Estados de tensión y deformación

Estados de Tensión y Deformación Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos

El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016

Estados de Tensión y Deformación (Complemento Teórico)

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

ESTADOS DE TENSIÓN 3

DEFINICIÓN DE VECTOR TENSIÓN 3 CUBO ELEMENTAL SUJETO A TENSIONES 4 VECTOR DE TENSIONES EN UN PUNTO – (TENSOR DE TENSIONES) 6 TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES 7 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO ELÁSTICO ESPACIAL 8 COSENOS DIRECTORES DE LOS PLANOS PRINCIPALES 10 ESTADO ELÁSTICO DOBLE O PLANO 11 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESTADO ELÁSTICO DOBLE O PLANO 13 TENSIONES OCTAÉDRICAS 16

ESTADOS DE DEFORMACIÓN 25

DEFINICIONES 25 TRANSFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO 26 TENSOR DEFORMACIÓN 26 DIRECCIONES PRINCIPALES Y DEFORMACIONES PRINCIPALES 27 REPRESENTACIÓN PLANA DEL TENSOR DEFORMACIÓN 28 RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES 29 CAMBIO DE LA CIRCUNFERENCIA DE DEFORMACIONES A LA DE TENSIONES 31 ESTADO PLANO DE DEFORMACIÓN 32 OBTENCIÓN DEL ESTADO DE DEFORMACIONES CON ROSETAS EXTENSOMÉTRICAS 45

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 50


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Estados de Tensión

Definición de Vector Tensión

Consideremos un cuerpo en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores que comprende:

1.1. Fuerzas de volumen: (F.dv), que tienen por componentes sobre los ejes ortogonales:

dvz

dvy

dvx

1

1

1

Las fuerzas de gravedad y las de inercia son fuerzas de volumen.

1.2. Fuerzas de superficie: (.dv), aplicadas

en la superficie exterior, de componentes sobre los ejes ortogonales:

dsz

dsy

dsx

2

2

2

La presión de un fluido, el empuje de un terraplén son fuerzas de superficie. Cuando un cuerpo

está en equilibrio el sistema de fuerzas F.dv y .dv es nulo.

Imaginemos una superficie que descompone al cuerpo en dos partes A y B. La parte B está en

equilibrio bajo la acción de las fuerzas exteriores y de las reacciones ejercidas por la parte A sobre la B.

Podemos admitir que sobre cada elemento dA de la superficie de separación , A ejerce sobre B una

fuerza elástica .dA aplicada al centro P del elemento dA. Por definición, es el vector tensión

correspondiente al elemento dA orientado de A hacia B.

La proyección de sobre la normal al elemento de superficie dA es la tensión normal . Esta puede ser

de tracción o compresión y por convención será negativa cuando sea de compresión.

La proyección de sobre el plano tangente al elemento de superficie de superficie dA es la tensión

tangencial .

El conjunto de las fuerzas elásticas .dA, aplicadas a la superficie forma un sistema equivalente al sistema de fuerzas exteriores directamente aplicadas a la parte A. Se observa que la definición de tensión supone:

Continuidad de la materia.

Que los enlaces entre las dos partes A y B del cuerpo se reducen a acciones superficiales.

Las dimensiones de la tensión son las de una fuerza por unidad de superficie.



Cubo Elemental sujeto a Tensiones

Consideremos un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensiones, punto que haremos coincidir con el origen de una terna de ejes coordenados x, y, z y tres planos ortogonales que pasen por el punto, coincidentes con los planos.

Consideremos un segundo punto B de coordenadas dx, dy, dz, y admitiendo que las funciones que definen las

variaciones de y son

continuas y derivables.

En consecuencia, en la cara dy - dz, que pasa por A, actúa las tensión normal

x, y las tensiones tangenciales xy y xz, en la cara paralela que pasa por B, y que dista dx de la

anterior, dichas tensiones se habrán incrementado y sus respectivos valores serán:

dxx

dxx

dxx

xzxz

xy

xyx

x

;;

Análogamente, las tensiones en las dos caras restantes que pasan por A se habrán incrementado al considerar las caras paralelas, siendo sus correspondientes valores los que se indican en la figura.

