Profr. Joel A. García Vargas Ecuaciones Diferenciales

Facultad de Ingeniería 2013-1 Grupo 02

EJERCICIOS ADICIONALES DEL CAPÍTULO 1, APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN PARTE 1

1. La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x,y) del plano xy está dada por 4-2x. (a) Establezca la ecuación diferencial de la familia. (b) Determine una ecuación para aquel miembro particular de la familia que pasa por el punto (0,0). (c) Dibuje varios miembros de la familia incluyendo el hallado en (b). Solución

(a) La primera derivada de y con respecto a x es la función que permite calcular los valores de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en cualquier punto de ésta, de tal forma que, la ecuación diferencial requerida está dada por: y´ = 4 – 2x

(b) Se debe resolver el siguiente problema de condición inicial:

y´= 4 – 2x y(x) = 4x – x2 + C (integrando) (2)

Sustituyendo la condición inicial dada en el segundo renglón de (1) en (2), resulta que:

y(0) = 4(0) – (0)2 + C ↔ C = 0 (3)

De tal manera que, después de sustituir (3) en (2), se obtiene la solución particular de (1): y(x) = 4x – x2

(c) En la figura de la derecha se pueden

observar las gráficas de varios miembros de la familia dados por (2). El miembro particular de la familia que pasa por el origen (0,0) está representado con el trazo grueso de color rojo.

2. Trabaje el ejercicio 1 si la pendiente está dada por 4e-2x. Solución

(a) La primera derivada de y con respecto a x es la función que permite calcular los valores de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en cualquier punto de ésta, de tal forma que, la ecuación diferencial requerida está dada por: y´ = 4 e–2x

(b) Se debe resolver el siguiente problema de condición inicial:

. y´ = 4 e–2x y(x) = - 2 e–2x + C (integrando) (2)

Sustituyendo la condición inicial dada en el segundo renglón de (1) en (2), resulta que:

y(0) = - 2 e–2(0) + C ↔ 0 = - 2 e0 + C ↔ 0 = - 2 + C ↔ C = 2 (3)

De tal manera que, después de sustituir (3) en (2), se obtiene la solución particular de (1): y(x) = - 2 e–2x + 2

(c) En la figura de la derecha se pueden

observar las gráficas de varios miembros de la familia dados por (2). El miembro particular de la familia que pasa por el origen (0,0) está representado con el trazo grueso de color verde.

3. Cierta ciudad tenía una población de 25000 habitantes en 1960 y una población de 30000 habitantes en 1970. Suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante, ¿qué población pueden esperar los urbanistas y planificadores que tenga la ciudad en el año 2000? Solución De acuerdo con el enunciado del problema, la tasa de crecimiento de la población respecto al tiempo, dx/dt es proporcional al tamaño de la misma en un momento determinado, x, (crecimiento exponencial), de tal manera que la ecuación diferencial que describe este suceso, está dada por: dx/dt = kx , que es una ED de variables separables.

x-1 dx = k dt (separando variables)

(aplicando la integral)

Ln x = k t + C1 (integrando ambos miembros) Despejando a x, se tiene que: x(t) = exp (kt+C1) ↔ x(t) = exp(C1) exp (kt) ↔ x(t) = C ekt (1) La función solución x(t) depende de dos parámetros: C y k, que deben determinarse con los datos del problema. Se toma t0 en 1960, de tal modo que: x(0) = 25000 (2) Sustituyendo (2) en (1), resulta que: 25000 = C ek(0) ↔ C = 25000 (3) Sustituyendo (3) en 81), resulta que:

x(t) = 25000 ekt (4) Para determinar el valor de k, se emplea información del problema. En efecto, se sabe que de 1960 a 1970, han transcurrido 10 años y que la población aumentó a 30000, por lo que:

x(10) = 30000 (5) Sustituyendo (5) en (4), se obtiene que: 30000 = 25000 ek(10) ↔ 6/5 = e10k ↔ 10k = Ln (1.2) ↔ k = 0.1 Ln (1.2) ↔

k ≈ 0.018232 (6)

Sustituyendo (6) en (4), se obtiene la expresión que permite calcular la el tamaño de la población en función del tiempo t, en años:

x(t) = 25000 e0.018232 t Del año 1960 al 2000, han transcurrido 40 años, por lo que el tamaño de la población está dado por: x(40) = 25000 e 0.018232(40) ↔ x(40) = 25000 e 0.72928 ↔ x(40) ≈ 51840 Por lo tano, para el año 2000 los urbanistas y planificadores deben esperar una población aproximada de 51840 personas.

