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Ensayo sobre la historia del Infinito, y las diferentes concepciones que se le han venido otorgando
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“BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA”
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICASLIC. MATEMÁTICAS
DESARROLLO DE HABILIDADES EN EL USO DE LA TECNOLOGÍA, LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN
PROFESOR: AURELIANO JIMENEZ MARTINEZ
El Infinito en Matemáticas
Ensayo
Presenta: Valeria Ángeles Millán
20/11/2012
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El Infinito en Matemáticas
ÍNDICE
Introducción………………………………….…………………….
Historia, símbolo y curiosidades del Infinito…………….
El hotel infinito de Hilbert……………………………………
Conclusión………………………………………………………..
Referencias………………………………………………………..
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9
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El Infinito en Matemáticas
Introducción
Muchas veces, cuando hablamos del Infinito, se nos viene a nuestra mente una
serie de conceptos relacionados a él, pensamos en el Infinito como un algo que no
tiene fin, usamos en concepto de el mismo en cosas que al no ver su fin, decimos
que es algo Infinito, mas no estamos seguros de que en verdad lo sea, no
sabemos si el fin se acerque, pero por el simple hecho de que no lo veamos cerca,
decimos que es “Infinito”.
Como este, hay muchos más ejemplos, ejemplos en los que hacemos un mal uso
de tal concepto, en fin retomando todo esto ¿Qué es el Infinito? No existe a
ciencia exacta un concepto fijo del Infinito, pero estudiaremos en este apartado
diferentes percepciones sobre Infinito, mismas que son muy indispensables e
importantes para la concepción de él mismo y que han marcado su historia.
Historia, símbolo y curiosidades del Infinito
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El Infinito en Matemáticas
Esta aceptado que fue en la Grecia Clásica donde aparecieron las primeras
preocupaciones sobre el Infinito, a pesar de que ellos no tenían un sistema de
numeración posicional, un sistema
de numeración es posicional cuando
el número representado se calcula
asignando a cada dígito un valor
que depende exclusivamente de
cada símbolo y de su posición, un
ejemplo de sistema no posicional
como el que utilizaba la Grecia Clásica es el romano. (Martel, F. y Tenorio, A. F. V.
y Eugenio, M. 2010, Marzo)
El Infinito sigue causando demasiada controversia, que más adelante aparecen
otras percepciones para Platón y Pitágoras, donde para ellos el infinito era
apeiron, y que carecía de medida, para Anaximandro significa sin fin o sin límite
quien empleo a apeiron como la voz, y que suele traducirse como lo infinito, lo
indefinido, lo ilimitado. (Ortiz, J.R. 1994)
Como estas, se dieron muchísimas más concepciones, y el infinito empezó a
causar mucha controversia y demasiadas contradicciones, por estos motivos, la
idea del infinito fue rechazada por Aristóteles, quien trato de enfrentar dicho
problema a través de dos representaciones complementarias, distingue pues dos
tipos de infinito; el infinito potencial y el infinito actual.
Debido a esta percepción de Aristóteles, la noción del infinito tuvo un desarrollo
más amplio en la geometría al dividir un segmento de recta en un número infinito
de puntos, esto tomado del infinito potencial, mientras que para el infinito actual, la
otra clasificación propuesta por Aristóteles, sirvió de soporte para la posterior
formalización del cálculo infinitesimal. (Ortiz, J.R. 1994)
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El Infinito en Matemáticas
Notamos que estas dos clasificaciones tomaron demasiada importancia, y
marcaron sin duda alguna la historia del infinito, y que formaron parte de un sin fin
de formalizaciones matemáticas.
El infinito también tomo vínculos teológicos, al considerarse el infinito como
propiedad privilegiada de la majestad divina de Dios. San Agustín creía que solo
Dios y sus pensamientos eran infinitos, mientras que Santo Tomas de Aquino
demostraba que aunque Dios era ilimitado él no podía crear cosas absolutamente
limitadas.
Para 1600, Galileo Galilei con apreciaciones algo ambiguas, rechazo la idea del
infinito como paradójica, ya que atentaba contra la razón. Más adelante, a partir
del siglo XVII durante la revolución
científica, se comienza a usar la
curva lemniscata (∞) como símbolo
del infinito, se atribuye a John
Wallis haber sido el primero en
utilizar el símbolo ∞ para el infinito
en sus obras. (Ortiz, J.R. 1994)
Kant, en el siglo XIX, coincidía con Aristóteles al señalar que nunca podemos
llegar al infinito (actual). Mientras que en 1831 el matemático Karl Friedrich Gauss,
enfatizaba su protesta contra el uso del infinito como algo consumado, él decía
que eso nunca se puede permitir en matemática, declaraba que el infinito era solo
una forma de hablar.
Sin duda alguna otro personaje bastante importante en la historia del infinito es el
matemático alemán David Hilbert quien plantea una construcción abstracta en
donde intervienen varias metáforas inventadas por el mismo. En esta metáfora
explica de manera simple e intuitiva, sucesos de modo paradójicos relacionados
con el infinito.