Además, el cubo elemental se encuentra sometido a fuerzas de masa, que consideraremos aplicadas en su baricentro. Llamaremos X, Y, Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen según los tres ejes coordenados. El equilibrio del cubo elemental exige que se cumplan tres condiciones de nulidad de momento respecto a tres ejes cualesquiera y tres ecuaciones de nulidad de proyecciones sobre los mismos. Plantiemos primeramente las condiciones de nulidad de proyección:

a) Sobre el eje x:

0

dzdydxXdydxdydxdzz

dzdxdzdxdyy

dzdydzdydxx

zxzx

zx

yx

yx

yxxx

x

Simplificando términos iguales y dividiendo por dx, dy, dz, llegamos a:

0 Xzyx

zxyxx

haciendo lo propio sobre los ejes y y z llegamos a las siguientes expresiones:



0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

denominadas ecuaciones de equilibrio y que constituyen un sistema de tres ecuaciones con nueve incógnitas, que no puede resolverse sin recurrir a ecuaciones adicionales.

Plantiemos ahora las condiciones de nulidad de momentos, eligiendo para ello tres ejes ortogonales paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo elemental. Consideremos primeramente los momentos respecto del eje paralelo al eje x. (serán nulos los momentos correspondientes a fuerzas que corten o sean paralelas al eje considerado).

02

222

dzdydxdz

z

dzdydx

dydzdxdy

y

dydzdx

zy

zy

zy

yz

yzyz

desarrollando y sumando se tiene:

022

2222

2

2

dzdydx

z

dzdydx

dzdydx

dydzdx

y

dydzdx

dydzdx

zy

zy

zy

yz

yzyz

Ahora bien, los términos dy2 y dz2 son infinitésimos de orden superior con respecto a los restantes y pueden despreciarse, resultando finalmente, luego de simplificar:

0 yzzy

Análogamente, tomando momentos respecto a ejes paralelos a los ejes paralelos a y y z llegamos a las siguientes expresiones:

0

0

yxxy

zxxz

Expresiones que pueden escribirse como sigue:

zyyz

zxxz

yxxy

y que constituyen las expresiones analíticas del teorema de Cauchy, cuyo enunciado es el siguiente:



“En dos planos normales cualesquiera, cuya intersección define una arista, las componentes normales a ésta de las tensiones tangenciales que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista.”

Esta última consideración surge de la diferencia de signos, ya que para que exista, equilibrio los momentos derivados de las tensiones tangenciales de subíndices permutados, deben tener sentidos de giro contrario. Teniendo en cuenta las igualdades derivadas del teorema de Cauchy, las expresiones de las ecuaciones de equilibrio se transforman como sigue:

0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

El establecimiento del estado tensional de un sólido sujeto a cargas, exige conocer para todos los puntos

del mismo, los valores de las seis componentes de tensión mencionados (x, y, z, xy, yz, xz), es

decir del tensor de tensiones en cada punto.

Vector de Tensiones en un Punto – (Tensor de Tensiones)

Para calcular, conociendo x, y, z,

xy, yz, xz la tensión (x, y, z) que se ejerce sobre un plano que pasa por O, cuya normal tiene por cosenos directores (l, m, n) consideremos el equilibrio de un tetraedro elemental OABC.

Si ds es el área de la cara ABC, las caras OBC, OCA y OAB son l.ds, m.ds, n.ds. El equilibrio del tetraedro conduce pues a las siguientes ecuaciones:

1

nml

nml

nml

zyzxzz

zyyxyy

zxyxxx

Estas relaciones muestran que el conjunto de las tensiones alrededor de un punto forman un tensor simétrico:



n

m

l

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

siendo además:

cnml

bnml

a

zyx

zyx

.11

sin

.1cos

.1

222

22

222

Tensiones y Planos Principales

Al variar la orientación del plano, varía la tensión resultante aplicada al mismo, entre los infinitos planos

que pasan por un punto, habrá planos para los cuales la tensión normal adquiere sus valores máximos

y mínimos. Para dichos planos la tensión coincide con la dirección de por lo que será = 0.

