UNIDAD 2

GRÁFICA DE DESIGUALDADES

EJERCICIO N° 1

1) Convertir la desigualdad en igualdad

2X1 + 4X2 = 12

2) Graficar una recta

Recta.- representa una ecuación de 1°

Curva.- representa una ecuación de 2°

X1 X2

0 3

6 0

3) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)

4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad

2(0)+4(0) ≤ 12

0 < 12 VERDADERO

Regresando al paso 3) Si escojo otro punto de ensayo por ejemplo P (6,4)

2(6)+4(4) ≤ 12

28 ≤ 12 FALSO

2X1 + 4X2 ≤ 12

EJERCICIO N°2

3X1 + 6X2 = 17

X1 X2

0 2.8

5.7 0

P (0,0)

3(0)+6(0) ≥17

0 ≥ 17 FALSO

RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

EJERCICIO # 3

Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de

Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar

mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y

320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo

y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto

requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100.

El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.

3X1 + 6X2 ≥ 17

ESTRUCTURA DEL MODELO DE PL

1. FUNCION OBJETIVO.- Maximizar

2. VARIABLES DE DECISIÓN.- son las incógnitas: liquidaciones X1 y auditorías X2

3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES.- Se dispone de 800 horas de trabajo y 320

de revisión y un máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60

4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en

algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

F.O

8X1+40X2 ≤ 800

S.a 5X1+10X2 ≤ 320

X1 ≤ 60

Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0

8X1+40X2 = 800

X1 X2

0 20

100 0

8(0)+40(0) ≤ 800

0 ≤ 800 VERDADERO

5X1+10X2 = 320

X1 X2

0 32

64 0

5(0)+10(0) ≤ 320

0 ≤ 320 VERDADERO

X1 = 60

MAXIMIZAR:

Z= 100(X1) +300(X2)

Para calcular los puntos C y D por el método de eliminación

8X1+40X2 = 800

5X1+10X2 = 320 (-4)

8X1 +40X2 = 800

-20X1-400X2 = -1280

-12X1 = - 480

X1 = 40

8(40) + 40X2 = 800

40X2 = 800 -320

X2 = 12

X1 = 60

5(60) + 10X2 = 320

10X2 = 320 – 300

X2 = 2

Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2

Variables Óptimas (VO): X1 = 40 Restricciones Inactivas: (RI): 3

X2 = 12

PUNTO X1 X2 Z

A 0 0 0

B 0 20 6000

C 40 12 7600

D 60 2 6600

E 60 0 6000

COMPROBACIÓN

1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800

8(40)+40(12) ≤ 800

320 + 480 ≤ 800

800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800

8(40) + 40 (12) + h1 = 800

800 + h1 = 800

h1 = 0

2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320

5(40) + 10(12) ≤ 320

200 + 120 ≤ 320

320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320

5(40) + 10(12) + h2 = 320

200 + 120 + h2 = 320

h2 = 0

3) X1 ≤ 60

40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60

40 + h3 = 60

h3 = 20

Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para

tener un ingreso de $7600.

Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones

posibles en el mes.

CONCEPTUALIZACIONES

Maximización: representa el punto más lejos del origen.

Minimización: representa el punto más cercano al origen.

Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones.

RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS

Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad

al sustituir las variables.

Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución.

HOLGURA Y EL EXCEDENTE

Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la

anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad.

Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido.

Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad.

Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser

diferentes o mayores que cero.

EJERCICIO # 4

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y

mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de

mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de

electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la

Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos.

¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y

cuál es este?

FORMULACIÓN:

F.O.

VARIABLES: X1= número de mecánicos

X2= número de electricistas

X1≥ X2

X1≤ 2X2

Lim. X2≤ 30

X1≤ 20

C.T X1, X2 ≥ 0

X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20

X1 X2 X1 X2

0 0 0 0

5 5 10 5

10 10 20 10

15 15 30 15

20 20 40 20

MAXIMIZAR: Z= 200(X1) +250(X2)

0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20

Verdad Verdad Verdad Verdad

SO. Z= 9000

V.O. RA=1, 4

X1= 20 RI= 2, 3

X2=20

COMPROBACIÓN

1) X1≥ X2

20≥20 Hay equilibrio

2) X1≤ 2X2

20 ≤ 2(20)

20 ≤ 40 Hay holgura

X1 + H1 = 2X2

20 + H1 = 2(20)

20 + H1 = 40

H1 = 20

3) X2≤ 30

20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30

20 + H2 = 30

H2 = 10

4) X1≤20

PUNTOS X1 X2 Z

B 20 10 6500

C 20 20 9000

20 ≤ 20 Hay equilibrio

PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE

MECÁNICOS 20

ELECTRICISTAS 30 10

EJERCICIO # 5

Solución única

Función objetivo:

MINIMIZAR Z = 2X + 3Y

-3x+2y ≤ 6

X +y ≤ 10.5

-x+2y ≥ 4

CONDICIÓN TÉCNICA X,Y ≥ 0

1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4

0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4

Verdadero Verdadero Falso

X Y

0 3

-2 0

X Y

0 10.5

10.5 0

X Y

0 2

-4 0

PUNTOS X Y Z

A 0 2 6

s.a

SO

Z=6 RA=3

RI=1, 2

V.O

X =0

Y= 2

COMPROBACIÓN:

1) -3x+2y ≤ 6

-3(0)+2(2) ≤ 6

4 ≤ 6 HAY HOLGURA -3(0)+2(2)+H1=6

4+H1=6

H1=3

2) X +y ≤ 10.5

0+2 ≤ 10.5

2 ≤ 10.5 HOLGURA (0)+2+H2=10.5

2+H2=10.5

H2=8.5

3) -x+2y ≥ 4

-0+2(2) ≥ 4

4 ≥4

EJERCICIO # 6

Solución múltiple

Función objetivo:

MAXIMIZAR Z = 5/2X1 + X2

3x1+5x2 <=15

5X1 +2x2<=10

CONDICIÓN TÉCNICA X1;x2 ≥ 0

1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10

X1 X2

0 3

5 0

0 ≤ 15 0 ≤ 10

Verdad Verdad

X1 X2

0 5

2 0

SA

SO

Z=5 RA=1;2

V.O

X1 =20/19

X2= 45/19

POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS

X1 DESDE 20/19 HASTA 45/19

20/19 ≤ X1 ≤ 2

X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19

DONDE Z = 5

Para calcular el Punto C

3x1+5x2 =15 (-2)

5X1 +2x2=10(5)

-6x1-10x2 =-30

25X1 +10x2=50

19x1 0 =20

X1=20/19

3(20/19)+5x2 =15

60/19+5x2 =15

X2 =45/19

PUNTO C= (20/19; 45/19)

COMPROBACIÓN:

1) 3x1+5x2 ≤ 15

3(20/19)+5(45/19) ≤ 15

15 ≤ 15

2) 5X1 +2x2 ≤ 10

5(20/19)+2(45/19) ≤ 10

10 ≤10

EJEMPLO # 7

NO ACOTADO.- una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.

Función objetivo:

MAXIMIZAR Z= 5000A + 4000B

A+B>=5

A-3B<=0

30A+10B>=135

CONDICIÓN TÉCNICA A;B ≥ 0

1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135

A=3B

0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135

Falso Verdad Falso

A B

0 5

5 0

A B

0 13.5

4.5 0

A B

3 1

15 5

SA

No acotada no hay solución

EJERCICIO # 8

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden

suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos.

El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El

mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo

que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km,

calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y

dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

FORMULACIÓN:

FO. Z = 150A + 300B

RESTRICCIONES

8A +2B ≥ 16

A + B ≥ 5

2A+7B ≥ 20

CONDICIÓN TÉCNICA A, B ≥ 0

1) 8A +2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A+7B ≥ 20

A B A B A B

0 8 0 5 10 0

2 0 5 0 0 2,86 = 3

0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20

Falso Falso Falso

SA

PUNTOS X1 X2 Z

B 1 4 1350

C 3 2 1050

SO

Z= 1050 RA= 2,3

VO RI= 1

A= 3

B= 2

COMPROBACIÓN

1) 8A +2B ≥ 16

8(3)+2(2) ≥ 16

24+4 ≥ 16

2) 28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16

8(3)+2(2) - H1= 16

28 – H1 = 16

H1 = 12

3) A + B ≥ 5

3 + 2 ≥ 5

5 ≥ 5

4) 2A+7B ≥ 20

2(3)+7(2) ≥ 20

6+14 ≥ 20

20 ≥ 20

Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.

EJERCICIO # 9

Problemas no factibles.- tienen un conjunto factible vacío

MAXIMIZAR Z= 3000E + 4000F

E +F ≤ 5

E -3F ≤ 0

10E + 15F ≤ 150

20E + 10F ≤ 160

30E +10F ≥ 150

CONDICIÓN TÉCNICA.- E,F ≥0

SA

E +F = 5 E -3F = 0 10E + 15F = 150 20E + 10F = 160 30E +10F = 150

E F E F E F E F E F

0 5 3 1 15 0 0 16 0 15

5 0 6 2 0 10 8 0 5 0

0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150 0 ≤ 160 0 ≥ 150

Verdad Verdad Verdad Verdad Falso

No tienen solución