Entre Formas: Teoría, Investigación, Concreciones y Experiencias.

Congreso de ARS Buenos Aires, 2015

ENTRE UNIVERSOS DIMENSIONALES:

PROTOFORMAS, CONTRAFORMAS, HIPERFORMAS,

CUASIFORMAS Y TEMPOFORMAS

LUIS JAVIER ECHEVERRI VÉLEZ

Nombre: Luis Javier Echeverri Vélez, Arquitecto Diseñador, (n. Cali, Colombia, 1955).

Dirección: Escuela de Arquitectura, Facultad de Artes Integradas, Universidad del Valle. Oficina 3025,

Edificio 380, Sede de Meléndez. Cali, Colombia. E-mail: luis.echeverri@correounivalle.edu.co

Áreas de interés: morfología, diseño básico, expresión gráfica, imagen digital.

Publicaciones: Echeverri, Luis J. “Fractales como metáfora visoespacial de un escenario pedagógico”.

SEMA 2013 Forma i Realidad: libro de resúmenes. Universidad Nacional de Mar del Plata. Argentina, 2013.

Resumen: Mediante un ensayo de visualización denominado Tabla de Universos

Dimensionales se hace una indagación sobre espacios de diferente clave dimensional,

como un instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto de la materia física como

la existencia, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades,

bien sea rigorosamente matemáticas, o de especulación metafísica. Es una mirada entre

encrucijadas para develar que en el universo de las formas existen otras lecturas

diferentes a los tradicionales “punto, línea, plano, etc.”. Se reconocen conjuntos de

formas que representan particularidades y diferencias de los universos dimensionales,

proporcionando una herramienta taxonómica para establecer relaciones entre formas y

la variable dimensión. En esta mirada se identifican las siguientes entreformas:

protoformas, contraformas, hiperformas, cuasiformas y tempoformas.

1 INTRODUCCIÓN

La Fig. 1, Tabla de Universos Dimensionales, y que es el objeto de esta ponencia, es un

ensayo de visualización de posibles universos dimensionales dependiendo de su clave

dimensional, como un instrumento para ubicar la realidad concreta, tanto física como

existencial, y su posición relativa —en términos topológicos— con otras realidades,

bien sea matemáticas, o de especulación metafísica. En la tabla se ha graficado en una

matriz bidimensional la posición relativa de algunos espacios físicos de dimensiones

superiores e inferiores, positivas y negativas. Esta matriz en un arreglo tridimensional,

se intersecta con otra correspondiente a un espacio de Minkowsky, como dos cintas que

concurren en sus dimensiones físicas comunes, en tanto se separan a partir de la

dimensión temporal que es potestativa a los diagramas de espacio-tiempo de

Minkowsky. El objeto de este instrumento visual es identificar las entreformas que

habitan dichos espacios, agrupadas por características dimensionales que les son

comunes, para una mejor comprensión de su función y significado.

2 PROTOFORMAS

En la intersección de las dos matrices referidas (en su parte inferior derecha), se sitúan

los familiares espacios 0D, 1D, 2D y 3D, que constituyen el espectro visible de la Tabla

de Universos Dimensionales, y sus respectivas formas: punto, línea, plano y volumen. A

estas formas las llamaremos protoformas, entendidas como las formas básicas,

originales, hipotéticas, de las que proceden todas las demás. Esta preeminencia es a la

Figura 1: Tabla de Universos Dimensionales

que alude Paul Klee en su célebre estudio de los “caminos primarios hacia la forma”. En

una aproximación filosófica categórica, Aloé (2013) las caracteriza como «“matrices

existenciales” sobre las cuales se articulan la multiplicidad de “acaeceres” de las

distintas colectividades».

3 CONTRAFORMAS

En la parte superior izquierda de la Tabla de Universos Dimensionales se encuentra la

región de los universos negativos, si es que existe algo como ello. Siguiendo la

implacable lógica matemática se adjudica el valor -1 al vacío, en alusión a la ausencia

de materia, por lo que todos los espacios subsiguientes serán también negativos. Y

aunque pareciera no ser del todo clara la idea de dimensiones negativas, es cierto que la

topología ha incursionado en ello desde hace rato, así sea por pruritos estéticos y no

exclusivamente matemáticos. Fue en la década de 1960 que se configuró la idea de

espectro, siendo este último la generalización de un espacio que permite dimensiones

negativas (Wolcott, 2013). Sobre éstas se refiere Mandelbrot como “inevitables”, en una

conferencia sobre dimensiones fractales negativas de 1989. Ahora bien, puede que las

“dimensiones negativas” no contengan “formas negativas”, pero si rastros originales de

“otras formas”, lo que permite suponer que existe una relación entre protoformas de

dimensión positiva y sus correspondientes negativas. Por tanto desde la dimensión -0

hasta la -, se ubican los espacios que aquí llamaremos negativos, y a sus habitantes,

contraformas.