Tales planos se denominan planos principales, las tensiones, tensiones principales y sus direcciones, direcciones principales, así será:

a

n

m

l

iz

iy

ix

.2

Reemplazando en las expresiones (1) y agrupando se tiene:

2

0

0

0

nml

nml

nml

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

Sistema de ecuaciones homogéneas que para que tengan una solución distinta de la trivial es condición necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo. Desarrollando se obtiene:

321321

23,,0 raicesconJJJ iii

Donde J1, J2, J3, son invariantes de primero, segundo y tercer orden:

xyzyxzzxyyzxzxyzyx

yzxzxyxzzyyx

zyx

J

J

J

222

3

222

2

1

2

y en función de las tensiones principales:



3213

3132212

3211

J

J

J

Circunferencia de Mohr para el Estado Elástico Espacial

La ventaja de la representación de Mohr reside en que es una representación bidimensional de un problema de tres dimensiones. Recordando que:

(1.c) de 1

(2.a)y (1.b) de

(2.a)y (1.a) de

222

2

3

2

2

2

1

22

3

22

2

22

1

222

nml

nml

nml

Por lo que, si queremos determinar la orientación de un plano al que correspondan las tensiones y ,

partiendo de las tensiones principales, las incógnitas serán los cosenos directores (l, m, n). Si llamamos:

111

321

2

3

2

2

2

1

resulta:

2

2

22

n

m

l

1

y por lo tanto:

111

132

2

3

2

2

22

2

l

111

131

2

3

222

1

2

m

111

121

222

2

2

1

2

n

resolviendo, simplificando y operando, resultarán las siguientes ecuaciones trascendentes:

2

2

21

2

213

2

212

2

2

31

2

312

2

312

2

2

32

2

321

2

322

1222

1222

1222

nn

mm

ll



que representan tres familias de circunferencias en el plano ( , ) con centro sobre el eje a una

distancia del centro de coordenadas:

2;

2;

2

213132

si l, m, n son iguales a 1 (uno), sus radios serán respectivamente:

2;

2;

2

213

312

321

El punto representativo de las tensiones y que correspondan a un plano dado debe caer sobre

circunferencias pertenecientes a las tres familias, es decir, debe ser un punto interior o del contorno del triángulo curvilíneo sombreado. Las tres circunferencias que delimitan al triángulo se denominan circunferencias fundamentales o principales.

Para cada circunferencia existe un punto para el cual corresponde la máxima tensión tangencial relativa y sus valores son:

2;

2;

2

312132

De los tres el que corresponde a la tensión tangencial máxima (max) es:

2

31max

que como puede observarse es independiente de 2 y ocurrirá en planos inclinados a 45º respecto de los

planos principales.



El vector tensión puede, también, obtenerse gráficamente en función de los ángulos directores de la

normal al plano (1, 2, 3) como se muestra en la figura. Para ello, llevamos a partir de x el valor de θ1

y con una recta cortamos las circunferencia n = 0 y m = 0 determinando los puntos A y B; con centro en la familia de circunferencias l, trazamos un arco que pase por los punto A y B. Hacemos lo propio con θ3 a partir de z y definimos los puntos E y D cuando cortamos a las circunferencias l = 0 y m = 0; con centro en la familia de circunferencias n, trazamos un arco que pase por los punto E y D. El punto P donde se cortan los arcos AB y DE es el que corresponde al estado tensional dado pudiéndose leer en el gráfico los

valores de , y .

Cosenos Directores de los Planos Principales

La dirección principal 1 la calculamos como sigue:

de las ecuaciones (2) resulta (haciendo i 1 ):

1

1

1

zyzxz

zyyxy

zxyxx

y llamando 1, 2, 3 a los tres menores complementarios de, por ejemplo, la primera fila, resulta:

yzxz

yxy

zxz

zyxy

zyz

zyy

1

3

1

2

1

1

1 ;;

por lo que el desarrollo del determinante será:

0321 zxyxix

que comparada con la primera de las ecuaciones (2) resulta:



Knml

3

1

2

1

1

1

constate no nula a determinar y operando tendremos:

312111 ;; KnKmKl

y siendo: 2221 nml resulta:

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

2 11

KK

En forma análoga pueden obtenerse las direcciones principales 2 (l2, m2, n2) y 3 (l3, m3, n3) trabajando

con 2 y 3 respectivamente.

Es importante en la elección de los menores complementarios del determinante elegir un desarrollo para el cual no resulten los 3 (tres) simultáneamente iguales a cero. Caso contrario la constante K resultará indeterminada.

