Solución a los ejercicios de ecuaciones

Ejercicios 3,9, 10 y 12

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales I

14

95

35

35

22

x

x

x

x

5

210

6216

624

0624

x

x

x

x

x

En esta ecuación disponemos de la raíz en un miembro y en el otro el resto. Procedemos a elevar al cuadrado ambos miembros y al final resulta una ecuación de primer grado.Importante: verificar que las soluciones obtenidas verifican la ecuación original, pues pueden obtenerse resultados que no son solución.

A diferencia de la anterior ecuación en un miembro de la ecuación hay una combinación de elementos que no tienes raíz con otros que sí lo tienen. Antes de proceder a elevar al cuadrado trasladar al otro miembro las partes de la ecuación que no tienen raíz.

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales II

100

04004

214804004

212202

121221

121

121

22

222

2

22

x

x

xxxx

xxx

xxxx

xx

xxEn esta ecuación hemos elevado al cuadrado ambos miembros de la ecuación. Tras operar y simplificar observamos que no han desaparecido todas las raíces, aunque estamos en una situación ya conocida: únicamente hay una raíz.Por tanto, procedemos a trasladar todos los términos que no disponen de raíces a un miembro de la ecuación. Tras realizar este proceso volvemos a elevar al cuadrado, resultando una ecuación de primer grado, que resolvemos.

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales III

3

1

6

1113

46

1113

6

1113

32

43416913

04133

4845

4845

225

225

2

22

2

22

x

xx

xxxx

xxxx

xxx

xxx

El procedimiento para resolver esta ecuación ha sido el mismo que en las anteriores. Sin embargo, hemos obtenido al final una ecuación de segundo grado que nos ha proporcionado dos resultados, uno de ellos no es solución de la ecuación (coloreado en amarillo).Importante: verificar que las soluciones obtenidas verifican la ecuación original, pues pueden obtenerse resultados que no son solución.

25

31

50

2822

252

325448422

032225

01288100

723616100280196

137241014

137241014

11372413472

113272

0113272

2

2

22

22

x

xx

xx

xx

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xx

xx

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales IV

El procedimiento para resolver esta ecuación es análogo a los anteriores, pero hemos tenido que aislar las raíces dos veces en uno de los miembros de la ecuación para hacer desaparecer éstas.Al final hemos obtenido una ecuación de segundo grado que hemos resuelto y al final hemos verificado que una de las soluciones obtenidas no es una solución de la ecuación original.

Resolver los siguientes sistemas no lineales I

51

511

15

1525

2

2426

12

25142626

041526

02526

4164414216

264

21

4

2126

214

26

2

2

2

24

242

222

2

22

2

22

yx

yxt

yx

yxt

t

tt

xt

xx

xxx

xx

xy

yx

yx

yx

Para resolver este sistema hemos elegido el método de sustitución. Hemos despejado la variable y de la segunda ecuación para evitar obtener una ecuación irracional. Sustituimos en la primera ecuación y tras operar obtenemos una ecuación bicuadrada, que resolveremos haciendo un cambio de variable (t).Una vez calculado t, deshacemos el cambio y calculamos el valor de y.

Resolver los siguientes sistemas no lineales II

32

322

23

233

2

15

2

614255

065

065

56

65

6

5

2

2

24

2

2

22

22

yx

yxt

yx

yxt

t

tt

xt

xx

xx

xy

yx

xy

yx

Para resolver este sistema hemos elegido el método de sustitución. Hemos despejado la variable y de la segunda ecuación para evitar obtener una ecuación irracional. Sustituimos en la primera ecuación y tras operar obtenemos una ecuación bicuadrada, que resolveremos haciendo un cambio de variable (t).Una vez calculado t, deshacemos el cambio y calculamos el valor de y.Nota.- El resultado final se encuentra simplificado

Resolver los siguientes sistemas no lineales III

65

2110

2

515

2

50141515

05015

935

5

935

5

093

55

2

2

2

2

2

yx

yxx

xx

xx

xy

xy

yx

xy

Para resolver este sistema hemos elegido el método de igualación, pues es muy fácil despejar de las dos ecuaciones la variable y.Posteriormente, hemos obtenido una ecuación de segundo grado que hemos resuelto para obtener el valor de la variable x.Para obtener los valores de la variable y hemos sustituido en la expresión donde aparece despejada aquella.