La gran singularidad de esta serie es el valor negativo de la clave dimensional (-0D). En

la aritmética ordinaria, el número 0 no tiene signo, de modo que -0, 0 y +0 son

idénticos. Sin embargo, en muchas situaciones de la vida práctica es dado utilizar esa

distinción, lo que en matemáticas se conoce como una línea con dos orígenes, como

sucede en algunos protocolos de computación. La utilidad aquí del 0 negativo es la

recomposición simétrica entre espacios positivos y negativos que precisa de una

acepción contextual para un punto sin materia, esto es, vacío,

Las contraformas son singularidades en el vacío y actúan como contraparte de las

protoformas. Este enfoque, de si estructuralista, tiene importantes connotaciones

filosóficas ampliamente expuestas en las disertaciones de Norberg-Schulz, primero, en

su construcción sobre un sistema de espacios (1971), y, posteriormente, en su estudio de

un sentido del lugar (1980). Partiendo de la idea de que para que una forma exista, se

precisa de otra que la referencie, en una interpretación estética de esta singularidad

topológica denominamos a esta región el universo de los espacios contextuales. En este

último, y siguiendo con la serie de los números enteros negativos -0D, -1D, -2D y -3D,

se hallan el punto negativo, la línea negativa, el plano negativo, y el volumen negativo.

A estos espacios y en virtud de su particularidad contextual, los denominamos lugar,

camino, territorio y universo, teniendo su correspondencia en las protoformas punto,

línea, plano y volumen respectivamente.

4 HIPERFORMAS

Siguiendo el orden de los enteros positivos y por arriba de la dimensión 3, se encuentra

en la Tabla de Universos Dimensionales los llamados espacios de dimensión superior,

la región de los hiperespacios y sus respectivas hiperformas, cuyas protoformas son los

hipervolúmenes 4D, 5D, 6D, etc. Estas formas se caracterizan por ser válidas desde su

realidad matemática, más no sensorial, ya que no son representables, tan solo en la

sombra o proyección en alguna dimensión menor del universo visible. Por ejemplo el

hipercubo que es un volumen 4D se construye en 3D como un arreglo de 8 prismas

conseguidos de la inserción de un cubo en otro, con sus vértices correspondientes

unidos por aristas, o proyectado en el espacio de 2D por una figura compuesta de 32

aristas. Finalmente sería dado suponer hiperespacios negativos en universos de -6, -7,

...-n dimensiones, los cuales por escaparse de cualquier aprehensión sensorial, no

entramos a considerar.

5 CUASIFORMAS

Otro conjunto de singularidades de la Tabla de Universos Dimensionales viene

determinado por los espacios intersticiales que se ubican entre una dimensión y otra,

como una clase intermedia que no alcanza a ser la protoforma de ninguna de las dos

dimensiones concurrentes. Así ubicadas entre las series de números que dan lugar a la

dimensión topológica, hay espacio para las dimensiones fractales. Por ejemplo, entre el

0 y el 1, existe un infinito número de espacios de dimensión decimal, igualmente entre

el 1 y el 2, o el 3 y 4, o cualquier par de números enteros positivos o negativos. A estos

espacios corresponden las cuasiformas que aquí hemos adjetivado con el término cuasi

(cuasilínea, cuasiplano, etc.), para indicar la insuficiencia de su cobertura o incapacidad

para cubrir un espacio entero (Dimensión de Hausdorff-Besicovitch). Ahora, desde un

punto de vista representativo resulta posible visualizar fractales, aquellos que

pertenecen a la porción del espectro visible comprendida entre 0D y 3D, quedando así

acotado su espectro visible. Descartamos el rango entre -1D y 0D, ya que si el punto

perteneciente a la dimensión 0D no resulta visible, es imposible visualizar físicamente

un cuasipunto, y menos aún las formas fractales por debajo de la dimensión -1. Igual

sucede con las formas fractales arriba del universo 3D, que pertenecerían a la clase de

los cuasihipervolúmenes. Sin embargo desde una perspectiva matemática tanto el uno

como las otras son absolutamente válidas.

6 TEMPOFORMAS

Finalmente se completa la Tabla de Universos Dimensionales introduciendo la

dimensión temporal para generar la matriz de los espacios temporales del universo

existencial, conocidos en matemáticas como espacios de Minkowsky. Se produce

entonces en el encuentro de la variable temporal con cada variable física, un suceso o

espacio dimensional diferente, a saber:

-0D+1T: La existencia (1T) en ausencia de materia (-0D), que remite a

connotaciones metafísicas tradicionales de la gran mayoría de culturas

humanas (el más allá), presuponiendo algo así como un universo espiritual.