Estado Elástico Doble o Plano

La mayoría de las estructuras puede reducirse a un estado tensional plano o bidimensional, es decir uno de los planos está libre de tensiones. Este caso se presenta en el estudio de los cuerpos de dos dimensiones, como las placas delgadas sometidas a fuerzas aplicadas en su plano o en las membranas delgadas. Suponiendo que el plano de referencia sea el “xy”, la ecuación de equilibrio será:

3

yxxy

yxyy

yxxx

ml

ml

ya que resultan nulas todas las tensiones con subíndice “z”:

0 zyzzyxzzx

entonces:

mlmlml xyyxyx 222

Las tensiones en el punto varían de acuerdo a la posición angular de elemento. Para expresar analíticamente estas variaciones cortemos el elemento inicial mediante un plano a traza T y apliquemos a cualquiera de las partes las condiciones



de equilibrio estático según los ejes N y T.

Consideremos que la longitud de BC = 1; por lo tanto: AB = cosθ y AC = senθ, de este modo el equilibrio de fuerza viene dado por:

sinsincoscoscossinsincos;0

cossinsincossinsincoscos;0

yxxyyx

yxxyyx

T

N

Pero como:

2sincossin2;

2

2cos1sin;

2

2cos1cos 22

resulta, reemplazando en las ecuaciones anteriores:

52cos2sin2

42sin2cos22

xy

yx

xy

yxyx

Expresiones que nos permiten calcular las tensiones y ligadas a un plano girado un ángulo θ

conociendo las tensiones x; y; xy. Al variar el ángulo θ variarán también las tensiones

correspondientes, pasando por valores máximo y mínimo.

Para ubicar estos planos hallamos la derivada primera de las expresiones anteriores respecto de θ y las igualamos a cero.

72

2tan02sin22cos2

2

62

2tan02cos22sin2

2

yx

xy

xy

yx

yx

xy

xy

yx

Estas ecuaciones dan dos valores de 2θ que difieren 180° por lo que los planos de tensión normal máxima y mínima son perpendiculares entre sí. Lo mismo ocurre con los planos de tensión tangencial máxima.

La relación de (7) es recíproca y de signo contrario de (6), lo que indica que los valores de 2θ definidos por ambas difieren 90°, es decir, que los planos de tensión tangencial máxima están separados 45° respecto de los planos principales (correspondientes a tensiones normales máximas y mínimas).

Además, si las tensiones tangenciales son nulas, las tensiones normales serán tensiones principales:

mlm

mll

m

l

yxyi

yxxi

iy

ix

3en doreemplazany

o bien:

0

0

ml

ml

iyxy

yxix



y para que la solución sea distinta de la trivial, deberá ser:

0

iyxy

yxix

con xy, yx; desarrollando el determinante tendremos:

022 xyyxyxii

por lo que será, resolviendo la cuadrática:

2

2

min

2

2

max

42

42

xy

yxyx

xy

yxyx

La max la obtenemos derivando la expresión de respecto de θ e igualando a cero.

2

2

max4

xy

yx

por ello resulta:

2

2

2 minmaxmax

maxmin

maxmax

yx

yx

Circunferencia de Mohr para Estado Elástico Doble o Plano

La determinación de las tensiones puede obtenerse utilizando un método gráfico en lugar del proceso analítico descrito anteriormente. Las ecuaciones (4) y (5) son las ecuaciones paramétricas de una

circunferencia, lo que significa que si llevamos las funciones y sobre un par de ejes ortogonales, a

cada valor que asignemos al parámetro θ corresponde un punto M. Si hacemos variar θ de 0° a 360°, las infinitas posiciones de M corresponderán a los puntos de una circunferencia cuya ecuación se pone en evidencia con el siguiente desarrollo, de (4) y (5) resulta:

2cos2sin2

2sin2cos22

xy

yx

xy

yxyx

elevando al cuadrado, sumando y simplificando:

2

2

2

2

22xy

yxyx



si llamamos

2

2

22xy

yxyx

C Ryx

y sustituimos en la anterior:

222RxC

que constituye la ecuación de una circunferencia de radio R y centro en un punto “C” de coordenadas xC e yC = 0. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr.

Con centro C y radio R trazamos la circunferencia referida a un sistema de ejes - con origen en O.