Resolver los siguientes sistemas no lineales IV

1

113222

73

7

3

4435

962

22

22

22

22

22

22

y

yyx

xxxx

xxy

xxy

xxxy

xxyxPara resolver este sistema hemos elegido el método de igualación, pero teniendo en cuenta que vamos a despejar la expresión y2.Posteriormente, hemos obtenido una ecuación de primer grado, obteniendo el valor para la variable x.

Determina dos números cuya suma sea -2 y su diferencia sea 44

23

21

422

44

2

y

x

x

yx

yxPrimer paso:Comprender el problema (podemos hacer un dibujo, un esquema etc)Segundo paso:Relacionar las variables con las cantidades que desconocemosx = primer númeroy = segundo númeroTercer paso:Expresar en forma de ecuación el enunciado del problemCuarto paso:Comprobar que la solución se ajusta a lo solicitado en el problema

Se desea mezclar café de 10 euros el kilo con café de 18 euros el kilo de tal forma que la mezcla resulte a 14 euros el kilo. ¿Cuántos kilos de café de cada clase debemos mezclar para obtener un total de 40 kilos de café?.

x = nº de kilos del café de 10 €/kgy = nº de kilos del café de 18 €/kgx + y = 40 (la suma de las cantidades debe ser al número total de kilos a obtener)10x +18y = 40·14(el coste de la mezcla debe coincidir con el coste final)

kgx

kgy

y

yx

yx

yx

yx

yx

yx

20

20

1608

4001010

5601810

40

5601810

40

14401810

Hemos resuelto el sistema obtenido por el método de reducción.Se puede comprobar que los kilos empleados suman cuarenta y el coste es de 560 €

Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área mide sesenta centímetros cuadrados y su diagonal es la raíz cuadrada de ciento treinta y seis centímetros.(I)

60cm2

cm137

El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura, no conocemos ninguno de éstos, por lo que habrá que utilizar algún otro recurso.Si nos damos cuenta, la diagonal de un rectángulo divide a éste en dos triángulos rectángulos iguales, por lo que el área de cada triángulo será la mitad.Además, podemos aplicar el teorema de Pitágoras a estos triángulos, pues son rectángulos.

b

a

13760

60

137

2

60

2

137

22

22

222

bb

ba

ba

ba

ba

Teorema de Pitágoras

Fórmula del área de un triángulo

Resolveremos el sistema por el método de sustitución

Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área mide sesenta centímetros cuadrados y su diagonal es la raíz cuadrada de ciento treinta y seis centímetros.(II)

109,5

60

610

6060

9'55'35

105'10103600137;

;0360013713736001373600

13760

22

242422

22

a

a

ba

bt

bttttbt

bbbbbb

bb

Realizando operaciones en la ecuación resultante, obtenemos una ecuación bicuadrada, que resolvemos con el cambio t=b2. Posteriormente, al resolver la ecuación, hemos aproximado la solución, y a partir de ésta hemos calculado el valor de a.Puede comprobarse que el error cometido es menor de una milésima.

Encuentra dos números cuya diferencia sea 12 y que la suma de sus cuadrados sea 3600

364812484

16824

483612364

16824

4

16824

22

3456242424

03456242

360024144

360012

12

3600

12

2

2

22

22

22

xy

xyy

yy

yyy

yy

yx

yx

yx El planteamiento de esta ecuación es directo, por lo que no se harán comentarios.El resultado se obtiene por sustitución en la segunda ecuación, tras resolver una ecuación de segundo grado.