Ecuaciones de valor

Escuela Nacional de Ciencias Comerciales “Francisco Marroquín”, Morales, Izabal. [William O. de León Z., Catedrático]

Metodología para la resolución de problemas

En todo campo del saber, y específicamente en las matemáticas financieras, un altoporcentaje del trabajo consiste en el manejo de problemas. Según Albert Einstein, “un problemaes una situación interesante”; por tanto, su resolución requiere procedimientos y metodologíasadecuadas.

Aquí proponemos el camino sugerido por el ilustre físico, autor de la teoría de larelatividad, que nos lleva a lograr éxito en la solución de problemas. Los pasos que debenseguirse son los siguientes:

a) Entender el problemab) Plantear el problemac) Resolver el problemad) Interpretar resultados

a) Entender el problema: se refiere a la etapa crítica en todo problema, pues para ello no secuenta ni con reglas ni con modelos que permitan a la persona entender el problema. Siexisten procedimientos que hacen posible un buen acercamiento a él, como, entre otros,una buena lectura (de ahí la expresión “comprensión de lectura”), concentración en loque se lee, no preocuparse en ese momento por el cómo se va a resolver el problema y unconocimiento de cada uno de los términos que intervienen en el enunciado del problema.

b) Plantear el problema: corresponde al paso que debe darse una vez entendido elenunciado del problema. Consiste en interrelacionar las proposiciones que conforman elproblema en términos de ecuaciones, desigualdades o cualquier otra expresiónmatemática que sustituya a la proposición o proposiciones del enunciado. Si el problemaha sido entendido, el planteamiento no debe ofrecer mayor dificultad.

c) Resolver el problema: consiste en ejecutar las operaciones matemáticas propias parahallar el valor de la variable o variables involucradas en el problema y expresadas en suplanteamiento. Aquí desempeña un papel importante el manejo de la tecnologíacomputacional que permite resolver las operaciones planteadas y dar solución a lapregunta del problema.

d) Interpretar resultados: todo problema contiene una pregunta que, por lo general, sepresenta con una variable. Una vez resuelto el problema, o hallado el valor o valores de lavariable, debe no solamente informarse sobre este valor numérico sino que también sedebe interpretar financieramente ese valor, indicando lo que significa de acuerdo con elenunciado del problema.

Se sugiere al estudiante que no intente mecanizar procedimientos para resolver problemas, sinoque plantee diferentes alternativas de resolución justificando en cada caso su decisión deresolverlo de una u otra manera.

Documento de Apoyo al Estudiante [Cálculo Mercantil y Financiero] www.williamdeleon.wordpress.com Página 1 de 10

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Son procedimientos matemáticos que permiten calcular el valor de las nuevas obligaciones en renegociaciones de deudas.Se trata de igualar el valor de las viejas obligaciones con el valor de las nuevas obligaciones. Se acostumbra escribir en laparte superior de la gráfica de tiempo-valor, los valores de las viejas obligaciones y en la parte inferior, el valor de las nuevasobligaciones.

1.Cuando la fecha de valuación o fecha focal corresponde o es posterior al vencimiento de la última obligación. Entonces tendremos una serie de montos para sumar.

2.Cuando la fecha focal corresponde o es anterior al vencimiento de la primera obligación. Entonces tendremos una serie de valores actuales para sumar.

3.Cuando la fecha focal corresponde a una fecha intermedia entre los vencimientos de las distintas obligaciones. Entonces tendremos una suma de montos y valores actuales según sean los vencimientos con relación a la fecha focal.

Principalmente se utiliza en la consolidación de deudas, es decir cuando el deudor considera conveniente queuna serie de obligaciones las puede pagar de una sola vez o en otra cantidad de pagos, diferentes a los pagosinicialmente acordados. Para ello es importante establecer un nuevo acuerdo con el acreedor y fijar lostérminos de la operación. Entre estos términos los más importantes son: la fecha focal y la tasa de interés aaplicarse en la transacción.

1.Establecer las fechas de vencimiento de cada una de las obligaciones a sustituir, con sus respectivos valores al vencimiento.

2. Determinar la fecha de valuación o fecha focal.

3.Valuar en la fecha focal, cada una de las obligaciones a sustituir, ya sea aplicando montos o valores actuales, luego sumar todos esos nuevos valores y determinar así el total de las obligaciones a la fecha focal, consolidando en una sola cifra el total de todas las obligaciones.

4. Si es necesario, el total consolidado en la fecha focal, trasladarlo hacia los nuevos vencimientos.




• El 26 de agosto 2013 vence un pagaré de Q15,000.00 que se emitió desde el 14 de diciembre del año2012 y devenga el 18% de interés anual. El 18 de octubre 2013 vencerá una letra de cambio con valornominal de Q20,000.00. Y el 29 de diciembre 2013 tiene que pagarse una factura de Q18,000.00 emitidaa un año plazo, que devenga el 20% de interés anual. Todas estas obligaciones se van a consolidar enuna sola, a la cual se le fijó como fecha de pago el 18 de octubre del 2013 y se estableció en la operaciónel 12% semestral de interés simple exacto.