Sabemos que las coordenadas de cada punto de esta circunferencia representan las tensiones y

trazadas a cada uno de los infinitos planos que pasan por el punto. Ubiquemos en primer término sobre la circunferencia de Mohr el punto correspondiente al plano identificado por su normal (eje x) origen de los ángulos θ. Para ello en las ecuaciones (4) y (5) hacemos:

xy

y

xy

x

N

M

y) (dirección90

x)(dirección0

Observamos que M y N se ubican en extremos opuestos de un diámetro con una diferencia angular al centro de 180° es decir, dos veces el ángulo formado entre x e y. De fácil correlación con sus respectivas

direcciones son los puntos A y B ya que para ellos ( = max) y ( = min), respectivamente. Para

ambos =0. Evidentemente A y B representan las tensiones correspondientes a los planos principales

(tensiones principales). Ubicados M y A el ángulo al centro entre ellos vale 2θ. Dado que la representación de los ángulos en el círculo es el doble de los de la molécula, para encontrar la dirección de la tensión



normal máxima, giramos un ángulo en el sentido de M. Lo expuesto nos da los fundamentos de la construcción gráfica que se utiliza de la siguiente manera:

Sobre un sistema de ejes coordenados - se ubican los puntos de coordenadas (x;xy) y

(y;-xy) estos puntos representan las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre las

caras X e Y de un elemento. Se considera positiva la tensión normal de tracción y negativa de compresión. La tensión tangencial es positiva si el momento respecto del centro del elemento es en sentido horario.

Uniendo M con N donde corta al eje de abscisas tenemos el centro C. Con radio CM se traza la circunferencia Mohr.

Los puntos A Y B donde la circunferencia intercepta al eje de abscisas determinan las tensiones normales principales.

Para determinar las direcciones de las tensiones normales principales ubicaremos punto P del círculo de Mohr. El polo goza de la propiedad de cualquier recta que pase por él (PM, PN por ejemplo) intercepta a la circunferencia en un punto (M, N) cuyas coordenadas expresan las tensiones normales y tangenciales de una dirección paralela a dichas rectas (X, Y).

Determinado P (trazo por M trazamos una paralela al eje y

por N una paralela al eje , la intersección de dichas rectas sobre la circunferencia determinan el punto P, que denominaremos Polo del círculo de Mohr), se lo une con A y B siendo sus paralelas trazadas por el punto del elemento las direcciones de las tensiones normales principales. Los planos principales serán perpendiculares a estas direcciones.



Inversamente, si dada la dirección (u) queremos conocer las tensiones según ella, trazamos por P

una paralela a u que corta a la circunferencia en D; la abscisa y ordenada de D nos dan y u, y

uv.

Tensiones octaédricas

Las tensiones octaédricas normales 0, tangenciales0 y resultante 0, que actúan sobre el plano de

igual inclinación respecto a los tres ejes principales de las tensiones se determinan por las fórmulas:

Problemas de aplicación

Ejercicio I: Dado el siguiente estado tensional (ver figura), el módulo de elasticidad E = 2.106 kgf/cm2 y

el coeficiente de Poisson = 0,3; Se pide: escribir el tensor de

tensiones; determinar analítica y gráficamente 1, 2, 3, ’ y ’

en el plano paralelo al eje principal de inercia I para = 30°; ’’ y

’’; en el plano paralelo al eje principal de inercia II para = 60°;

’’’ y ’’’; en el plano paralelo al eje principal de inercia III para

= 30°; las tensiones octaédricas normales 0, tangenciales0 y

resultante 0, las deformaciones principales 1, 2, 3.

Resolución

De la figura surge que las tensiones principales son:

y el tensor de tensiones sería:

además, tendremos:



Para el plano paralelo al eje principal de inercia I cuando = 30°; hallamos:

Para el plano paralelo al eje principal de inercia II cuando = 60°; hallamos:

Para el plano paralelo al eje principal de inercia III cuando = 30°; hallamos:

La determinaciópn gráfica de las tensiones está dada en el diagrama de Mohr:



Las tensiones octaédricas las obtenemos como sigue:

Las deformaciones principales (alargamientos unitarios que ocurren en las direcciones de las tensiones principales) serán:

Ejercicio II: Dadas las tensiones correspondientes a los planos x, y, z ortogonales y pasantes por un punto A. Se pide:

1. Escribir el correspondiente tensor de tensiones.

2. Calcular los invariantes J1, J2 y J3.

3. Determinar los valores de las tensiones principales en el citado punto.

4. Calcular los cosenos directores de los planos principales.

5. Representar gráficamente el estado tensional mediante el diagrama de Mohr y en base al mismo determinar:

5.1. Las componentes de tensión en un plano determinado

por los ángulos 1, 2, 3 respecto de la dirección de

su normal.