0D+1T: La existencia (1T) con presencia de materia imperceptible (0D), como

sucede en los agujeros negros.

1D+1T: Una idea aproximada de un suceso unidimensional (1D) moviéndose

en el tiempo (1T) es la luz, como en el efecto visual que producen los rayos

láser, técnica muy utilizada como recurso escenográfico.

2D+1T: El plano (2D) más el tiempo (1T), es la dimensionalidad de

fenómenos visuales animados como las imágenes videomagnéticas o

cinematográficas.

3D+1T: Las tres dimensiones físicas (3D) más la temporal (1T), configuran el

espacio existencial, culminación en complejidad de las formas del espectro

visible. Comprende todas las protoformas de los universos dimensionales

anteriores reconsideradas desde una perspectiva existencial. Parafraseando a

Heidegger (1954), esas simples “cosas”, se transmutan a una categoría más alta

como es la de espacios, en los cuales es posible: “estar con la cosa, o en la

cosa, o ir o venir hacia o desde la cosa”, es decir, en una imbricación

perceptiva y espacial entre “cosa” y ser humano.

1T: Es la opción en la cual no existen dimensiones físicas, tan solo la

dimensión temporal (1T). En esta situación no es posible ningún fenómeno

físico ni visual. Sin embargo en un ejercicio de abstracción estética resulta

interesante considerar el sonido como la única expresión posible en un

universo sin materia física, aun siendo fenomenológicamente el sonido

inseparable de la materia.

Finalmente hacemos alusión a una singularidad en la matriz del universo de los espacios

temporales. Si se observa la Tabla de Universos Dimensionales, los espacios negativos

son compartidos por las dos clases de universos dimensionales, por lo que las

contraformas descritas anteriormente son también tempoformas negativas de carácter

contextual. La singularidad radica que al desprenderse la matriz del universo de los

espacios temporales de la matriz de los universos físicos, al final de las contraformas

aparece la variable temporal de signo negativo (-T), que intersecta el espacio

tridimensional negativo (-3D). En este punto se encuentra el espacio contextual

contraparte del espacio existencial, al que nos referimos simplemente como contexto.

En este caso el carácter negativo del tiempo se refiere al “tiempo que ya no es”, “el

tiempo que ya pasó”, y que forma el carácter de las formas (“cosas” en Heidegger) que

aparecerán en el presente relativo del espacio existencial. Esto es, la situación

contextual que es atributo del espacio, tanto físico como simbólico, es decir, material y

circunstancial, como un presupuesto más amplio que el simple enfoque fenomenológico

que plantea el genius-loci de Norberg-Shultz. Cabe resaltar aquí como buena parte de

las teorías proyectuales de la era moderna tienen su origen en esta polaridad, y su

adecuada resolución como presupuesto del buen diseño.

Referencias

Aloé, Víctor Dante. 2013. “La agonía de occidente”. Buenos Aires: Dunken, 2013.

Heidegger, Martin. 1954. “Construir, habitar, pensar”. Traducción de Eustaquio Barjau en “HEIDEGGER,

Martin. Conferencias y artículos”. Barcelona: Ediciones del Serbal, 1994.

Klee, Paul. “Caminos primarios hacia la forma”. De los cursos que dictara en el BauHaus, entre 1922 y 1925,

y que aparecen compilados en: “Notebooks Volume 1 The Thinking Eye”. Londres: Lund Humphries,

1969.

Mandelbrot, Benoit B. “Negative fractal dimensions and multifractals”. Statistical Physics 17, International

IUPAP Conference (Rio de Janeiro, 1989). Edited by Constantino Tsallis, Physica: A163, 1990, 306-

315. [Consultado en línea el 11 de 07 de 2015.]

http://users.math.yale.edu/users/mandelbrot/web_pdfs/123negativeFractalDimensions.pdf.

Norberg-Schulz, Christian. 1971. “Existencia, Espacio y Arquitectura”. Barcelona: Editorial Blume, 1975.

Norberg-Schulz, Christian. 1980. “Genius loci: towards a phenomenology of architecture”. s.l.: Academy

Editions, 1980.

Wolcott, Luke y McTernan, Elizabeth. 2013. “Imagining Negative-Dimensional Space”. Del sitio web: “For

the Luke of Math”. [Consultado en línea el: 11 de 07 de 2015.]

http://forthelukeofmath.com/documents/Wolcott-McTernan-workshop.pdf.