4. En cierto cultivo de bacterias, su número se ha sextuplicado en 10h. ¿Qué tiempo tardo la población en duplicar su número incial? Solución Suponiendo que la tasa de cambio ó rapidez de variación del número de bacterias con respecto al tiempo, dx/dt, sea proporcional al número de bacterias en un momento determinado, x, se tiene que:

k xdtdx

= , que es una ED de variables separables. Luego, se tiene que:

⇒ x-1 dx = kdt (separando variables)

⇒ ∫∫ = dtk x

dx (aplicando la integral)

⇒ Ln x = k t + C1 (integrando ambos miembros) tomando antilogaritmos se tiene que:

ktktCCkt e Ce eex(t) 11 === + (1) Sean: C0 el número de bacterias en t=0 cuando se inicia el estudio Ct población final (número de bacterias en el último conteo) Por lo que (1) se puede escribir como: Ct = C0 ekt (2) Se sabe de las condiciones del problema, que el número de bacterias se ha sextuplicado en 10 horas, por lo que se tiene que:

Ct = 6C0 ; t=10 (3) Sustituyendo (3) en (2), resulta que:

6C0 = C0 e10k ↔ 6= e10k ↔ Ln 6 = 10k ↔ ==10Ln6k 0.1791759469 (4)

Por lo tano, sustituyendo (4) en (2), se tiene que: Ct = C0 e0.1791759479t (5) Se pide averiguar cuándo el n+umero de bacterias se duplicó, esto es, cuando Ct = 2C0, t=?. Por tanto (5) se puede escribir como:

2 = C0 e0.1791759479t ↔ Ln 2 = 0.1791759469t ↔

3.8685h690.17917594

Ln2t ≈= ; t = 3.8685h equivale a t = 3h 52´

Por lo tanto la respuesta es: la población de bacterias se duplicó al cabo de aproximadamente 3 horas y 52 minutos. 5. El carbono extraído de un cráneo antiguo contenía solamente una sexta parte del carbono C14 extraído de un hueso de los tiempos actuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo? Solución La tasa de desintegración respecto al tiempo, dN/dt, de un material radioactivo de masa N, es proporcional a N. Por tanto, la ecuación diferencial que describe cuantitativamente esste fenómeno está dada por:

N-k dtdN

= (1)

Para el carbono 14 el valor aproximado de k es de 0.0001216. De esta forma (1) se puede escribir como:

N 0.0001216 -dtdN

= ; que es una ED de variables separables.

dt 0.0001216 -N

dN= (separando variables)

∫∫ = dt 0.0001216 -N

dN (aplicando la integral)

1C t 0.0001216 -LnN += (integrando)

Aplicando antilogaritmos, se tiene que:

0.0001216t0.0001216tCC t 0.0001216 - e C e ee N 11 === −+ (1) Sea N0 la cantidad de C14 presente en el cráneo antiguo

N la cantidad de C14 presente en un hueso actual Según los datos del problema, N0 = N/16, es decir N = 6 N0 Por lo que la función dada por (1), se puede escribir como:

años 514734.8640- 0.0001216-

Ln6 t e 6 e N 6N 0.0001216t-.t.0.0001216- 00 ==↔=↔=

La respuesta es: El cráneo estudiado tiene una antigüedad aproximada de 14735 años. 6. El carbono extraído de una reliquia característica de los tiempos de Cristo contenía 4.6x1010 átomos de C14 por gramo. El carbono extraído de un especímen actual de la misma sustancia contiene 5.0x1010 átomos de C14 por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la reliquia? Solución En este caso se tiene que: N = 5.0 x1010 y N0 = 4.6 x1010 (1) A partir del problema anterior (problema 13) puede deducirse que la función que permite calcular la masa actual, N, de carbono C14 cocnociendo la cantidad de masa original, N0, es función del tiempo t en años, está dada por la expresión:

0.0001216t -0 e N N = (2)

Sustituyendo (1) en (2), se obtiene:

086956522.1e6.40.5e e 4.6x10 100.5 0.0001216t -0.0001216t -0.0001216t -1010 =↔=↔=x

685.7años0.0001216

9180.08338160 t 6522)Ln(1.08695 t0.0001216 −=−=↔=−

Respuesta: La supuesta reliquia tiene una edad aproximada de 686 años (siglo XIV). Parece que pretender meter gato por liebre, pues de acuerdo con los resultados obtenidos, el material con que hecha la reliquia está lejos de ser de la época de Cristo. 7. Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó en una cuenta de ahorros $5000 euros bajo interés compuesto continuo al 8%. Se dejó que se acumularan los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuesta en el decimoctavo cumpleaños del niño? Solución El monto del dinero en una cuenta bajo interés compuesto crece proporcioanalmente a la cantidad de dinero presente en la cuenta en un momento determinado. De tal manera que la ecuación diferencial asociada a este hecho está dada por:

Ak dtdN

= (1)

En estos casos la constante de proporcionalidad k es el rédito o interés porcentual:

0.08100

1 x 88% =↔ Por lo que k = 0.08 (2)

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:

A 08.0dtdN

= que es una ED de variables separables (es igual al modelo

del decaimiento radioactivo y crecimiento de ciertas poblaciones como el caso de bacterias). Su solución es de tipo exponencial. En efecto,

dt 08.0A

dN= (separando variables)

∫∫ = dt 08.0A

dN (aplicando la integral)

Ln A = 0.08 t +C1 (integrando)

Tomando antilogaritmos, se tiene que: 0.08t0.08ttCC t 0.08 e C e ee A 11 === + (3) En el momento de abrir la cuenta los datos son t=0, A=5000 (4) Sustituyendo (4) en (3), resulta que:

5000 C e C5000e C 5000 00.08t =↔=↔= (5) Sustituyendo ahora (5) en (3), resulta que: 0.08te 5000 A = (6) Para conocer el monto del dinero A(t) en el momento en que el hijo cumple 18 años de edad, basta sustituir el valor de t=18 en (6). Es decir: euros 2110317)(4.2206958 5000e 5000e 5000 A 1.440.08(18) ==== Respuesta: Cuando el joven cumpla 18 años de edad, la cuenta ascenderá a $21103 euros aproximadamente. 8. Suponga que se usa un pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro. El perro queda anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguínea es por lo menos de 45 miligramos (mg) de dicha sustancia por kilogramo de peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en

forma exponencial, con una vida media de 5h. ¿Qué dosis simple debe administrarse para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50kg? Solución Como el medicamento es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial, la ecuación diferencial que describe la tasa instantánea de disminución del medicamento, dM/dt, para una cantidad presente de medicamento, M, al tiempo t en horas, está dada por:

Mk dt

dM−= El signo negativo implica disminución, y por tanto la

constante k debe tomar un valor positivo. Este modelo matemático es una ED de variables separables y es del mismo tipo que en varios de los ejemplos anteriores (ya se sabe como resolverlo y además de qué forma es la solución)

dtk -M

dM= (separando variables)

∫∫ = dtk -M

dM (aplicando la integral)

1C k t -LnM += (integrando) Aplicando antilogaritmos, se tiene que: kt -ktCCkt e C e ee M 11 === −+− (1) Sea M0 la cantidad inicial del medicamento aplicada al tiempo t=0 (2) Sustituyendo (2) en (1), se obtiene que:

0k(0) -

0 MCCe C M =↔== (3) Sustituyendo (3) en (1), resulta que:

-kt

0 e M M = (4) Como el medicamento tiene una vida media de 5 horas, la mitad del medicamento se eliminará de la corriente sanguínea del perro en ese tiempo. Si M0 es la cantidad inicial de medicamento aplicada, M0/2 es la cantidad al cabo de 5 horas. Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

