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EL LENGUAJE SIMBÓLICO
Y NATURAL EN LA
CLASE DE MATEMÁTICA
MABEL RODRÍGUEZ
JORNADA DE MATEMATICA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA:
UN DESAFÍO CONSTANTE
Organización de la presentación
Ejemplos de falta de comprensión matemática
Elementos teóricos de Didáctica de la
Matemática
Análisis de los ejemplos a la luz de los
elementos teóricos
Explicaciones e implicancias en la enseñanza
Ejemplo 1
• Profesor: Seguimos trabajando con
números naturales. Vamos a probar que el
cuadrado de cualquier número par, es
siempre par.
• Escribe en el pizarrón:
n N, si n es par n2 es par
Dem: sea n = 2.k (k N), n2 = (2.k)2 =
4. k2 = 2.(2 k2). Listo.
• El profesor dice: “Prueben que si el
cuadrado de un número es impar es
porque dicho número es también impar”
• Distintos alumnos…
- Da ejemplos (49, 25, 9…) y responde V
- Da solo un ejemplo “raro” y si vale en ese
caso, afirma que vale siempre
(13995081 = 37412)
¿Por qué el alumnono se guía del
ejercicio resueltoanterior?
• Explicación oral del profesor: “Comenzamos a
trabajar con la noción de límite de sucesiones.
La clase que viene profundizaremos sobre esto,
pero ahora quiero presentarles el concepto para
que vayan teniendo idea de qué se trata. El
límite de una sucesión a sub n es un cierto valor
L si los términos de la sucesión están
arbitrariamente cercanos a L con tal de
considerar n lo suficientemente grande”.
• Pizarrón:
Ejemplo 2
Límite de una sucesión
Definición: Dada una sucesión {an} , el límite
de esa sucesión es L y se nota an →L sii:
∀ Ɛ > 0, n0 N / si n > n0,
∣an – L ∣ < Ɛ
• El estudiante toma apuntes del
pizarrón
• El profesor, la clase siguiente,
pregunta a la clase “¿podría alguno
recordar la idea de límite de
sucesiones?”los alumnosno pueden
responder….
• El docente explica el siguiente ejercicio a la
clase:
• Tenemos que probar
Explica oralmente: consideramos la definición. Ella
nos exige, para un épsilon arbitrario, positivo,
encontrar un valor natural a partir del cual los
términos de la sucesión se encuentran a una
distancia del supuesto valor del límite, 0 para
este caso, menor que el épsilon.
01
lim3
nn
Ejemplo 3
Entonces tomamos un épsilon arbitrario y
exploramos cómo deberíamos tomar los
valores de n para que el módulo de 1/n3
sea menor que tal épsilon. Intentaremos ir
acotando la expresión dada hasta que
podamos despejar n, ahora les muestro
en el ejemplo.
Mientras tanto en el pizarrón…
• Ejercicio:
• Sea Ɛ > 0,
Sigue la explicación oral: Llegado a este punto,hemos impuesto la condición que necesitamosque ocurra, sólo que nos resta conocer a partirde qué valor de n esto pasa. Es aquí dondeintentamos despejar n.
01
lim3
nn
33
11
nn
• En el pizarrón sigue:
de donde,
Sigue la explicación oral: Por el Principio deArquímedes sabemos que dado un número realcualquiera, siempre existe un natural mayor queél, de modo que cualquiera sea el épsilonsiempre existe un natural mayor que estaexpresión a la que llegamos, con lo quepodemos probar el límite si reconstruimos lohecho partiendo de este n
31n
n3
1
• El docente le plantea al alumno: probar
que
La resolución del alumno en su carpeta:
0)1(
lim2
n
n
n
El profesor le pregunta al alumno, luego de ver su resolución:
• ¿qué rol juega épsilon en esta resolución?
• Partiendo de un épsilon dado, ¿qué tenés que hallar para asegurarte que el límite sea el valor propuesto?
• ¿qué harías si el enunciado no te propone el valor 0 como posible límite?
