ECUACIONES DIFERENCIALES

SANDY HERNÁNDEZJESÚS MONTERROSA

KENIA SIERRABILMA MONTERROSA

Historia • una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus

derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f'(x), la solución será la función exponencial , ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.

• En su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la resolución de cuestiones relacionadas con la física y con la geometría: las leyes del movimiento planetario (en el que intervienen distancias, velocidades y aceleraciones; o lo que es lo mismo, leyes de posición y sus derivadas primeras y segundas en función del tiempo); problemas relacionados con el equilibrio de un cable en suspensión (catenaria); la trayectoria de caída en el menor tiempo posible entre dos puntos dados (braquistocrona); o las leyes de difusión del calor.

• La fascinación de matemáticos y físicos por este tipo de ecuaciones fue debida tanto a su utilidad práctica, como a la dificultad de encontrar soluciones analíticas en la inmensa mayoría de los casos: cada nuevo problema resoluble analíticamente descubierto, adquiría carta de naturaleza propia y notoriedad inmediata

• Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del cálculo de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (o fluentes). Sin embargo, este problema analítico de la integración de ecuaciones diferenciales de primer orden corresponde a un problema geométrico formulado con anterioridad: el método inverso de tangentes; esto es, cómo encontrar una curva caracterizada por una propiedad dada de sus tangentes.

• El estudio y resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales tuvo un gran impulso con las ideas de LaGrange a quien se le debe la aplicación del método de variación de parámetro a un sistema de tres ecuaciones de segundo orden en 1808.

• Gottfried Wilhlm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann Bernoulli (1667-1748) llevaron hacia la integración (reducción a cuadraturas) de ecuaciones diferenciales homogéneas y de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

• Varios problemas geométricos y mecánicos, provocaron que los matemáticos comenzaran a pensar acerca de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno. Este es el caso de Jacopo Riccati (1676-1754) quien presentó en 1723 la ecuación que lleva su nombre: x^m d^2 x=d^2 y+dy^2 resuelta por Daniel Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler.

• Las bases de la teoría general de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables fueron desarrolladas en 1765 por Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Jean le Rond D'Alembert (1717-1783). Usando dos métodos diferentes, mostraron que n integrales particulares de la ecuación homogénea determinan la integral completa de la ecuación no homogénea a través de n cuadraturas. En 1776, Lagrange nota que este resultado puede también ser demostrado usando el método de variación de la constante, que se convirtió en el método general más utilizado.

• En 1715, Brook Taylor (1685-1731) ya se había encontrado con una solución en el caso de las ecuaciones de segundo grado, y notado su carácter singular. En 1758, Euler enfatizó la paradoja dual de tales soluciones singulares en el cálculo integral. Estas soluciones son obtenidas no por integración, sino por diferenciación de ecuaciones diferenciales. A medida que se comienzan a estudiar sistemas físicos más complejos, por ejemplo en la astronomía, se requiere resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Otros matemáticos que hicieron aportes a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales

• Friedrich Bessel:Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.• Pafnuti ChebyshovEl ruso Pafnuti Liwovich Chebyshov (1821-1894) trabaja en teoría de números (números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshov.• Alexis ClairautEl francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría, establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley.

• Peter DirichletPeter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier.• Joseph FourierEl francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto (1798).• Ferdinand FrobeniusEl alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales; aportes en álgebra y teoría de grupos.• Karl GaussEl alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.

• George GreenEl inglés George Green (1793-1841) hace aportes a la física matemática, óptica, electricidad y magnetismo, originó el término “potencial”, función de Green.• Oliver HeavisideEl inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo, sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.• Charles HermiteEl francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números, prueba (1873) la trascendencia del número e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.• David HilbertMatemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos problemas, algunos todavía sin solución.

• Christian HuygensMatemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudia vibraciones, óptica, teoría matemática de ondas. Construye un reloj de péndulo basado en la cicloide (1673), astronomía.• Johannes KeplerEl alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría, especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario.• Edmond LaguerreEl francés Edmond Laguerre (1834-1886) hace aportes al análisis matemático, variable compleja, funciones analíticas, polinomios de Laguerre.• Pierre de LaplaceEl francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hace aportes a la mecánica, astronomía, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de Laplace descubierta alrededor de 1787, probabilidad.

• Adrien LegendreEl francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hace aportes en teoría de números, funciones elípticas, astronomía, geometría, funciones de Legendre.• Joseph LiouvilleEl francés Joseph Liouville (1809-1882) estudia la teoría de números (números trascendentes), variable compleja, problemas de Sturm-Liouville. Ecuaciones integrales.• Marc ParsevalEl francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hace aportes al análisis matemático, identidad de Parseval en conexión con la teoría de las series de Fourier.• Charles PicardEl francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría algebraica, topología, variable compleja, método de Picard y teoremas de existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales.

• Simeón PoissonEl francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hace aportes a la electricidad y el magnetismo, ecuación de Poisson, fórmula de Poisson, probabilidad, cálculo de variaciones, astronomía.• Jacopo RiccatiEl italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis matemático, ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros miembros más jóvenes de su familia.• Bernhard RiemannEl alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX (alumno de Gauss, Jacobi y Dirichlet). Variable compleja, geometría no euclidiana, funciones elípticas, ecuaciones diferenciales parciales. Fue alumno de Gauss, y en noviembre de 1851 presentó su tesis doctoral: Bases de una teoría general de funciones de variable compleja. i) Uno de sus artículos más importantes fue: Sobre la Representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica.• Olinde RodríguezMatemático francés, Olinde Rodríguez (1794-1851) hace aportes al análisis matemático, fórmula de Rodríguez.

• Hermann SchwarzEl alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudia cálculo de variaciones, teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales, desigualdad de Schwarz.• Jacques SturmEl suizo Jacques Charles François Sturm hace aportes al álgebra (número de raíces reales de ecuaciones algebraicas), geometría, mecánica de fluidos, acústica, problemas de Sturm-Liouville.• Hoene WronskiMatemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia determinantes, introduce el wronskiano, filosofía.

BIBLIOGRAFÍA• Recuperado de:

https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_ecuaciones_diferenciales