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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLESEPARABLE CON DERIVE 6.10

LIC. MAT. JORGE LUIS ROJAS PAZUNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado se denotan engeneral como:

( , , ) 0dyF x ydx

= ………….(α )

despejando de esta ecuación la derivada dydx

, (α ) adopta la forma siguiente:

dydx

=G(x, y)…………….. ( β )

si después de este trabajo es aún posible escribir ( β ) en la forma( ) ( ) 0p x dx q y dy+ =

Entonces esta última ecuación recibe el nombre de Ecuación Diferencial Ordinaria deVariable Separable cuya primitiva se obtiene mediante

( ) ( )p x dx q y dy k+ =∫ ∫donde k∈ R .

Ejercicio de Aplicación

Problema .- Resolver la ecuación diferencial ordinaria siguiente:2 2. . cos . . 0tgx sen y dx x ctgy dy+ =

Solución:Observamos en primera instancia que estamos frente a una ecuación diferencialordinaria de variable separable. Luego acomodándola convenientemente obtenemos

2 2 0cos

tgx ctgydx dyx sen y

+ = ..…. (1)

Integrando se tiene

2 2costgx ctgydx dy k

x sen y+ =∫ ∫

Como

2 2

1cos cos

tgx dxx x

= −∫

y 2 2

1ctgy dysen y sen y

=∫

la primitiva de la ecuación (1) es dada por: 2 2

1 1cos

kx sen y

− + = ; k∈ R

también si aplicamos en forma conveniente identidades trigonométricas obtenemos laprimitiva en la forma

2 2ctg y tg x k= + ; k∈ R ⊗

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Podemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuacióndiferencial de variable separable usando la función

SEPARABLE _ GEN (m, n, x, y, c)

Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, para

ello despejamos de la ecuación (1) la derivada dydx

, obteniendo

3

3cos cosdy senx sen ydx x y

= −

Entonces es claro que

3( )cossenxm x

x= − y

3

( )cossen yn y

y=

En seguida sustituimos estos valores en la función: SEPARABLE _ GEN (m, n, x, y, c)e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación

Fig. 01

3

Finalmente haciendo clic en el botón = de derive, obtenemos la primitiva de laecuación (1)

Fig. 02

Es posible observar gracias a derive las curvas que representa la primitiva a medida queel parámetro k asume valores en R para ello siga, teniendo la ventana anterior activadael orden de tareas según la numeración especificada a continuación 1.- Pulse la tecla Author. 2.- Pulse Variable Value. 3.- En variable name ingrese k. 4.- En variable value ingrese por ejemplo 1 5.- luego presione OK

6.- finalmente =

Obtenemos así la ventana siguiente

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Procedemos a graficar la curva remarcada en la figura anterior con la sentenciashabituales de derive para 2D obteniendo de esta forma la grafica

Si se continúa con este proceso adoptando nuevos valores para el parámetro ktendremos una familia de curvas como en la siguiente figura

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Se han tomado valores para k tales como: K=+/-1 k=+/-2 k=+/-1/4

BIBLIOGRAFÍA

Textos gerais

HOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.

SIMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.

GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y Control. Editorial Alhambra.1975.Texto de Aplicaciones

ESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.