Ejercicios y problemas de números enteros

1Ordenar, en sent ido crec iente , representar gráf i camente, y

ca lcu lar los opuestos y va lores abso lutos de los s igu ientes números

enteros :

8, −6, −5, 3 , −2, 4 , −4, 0 , 7

2Representar gráf i camente, y ca lcu lar l os opuestos y va lores

abso lutos de los s iguientes números enteros :

−4, 6 , −2, 1 , −5, 0 , 9

3Sacar factor común en las expres iones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =

2(−2) · 12 + (−2) · (−6) =

38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

4(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4Real i zar las s igu ientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

3 9 : [6 : (− 2)] =

4 [(−2) 5 − (−3) 3] 2 =

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

6 [(17 − 15) 3 + (7 − 12) 2] : [ (6 − 7) · (12 − 23)] =

5Real i zar las s igu ientes operaciones con números enteros

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6Calcu la, s i ex is te:

1

2

3

4

5

6

7Real i zar las s igu ientes operac iones con potencias de

números enteros :

1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =

2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =

3 (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =

4 2− 2 · 2− 3 · 2 4 =

5 2 2 : 2 3 =

6 2− 2 : 2 3 =

7 2 2 : 2− 3 =

8 2− 2 : 2− 3 =

9 [(−2)− 2 ] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 =

10 [(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2)− 4 =

8Real i zar las s igu ientes operac iones con potencias de

números enteros :

1(−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =

2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0=

3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3)− 4 =

4 3− 2 · 3− 4 · 3 4 =

5 5 2 : 5 3 =

6 5− 2 : 5 3 =

7 5 2 : 5 − 3 =

8 5− 2 : 5− 3 =

9 (−3) 1 · [ (−3) 3] 2 · (−3)− 4 =

10 [(−3) 6 : (−3) 3] 3 · (−3) 0 · (−3)− 4 =

Propiedades

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base :

Es o t ra potenc ia con la misma base y cuyo exponente es l a

suma de los exponentes .

am · a n = am + n

(−2)5 · (−2) 2 = (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128

4. Div isión de potencias con la misma base :

Es o t ra potenc ia con la misma base y cuyo exponente es la

diferencia de los exponentes .

am : a n = am — n

(−2)5 : (−2) 2 = (−2)5 — 2 = (−2)3 = −8

5. Potencia de una potencia :

Es o t ra potenc ia con la misma base y cuyo exponente es e l

producto de los exponentes .

(am)n = am · n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l

producto de las bases

an · b n = (a · b) n

(−2) 3 · (3) 3 = (−6) 3 = −216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l

coc iente de las bases.

an : b n = (a : b) n

(−6) 3 : 3 3 = (−2) 3 = −8

Operaciones combinadas

1. Sin paréntesis

1.1 Sumas y di ferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la i zquierda, vamos e fectuando las

operac iones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Sumas, restas y productos.

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Rea l i zamos primero los productos por tener mayor prioridad .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

E fectuamos las sumas y restas .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Sumas, restas , productos y div isiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Rea l i zamos los productos y cocientes en e l o rden en e l que

los encontramos porque las dos operac iones t ienen la misma

prioridad .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

E fectuamos las sumas y restas .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Sumas, restas , productos , div isiones y potencias.

2 3 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 16 : 4 =

Rea l i zamos en pr imer lugar las potencias por tener mayor

prioridad .

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes .

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

E fectuamos las sumas y restas .

= 26

2. Con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4 ) −5 + (10 − 2 3)=

Rea l i zamos en pr imer lugar las operaciones contenidas en

el los .

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis rea l i zando las operac iones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Con paréntesis y corchetes

[15 − (2 3 − 10 : 2 ) ] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes

de los paréntesis .

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =

Rea l i zamos las sumas y restas de los paréntesis .

= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntes is d i rectamente:

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis .

= 12 · 7 − 3 + 2

Mult ipl icamos .

