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Distribución de medias muestrales.
RESUELVA
Ejemplos:
Se tiene para la venta un lote de 1,000 pollos, con un peso promedio de 3.50
kg y una desviación estándar de 0.18 kgr, ¿cuál es la probabilidad de que en
una muestra aleatoria, 100 pollos de esta población, pesen entre 3.53 y 3.56
kg?.
Un fabricante de cierto champú para el cabello distribuye el tamaño
profesional de su producto en 100 salones de belleza de Caracas. Se ha
determinado que el consumo promedio de su producto es de 2,800 cojines
mensuales, con desviación estándar de 280 cojines. Si se toma una muestra
probabilística de 36 salones, ¿cuál es la probabilidad de que el consumo
promedio en un mes sea inferior a 2,700?.
Distribución de proporciones muestrales.
En el análisis de una característica cualitativa o atributo, se emplea
laproporciónde éxitos y no el número de éxitos como en la distribución
binomial.
𝑃 + 𝑄 = 1Donde: 𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑄 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠La varianza de la proporción de la población está dada por:
𝜎𝑃2 = 𝑃𝑄
La desviación estándar sería
𝜎𝑃 = 𝑃𝑄
Donde
𝜎 𝑃 =𝜎𝑝
𝑛= 𝑃𝑄 =
𝑃𝑄
𝑛
La variante estadística de proporciones muestrales está dada por
𝑍 =𝑝 − 𝑃
𝜎 𝑃=𝑝 − 𝑃
𝑃𝑄𝑛
Distribución de proporciones muestrales.
Ejemplo 1. Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina
son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que en un grupo de 200 piezas,
el 3% o más sean defectuosas?
Solución: 𝜇𝑃 = 𝑃 = 0.04; 𝑝 = 𝑝 = 0.03; 𝑃 𝑝 > 0.03 =?
𝑍 =𝑝 − 𝑃
𝜎 𝑃=
0.03 − 0.04
0.04 ∗ 0.96200
= −0.71
𝑍 = −0.71 → 𝐴 = 0.2612𝑃 𝑝 > 0.03 = 0.5 + 0.2612 = 0.7612 = 76.12%.
0.50.2612
0-0.71
0.03 0.04 𝒙
Z
Distribución de proporciones muestrales.
RESUELVA
Ejemplos:
Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la pro-
porción de las mayores de 40 años; sabiendo que la proporción en la
población es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la
muestra sea menor de 0.5?
Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de
comerciar con la China Continental; ¿cuál es la probabilidad de que
una encuesta a 100 sindicatos muestre que más del 52% tengan la
misma posición?
Distribución de diferencias entre dos medias
muestrales.
Se tiene dos poblaciones normales e independientes, identificadas la
primera por X y la segunda por Y, de tamaños 𝑁1 y 𝑁2 cuyas medias se
simbolizan por 𝜇1y 𝜇2 y sus desviaciones típicas 𝜎1 y 𝜎2. Se obtiene un
número M de pares de muestras posibles.
Las medias muestrales de la primera población se identifica por:
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ,…, 𝑥𝑀 y de la segunda población por 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 ,…, 𝑦𝑀.
Las desviaciones típicas muestralesrespectivas serán:
𝑠𝑥1, 𝑠𝑥2, 𝑠𝑥3, … , 𝑠𝑥𝑀 y 𝑠𝑦1, 𝑠𝑦2, 𝑠𝑦3, … , 𝑠𝑦𝑀.
𝜇 𝑥− 𝑦 = 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠
Donde 𝜇 𝑥− 𝑦 = 𝑥𝑖
𝑀−
𝑦𝑖
𝑀por consiguiente 𝜇 𝑥− 𝑦 = 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
La desviación típica de diferencias 𝜎 𝑥− 𝑦 = 𝜎 22 + 𝜎 𝑦
2 =𝜎𝑥
2
𝑛1+
𝜎𝑦2
𝑛2
Distribución de diferencias entre dos medias
muestrales.
Suponiendo que la distribución de diferencias entre las medias muestralesten-
ga un comportamiento similar a la distribución normal, la variante estadística
estará dada por la fórmula:
𝑍 = 𝑥 − 𝑦 − 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝜎 𝑥2 + 𝜎 𝑦
2
= 𝑥 − 𝑦 − 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝜎𝑥2
𝑛1+𝜎𝑦
2
𝑛2
Se puede aplicar esta distribución cuando no se conocen las varianzas
poblacionales 𝜎2 las cuales pueden ser sustituidas por varianzas
muestrales 𝑠2 siempre y cuando sean mayores que 30. Hay autores que
consideran su utilización si 𝑛1 + 𝑛2 > 30.
𝑍 = 𝑥 − 𝑦 − 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝑠 𝑥2 + 𝑠 𝑦
2
= 𝑥 − 𝑦 − 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝑠𝑥2
𝑛1+𝑠𝑦
2
𝑛2
Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
Ejemplo 1. Se tiene dos poblaciones normales e independientes, donde la media de lasegunda población es 0.65 menor que la de la primera; si se seleccionan muestras detamaño 100 y 120 y si las respectivas desviaciones típicas poblacionales son 12 y 8, sepide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entreambas medias muestrales sea superior a 1 en valor absoluto.