Primero se determina el valor al vencimiento del pagaré que fue emitido el 14-12-2012 y vence el 26-08-2013,devengando el 18% de interés anual (método ordinario)

)1( niPS +=FACTORES ESTANDARIZACIÓN

P = Q15,000.00 Q15,000.00n = 255 días 255/360 = 0.70833i = 18% anual 18/100 = 0.18S = ?

El tiempo (n) =Ene. Mar. Abril

31-14 + 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 26255 días

Dic. Feb. May. Jun. Jul. Ago.

n =

S=Q 15 ,000. 00(1+0.70833∗0 .18 )


GRÁFICA PRELIMINAR DE TIEMPO Y VALOR

Pagaré que vence el 26-08-2013

Fecha FocalLetra de Cambio Vence 18-10-2013

Factura que vence el 29-12-2013

Q15,000.00 + intereses

Q20,000.00 Q18,000.00+ intereses

Procedimiento Lógico

S=Q 15 ,000.00(1+0.1274994 )

S=Q 15 ,000. 00(1.1274994 )

S=Q16 ,912.49



Ahora nos corresponde determinar el valor al vencimiento de la factura que posee un valor de Q18,000.00emitida a un año plazo con una tasa del 20% de interés anual.

S=P 1niFACTORES ESTANDARIZACIÓN

P = Q18,000.00 Q18,000.00n = 1 año 1 añoi = 20% anual 20/100 = 0.20S = ?

S=Q 18 ,000 .00 11∗0 . 20 S=Q 18 ,000 .00 10 .20 S=Q 18 ,000 .00 1 . 20S=Q21 ,600. 00

Como ya se establecieron los valores de las obligaciones hasta la fecha de vencimiento procedemos aproyectar la siguiente gráfica de tiempo y valor.

Tiempo del Pagaré que vence el 26-08-2013 hasta la fecha focal 18-10-2013(31 - 26) + 30 + 18 = 53 días. [Este es el valor de n]

Tiempo: Factura que vence el 29-12-2013Del 18-10-2013 al 29-12-2013 Aquí se buscará el valor actual en la operación final porque la fecha focal (18-10-2013) es anterior al vencimiento (29-12-2013).

(31 - 18) + 30 + 29 = 72 días. [Este es el valor de n] se deduce que la factura será pagada con 72 días deanticipación.


n = 72 días

n = 53 días

GRÁFICA DE TIEMPO Y VALOR

Pagaré que vence el 26-08-2013

Fecha FocalLetra de Cambio Vence 18-10-2013

Factura que vence el 29-12-2013

Q16,912.49 Q20,000.00 Q21,600.00

¡¡Como hepensado!!

¿?

¿?



[Este ejercicio corresponde al caso número tres porque la fecha focal es intermedia entre losvencimientos de las obligaciones, por tal razón tendremos una suma de montos y valor actual]

Pagaré que vence el 26-08-201 3 [Método Exacto]

FACTORES ESTANDARIZACIÓNP = Q16,912.49 Q16,912.49n = 53 días 53/366 = 0.14480i = 12% semestral 12/100 = 0.12 * 2 = 0.24S = ?

S=Q16 ,912.49(1+0.14480∗0.24)S=Q16 ,912.49(1+0.03475)S=Q16 ,912.49(1.03475)S=Q17 ,500.19

Letra de cambio que vence el 18-10-201 3 Se queda igual porque su valor nominal Q20,000.00 no gana intereses, por lo cual, la cantidad permanecehasta su vencimiento como VF o S.

Factura que vence el 29-12-201 3 [Método Exacto]Se aplicará el procedimiento para deducir el valor actual porque se pagará antes de su vencimiento.

FACTORES ESTANDARIZACIÓNS = Q21,600.00 Q21,600.00n = 72 días 72/366 = 0.19672i = 12% semestral 12/100 = 0.12 * 2 = 0.24VA = ?

VA=Q 21 ,600 . 00

1+0 . 19672∗0 . 24

La deuda a pagar según las condiciones renegociadas asciende al total consolidado Q58,126.42


TOTAL A PAGAR EN LA FECHA FOCAL

Q17,500.19Q20,000.00Q20,626.23Q58,126.42

S=P 1ni

VA=S

1+ni

VA=Q 21 ,600 .001+0 . 04721

VA=Q21 ,600 .00

1 .04721

VA=Q20 ,626 . 23




GRÁFICA FINAL - TIEMPO Y VALOR

PagaréVence 26-08-2013

Letra de cambioVence 18-10-2013

Fecha Focal

FacturaVence 29-12-2013

Q16,912.49 Q20,000.00 Q21,600.00

Q17,500.19

Q20,626.23

n = 53 días

n = 72 días

Q58,126.42Total a pagar en fecha focal ..................



Letra de cambio vence dentro de

90 días

Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 60 días.

Letra de Cambio Vence dentro de

2 añosFecha Focal

Q800.00 Q3,300.00 Q5,000.00


n = 630 días

n = 300 días ?