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos .

= 83

4.Con fracciones

Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los

paréntesis .

Operamos en e l pr imer paréntesis , qu i tamos e l segundo,

s impl i f i camos en e l tercero y operamos en e l ú l t imo.

Rea l i zamos e l producto y lo simpl i f icamos .

Rea l i zamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones de l numerador , dividimos y

simpl i f icamos e l resul tado.

Ejercicio de operaciones combinadas

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2) 2 · 2 - 6)]}+ (2 2 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 -

2 3 : 2) =

Primero operamos con las potencias, productos y

cocientes de los paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2 )

=

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6) ] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Real izamos las sumas y di ferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

14 − (17) + ( -5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de real izarse considerando

que:

S i e l paréntes is va preced ido de l signo + , se supr imi rá

manteniendo su signo los términos que contenga.

S i e l paréntesis va preced ido del signo − , a l supr imi r e l

paréntes is hay que cambiar de signo a todo los términos que

contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6

Ejercicios y problemas de números enteros

1Ordenar, en sent ido crec iente , representar gráf i camente, y

ca lcu lar los opuestos y va lores abso lutos de los s igu ientes números

enteros :

8, −6, −5, 3 , −2, 4 , −4, 0 , 7

2Representar gráf i camente, y ca lcu lar l os opuestos y va lores

abso lutos de los s iguientes números enteros :

−4, 6 , −2, 1 , −5, 0 , 9

3Sacar factor común en las expres iones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =

2(−2) · 12 + (−2) · (−6) =

38 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

4(−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4Real i zar las s igu ientes operaciones con números enteros

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =

2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

3 9 : [6 : (− 2)] =

4 [(−2) 5 − (−3) 3] 2 =

5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2) 2 =

6 [(17 − 15) 3 + (7 − 12) 2] : [ (6 − 7) · (12 − 23)] =

5Real i zar las s igu ientes operaciones con números enteros

1 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =

2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=

3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

6Calcu la, s i ex is te:

1

2

3

4

5

6

7Real i zar las s igu ientes operac iones con potencias de

números enteros :

1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =

2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =

3 (−2)− 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =

4 2− 2 · 2− 3 · 2 4 =

5 2 2 : 2 3 =

6 2− 2 : 2 3 =

7 2 2 : 2− 3 =

8 2− 2 : 2− 3 =

9 [(−2)− 2 ] 3 · (−2) 3 · (−2) 4 =

10 [(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2)− 4 =

8Real i zar las s igu ientes operac iones con potencias de

números enteros :

1(−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =

2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0=

3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3)− 4 =

4 3− 2 · 3− 4 · 3 4 =

5 5 2 : 5 3 =

6 5− 2 : 5 3 =

7 5 2 : 5 − 3 =

8 5− 2 : 5− 3 =

9 (−3) 1 · [ (−3) 3] 2 · (−3)− 4 =

10 [(−3) 6 : (−3) 3] 3 · (−3) 0 · (−3)− 4 =

Problemas de números enteros

1Un emperador romano nac ió en e l año 63 a. C. y mur ió en e l

14 d . C. ¿Cuántos años v iv ió?

2Una bomba ext rae e l pet ró leo de un pozo a 975 m de

pro fund idad y lo e leva a un depósi to s i tuado a 48 m de al tura. ¿Qué

n ive l supera e l pet ró leo?

3¿Qué d i ferenc ia de temperatura soporta una persona que pasa

de la cámara de conservac ión de las verduras, que se encuentra a 4

ºC, a la de l pescado conge lado, que está a −18 ºC? ¿Y s i pasara de

l a cámara de l pescado a la de la verdura?

4La temperatura de l a i re baja según se asc iende en la

atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué a l tura vue la un

avión s i la temperatura de l a i re es de −81 º C?

