������ A(x, 0) � B(0, y)� ��� ����� �� ����� ���

√x2 + y2 = 2a

!��� "�#$%� ���� ��� x2 + y2 = 4a2� � ����� � �������

� ����� A � � �� ��� � � ����� B ��������� �� �

�� ���� ��� �� � ���� ������ P (x, y)� ��� �������

����� � ������&������� x2 + y2 = 4a2� ���� ����

'� ������ � �� � �����&� �������� ���� � ���(� ���� � ���� �� ���� �� ��

���������� ��(�� ��� �������� � ������� � ������)

����� �� ��� �� �����

������ �����

a = 2 *������ a = 2 �� � ����� �� ������ � ����

��������� � �����

������ �

+����� � ������ O *������ O = ��������[EjeX,EjeY ] �� � ���

��� �� ������ � ���� ��������� � �����

������ �

,��-�� � ������&�������

x2 + y2 = 4a2*������ ��������������[O, 2a] �� � ����� ��

������ � ���� ��������� � �����

������ � .���

��� �������� ������ � ����� c � ��(� ������/

&��������

+����� � ����� P ����� �

������&�������

*������ P = ����[c] �� � ����� �� ������

� ���� ��������� � �����

������ �

���

Page 157: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� ����

������ �����

����� �� ��� P �� �� �� ����� �� ��� P � � �� ����� ����

�� �� ����� �� ���� �������� �� ��� P �����

�� �� ����� �� c ���� �������� � �� ���� ��

(2.86, 2.8)��

����� �� ����� �� ������

������ �����

��� �� �� ��� A ����� ��

��� Ox

������ A = (x(P ), 0) � �� ����� � �������

� ����� �������� �� � ���

������ �

������ �����

��� �� �� ��� B ����� ��

��� Oy

������ B = (0, y(P )) � �� ����� � �������

� ����� �������� �� � ���

������ �

������ AB ������ � �� ���[A,B] � �� ����� � ������

�� � ����� �������� �� � ���

������ � ��� ��

!��!���� ����� �� ����� b � �� "� �������

������ �� ������� ����

�� O "� �� b

������ � �� �������[O, b] � �� ����� � ���

����� � ����� �������� �� � ���

������ � ��� ��

!��!���� ����� �� ����� d � ��� �������#

������

��� �� �� ��� �� ���#

�� �� �� b � d

������ M = ��� �� �[b, d] � �� ����� � ���

����� � ����� �������� �� � ���

������ � ��� ��

!��!���� ����� �� ����� d � ��� �������#

������

������ OM ������ � �� ���[O,M ] � �� ����� � ������

�� � ����� �������� �� � ���

������ �

���

Page 158: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������ �� � ���� �� ��� �

�������������� c � � ����� d

��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �

� ��������� �� � �������������� � �� � ������

��������������� �� � � ��� ������ ��� �����

���� ������ �� � ��� !�"!#�

$%���� ���� �� �� �� ����� �&����� ������� �� ��������� ��� ���������� ����

�������� � ���� ����'����� ���� �� � ��������� �� '��� �&����� $ ������������

�� �������� �� ��%�� ��� ��������� ����� �����������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

$����� � ������ ��� ��

������ �� ����� M

��� �����%� �� � ����� M �� � � ��� �����

�� ��� � ���� ��� �� � ������ ��� �� �������

��� !�"(#�

����� �� ��� �������

������ �����

)��� � ����� P ��� ����� � ����� P �� � � ��� ������ � ���

����� ���� � ����� ����������� � ���������

������ c�

���

Page 159: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� ��������

��� �� ������ �� �������� �� ���� �������� ��������� ���� � �� �� ����� ��

a = 2 ����� ��� !�

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

"���� � ��#� �����

������ �

$ � ����� � ��#� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ��%�!�

&��'�� � ���� �������� $ � ����� � ���� M ( ���� ����� � ����

P �� � ����� �������� ��

������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� �������

���� ���� ��������� �� �� � ������� � �������! �� ������ �� �������� �� ����

�������� ��������� ���� ����� a = 2 ����� ���)!�

���

Page 160: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� �������� �� ������� � ����� a �� � ��� � ������ � � � � �������

����� ��� �� � �� ����� �� �� ���� � �������� �� �� ������� �� ����

���� �� ��� ����� ������ ��������� � �� ���� ������ ����� � ������������

�� �� � �� P � ��� ������� �� �������� �� ��� ������ � �� ���� M � �� �������

�� ��� ����� �� � �� P �� �������� !��� ��� ������ �� ����� ���������

���� �� !��� �� � � ��� ���"���� � � �#������ �$ ����� �� ����� �����

�� ����� ������

���� ����� ��� ����� ����� �� ������� ���� �

� ���� � � �� ������� �� ������� �� � ������ ��

�� � ��� A(x, 0) B(0, y)� %�$ � ��� �� � ���� � �

√x2 + y2 = a

&'��� (�()*� ��� ��� x2 + y2 = a2� !� ����� �� �������

�� � �� A �� ����� �� � �� B ��������� �

��� ������� � �� � ��� P (x, y)� � � �������

���� �� ���� �+������� x2 + y2 = a2� ���� ����

, ������� �� �� �����+ ������� ���� � � ��� ����� �� �� ���� �� ���

��� ������ #���� � � �������� �� ����� � ��� ��-

����� �� ��� �� �����

������ �����

a = 2 .������ a = 2 �� �� ����� �� ������� � ��

�������� �� ������

������ �

/����� �� ���� �+�������

x2 + y2 = a2.������ ��������������[(0, 0), a] �� �� ����� ��

������� � �� �������� �� ������

������ � 0��

� � ������� ������ �� ��� � c � ���� ���� ��

+��������

1����� �� � �� P ���� ��

���� �+�������

.������ P = �����[c] �� �� ����� �� �������

� �� �������� �� ������

������ �

���

Page 161: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� �� ����

������ �����

����� �� ��� P �� �� �� ����� �� ��� P � � �� ����� ����

�� �� ����� �� ���� �������� �� ��� P �����

�� �� ����� �� c ���� �������� � �� ���� ��

(2.23, 2.01)��

����� �� ����� �� ������

������ �����

��� �� �� ��� A ����� ��

��� Ox

������ A = (x(P ), 0) � �� ����� � �������

� ����� �������� �� � ���

������ �

��� �� �� ��� B ����� ��

��� Oy

������ B = (0, y(P )) � �� ����� � �������

� ����� �������� �� � ���

������ �

������ �����

������ AB ������ � �� ���[A,B] � �� ����� � ������

�� � ����� �������� �� � ���

������ � ��� ��

!��!���� ����� �� ����� b � �� "� �������

������ BP ������ � �� ���[B,P ] � �� ����� � �������

� ����� �������� �� � ���

������ �

������ �� ������� ���� �

b �� ���� ��� P

������ � �� �������[P, b] � �� ����� � ���

����� � ����� �������� �� � ���

������ � ��� ��

!��!���� ����� �� ����� f � �� "� �������#

�����

��� �� �� ��� M ������ M = ��� �� �[b, f ] � �� ����� � ���

����� � ����� �������� �� � ���

������ �

������ PM ������ � �� ���[P,M ] � �� ����� � �������

� ����� �������� �� � ���

������ �

���

Page 162: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����� �� ��� ���� �����

������ �����

������ �� � ���� �� ��� �

�������������� c � � ����� f

��� ����� � ����� ������� ���� ��� ��� �

� ��������� �� � �������������� � �� � ������

��������������� �� � � ��� ������ ��� �����

���� ������ �� � ��� !�"!#�

$%���� ���� �� �� �� ����� �&����� ������� �� ��������� ��� ���������� ����

�������� � ���� ����'����� ���� �� � ��������� �� '��� �&����� $ ������������

�� �������� �� ��%�� ��� ��������� ����� �����������

������� ��������

����� �� ��� ���� �����

������ �����

$����� � ������ ��� ��

������ �� ����� M

��� �����%� �� � ����� M �� � � ��� �����

�� ��� � ���� ��� �� � ������ ��� �� �������

��� !�"(#�

����� �� ��� �������

������ �����

)��� � ����� P ��� ����� � ����� P �� � � ��� ������ � ���

����� ���� � ����� ����������� � ���������

������ c�

���

Page 163: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

���� ���� ���� ����

������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� ��������

��� �� ������ �� �������� �� ���� �������� ��������� ���� � �� �� ����� ��

a = 3 ����� ���� �

������� ������ �

����� �� ��� ���� �����

������ �����

!���� � ��"� �����

������ �

# � ����� � ��"� ����� ������ � �� � ���

��� �� ����������� ����� ��$% �

&��'�� � ���� �������� # � ����� � ���� M ( ���� ����� � ����

P �� � ����� �������� ��

������� �� ������ �� ������ �������� �� ���� �� ���� ���� ���� �������

���� ���� ��������� �� �� � ������� � ������� �� ������ �� �������� �� ����

�������� ��������� ���� ����� a = 3 ����� ���$ �

���

Page 164: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

����������

���������� ������� �� ���� � �

��

��

��

��

��

��

���

Page 165: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��

��

��

���

���

���

���

��

��

���

���

Page 166: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ���

���������� ������� �� ���� � ���

�� (x2 + y2)3 = a2y4

�� x2(x2 + y2)3 = 4a2y6

�� x2(r − x) = y2(x+ r)

�� (x2 + y2)3 = 4a2x2y2

�� (x2 + y2)3 = 4a2x4

� x2(x− r) = y2(2r − x)