5.2. La tensión tangencial máxima y los planos donde se verifica.

Datos: x = 530 kg/cm2; y = -610 kg/cm2; z = 300 kg/cm2; xy = 60 kg/cm2; zx = zy = 0; 1 = 60º; 2 = 50º

Resolución:

1. Escribir el tensor de tensiones:

El tensor de tensiones sería:

30000

061060

060530

zyzxz

zyyxy

zxyxx

T

2. Calcular los invariantes J1, J2 y J3:



Calculamos los invariantes como sigue:

3

2

222

2

2

222

2

980700002

350900

220

cm

kgJ

cm

kgJ

cm

kgJ

xyzxzyyzxyzxzxyzyx

yzxzxyxzzyyx

zyx

3. Determinar los valores de las tensiones principales en el citado punto:

Las tensiones las obtenemos partiendo de la siguiente expresión:

1

0

0

0

nml

nml

nml

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

y para que l, m y n no sean simultáneamente nulos, deberá ser:

0

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

desarrollando el determinante llegamos a:

098070000350900220

0

23

23

iii

iii JJJ

Las tres raíces de esta ecuación serán las tres tensiones principales; un de las cuales será z ya que

en ese plano zx = zy = 0. Calculamos entonces las restantes raíces:

0326900801

9807000024000300300

980700003509002201

Entonces resulta:

2

22

2

149,613

149,533

2

32690048080

032690080

cm

kg

cm

kg

B

A

i

ii



23

22

21

149,613

300

149,533

cm

kg

cm

kg

cm

kg

B

z

A

4. Calcular los cosenos directores de los planos principales:

Para calcular los cosemos directores de los planos principales debemos hacer lo sigue:

0

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

llamando 1, 2 y 3, a los tres menores complementarios de la primera fila, y reemplazando i por

1 se tiene, desarrollando por la primera fila:

09,266524149,5333000

0149,5336101

izyz

zyiy

94,13988

149,5333000

0602

izxz

zyxy

0

00

149,533610603

yzxz

iyxy

así será:

0321 zxyxix

y comparando con la primera de las ecuaciones (1) resulta:

Knml

3

1

2

1

1

1

siendo K una constante no nula a determinar, por lo que:

312111 ;; KnKmKl

y teniendo en cuenta que:

6

2

3

2

2

2

1

2

3

22

2

22

1

22

1

2

1

2

1

107468,31

11

K

KKKnml

entonces resulta:



0

05241,0

99862,0

31

21

11

Kn

Km

Kl

haciendo lo propio con 2 y 3 (desarrollando por la tercera y segunda fila respectivamente)

tendremos:

7

2

3

2

2

2

1

6

2

3

2

2

2

1

105666,91

;10697,41

KK

entonces resulta:

0

99862,0

05241,0

;

1

0

0

33

23

13

32

22

12

Kn

Km

Kl

Kn

Km

Kl

5. Representar gráficamente el estado tensional mediante el diagrama de Mohr y en base al

mismo determinar:

5.1. Las componentes de tensión en un estado plano determinado por los ángulos 1, 2, 3, respecto de la dirección de su normal:

Obtendremos primero, los valores en forma analítica. Para ello calculamos los cosenos directores de la

normal de un elemento plano (plano ) determinado por los ángulos 1, 2, 3 y a partir de ellos las

correspondeintes componentes de tensión. Así serán:

narn

m

l

coscos

64278,0º50coscos

5,0º60coscos

33

2

1

y siendo:

"49,25'31º54cos

58036,011

3

22222

nar

nmlnnml

Haciendo coincidir ahora, los ejes coordenados con las direcciones principales tendremos que:

2

222222

22

3

22

2

22

1

222

3

2

1

3

2

1

638,484

58036,0149,61364278,03005,0149,533

0

cm

kg

nml

n

m

l

zyx

z

y

x

zxxzyzzyyxxy

z

y

x



y las tensiones normales y tangenciales son:

2

222

2

3

2

2

2

1

717,50

58036,0149,61364278,03005,0149,533

cm

kg

nmlnml zyx

2222717,50638,484

2976,481

cm

kg

5.2. La tensión tangencial máxima y los planos donde se verifica:

El valor de max es independiente 2 de y ocurrirá en planos inclinados a 45º con respecto a los planos

principales. Para dichos planos es:

2max31

max

2

31

15,5732

149,613149,533

2

402

149,613149,533

2

cm

kg

cm

kg

Trazamos ahora la circunferencia de Mohr.