5En un depós i to hay 800 l de agua. Po r la parte super io r un

tubo v ierte en e l depós i to 25 l por minuto , y por la parte infer ior

por ot ro tubo sa len 30 l por minuto . ¿Cuántos l i t ros de agua habrá

en e l depósi to después de 15 minutos de func ionamiento?

Operaciones de complejos en forma binómica

Suma de números complejos

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

Resta de números complejos

(a + b i) − (c + d i) = (a − c) + (b − d) i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2 i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

(a + b i) · (c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15 i + 4 i − 6 i2 = 10 − 11 i + 6 = 16 − 11 i

División de números complejos

Números complejos en forma polar

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el

módulo del vector determinado por el origen de

coordenadas y su afijo . Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el

ángulo que forma el vector con el eje real. Se

designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo .

arg(z) = es el argumento .

Operaciones de complejos en forma polar

Multiplicación de complejos en forma polar

645° · 315° = 1860°

Producto por un complejo de módulo 1

Al multiplicar un número complejo z = r α por

1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

rα · 1β = rα + β

División de complejos en forma polar

645° : 315° = 230°

Potencias de complejos en forma polar

(230°)4 = 16120°

Fórmula de Moivre

Raíz de complejos en forma polar

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)

Números complejos en forma trigonométrica

r (cos α + i sen α)

Binómica z = a + b i

Polar z = rα

trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Pasar a la forma polar y trigonométrica:

z = 260º

z = 2 · (cos 60º + i sen 60º)

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º

z = 2 · (cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

z = 2 · (cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

z = 2 · (cos 0º + i sen 0º)

z = −2

z = 2180º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

z = 2 i

z = 290º

z = 2 · (cos 180º + i sen 180º)

z = −2 i

z = 2270º

z = 2 · (cos 270º + i sen 270º)

Escribe en forma binómica:

z = 2120º

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

z =10º = 1

z =1180º = −1

z =190º = i

z =1270º = − i

−2 + 2 i

Representación gráfica de la parábola

Podemos const ru i r una parábo la a part i r de estos puntos:

1. Vért ice

Por e l vér t i ce pasa e l e je de s imetr ía de la parábo la.

La ecuac ión de l e je de s imetr ía es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En e l e je de abscisas la segunda coordenada es cero , por lo

que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Reso lv iendo la ecuac ión podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1 , 0) y (x2 , 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x1 , 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En e l e je de ordenadas la pr imera coordenada es cero , por lo

que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

Representar la func ión f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vért ice

x v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

Apuntes

Ejerc ic ios 1

Ejerc ic ios 2

In i c io

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Res

Índ

Función afín

La función af ín es de l t ipo:

y = mx + n

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la incl inación de la recta con respecto a l e je

de absc isas.

Dos rectas paralelas t i enen la misma pendiente .

n es la ordenada en el origen y nos ind ica e l punto de corte

de la recta con e l e je de ordenadas.

Ejemplos de funciones afines

Representa las func iones:

1 y = 2x - 1

x y = 2x-1

0 -1

1 1

2y = -¾x - 1

x y = -¾x-1

0 -1

4 -4

Buscar

Buscar

Si t i o

I n i c i o

T emar i o Mat emát i cas

Ramas Mat em át i cas

Ej er c i c i os Mat emát i ca s

ESO

Bach i l l e r a t o

Cál cu l o

T ema

T i pos de f unc i ones

Func i on es c onst a n t es

Func i ón l i ne a l

Func i ón a f í n

Func i ón cuadr á t i ca

T r as l ac i ón par ábo l a

Di l a t ac i ones

Func i on es r ac i o na l es

T r as l ac i ón h i pér bo l a

Func i on es r ad i c a l es

Func i on es a t r oz os

F . va l o r abso l u t o

Func i ón expo nen c i a l

Func i ón l og ar í t m i ca

F . t r i gonomét r i cas

Resum en

Ej er c i c i os 1

Ej er c i c i os 2

Pol í t i ca de pr ivac idad