�� (x− r)2(x2 + y2)3 = r2x4y2

�� (x2+y2)(x2+y2−2rx)2 = 4r2x2y2

� x2 + y2 − 2rx− ry = 0

��� (x2 + y2)3 = 4r2x4

��� (x2+y2)(x2+y2−2rx) = 2ry(x+y)

���

Page 167: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�����������

��� ������� � ����� ����� ������ �� ������� ���������������

���� ������������������������

��� ����� !� ��" #� $�%�����& �� '�%��(�)� ����)(�*�� �# � � ��

� �� � +,-� .�/012�

�3� � +�#�� ��4���� *��&���% ����5��% '�%'���� 3� �������

���������������������������������������� ��� ��!������"

�6� � +�#�� ��4���� �&% ��� *%�%� ���7��*% $��� *���� ��$�& ��

��'���&� ��������������������� ������������� �������������

�8� ��9:���� *9����+� '�%��(�)� ����)(�*�� �# � � �� � :+�� �; , �

.�/1<2�

�0� $�=�� � >��� '�%��(�)� ����)(�*� *%� ��(?���(�*�� (�+ + #�

� ,��, ����� @�,���# #� * ��, �+� �� "��+ #�# ��, ��� #� $ ��� $��-�

.�<<12�

���

Page 168: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

�������� �

�� ������ ����������

�� �� ��� ������ ��� �� ����� ���� ������ �� ������� �� ���� �� ��� ��

������ ��� ����� ����� ��� ������ ����������� �� ��� ������� ���� �������

��� ������ � �� ��� �� ����� ����� ���� ��������� ���� �� �������� �������

��� ������� ��� � �����

������

���������� �� ������ ����� ����� ���� �� ������ ������ ������ ��� �

� �� � ���� �� �������������������������� � �������������

������������� ���� �������������������������������

��

������

������ �� ������ �������

� ��� ��� ���� ��������������

���� ���� �� ������

�� �� �� !�����

���������������� ��������"���� ������������#�

�������$��� �� �������

������ ����� �� ��������%���&����#����

��

���

Page 169: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

��������� �� ����� �������

� ���� ������� � ����������

�� ����������������

��������������������������� � ������

������������������������

������������������� � ����� �������������

�������

������������������������������������

��

������

��������� �� ����� ������� �����

� �� � ����������!����

�� ����������

�� �����������!��������� ���� �

��� ��� ������������ ����

�������"������� ���#��������� �$��

�������%����������������

�������������������������������������!���&��

��������������������������������������

�����"���������� ����������������%�����������

���

��������!�

��

���

Page 170: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

������

��������� �� ����� ������

� ���� �������� �����

��������������������������������������������������������

����������������������������������� ��������

���������������������������������������������������

�� ��������������� ��������������� ����������

�� ������������������� ������

��������������� ��������������������������������

��������������� ���������������������������������

�������������� ������������������������������

����� �������������!���������

����� �������������!���������

�������������� ���������������������"�#���

��������$�����%&'('�

)����)*��

����+���!����������+��!���,��

�����������$*-���'������$����.�-���'���

�������'�����$*-����'�����$����.�-�����

����+)�����*���������������

�����+�����/��������������������������

��������������+������������������������

�����������!��������.*(�-���$*-�����

�����������!����$�������.0-�����

�����+����������������+����������

�����+����������������+����������

����!������$*-�������.0-����

����!������$*-�������.0-����

����+���� ���������+��!��� �����

����+�� �� ���������+������� ��������

��1

���

Page 171: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

��� ������� �� � �� ����������

�� ������ ���������� ���� � ������� �� ���� ���� �� ������

� ���� �� ���� �� ��� ��������� � � ���� � ����������� ����� ���

������� � �� �� � ������ ����� ���

������

��������� �� ���� ����������� ������ ��� �� ������ �� �������� �� �� ��� ���� ��������� �����

�����

� �� � �������������� � ������������������� �!�������������

��� �!���������������������"#$%��������&

���

Page 172: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 173: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 174: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre

Buy your books fast and straightforward online - at one of world’s

fastest growing online book stores! Environmentally sound due to

Print-on-Demand technologies.

Buy your books online at

www.get-morebooks.com

¡Compre sus libros rápido y directo en internet, en una de las

librerías en línea con mayor crecimiento en el mundo! Producción

que protege el medio ambiente a través de las tecnologías de

impresión bajo demanda.

Compre sus libros online en

www.morebooks.esVDM Verlagsservicegesellschaft mbH

Heinrich-Böcking-Str. 6-8 Telefon: +49 681 3720 174 [email protected] - 66121 Saarbrücken Telefax: +49 681 3720 1749 www.vdm-vsg.de

Page 175: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 176: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre
Page 177: Dos Problemas Fundamentales de Geometría Analítica con Software Libre