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UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA TELECOMUNICACIONES
Ejercicios propuestos Matemática IV
Unidad I
Integrante:
Edgar Eduardo Andrade Colon
Cedula 24.353.337
Mayo de 2015
ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA
ENTREGA: DESDE EL 15/05/2015 HASTAEL 19/05/2015 A LAS 23:50
pm. VALOR: 5 PUNTOS
1.) Efectuar las operaciones indicadas:
31
472 32.) iia
392163726 43Re5232.) iiiiiib
2
4
8
31
3
2
3
1
2
3Im.) ii
ii
ic
2.) Demostrar que: zzz cos3cos43cos 3
3.) Expresar la función 34
Re2 zZiZf en la forma:
yxiVyxUzfw ,,
4.) Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la
armónica conjugada:
a) f (z) = y/(x2+y2) b) f(z) = x/ (x2-y2)
Efectuar las operaciones indicadas:
31
472 32.) iia
Para resolver el ejercicio debemos saber que
𝑖0 = 1 ; 𝑖1 = 𝑖 ; 𝑖2 = −1 ; 𝑖3 = −𝑖
47
4= (4 ∗ 11) + 3 ; 𝑖47 = 𝑖3 = −𝑖
(2(−1) − √3(−𝑖))1/3
= (−2 + √3𝑖) 1/3
= (2 − √3𝑖)1/3
392163726 43Re5232.) iiiiiib
𝑖0 = 1 ; 𝑖1 = 𝑖 ; 𝑖2 = −1 ; 𝑖3 = −𝑖
26
4= (4 ∗ 6) + 2 ;
7
4= (4 ∗ 1) + 3 ;
6
4= (4 ∗ 1) + 2 ;
21
4= (4 ∗ 5) + 1 ;
39
4= (4 ∗ 9) + 3
𝑖26 = 𝑖2 = −1; 𝑖7 = 𝑖3 = −𝑖; 𝑖6 = 𝑖2 = −1; 𝑖21 = 𝑖1 = 𝑖; 𝑖39 = 𝑖3 = −𝑖
|(2𝑖2 + 3𝑖3)(2𝑖3 + 5𝑖2) |𝑅𝑒(3𝑖1 + 4𝑖3) =
|(2(−1) + 3(−𝑖))(2(−𝑖) + 5(−1)) | 𝑅𝑒(3(𝑖) + 4(−𝑖)) =
|(2(−1) + 3(−𝑖))(2(−𝑖) + 5(−1)) | 𝑅𝑒(3(𝑖) + 4(−𝑖)) =
|(−2 − 3𝑖)(−2𝑖 − 5) |𝑅𝑒(3𝑖 − 4 − 𝑖) =
|(−2 − 3𝑖)(−5 − 2𝑖) |𝑅𝑒(−7𝑖) =
|(−2 − 3𝑖)(−5 − 2𝑖) | ∗ 0 = |(4 + 19𝑖)| ∗ 0 = (−4 − 19𝑖) ∗ 0 = 0
2
4
8
31
3
2
3
1
2
3Im.) ii
ii
ic
𝑖0 = 1 ; 𝑖1 = 𝑖 ; 𝑖2 = −1 ; 𝑖3 = −𝑖
31
4= (4 ∗ 7) + 3 ;
8
4= (4 ∗ 2) + 0 ;
4
4= (4 ∗ 1) + 0 ;
𝑖31 = 𝑖3 = −𝑖; 𝑖8 = 𝑖0 = 1; 𝑖4 = 𝑖0 = 1;
𝐼𝑚 {(3 + 𝑖
1 + 2𝑖)
} + |
1
3+
2
3𝑖|
2
= 𝐼𝑚{1 − 𝑖} +5
9=
5
9− 𝑖
𝐼𝑚 {(3 + 𝑖
1 + 2𝑖)
} + |
1
3+
2
3𝑖|
2
=5
9− 𝑖
Expresar la función 3
4
Re2 zZiZf en la forma:
yxiVyxUzfw ,,
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥; 𝑅𝑒3 = 𝑥3; 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦; (𝑧)4 = (𝑥 − 𝑖𝑦)4
(𝑧)4 = (𝑥 − 𝑖𝑦)4 = 𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 4𝑖𝑥𝑦3 + 4𝑦4 − 4𝑖𝑦𝑥3
𝑤 = 𝑓(𝑧) = 2𝑖𝑥2(𝑥4 − 6𝑥2𝑦2 + 4𝑖𝑥𝑦3 + 4𝑦4 − 4𝑖𝑦𝑥3)
𝑤 = 𝑓(𝑧) = 2𝑖𝑥6 − 12𝑖𝑥4𝑦2 − 8𝑥3𝑦3𝑦 + 8𝑖𝑥2𝑦4 + 8𝑦𝑥5
𝑤 = 𝑓(𝑧) = −8𝑥3𝑦3 + 8𝑥5𝑦 + 2𝑖𝑥6 − 12𝑖𝑥4𝑦2 + 8𝑖𝑥2𝑦4
𝑈(𝑥, 𝑦) = −8𝑥3𝑦3 + 8𝑥5𝑦
𝑖𝑉(𝑥, 𝑦) = 2𝑖𝑥6 − 12𝑖𝑥4𝑦2 + 8𝑖𝑥2𝑦4
Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la armónica conjugada:
f (z) = y/(x2+y2) f (z) = x/ (x2-y2)