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3.0
CURSO
Salcedo S. Henry S.
1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación
que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir,
una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o
polinomio cuadrático. La expresión apropiada general de una ecuación cuadrática de una
variable es:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≠ 0
- Los coeficientes de la ecuación son a y b.
- El término independiente es c.
- Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa.
- Si b=0 o c=0 la ecuación es incompleta.
Ejemplos de ecuaciones e segundo grado:
ϡ 2𝑥2 − 4 = 0
ϡ −𝑥2 + 4𝑥 = 0
ϡ 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
ϡ 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0
ϡ −𝑥2 + 7𝑥 − 10 = 0
ϡ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0
Métodos de Resolución de ecuaciones de segundo grado
Resolución de Ecuaciones incompletas
Resolución de Ecuaciones de segundo grado por descomposición en factores
Completando el cuadrado perfecto
Formula general
1. Resolución de Ecuaciones incompletas
Cuando una ecuación de segundo grado es incompleta, sus raíces o soluciones se determinan
fácilmente.
Resolución de 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+bx=0 tiene dos soluciones: x1=0 y
x2=-b/a Se resuelve sacando factor común a
la x e igualando los dos factores a cero.
Ejemplo:
1.- x2-5x=0
2.- x(x-5)=0
3.- x1=0; x2=5
Solución de una Ecuación
El valor de la letra que hace que
la igualdad se verifique se llama
solución de la ecuación.
Resolver una ecuación es
encontrar la solución o
soluciones.
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Salcedo S. Henry S.
2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ejercicios resueltos:
1.- 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎
2.- 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 = 𝟎
3.- 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎
Proposiciones Razones
1. 2𝑥2 − 6𝑥 = 0 Dato
2. 2𝑥(𝑥 − 3) = 0 Factor común
3. 2𝑥1 = 0 Igualación de las raíces
4. 𝑥2 − 3 = 0
5. 𝑥2 = 3 ; 𝑥1 = 0 Def.
Resolución de 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+c=0, puede no tener solución o
tener dos soluciones distintas de la forma 𝑥 = ±√−𝑐
𝑎
Ejemplo: − 3𝑥2 − 9 = 0; −𝑥2 + 10; 𝑥2 + 18 = 20; 𝑥2 + 4 = 4𝑥2;
Ejercicios resueltos:
1.- 𝟐
𝟓𝒙𝟐 = 𝟎
Proposiciones Razones
1. 2
5𝑥2 = 0 Dato
2. 2𝑥2 = 0 T: a/b=c ≡ 𝑎 = 𝑐. 𝑏 ; 𝑏 ≠ 0
3. 𝑥2 = 0 T: a.b=c ≡ 𝑎 =𝑐
𝑏; 𝑏 ≠ 0
4. 𝑥 = ±√0 T: a2=0 ≡ a=√0
5. 𝑥 = 0 Def.
Proposiciones Razones
1. 3𝑥2 + 2𝑥 = 0 Dato
2. 𝑥(3𝑥 + 2) = 0 Factor común
3. 𝑥1 = 0 Igualación de los factores
4. 3𝑥2 + 2 = 0
5. 𝑥2 = −2/3 ; 𝑥1 = 0 Def.
Proposiciones Razones
6. 𝑥2 − 5𝑥 = 0 Dato
7. 𝑥(𝑥 − 5) = 0 Factor común
8. 𝑥1 = 0 Igualación de las raíces
9. 𝑥2 − 5 = 0
10. 𝑥2 = 5 ; 𝑥1 = 0 Def.
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2.- 𝟒𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎
Proposiciones Razones
1. 4𝑥2 − 9 = 0 Dato
2. 4𝑥2 = 9 T: a±b=c ≡ 𝑎 = 𝑐 ∓ 𝑏
3. 𝑥2 = 9/4 T: a.b=c ≡ 𝑎 =𝑐
𝑏; 𝑏 ≠ 0
4. 𝑥 = ±√94⁄ T: a2=0 ≡ a=√0
5. 𝑥 = ± 32⁄ Def.