?


Una persona en pago de una deuda, firmó tres letras de cambio. La primera con valor nominal de Q 800.00 yvence dentro de 90 días, la segunda con valor nominal de Q3,300.00 vence dentro de 1 año y 60 días; la terceraletra con valor de Q5,000.00 y vence dentro de 2 años. El deudor acuerda con el acreedor cancelar las tres letrasen la fecha de vencimiento de la última, reconociendo en la operación el 20.25% anual de interés simple. ¿Cuántodebe pagarse en la fecha focal?

Analizamos a qué caso pertenece esta ecuación de valor: Como la fecha de valuación o fecha focal corresponde alvencimiento de la última obligación, pertenece al caso número 1. Por lo tanto las operaciones que se aplicarán esel cálculo del monto y al final en la fecha focal tendremos la suma de montos.

Primera Letra que vence dentro de 90 días.

S=P1ni

FACTORES ESTANDARIZACIÓNP = Q800.00 Q800.00n = 630 días 630/360 = 1.75i = 20.25% anual 20.25/100 = 0.2025S = ?

S=Q 800.00 11.75∗0 . 2025S=Q 800.00 10 .354375S=Q 800.00 1 .354375S=Q1,083 .5



TOTAL A PAGAR EN FECHA FOCAL:


90 días

Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 60 días.


2 añosFecha Focal

Q800.00 Q3,300.00 Q5,000.00

n = 630 díasn = 300 días Q3,856.84

Q1,083.50Q9,940.34

Procedimiento lógicoGRÁFICA FINAL DE TIEMPO Y

VALOR


Segunda Letra que vence dentro de 1 año y 60 díasS=P1ni

FACTORES ESTANDARIZACIÓNP = Q3,300.00 Q3,300.00n = 300 días 300/360 = 0.83333i = 20.25% anual 20.25/100 = 0.2025S = ?

S=Q3,300 .0010 .83333∗0 .2025 S=Q3,300 .0010 .16874 S=Q3,300 .001.16874 S=Q 3,856 .84

Tercera Letra que vence dentro de 2 añosEsta obligación financiera se deja con la misma cantidad porque su fecha de vencimiento no cambió en el

acuerdo entre deudor y acreedor y además no se le aplica ninguna tasa de interés adicional.





100 días

Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 3 meses.


2 1/4 añosFecha Focal

Q980.00 Q3,600.00 Q4,750.00


n = 710 días

n = 360 días = 1 año ?

?


Una persona en pago de una deuda, firmó tres letras de cambio. La primera con valor nominal de Q 980.00 yvence dentro de 100 días, la segunda con valor nominal de Q3,600.00 vence dentro de 1 año y 3 meses; la terceraletra con valor de Q4,750.00 y vence dentro de 2 1/4 años. El deudor acuerda con el acreedor la cancelación delas obligaciones en la fecha de vencimiento de la última, aplicándole el 13.65% semestral de interés simple.¿Cuánto debe pagarse en la fecha focal?

Analizamos a qué caso pertenece esta ecuación de valor: Como la fecha de valuación o fecha focal corresponde alvencimiento de la última obligación, pertenece al caso número 1. Por lo tanto las operaciones que se aplicarán esel cálculo del monto y al final en la fecha focal tendremos la suma de montos.

Primera Letra que vence dentro de 100 días.

S=P1ni

FACTORES ESTANDARIZACIÓNP = Q980.00 Q980.00n = 710 días 710/360 = 1.97222i = 13.65% semestral 13.65/100 = 0.1365 * 2 = 0.273S = ?

S=Q 980 .0011 .97222∗0 .273S=Q 980 .0010 .53841S=Q 980 .00(1 .53841)S=Q 1,507.64



TOTAL A PAGAR EN FECHA FOCAL:

Letra de cambio vence dentro de 100 días

Letra de Cambio Vence dentro de 1 año y 3 meses.


2 1/4 añosFecha Focal

Q980.00 Q3,600.00 Q4,750.00

n = 710 díasn = 360 días = 1 año

Q4,750.00Q4,582.80Q1,507.64

Q10,840.44

Procedimiento lógico

GRÁFICA FINAL DE TIEMPO Y VALOR


Segunda Letra que vence dentro de 1 año y 3 meses

S=P1ni

FACTORES ESTANDARIZACIÓNP = Q3,600.00 Q3,600.00n = 1 año 1 añoi = 13.65% semestral 13.65/100 = 0.1365 * 2 = 0.273S = ?

S=Q3,600 .0011∗0 .273S=Q3,600 .0010 .273 S=Q3,600 .001.273 S=Q 4,582 .80

Tercera Letra que vence dentro de 2 1/4 añosEsta obligación financiera se deja con la misma cantidad porque su fecha de vencimiento no cambió en el acuerdoentre deudor y acreedor y además no se le aplica ninguna tasa de interés adicional.

BIBLIOGRAFÍAApuntes de Matemática Financiera IRivera Avila, Jorge LuisGuatemala, 2003



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