Eje 2 guia de tp def

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA SEMINARIO UNIVERSITARIO

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS. EJE TEMÁTICO II: LENGUAJE ALGEBRAICO Contenidos: I)EXPRESIONES ALGEBRAICAS II)ECUACIONES III) INECUACIONES: DÍGAME Y OLVIDO, MUÉSTREME Y RECUERDO. INVOLÚCREME Y COMPRENDO” Proverbio Chino. COORDINADORA MODULO MATEMÁTICA: Ing. DURE,DIANA ANALIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA MODULO DE

MATEMATICA

SEMINARIO UNIVERSITARIO

Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA

MODULO MATEMÁTICA Página 2

GUÍA DE TRABAJO PRÁCTICO N°2: LENGUAJE ALGEBRAICO

I. I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS A) Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

( ) ( ) 3;1;5..)1 232 ==−=−+ cbaccbba

3;2100058)2 423324 −=−=+++− yxyxyxyxxy

( ) ( ) ( ) ( ) 1;0..)3 2222 −==−−++−+−−+ yxyxyyxxyxyxyx

4

1;

3

2)1()1()4 −=−=+−−

−+

yxyxyx

yx

2;4;2.2

32.

4

1)5 21121 =−=−=−−− −−−−− cbacbacaba

2,00028,09,03,06,0)6 23 −=++− xxxx

B) Hallar el valor numérico de los siguientes polinomios:

2

16

4

323)()1 234 +−+−= xxxxxP 2=x

6

52

3

2)()2 3 +−= xxxQ 3−=x

14

52)()3

2 +−=

x

xxR

2

3=x

C) Determinar el polinomio resultante de las siguientes operaciones:

)82()875()1 233 +−−+−+ xxxx

)1827()639()2 223 −−+−+− xxxxx

+−−

−+ 116

1

4

1

24

1

8

1

4

3)3 23 yyyy

T P 2



MATEMATICA




−+−

−++

++ 433223

15

12

4

15

2

7

5

2

4

9

2

3

5

1

4

3

2

1)4 nnnnnnnnn

)43(.)1642()5 2 −++ xxx )32(.)1593()6 25 ++− yyy

)5(.)2(.)1()7 2 −−+ xxx

−

++2

1.2

2

1)8 334 aaa

( )245)9 +a

22

5

3

2

1)10

−x 23 )8,03,0()11 yy +

( )32 23)12 cc +

343

2

1)13

− xx )4(:)4812()14 23 xxxx +++

)1(:)59()15 223 −−+ xxx )1(:)12()16 2234 −−−+− xxxxx

)3(:)611()17 223 −+− yyy )3(:122

13)18 23 +

+−+− xxxx

+−−+2

1:)3668172()19 34 xxxx )7(:)5067()20 23 −++− xxx

D) Factorear los siguientes polinomios:

=+++ 27279)1 23 xxx =+−+− 644812)2 23 xxx

3) =+−− 129129 23 aaa 4) 10x5 + 5x ³ - 20x2 =

5) 3x³ + 4x ² - 6x6 - x4 = 6) 3p4 - 9p ² + 12p³ + 30p 5 - 6p8 =

7) 22 4.48144 bbaa +− = 8) 2222 4129 mmama ++ =

9) 2

5

2

25

1aa ++ = 10)

81

1

27

2

9

1 36 +− aa =

11) 144m6 - 121x8 = 12) 9z4 - 16 =

13) 2

4

1y− = 14) =−

81

25

9

1 6a

E) Identificar cuáles de las siguientes expresiones son polinomios, cuáles son fracciones algebraicas y cuáles no son ninguna de éstas. En el caso de los polinomios, determina la variable, su grado, coeficiente principal y término independiente:

15

1)()1 3 +−= xxxA 2)()2 += xxB 96)()3 2 ++= tttC

T P 2



MATEMATICA




ixD −= 7)()4 iiD −= 7)()5 ( )33)()6 −= mmE

0)()7 =rF 4

3

)()8 yyyyG −−Π= ( )( )1.1)()9 −+= xxxH

7)()10 =xJ 1

23)()11

3

−+−=

x

xxxK

xxxxL

22)()12 12 −+= −

F) Dados los polinomios:

7432 23 −+−= xxxP ; 322 23 +−+−= xxxQ ; 2623 +−+= xxxR ; 2−= xS

Determinar previamente el grado del resultado de las siguientes operaciones y luego verificar la veracidad resolviendo las mismas:

RQPa −.) RQPb :))( + SRc :) 2)Sd

G) Determinar si los siguientes polinomios son divisibles y, en caso afirmativo, expresarlos como producto:

1) ( ) ( )2:12823 −+−− xxxx 2) ( ) ( )1:123 24 +−+ xxx H) Factorear:

1) ( ) ( ) 442 +−+− baba = 2) x ²y ² - (x ² + y ²) ² =

3) (x - y) ² - a ² = 4) =+− 42 25309 xx Plantear y resolver :

1) Hallar el valor de k tal que (x3. - k x 2 + 7 k) dividido por (x + 2) tenga resto = 0. 2) Cuando (x2 + 3 x + 2 k) se divide por (x + 2), el resto es 7.Calcular el valor de k.

3) Calcular el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4 − 7x 3 − m x + 2 para que al dividirlo entre (x+2) tenga de resto − 40.

4) Encontrar el valor de k para que (x + 2) sea un factor de (x3 – k x2 + 2 x + 7 k) 5) Encontrar el valor de k para que (x – 1) sea un factor de (x3 – 3 x2 + k x – 1)

6) Sea 32 23)( +−+= xbxaxP x un polinomio que cuando lo divido por (x – 1) el resto es 2, y es

divisible por (x + 1). Calcular a y b, completando con estos resultados el polinomio. Ejercicios de Expresiones Algebraicas con aplicació n de Geometría. 1. Tenemos que construir un tanque de forma cilíndrica, cuya altura sea tres veces el radio, y queremos

saber: 1) La expresión polinómica que nos permita calcular el volumen en función del radio (V(r)). 2) Cuánto debe valer el radio para que el volumen V(r) sea de 1600 litros, expresando el resultado en cm y redondeando a centésimos. 3) La expresión polinómica de V(r) si se aumenta el radio del tanque en dos metros.

2. Escribir el polinomio reducido de la expresión del perímetro de las siguientes figuras.

T P 2



MATEMATICA




3. La expresión de la superficie de un rectángulo es: 16 23 −+ xx , y

la de su base: 123 2 ++ xx . ¿Cuál es la expresión de su altura?

4. Para cada una de las siguientes figuras, escribir una fórmula que

permita hallar la medida de d conociendo las demás medidas señaladas. a) b) c)

5. Utilicen lenguaje algebraico para expresar el área de las siguientes figuras.

a) b) c)

6. Calcular la expresión del volumen de los siguientes cuerpos.

7. Indicar mediante expresiones algebraicas el volumen de los siguientes cuerpos.

a) b) c) d)

T P 2



MATEMATICA




EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

A) Hallar el mínimo común múltiplo de las siguientes expresiones:

125;2510;102)1 32 ++++ xxxx23223 ;12;133)2 xxxxxxx −+−−+−

9;93;27)3 24563 −+−+ xxxxx2222 ;;)4 baxbxabxax −−+

B) Realizar las siguientes operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias:

3

72

3

4

3

5)1

22

+++

+−+

++

y

yy

y

y

y

y

5

194

5

952)2

22

−−−+

−−+

x

xx

x

xx

2222

5374)3

yx

y

yx

y

+−−

++

2

1

2

5

4

2)4

2 +−

−+

− xxx

x

22 25

5

25

102)5

x

x

x

x

−−−

−−

9

4

32

13)6

22 −+−

−+−

x

x

xx

x

yx

x

yx

y

yx

xy3

2

3

2

22

11675411)7

−++−−

32

2

13

2)8

2

2

−+++

−−

+ yy

y

y

y

y

14

3

12

2

21

57)9

2 −−

++

−−

yy

y

y

yy

12

4.