↔=↔=↔= -5k21Lne

21e M

2M 5k-5k-

00

610.138629432

Ln(0.5)k =−= (5)

Sustituyendo (5) en (4), se tiene que:

0.1386294t0

t-0.13862940 e M M e M M =↔= (despejando M0) (6)

El perro pesa 50 kg y por cada kg de peso del perro se deben aplicar 45mg de medicamento; y 50x45=2250mg. Sustituyendo este último valor en (6) se tiene que:

0.1386294t0 e 2250 M = (la cantidad final de medicamento debe ser 2250mg) (7)

Se pide determinar qué cantidad mínima de medicamento debe aplicarse para que el perro permanezca anestesiado por un lapso de 1 hora. De tal manera que:

2584.571mg 55)(1.1486983 2250e 2250 M 1)0.1386294(0 ===

Respuesta: Para que el perro quede anestesiado por una hora, es decir, para que la cantidad de droga esté por encima de 2250mg en el lapso de 1 hora, se debe aplicar una dosis de aproximadamente 2585mg de pentobarbitol sódico. 9. Un tarro de crema, inicialmente a 25°C, se va a enfriar colocándola en el pórtico donde la temperatura es de 0°C. Supóngase que la temperatura de la crema ha descendido a 15°C después de 20 min. ¿Cuándo estará a 5°C? Solución Sea T la temperatura de la crema, en función del tiempo t (medida en minutos, en °C dT/dt es la rapidez con la que desciende la temperatura T0 = 25, temperatura inicial de la crema en °C Por tanto, se tiene que:

Tk dtdT

−= que es una ED de variables separables (1)

dtk -T

dT= (separando variables)

∫∫ = dtk -T

dT (aplicando la integral)

1C k t -LnT += (integrando)

Aplicando antilogaritmos, se tiene que: kt -ktCCkt e C e ee T 11 === −+− (2) Considerando la condición inicial en t=0, T(0)=25, se tiene que:

25Ce C 25 k(0) - =↔= (3) Sustituyendo (3) en (2), resulta que:

kt -e 52 T(t) = (4) Después de 20 minutos la temperatura ha descendido a 15°C; es decir, en t=20, T(20)=15. Sustituyendo estos valores en (4), se obtiene que:

200.5105256k20kLn(0.6)e

53e 25 15 20k -20k - −

−=↔−=↔=↔=

0.02554128k = (5)

Despejando t de (4), se tiene que:

)25TLn(

k1tk t)

25TLn(e

25Te 25 T(t) kt -kt - −=↔−=↔=↔= (6)

Sustituyendo (5) y T=5 en (6), se obtiene que:

630.025541281.6094379-)

255Ln(

0.025541281t =−=−=

Respuesta: La crema estará a una temperatura de 5°C aproximadamente en 63 minutos después de haber sido puesta en el pórtico.

10. Una pelota se deja caer desde lo alto de un edificio de 400 pies de altura. ¿Cuánto tardará en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad golpeará el piso? Solución La aceleración de un cuerpo en caída libre es constante e igual al valor de g en las unidades correspondientes. Por tanto,

-32g- dtdv a(t) === (la fuerza de la gravedad en el sistema inglés es 32pies/s2

y esta ecuación diferencial es de variables separables)

dv = -32 dt (separando variables)

∫ +== 1C t 32- dt 32- v(t) (integrando) Condición inicial: t=0; v(0)=0 (al soltar la pelota, la velocidad es nula)

0CC (0) 32- 0v(0) 11 =↔+== Por lo tanto:

v(t) = -32t (1)

32t- dtdx v(t) == que es otra ED de variables separables.

dv = -32 t dt (separando variables)

∫ +== 22 C t16- tdt 32- x(t) (integrando)

Condición inicial en desplazamientos: t=0, x(0)=400 (la pelota se suelta de una altura de 400 pies). Por tanto:

400C C (0) 16- 400x(0) 222 =↔+==

Por lo que la función solución en desplazamientos esta dada por:

400 t16- x(t) 2 += (2) Cuando la pelota llegue al suelo, x=0, es por ello que:

5t2516400t400 t16- 0 22 =↔==↔+= es el valor aceptable de los dos

posibles (5 y -5). Sustituyendo el valor de t=5 en (1), se tiene que:

v(5) = -32 (5) = - 160 pies/s (el valor negativo implica que va en sentido opuesto al del sistema de referencia puesto en el suelo. La aceleración, velocidad y desplazamiento son vectores y es necesario identificar la dirección y sentido en la que actúan). Respuesta. La pelota tarda 5 segundos en llegar al suelo y lo hace con una velocidad de 160pies/s. 11. Se aplican los frenos de un carro cuando el vehículo se mueve a 100km/h y proporcionan una desaceleración constante de 10 metros por segundo en cada segundo (m/s2). ¿Cuánto avanzará el carro antes de detenerse? Solución Primero es conveniente expresar la velocidad del carro en m/s para no cometer errores con las unidades. En efecto,

separables variablesde ED una es 10dtdva(t)

sm

9250

sm

3600100000

hkm100

−==

==

dv=-10dt (separando variables)

1C10t dt 10- v(t) +−== ∫ (integrando) Condición inicial: t=0; v(0)= 250/9 (en el momento de aplicar los frenos la velocidad es de 250/9 m/s). Por tanto, para determinar el valor de C1, se emplea la condición inicial.

9250CC(0) 10

9250v(0) 11 =↔+−== ; por lo tanto, resulta que:

925010t v(t) +−= (1)

Pero, la velocidad expresada en términos de la distancia se escribe como:

925010t

dtdx v(t) +−== que es una ED de variables separables

dt )9

25010t( dx +−= (separando variables)

22 Ct

92505tx(t)dt )

925010t( dx ++−=↔+−= ∫∫

Condición inicial para desplazamiento o distancia: t=0, x(0)=0, Luego:

0CC(0)9

2505(0)0x(0) 222 =↔++−==

Por tanto, resulta que:

t9

2505tx(t) 2 +−= (2)

Cuando el auto se detiene, la velocidad es nula. Sustituyendo el valor v=0 en (1), se tiene que:

925t

925010t 0 =↔+−= (3)

Sustituyendo (3) en (2), resulta que:

38.5881

312581

625081

3125925

9250)

9255()

925x( 2 ==+−=+−=

Respuesta: El vehículo recorrerá antes de detenerse una distancia de 38.58m. 12. Una pelota se arroja hacia arriba desde el nivel del suelo. Su velocidad inicial es de 160 pies/s. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿Cuánto tiempo permanece en el aire? Solución. Sea y0 = 0

v0 = 160 a = dv/dt = -32 es una ED de variables separables

∫ ∫ +−=↔−=↔−= 1C t32 vdt 32)(dv dt 32dv (1) Pero v0 = 160=-32(0) + C1 → C1 = 160, de tal manera que (1) se puede escribir como:

v(t) = - 32 t +160 (2) Además se tiene que:

∫ ∫ ++−=↔+−=↔+−=→= 22 C160t t16y dt 160)32t(dy 160)dt t32(dy

dtdy v

y(t) = -16t2+160t +C2 (3)

Pero y0 = 0 → C2 = 0, por lo que (3) se puede escribir como:

y(t) = -16t2+160t (4) En el momento en que la pelota alcanza su altura máxima, la velocidad es nula. De (2) se tiene que:

0 = -32t+160 → t = 5 segundos (5) Para determinar la altura máxima, se sustituye (5) en (4), y resulta que:

y(5) = - 16 (5)2 +160 (5) = -400 + 800 = 400 pies (6) Ahora, cuando la pelota llegue al suelo, y=0. De (4) se tiene que:

0 = -16t2+160t Que es un polinomio de grado dos y que puede escribirse como:

16t (t-10) = 0 ó t (t-10) = 0 Es decir, una raíz es nula y la otra raíz vale 10. Por lo tanto t = 10 segundos. Respuesta: La pelota alcanza una altura máxima de 400 pies y permanece en el aire 10 s.