Ejercicios resueltos y explicados

1 ejercicios (de clase)

SEA EL CONJUNTO S UNA BASE ORTONORMAL DETERMINAR LA NORMA DE

u+ v:

S={ u,v } Primeramente los vectores u y v son ortonormales por lo tanto son

ORTOGONALES, esto quiere decir que || u/v || = 0, y que:

|| u || = √ (u/u) = 1; entonces, || u || ² = (u/u) = 1

|| v || = √ (v/v) = 1; entonces, || v || ² = (v/v) = 1

Aplicando la propiedad de productos internos tenemos que:

|| u+v || = √(u+v / u+v) = √ (u/u) + (u/v) + (v/u) + (v/v) = √ 2

2 ejercicio (folleto)

DEMOSTRAR QUE || αu || =|α| || u || ;

|| αu || = || αu || ( Tomamos la hipótesis e igualamos ambas expresiones)

= √ (αu / αu) (aplicamos definición de norma de vector)

= √ α² (u /u) (aplicamos propiedades de producto interno)

= |α| √ (u /u) (como α es un escalar aplicamos propiedad del valor absoluto)

= |α| || u || ( definición de norma de un vector, y queda demostrada la tesis)

A PARIR DE LOS DATOS: = || u || = || v || =1 y v/ (u+ v)= 0 ; CALCULAR u/v

|| u || = √ (u/u) = 1; entonces, || u || ² = (u/u) = 1

|| v || = √ (v/v) = 1; entonces, || v || ² = (v/v) = 1

Aplicando propiedades del producto internos tenemos que:

v/ (u+ v)= (v / u) + (v/v) = 0

v/ (u+ v)= (v / u) + 1 = 0 (por hipótesis)

(v / u) + 1 = 0

(v / u) = -1 (despejando la ecuación anterior)

Ejercicios propuestos

2 ejercicios (folleto exámenes)

1.- PROBAR LA LEY DEL PARALELOGRAMO PARA DOS VECTORES

CUALESQUIERA EN UN ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO:

|| u+v || ² + || u-v ||² = 2 || u ||² + 2 || v ||²

2.- SEA V UN ESPACIO VECTORIAL DEFINIDO CON PRODUCTO INTERNO, PROBAR QUE SI u, v

PERTENECE A V

|| u+v || ² = || u ||² + || v ||² SI Y SOLO SI (u / v) = 0

ESTE RESULTADO SE CONOCE COMO TEOREMA DE PITÁGORAS.

Evaluación

2 preguntas (opción múltiple)

1.- A LA NORMA DE UN VECTOE SE LA CONOCE TAMBIEN COMO:

A- BASE DE UN VECTOR

B- LONGITUD DE UN VECTOR

C- AREA DE UN VECTOR

D- DIMENCION DE UN VECTOR

2.- AL REFERIRSE A LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS R, R², R³, LA NORMA, ES UN

NÚMERO REAL QUE REPRESENTA:

A-DESIGUALDAD TRIANGULAR

B-DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARTZ

C-LA DISTANCIA ENTRE EL ORIGEN Y EL EXTREMO DEL VECTOR

D-NINGUNA RESPUESTA