16)10

2

2

2

2

−−−−xx

xx

x

x

5

3.

9

2510)11

2

2

++

−++

y

y

y

yy

22

32

2

1.

1

6.

3

)1(.)12

xbax

a

a

xb

a

x

−−

44

22 23.

2.

1

2)13

nm

mm

m

nm

m

nm +−−

−−

4

2:

4)14

2

+−−

x

x

x

x

3

25:

9

425)15

2

2

+−

−−

x

x

x

x

2

103:

42

107)16

22

−−−

−++

y

yy

y

yy

2

2

)(:

)()17

yx

yx

yx

yx

−+

−+

1416

94:

164

278)18

2

2

3

3

++−

−+

yy

y

y

y

3

33

2

36

)13(

)13(:

169

169)19

+−

+++−

x

m

xx

mm

C) Resolver las operaciones combinadas y especificar en cada ejercicio cuáles son los valores que no puede tomar la variable:

+−−

−+

−+x

x

x

xx

x

x 1

1

1

1.

44

3)1 2)

−+

+

−

21

2

1

1.1

1

y

y

yy

T P 2



MATEMATICA




)1(.1

1)1()1()3 2

2

2

−

−+−−++

aa

aaaaa

+

+323

21:

81)4

xxx

−−

−+

1:

1)5

x

xx

x

xx

1

65:

54

25.

152

6)6

2

2

2

2

2

2

−++

−−−

−+−−

x

xx

xx

x

xx

xx

10

9100

81

)7

2

4

2

−+−−

a

ba

b

5

3

103

22

2

5

4

)8

2 −+

−−

++

−

xxx

xxx

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS 1. Demostraciones numéricas: Si n es un número natural cualquiera, ¿es cierto que nn −3 es múltiplo

de 6? ¿Y que nn 43 − es múltiplo de 24? 2. Con un cuadrado de cartón cuyos lados miden 30 cm. queremos construir una caja abierta

recortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados restantes. Si x es el lado del cuadrado que hay que recortar:

a) Encontrar una expresión que permita calcular el volumen de la caja, dependiendo de la longitud x del cuadrado que se recorta en cada esquina.

b) ¿Qué volumen tendrá la caja si se recortan cuadrados de 4 cm. de lado?

c) ¿Cuánto debe medir el lado del cuadrado a recortar para que el volumen de la caja sea exactamente de 1.944 3cm ?

II. ECUACIONES

A. Escribir una ecuación que:

1) Tenga una sola solución. 2) Tenga dos soluciones. 3) No tenga solución. 4) Sea equivalente a 3x – 2 = 10 5) Cuyo conjunto solución sea S = {4}

B. Resolver las ecuaciones e indicar qué propiedades se utilizan en cada paso.

2276)1 =+− x 171012)2 +=+ xx xxx +=−5)3

3

2)1(2)4 =−− x

2

11

2

4)5 +=

+− x

C. ¿Qué ecuación contiene cada uno de los siguientes enunciados. Escribirla y resolverla:

1) El triple de un número es igual a su doble aumentado en tres cuartos. 2) Si a un número se le suma tres, se obtiene el mismo resultado que sumando ocho a su

T P 2



MATEMATICA




mitad. D. Dadas las siguientes ecuaciones:

i. Hallar el conjunto solución.