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El Infinito en Matemáticas
El gran avance en el concepto y entendimiento del Infinito se dio con George
Cantor, que para finales del siglo XIX desarrolla una teoría formal sobre el infinito
actual, donde establece que no todos los infinitos son igual de grandes, que
ningún conjunto es tan grande como el conjunto de sus subconjuntos, y que no
existe algo que pueda definirse como el conjunto de todos los conjuntos. (Mikael,
R. 2008, Abril)
En conclusión, retomamos lo más importante hacia la percepción del infinito:
Para Cantor, el infinito potencial tiene solo una realidad prestada, y que
no todos los infinitos son igual de grandes
Para San Agustín, que tales cosas infinitas son pasado en el
conocimiento de Dios, y que sería impropio decir que Dios no conoce a
todos los números, sería inadmisible atreverse a decir que tiene límites
en su sabiduría.
Para Tomas de Aquino la existencia de una multitud de infinitos reales es
imposible, y que ningún número es infinito para el resultado numérico de
contar a través de un conjunto de unidades y que por lo tanto ningún
conjunto de cosas puede en realidad estar esencialmente ilimitado, ni
puede suceder que sea ilimitado.
Galileo decía que nosotros intentamos discutir sobre el infinito
asignándole propiedades que damos a lo finito y limitado y que lo
hacemos con nuestras mentes finitas; él decía que esto es incorrecto, ya
que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores,
menores o iguales a otras.
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El Infinito en Matemáticas
Gauss protestaba contra el uso de magnitudes infinitas como algo
completo, porque según él, en matemáticas esto no es permitido, decía
que el infinito es simplemente una forma de hablar, donde el significado
real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente
cercanos, mientras que otros de les permite incrementarse sin
restricción.
Aristóteles rechazo la idea de un infinito real, enfrentando esta serie de
controversias con una postura en la que define a dos tipos de infinito, el
actual y el potencial.
David Hilbert propone una metáfora con hechos paradójicos en donde
hace mención al infinito, conocida como El hotel infinito de Hilbert gracias
a ella, podemos entender de una manera mas simple el concepto del
infinito.
El Hotel Infinito de Hilbert
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El Infinito en Matemáticas
Como ya lo había mencionado es una metáfora inventada por el matemático
alemán David Hilbert, en la cual explica de una manera tan simple y con hechos
paradójicos las relaciones con el infinito.
Consiste en considerar que existe un hotel
con infinitas habitaciones, todas
numeradas por los números naturales, e
imaginar que llega un autobús con infinitos
pasajeros y llenan el hotel, es ahí donde se
trata de ver qué pasa si llega una persona
más, lo que Hilbert propone y lo lógico es
que todos los huéspedes se recorran una
habitación queda una disponible para la
persona que llego.
Es entonces donde surge otro inconveniente, ¿qué pasaría si llega otro autobús
infinito? la incógnita es plantearse un método para que todos entren, entonces la
solución sería que todos los que ya están en una habitación n se van a 2n es
decir, en las habitaciones pares, y entonces los nuevos se meterían en las
habitaciones que son impares.
Pero ¿y si llegan una infinidad de autobuses con una infinidad de personas a
bordo? Preguntas como estas surgen en la metáfora de Hilbert donde muestra una
serie de métodos como los pares e impares mencionados en el ejemplo anterior
para que todas las personas que lleguen puedan ser alojadas.
Conclusión
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El Infinito en Matemáticas
Concluimos entonces en que el infinito es en la actualidad un tema que causa
demasiada controversia ya que no existe una definición exacta de lo que es en sí.
Sin embargo nos es de mucha ayuda estudiar lo más relevante de su historia, las
distintas concepciones que existen hoy en día, algunas desbancadas por teorías
de otros, pero sin duda alguna de gran importancia, ya que el debatir sobre un
tema, nos ayuda a tener una concepción más cercana o adecuada de lo que
queremos entender.
Las ideas sobre el infinito son inmensas, algunas difieren de otras, pero la mayoría
nos lleva a una sola, misma que podemos entender al infinito como algo que no
tiene límite o final.
Referencias
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El Infinito en Matemáticas
Mikael, R. (2008, Abril). Infinito más uno: infinito. Tomado de: http://www.nablanoesunvector.org/archivos/trabajos/infinito.pdf
Martel, F. y Tenorio, A. F. V. y Eugenio, M. (2010, Marzo). Revista Iberoamericana de educación Matemática. Matemáticas del más allá: el infinito. Tomado de: http://www.fisem.org/web/union/revistas/21/Union_021_008.pdf
Ortiz, J.R. (1994). Boletín Vol. I, N°2. [En línea]. El concepto de infinito. URL Tomado de: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol1/vol1n2p59-81.pdf
Salat, F.R. (2011, Julio). Revista Didáctica de las Matemáticas. El infinito en matemáticas. Tomado de: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/77/Articulos_03.pdf
Hermán, C.M. [Documento en línea]. Historia de las Matemáticas: El infinito. Tomado de: http://www.astroseti.org/articulo/3482/