5.3. Centros de las familias de circunferencias:

Los calculamos como sigue:

2231

2

2132

1

402

149,613149,533

2

57,1562

149,613300

2

cm

kgCC

cm

kgCC

2321

3 57,4162

300149,533

2 cm

kgCC

5.4. Radios de las familias de circunferencias:

Los calculamos como sigue:

2321

3

2231

2

2132

1

57,1162

300149,533

2

15,5732

149,613149,533

2

57,4562

149,613300

2

cm

kgrr

cm

kgrr

cm

kgrr

5.5. Diagrama de Mohr



Ejercicio III: Dadas las tensiones correspondientes a los planos x, y, z ortogonales y pasantes por un punto A. Se pide:

1. Construir la circunferencia de Mohr para el haz de planos cuyo eje sostén tiene la dirección z (estado doble con n=0) y mediante ella determinar:

1.1. La magnitud y dirección de las tensiones principales.

1.2. Las componentes de tensión en un plano del haz que forma

un ángulo = 60º con el eje y.

Datos: x = 530 kg/cm2; y = -610 kg/cm2; xy = 60 kg/cm2; z = zx = zy = 0

Resolución:

1. Construir la circunferencia de Mohr para el haz de planos cuyo eje sostén tiene la dirección z:



La construcción de la circunferencia de Mohr para un estado plano, se realiza de la siguiente forma:

Se establece un sistema coordenado tal que las abscisas representan las tensiones normales, siendo positivo hacia la derecha y las ordenadas representan las tensiones tangenciales, siendo positivas hacia arriba.

Se ubica el centro “C” de la circunferencia a una distancia respecto del origen de coordenadas “O” igual a:

2

yxC

Se ubica el punto “A” cuyas coordenadas son (x ; xy ). El eje “C - A” será el eje de referencia

para la medición de ángulos. La convención de signos que se utiliza para las tensiones de cortadura es que son positivas en el círculo de Mohr si generan un momento en el sentido de las agujas del reloj y negativas en el caso contario.

Con centro en “C” y radio “C - A” se dibuja la circunferencia.

1.1. Magnitud y dirección de las tensiones principales:

Las tensiones principales se representan con los puntos “B” y “D” donde la circunferencia corta al eje de abscisas, es decir donde las tenciones tangenciales son nulas.

Estas tensiones actúan sobre los planos definidos por los ángulos “” y “ + /2”, donde es /2,

siendo el ángulo medido del gráfico y comprendido entre la semirrecta “C – A” y el eje de abscisas.

En nuestro caso = 6º = 3º, con lo cual las tensiones principales actuarán en planos cuya

inclinación es de 3º y 93º respectivamente.

En cuanto a los valores de las tensiones principales, estas serán las coordenadas de los puntos “B” y “D” medidos en la escala de tensiones correspondiente.



1.2. Componentes de tensión en un plano del haz que forma un ángulo = 60º con el eje y

Las tensiones y que actúan sobre un plano definido por el ángulo = 60º, se determina trazando

un diámetro cuya inclinación respecto del eje “y” sea 2. Este diámetro definirá el punto “E”, cuyas

coordenadas medidas en la escala de tensiones correspondientes determinan los valores de las tensiones normales y tangenciales para dicho plano (510 ; 260) kg/cm2.

Estados de Deformación

Definiciones

La capacidad más característica del sólido deformable es la de poder experimentar cambios de forma como consecuencia de las acciones que se le aplican.

Vamos a considerar la deformación de un sólido como una relación biunívoca y continua entre la posición que ocupa cada punto material del sólido en un estado de referencia, que llamaremos estado inicial o indeformado, y la posición que ocupa en un estado final o deformado. (Nota: una relación biunívoca y continua excluye que a un punto material correspondan dos posiciones distintas de destino, lo que podría darse en situaciones como la propagación de una grieta).

Adoptaremos un sistema de coordenadas cartesianas x1, x2, x3 (fijo) para describir los puntos del espacio.