ii. Clasificarlas

E. Resolver las siguientes ecuaciones:

5526)1 +−=+− xxx 5203224155)2 ++=−+++ xxxx

3

2

3

)1.(2

2

4)3 −−=+ xx

23

3

2)4

xxx=

−−

5

4

7

62

5

32

3

6)5 +

−=

++

− xxx 100)22(6

5

4)6 ++= x

x

21

45

1

8

1

2)7

xxx −=

++

− ( ) 5

1

3

4

15)8 −=

++

+−

xx

x

22

373

14

22)9

−−

=+−−

x

x

x

x 02

2

3

1)10 =+

+−

+ x

x

x

x

1

23

1

2

1

3)11

2 −−

−=+

+− x

x

x

x

x

x

11

2

1

6612

2 −=

++

+−

−x

x

x

x

x

x

63

13

2

1

82

4)13

2

2

−−

=++

−− x

x

x

x

x

x

2

2

21

123

1

36

1

23)14

xx

xx

x

x

x

x

+−

++=−+

+−

+

PROBLEMAS

1. ¿Cuál es el número cuyo duplo supera a su mitad en 9? 2. Hallar un número sabiendo que su triplo excede a su mitad en 15 3. Hallar un número sabiendo que si se lo divide por 3 y se le suma 2 da el mismo resultado que si

de su duplo se resta 8. 4. Hallar cuatro números pares consecutivos sabiendo que su suma es 44. 5. Hallar cuatro números impares consecutivos sabiendo que su suma es 48. 6. Hallar tres números sabiendo que su suma es 21, que el mayor supera al menor en 4 y que el

otro número es la semisuma de las anteriores. 7. ¿Qué renta anual tiene una persona que gasta las dos terceras partes de la misma en vivir, las

dos terceras partes de lo que queda en viajes y ahorra $2.000 por año? 8. A un banquete asisten cincuenta personas y pagan en total $4.600. ¿Cuántas señoras y

caballeros asistieron si las primeras pagaron $80 cada una y los segundos $100? 9. Con 32 monedas de 25 y de 10 centavos, solamente se han juntado cinco pesos; ¿cuántas

monedas de cada clase se tienen? 10. Si en una escuela se hacen sentar 35 alumnos en cada aula, quedan 28 sin asiento, y si se

hacen sentar 38 en cada aula quedan 10 sin asiento; ¿cuántos alumnos y cuántas aulas hay? 11. Un señor tiene 50 años de edad y su hijo 20 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre

será el doble de la del hijo?

( )

72523 4) 2

1).2()2.(

4

15)3

10345152 2) )4(2123)1

++−=−+−=−

+−

+−=−−−−=+−

xxxxx

x).()).((xxxx

T P 2



MATEMATICA




Mas ecuaciones pero ahora combinamos lo dado en el Eje Temático 1:

Mas ejercicios combinados Resolver las siguientes ecuaciones y verificar el conjunto solución:

1. xx −=+

+−5

12

3

12

2. 6

105,2

18

5

3

13

2

−=+−

−x

Calcular el valor de x

1. 32

32

241

21

−=

+

−

xx 3.

x10027

2

14,0 =−

−

2. 3

1

8

)1(2,03

=−

−x 4.

51

)15,0(

40,060,0

2−=−x

Resolver las siguientes ecuaciones

( )

( )

1

243

5 2

566

7

4

3

2

331322

2

2

1

32

1

2

232

25,0

7:72

)25.3(7

5,42) 10.7,110.3,2

10.7,1

10.4,3)

15.2

23,0

25

1) 92

2

5.22

4

1)14(4)

9

4

3

1)3( 41

3

12)

5

391

55

3

5

39

2

113)

5,01

2

54

1

) 5:545)

−

−

−

−

=−+−

++=

+=+

+−−+=

++−

=+−=−−

−=−+−=−−

=+−

=−−

xj

xi

xh

xg

x f)

xe

xd)

xc

xbxa

)

ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN.

En un espectáculo teatral las entradas costaban $15 para los mayores y $10 para los menores de 12 años. Un día determinado se recaudaron $4.500. Con esta información: ¿Es posible saber, exactamente, cuántos mayores y cuántos menores asistieron ese día?

