MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.

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EJERCICIOS DIVERSOS Nº 1

Lógica y conjuntos

1) Demuestre que [ ] ABBAABB CCC −=∪∪∪∩ )()( Solución.

[ ] [ ])())(()()( CCCCCCCC BAABBBAABB ∩∪∩∩=∪∪∪∩ = [ ])()( CCC ABABB ∩∪∩∩ = [ ]CC ABBB ∩∪∩ )( = )( CAUB ∩∩ = ABAB C −=∩

2) Demuestre , usando el álgebra de proposiciones que [ ])(~)(~)( pqqp ⇒⇒⇒ es una tautología Demostración Debemos demostrar que [ ]{ } Ipqqp ⇔⇒⇒⇒ )(~)(~)(

[ ])(~)(~)( pqqp ⇒⇒⇒ [ ])(~)(~)(~ pqqp ⇒∨⇒⇔ [ ] [ ])(~)(~~))((~~ pqqp ∨∨∨⇔ ))(~())(~( pqqp ∨∨∧⇔ [ ] )(~))(~( pqqp ∨∨∧⇔ [ ] )(~))((~)( pqqqp ∨∨∧∨⇔ [ ] )(~)( pIqp ∨∧∨⇔ )(~)( pqp ∨∨⇔ )(~)( ppq ∨∨⇔ [ ])(~ ppq ∨∨⇔ IIq ⇔∨⇔

3) Exprese )()( srqp ∨∨∧ usando sólo los conectivos “~” y “⇒ ” Solución.

)()( srqp ∨∨∧ )()(~ srqp ∨⇒∧⇔ [ ] )()(~)(~ srqp ∨⇒∨⇔ [ ] [ ]srqp ⇒⇒⇒⇔ )(~)(~)(~~ [ ] [ ]srqp ⇒⇒⇒⇔ )(~)(~

MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ SERRANO

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMATICA Y C.C.

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4) En una encuesta a 250 personas, realizada para conocer el contenido de su desayuno, en relación al consumo de café, té y leche, se obtuvieron los siguientes resultados:

30 personas tomaban té con leche 40 personas tomaban café con leche 80 personas tomaban leche 130 personas tomaban café o leche 150 personas tomaban café o leche

a) ¿Cuántas personas toman té? b) ¿Cuántas personas tomaban sólo leche? Solución. Considere los siguientes conjuntos: U = población encuestada , T = personas que toman té , C = personas que toman café , L = personas que toman leche; así, del enunciado conseguimos los siguientes datos

150)( , 130)( , 80)( , 40)( , 30)( , 250)( =∪=∪==∩=∩= LCnLTnLnLCnLTnun , se pide a) )(Tn b) )( CC TCLn ∩∩

a) Como )()()()( LTnLnTnLTn ∩−+=∪ entonces 3080)(130 −+= Tn , de donde 80)( =Tn

b) )( CC TCLn ∩∩ = ))(( CTCLn ∪∩

))(()( TCLnLn ∪∩−= [ ])()()()( TCLnTLnCLnLn ∩∩−∩+∩−= 10)03040(80 =−+−=

Naturalmente que podemos encontrar la solución usando un diagrama