3.- 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎
Proposiciones Razones
1. 16𝑥2 − 25 = 0 Dato
2. 16𝑥2 = 25 T: a±b=c ≡ 𝑎 = 𝑐 ∓ 𝑏
3. 𝑥2 = 25/16 T: a.b=c ≡ 𝑎 =𝑐
𝑏; 𝑏 ≠ 0
4. 𝑥 = ±√2516⁄ T: a2=0 ≡ a=√0
5. 𝑥 = ± 54⁄ Def.
4.- −𝟗𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎
Proposiciones Razones
1. −9𝑥2 + 4 = 0 Dato
2. −9𝑥2 = −4 T: a±b=c ≡ 𝑎 = 𝑐 ∓ 𝑏
3. 𝑥2 = −4/−9 T: a.b=c ≡ 𝑎 =𝑐
𝑏; 𝑏 ≠ 0
4. 𝑥 = ±√49⁄ T: a2=0 ≡ a=√0
5. 𝑥 = ± 23⁄ Def.
Ejercicios para resolver:
1.
2.
3.
4.
5.
2. Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Por Descomposición en
Factores
Se le llama ecuaciones completas de 2° a la forma ax2 + bx + c = 0 con a, b, c distintos de
0, cuando se tiene una ecuación completa y el primer miembro de la ecuación puede
PARA RECORDAR
Si b=0 o c=0
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 → √−𝒄
𝒂
o –c/a>0, dos soluciones
o –c/a<0, no hay solución
o c=0, una solución doble , x=0
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4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
descomponerse en factores, la determinación de las raíces es inmediata, basta con igualar a
cero uno de los factores encontrados.
Ejemplo: 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎
- buscamos 2 números que multiplicados den -24 (8, -3)
- sumados algebraicamente den 5 (8, -3)
- la ecuación dad se puede escribir (x+8)(x-3)
- x+8=0 ; x-3=0
- 𝒙𝟏 = −𝟖 ; 𝒙𝟐 = 𝟑
Ejercicios resueltos:
1.- 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝟏 = 𝟎
2.- 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟑𝟎 = 𝟎
3.- 𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔𝟎 = 𝟎
3.- 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟒 = 𝒚
Proposiciones Razones
1. 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0 Dato
2. (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) = 0 Tri. x2+px+q
3. 𝑥1 − 3 = 0 Igualación a cero
4. 𝑥2 + 7 = 0
5. 𝑥2 = −7 ; 𝑥1 = 3 Def.
Proposiciones Razones
1. 𝑥2 − 𝑥 − 30 = 0 Dato
2. (𝑥 + 5)(𝑥 − 6) = 0 Tri. x2+px+q
3. 𝑥1 + 5 = 0 Igualación a cero
4. 𝑥2 − 6 = 0
5. 𝑥2 = 6 ; 𝑥1 = −5 Def.
Proposiciones Razones
1. 𝑥2 + 17𝑥 + 60 = 0 Dato
2. (𝑥 + 12)(𝑥 + 5) = 0 Tri. x2+px+q
3. 𝑥1 + 12 = 0 Igualación a cero
4. 𝑥2 + 5 = 0
5. 𝑥2 = −12 ; 𝑥1 = −5 Def.
Proposiciones Razones
1. 3y2 − 14 = y Dato
2. 3y2 − y − 14 = 0 Igualamos a cero
3. (3𝑥 − 7)(𝑥 + 2) = 0 Tri. mx2+px+q
Se debe tener en cuenta que:
No siempre es posible la
descomposición en factores, por
ejemplo x2+x+1.
Debido a esto necesitamos
estudiar otros métodos para la
resolución de ecuaciones de
segundo grado.
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Ejercicios para resolver:
1. 14x2 − 13x − 12 = 0
2. 30x2 + 19x − 5 = 0
3. x2 − 5x + 6 = 0
4. x2 + x + 1 = 0
5. 2x2 − 7x + 3 = 0
6. 18 = 6x + x(x − 13)
4. 3𝑥1 − 7 = 0 Igualación a cero
5. 𝑥2 + 2 = 0
6. 𝑥2 = −2 ; 𝑥1 = 73⁄ Def.