• Actividades. a) Identificar las incógnitas, asignarles una letra a cada una y escribir el enunciado del problema en

lenguaje simbólico. b) Escribir dos posibles soluciones y explicar cómo se las halló

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MATEMATICA




c) Graficar los pares que corresponden a las posibles soluciones, en un sistema de ejes cartesianos.

d) Indicar entre qué valores se pueden encontrar las soluciones.

III. INECUACIONES

A. Exprese mediante inecuaciones los siguientes enunciados

i. Los números naturales menores o iguales que 4. ii. Los números reales mayores que –2 y menores que 5. iii. El precio de 4 cuadernos no supera los $15. iv. El dinero que tiene Pedro es a lo sumo igual al que tiene Juan. v. El peso de Mariela es, por lo menos, igual al doble del peso de su hermanita, Laura. vi. El precio del kg de naranjas no supera al precio del kg de peras.

B. Escriban las Inecuaciones correspondientes a cada enunciado aclarando el significado que dan a x. a) Juan se levanta siempre entre las 7 y las 8 AM. b) El precio de los pantalones, en esta tienda, varía de $40 a $60. c) El número de espectadores en las cinco funciones osciló entre 242 y 325. d) Esta película está prohibida para menores de 14 años.

C. Indique cuál o cuáles de los siguientes valores de x corresponden a una solución de la siguiente inecuación

212

20

25213

/) x d -b) x

c) x a) x

x)(x

====

−>+−

D. Exprese las siguientes inecuaciones como intervalos de números reales y represéntelos en la recta

numérica.

3 66

65 82 94 53

>≤≤−≤≤<<<≤≤−

f) x xe)

/d) x xc) xb) xa)

E. Dada la siguiente desigualdad 4 < 12 realice en cada caso la operación indicada y establezca si se

mantiene o no la desigualdad anterior: Enuncie una conclusión de cada uno i. Sumar a ambos miembros un mismo número positivo. ii. Sumar a ambos miembro un mismo número negativo. iii. Restar a ambos miembros un mismo número positivo. iv. Restar a ambos miembros un mismo número negativo. v. Multiplicar ambos miembros por un mismo número positivo. vi. Multiplicar ambos miembros por un mismo número negativo. vii. Dividir ambos miembros por un mismo número positivo. viii. Dividir ambos miembros por un mismo número negativo.

F. Resolver:

1)231 22)4(2

)4(228 3294

7)4(2310 1945

−+−<+≥+−≥−−>+−

++−≤−−<−

xf) x xc)

xxe) xxb)

xxd) xa)

T P 2



MATEMATICA




G. Hallar el conjunto de soluciones de las inecuaciones siguientes:

12

1 758

31 2

3

)2(2 32

8

41

4

4 851 573

+>−≤−

≤−<+>−

+≤+−−≤−<−

xx

f) xc)

xxh)x

xe) xb)

xxg)xd) xa)

H. Traducir al lenguaje algebraico

a. El cuadrado de un número es menor que el doble de ese número más 15. b. Si creciera 15 cm, superaría la estatura que se requiere para entrar en el equipo de baloncesto,

que es 1,80 cm.

Problemas 1. Hallar los valores de x para los cuales la base es mayor que la altura.

2. Una empresa de telefonía cobra mensualmente $33 en concepto de abono y $0,045 por cada

minuto que se utilice el servicio. ¿Cuántos minutos puede hablar, a lo sumo, una persona que no quiere pagar más de $50 mensuales?.

3. Adriana dispone de $50 para comprarse ropa. No le alcanza para comprarse dos pantalones, pero si compra dos remeras del mismo precio y un pantalón que cuesta $29 le sobra. ¿Cuál puede ser, como máximo, el precio de cada remera?

4. Roberto trabaja como personal de maestranza en una editorial. Tiene que bajar paquetes con libros en un montacargas en el que puede cargar hasta 500 kg. Sabiendo que Roberto pesa 85 kg y que cada paquete de libros pesa 25 kg, ¿Cuántos paquetes puede bajar, a lo sumo, en cada viaje?

T P 2

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