• ¿aplicaste algún resultado conocido en esta resolución?
• ¿No estás usando
lo que querés probar en (*)?
ESCUELA
ANGLOSAJONA
(Polya – Schoenfeld)
ENFOQUE
COGNITIVISTA
Pensamiento
Matemático
Avanzado
(Tall – Vinner)
Teoría de los Campos
Conceptuales
(Vergnaud)
Teoría APOS
(Dubinsky)
Teoría Antropológica
de lo Didáctico
(Chevallard)
ESCUELA
FRANCESA
Teoría de Situaciones
(Brousseau)
Ingeniería Didáctica
(Artigue)
…
CONSTRUCTIVISMO
RADICAL(Von Glasersfeld)
SOCIOEPISTEMOLOGÍA
(Cantoral – Farfán)
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
CRÍTICA
(Skovsmose)
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
REALISTA
(Freudenthal)
ENFOQUE
ONTOSEMIÓTICO
(Godino- Batanero - Font)
ETNOMATEMÁTICA
(D’Ambrosio)
SOCIO-
CONSTRUCTIVISMO
(Ernest)
EPISTEMOLOGÍA
GENÉTICA
(Ortiz Hurtado)
• Pensemos en el lenguaje natural…
• Existe una intención de comunicación(función comunicacional)
• Se da/usa entre partes
• Hay mensajes a transmitir y recibir.
• Hay palabras y acuerdos, en unacomunidad, de sus significados según elcontexto de uso
Esto se da en todo lenguaje, con el
lenguaje matemático también ocurre.
Definición
“El lenguaje simbólico o matemático
incluye una colección de significantes
(símbolos) con sus significados aceptados
por la comunidad académica para cada
contexto comunicacional en el que sean
utilizados”
Ante un “mensaje” (matemático) expresado en símbolos un sujeto podría:
– Mostrar conocimiento de los nombres asociados a los significantes, pronunciarlos y hacer una lectura “de izquierda a derecha”
• Decodifica y no recupera o no comprende el mensaje. (Nivel local).
– Mostrar conocimiento de lo que ese mensaje expresa, al hablar podría cambiar el orden de la escritura simbólica favoreciendo la comunicación.
• No decodifica (aunque debe conocer el significado de cada símbolo) y recupera el mensaje. (Nivel global). Solo en este caso usa lenguaje simbólico.
Observaciones y cuestiones a enfatizar:
• El lenguaje matemático no se constituye sólo con
símbolos (¿qué dice esto?: “manejar símbolos no
basta”)
Retomamos la idea de contexto comunicacional de
la definición para dar un ejemplo.
• Cada símbolo cobra significado en el contexto
comunicacional en el que se esté trabajando
Ejemplo de “significado de símbolos según
el contexto comunicacional”
Con el significante (1,2) podemos querer representar:
• En el contexto de “resolución de inecuaciones reales”: un intervalo real
• En el contexto de “intersección de curvas planas”: un par ordenado del plano
• En el contexto de “direcciones de movimientos de móviles”: un vector
• En el contexto de “operaciones en C”: un número complejo
Algunas cosas que hoy entendemos…
Ejemplos:
• -2-3 = -5
• Hallar la expresión lineal y graficar la recta
que contiene a los puntos (1,3) y (2,3)
• x.x = 2x
Un momento para pensar…
¿Qué me llevo para pensar
en la enseñanza? (concepto
de “lenguaje simbólico”)
Lenguaje o lengua natural
Registros (Halliday)
• Vulgar
• Coloquial o informal
• Formal
Observación: noción diferente a la de Duval
Análisis del ejemplo 1
• Profesor: Seguimos trabajando con
números naturales. Vamos a probar que el
cuadrado de cualquier número par, es
siempre par.
• Escribe en el pizarrón:
n N, si n es par n2 es par
Dem: sea n = 2.k (k N), n2 = (2.k)2 =
4. k2 = 2.(2 k2). Listo.
