República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

Instituto Universitario Santiago MariñoBarinas Estado Barinas

EJERCICIOS BINOMIAL, NORMAL Y POSSION

José Luis Serrano22.111.448

Barinas, Marzo 2016

Distribución Binomial

Para hablar de la distribución Binomial  primero tenemos que decir que esta dada por la sumatoria de eventos bernoulli, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p.X˜Be(p)

La fórmula será:f(x) = px(1 − p)1 − x con x = {0,1}Su función de probabilidad viene definida por: 

La distribución binomial es una distribución de probabilidades que surge al cumplirse cinco condiciones:

Existe una serie de N ensayos,En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados,

En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes,Los resultados de cada ensayo son independientes entre si, yLa probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo es la misma de un ensayo a otro.

Su función de probabilidad es

donde 

siendo   las combinaciones de n en x (n elementos tomados de x en x)

La esperanza y  la varianza son

La Función de Distribución de la v.a. Binomial

Las siguientes características  son las que describen a una distribución Binomial

Función generadora de momentos (mgf)

Función característica

Distribución Poisson

La distribución Poisson fue nombrada así en honor a Denise Poisson en su libro Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía. La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. asi tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.La función de masa de la distribución de Poisson es:

donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ.

Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamañon.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a la parte entera de lamda, el mayor de los enteros menores que λ . Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de λ, una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente

converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.Función de distribución(cdf)

Función característica

Distribución Normal

La distribución normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733,2 que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libroTeoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.

Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos3 y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.4 Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que

ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de  p  y valores de  n  cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".Función de densidad

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).

Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. Para esta la  función de densidad tiene la siguiente expresión:

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

La función generadora de momentos se define como la esperanza de e(tX). Para una distribución normal, la función generadora de momentos es:

como puede comprobarse completando el cuadrado en el exponente.

La función característica se define como la esperanza de eitX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generadora de momentos.Para una distribución normal, la función característica es:

Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) :Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial  B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal

POSSION

1. Suponga que 220 errores de impresión están distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 2000 páginas. Encuentre la probabilidad de que una página contenga:a. Ningún error de impresión.b. 1 error de impresión.c. 2 errores de impresiónd. 2 o más errores de impresiónX 220 ERRORESN 2000 220------2000 Y ------- 1

0.1 ERROR POR PAGINA

BINOMIAL

1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:a. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?b. ¿Y cómo máximo 2?4 0.2PERSONAS 0.8Q = 0.2 X=2 0.1536MAXIMO 0.1808

NORMAL

1. Supongamos que Z es una variable alectorias que se distribuye según una distribución N(0,1) calcular:a. P(Z≤1.47) = 0.9292b. P(Z>1.47)= 1 c. P(Z ≤ -1.47) = 0.9292 = 0.0708 d. P(Z<1.47) = 0.9292

e. P(0.45< Z ≤1.47) =0.2556f. P(-1.47<Z ≤-.045) g. P(-1.47<Z ≤0.45) =0.6028h. P=0.75 ≤ 0.68