Solución: 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 = 0.65𝑛1 = 100𝑛2 = 120𝜎𝑥 = 12𝜎𝑦 = 8
𝑃 𝑥 − 𝑦 > 1 =?
0.09870.3810
0-1.18
-1 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 =0.65 𝒙 − 𝒚
Z0.25
0.40130.1190
1
Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
𝑍 = 𝑥 − 𝑦 − 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝜎𝑥2
𝑛1+𝜎𝑦
2
𝑛2
=1 − 0.65 − 0
122
100+
82
120
=0.35
1.40= 0.25
𝑍 = 0.25 → 𝐴 = 0.0987
𝑍 = 𝑥 − 𝑦 − 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦
𝜎𝑥2
𝑛1+𝜎𝑦
2
𝑛2
=−1 − 0.65 − 0
122
100+
82
120
=−1.65
1.40= −1.18
𝑍 = −1.18 → 𝐴 = 0.3810
𝑃 𝑥 − 𝑦 > 1 = 1 − 0.0987 + 0.3810 = 1 − 0.4797 = 0.5203
𝑃 𝑥 − 𝑦 > 1 = 52.03%
Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
Ejemplos:
Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una población normal,
que tiene media 50 y desviación estándar 8. Luego se selecciona otra muestra
aleatoria de 400 elementos de una población normal, que tiene media 40 y
desviación estándar 12. Encontrar la probabilidad de que:
• la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o más.
• ambas medias difieran, en valor absoluto, en 12 o más.
En un restaurante, el consumo medio por desayuno es de $4.980. con una
desviación estándar de $950. En un segundo restaurante las correspondientes
cifras son $4,238 y $820. Si se eligen al azar 80 boletas de pago del primer
restaurante y una muestra aleatoria de 60 del segundo, ¿cuál es la
probabilidad de que la diferencia entre los consumos medios de ambas
muestras sea mayor que $ 1,000 en valor absoluto?
Distribución de diferencias entre dos proporciones
muestrales.
En el caso de dos poblaciones independientes, de tamaño N1y N2, distribuidas
binomialmente, con parámetros, medias proporcionales P1y P2(también se
pueden representar las medias por 𝜇𝑃1 y 𝜇𝑃2) y desviaciones proporcionales
𝜎𝑃1 y 𝜎𝑃2 siendo 𝜎𝑃1 = 𝑃1𝑄1 y 𝜎𝑃2 = 𝑃2𝑄2 . El error estándar de las
diferencias entre las dos medias proporcionales estará dada por 𝜎𝑃1−𝑃2 =
𝑃1𝑄1
𝑛1+
𝑃2𝑄2
𝑛2para valores poblacionales.
Cuando n1y n2corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a
30, se tendrá, que el error estándar de las diferencias entre dos proporciones
es: 𝑠𝑝1−𝑝2 =𝑝1𝑞1
𝑛1+
𝑝2𝑞2
𝑛2
La variante estadística Z, estará dada en la misma forma que fue presentada
para diferencias entre dos medias muéstrales:
𝑍 =𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑃1𝑄1𝑛1
+𝑃2𝑄2𝑛2
Distribución de diferencias entre dos proporciones
muestrales.
Ejemplo 1. Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo; laprimera produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto queotra, produce el 20% de artículos defectuosos; si se obtienen muestras de 200unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de quedifiera A de B en 8% o más?
Solución: 𝑷 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 ≥ 𝟎. 𝟎𝟖 =?𝑃1 = 14%𝑃2 = 20%𝑛1 = 200%𝑛2 = 100
𝑍 =𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑃1𝑄1𝑛1
+𝑃2𝑄2𝑛2
=0.08 − 0.14 − 0.20
0.14 ∗ 0.86200 +
0.2 ∗ 0.8100
=0.14
0.047= 2.98
𝑍 = 2.98 → 𝐴 = 0.4986
𝑃 𝑝1 − 𝑝2 ≥ 0.08 = 0.5−0.4986=0.0014=0.14%
Distribución de diferencias entre dos proporciones
muestrales.
Ejemplos:
Dos fábricas A y B, producen artículos similares. La producción de A contiene
7% de defectuosos, y la de B contiene, 5%. Si se extrae una muestra aleatoria
de 2.000 de cada una de las producciones de las fábricas, ¿cuál es la
probabilidad de que las dos muestras revelan una diferencia en el número de
los defectuosos del 1% o más?
Se sabe que cierta marca de crema para las manos satisface el 65% % del
mercado. ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de 200
usuarios cada una, muestre una diferencia mayor del 10% en las proporciones
del uso de la crema?
0.4986
0.0014
0 2.98
0.08-0.60 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐Z