Lenguaje natural, medio oralse invierte el orden en la
escritura
Lenguaje simbólico, medio escrito
sin explicación del pasaje de un lenguaje
al otro
• Prueben que si el cuadrado de un número
es impar es porque dicho número es
también impar
• Alumno: no responde lo esperado por el
docente
- Da ejemplos o da un ejemplo “raro”
El alumno debe: asignar significado, pasar al lenguaje
simbólico, se invierte la implicación,
cambia la representación de par a impar…Recurre a lo que sabe previo
• Explicación oral del profesor: “Comenzamos a
trabajar con la noción de límite de sucesiones.
La clase que viene profundizaremos sobre esto,
pero ahora quiero presentarles el concepto para
que vayan teniendo idea de qué se trata. El
límite de una sucesión a sub n es un cierto valor
L si los términos de la sucesión están
arbitrariamente cercanos a L con tal de
considerar n lo suficientemente grande”.
• Pizarrón:
Análisis del ejemplo 2
Límite de una sucesión
Definición: Dada una sucesión {an} , el límite
de esa sucesión es L y se nota an →L sii:
∀ Ɛ > 0, n0 N / si n > n0,
∣an – L ∣ < Ɛ
La claridad de la explicación en lenguaje
natural en le medio oral no se advierte
inmediatamente a partir de la lectura de
los símbolos
• El alumno no puede extraer significado de
los símbolos y
• no entiende cómo no comprende lo que
creyó haber entendido en la clase
• El docente no deja registro de lo dicho en
medio oral en lengua natural
Análisis del ejemplo 3
• Probar
Explica oralmente con toda precisión. Deja
resuelto simbólicamente
• Sea Ɛ > 0, operando
De donde
33
11
nn
01
lim3
nn
31n
n31
• El docente le plantea al alumno: probar
No puede responder ninguna pregunta del
profesor: ni del rol del épsilon, ni si aplicó
algún resultado, ni qué hubiera hecho si el
resultado del límite no hubiera estado
propuesto, etc.
0)1(
lim2
n
n
n
• El alumno registró lo que quedó en medio
escrito
• Probablemente comprende la explicación
oral y por eso sólo registra lo escrito
• No extrae información de los símbolos
• Perdió parte del mensaje dado oralmente
• No reconstruye el mensaje a partir de los
símbolos
• Solo aprende “una rutina” simbólica sin
significados
Atendiendo a los lenguajes a la hora de
enseñar…
Lenguaje
simbólico
Lengua natural
Medio escrito
Medio oral
Registro ¿coloquial? ¿formal?
¿Se usa?
¿Qué elegir?-Cuidar el uso
simultáneo de los
dos lenguajes
-Enseñar
conversión/extraer
y asignar
significado
Para pensar…
• Si solo queda plasmada una definición ensímbolos, el estudiante deberá extraersignificado, ¿podrá…?
• El lenguaje natural usado en la clase pasadesapercibido, excepto que el alumno tomeapuntes. ¿Y si se registra por escrito?
• Lo importante ¿siempre queda plasmado en elpizarrón?
• El docente ¿utiliza de un modo preciso enambos lenguajes dentro de una mismaclase o tema?
• ¿Se debería enseñar cómo usar amboslenguajes y pasar de uno a otro?
• La elección de los lenguajes y los medios¿podría dificultar la comprensión posteriora la clase del alumno?
• Si el docente “ve escritos simbólicos
correctos”, ¿está seguro de que el alumno
comprendió?, ¿el significado que le asigna
a los símbolos, será el correcto?
• ¿Habría que hacer algún trabajo para que
el alumno aprenda a tomar apuntes?
• Podemos entender al alumno que no
entiende cuando lee de sus apuntes,
mientras que en la clase creyó haber
comprendido…
• Se pueden entender las dificultades de los
estudiantes en la comprensión de los
textos matemáticos
Se requiere intencionalidad para que el
alumno aprenda los usos de los lenguajes
Se requiere cuidar y organizar la
enseñanza…
Muchas gracias…[email protected]