Llamaremos A a la posición que ocupa un punto material del sólido en el estado inicial, y A’ a la posición que ese mismo punto material ocupa en el estado final. Definimos el movimiento de ese punto como el vector u, de componentes ui, que une las posiciones final e inicial. De acuerdo con las hipótesis básicas, se asume que los desplazamientos son pequeños comparados con las dimensiones del sólido. Asumiremos que los desplazamientos son del orden de magnitud de los diferenciales de longitud que adoptemos.

Pretendemos obtener una magnitud tal que, sabido su valor en un punto, permita conocer el incremento de longitud de cualquier segmento recto diferencial que pase por ese punto.

Consideremos dos puntos del sólido, separados por una distancia diferencial, que en estado inicial ocupan las posiciones A y B, y que pasan a las posiciones finales A' y B'. Sean xi las coordenadas de la posición A, y ui los movimientos del punto correspondiente. La posición B tendrá coordenadas ligeramente distintas, xi+dxi, y los movimientos del punto material correspondiente serán también ligeramente distintos, ui+dui. El diferencial de movimiento, dui, se interpreta físicamente como la diferencia de movimientos entre esos dos puntos muy próximos.

El corrimiento AB es un vector cuyas proyecciones sobre los ejes designaremos (u, v, w) tal que:

wzvyux ;;

Admitiremos las siguientes hipótesis:

u, v, w son funciones continuas, así como sus derivadas primeras. O sea que dos puntos próximos permanecen próximos después de la transformación. No pueden producirse ni grietas, ni cavidades, ni deslizamientos, ni choques.

u, v, w y sus derivadas primeras respecto de x, y, z son pequeñas.



Transformación en el entorno de un punto

Estudiemos la transformación de un elemento diferencial de volumen situado en el entorno del punto P de coordenadas (x, y, z).

Un punto P’ del entorno del punto P cuyas coordenadas iniciales son (x+dx, y+dy, z+dz) se hallará sometido a un corrimiento P’P1’ cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados serán:

4

dzz

wdy

y

wdx

x

wwdwww

dzz

vdy

y

vdx

x

vvdvvv

dzz

udy

y

udx

x

uuduuu

Las nueve derivadas de u, v, w respecto de x, y, z intervienen asociadas en tres grupos

1.1. Alargamientos:

z

w

y

v

x

uzyx

;;

1.2. Deformaciones angulares o distorciones:

x

w

z

u

y

w

z

v

y

u

x

vxzyzxy

2

1;

2

1;

2

1

1.3. Rotaciones:

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

wzyx

2

1;

2

1;

2

1

si las rotaciones son nulas se verifica:

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

wzyx

0;0;0

Tensor Deformación

Las seis cantidades x, y, z, xy, yz, xz permiten calcular las variaciones de longitud y las variaciones angulares. Por lo tanto estas seis cantidades caracterizan la deformación del medio durante la transformación. Las ecuaciones (4) se pueden escribir de la siguiente forma:



dzdydxdxdyww

dzdydxdzdxvv

dzdydxdydzuu

zyzxzyx

yzyxyxz

xzxyxzy

Pasamos pues de un punto P’ próximo a P a un punto P1’ próximo a P1 mediante las transformaciones elementales siguientes:

Una traslación infinitesimal de componentes (u, v, w)

ww

vv

uu

1

1

1

Un giro infinitesimal cuyo vector rotación tiene por componentes (x, y, y z)

dxdyw

dzdxv

dydzu

yx

xz

zy

2

2

2

Una deformación pura, también infinitesimal, con componentes (x, y, z, xy, yz, xz)

dzdydxw

dzdydxv

dzdydxu

zyzxz

yzyxy

xzxyx

3

3

3

caracterizado por el tensor recto de segundo orden llamado tensor deformación

zyzxz

zyyxy

zxyxx

DT

Denominaremos estado de deformación en un punto de un medio continuo, al conjunto de los infinitos vectores deformación específica asociados a las infinitas direcciones pasantes por el punto considerado:

rTDr

Direcciones Principales y Deformaciones Principales

Llamaremos dirección principal a las direcciones cuya deformación específica transversal resulte nula; y a los vectores deformación específica asociados a ellas, deformaciones principales.

Si l, m, n son los cosenos directores de una dirección principal cuya deformación específica es i, deberá

verificarse:



nmln

nmlm

nmll

zyzxzi

zyyxyi

zxyxxi

de donde:

0

0

0

nml

nml

nml

izyzxz

zyiyxy

zxyxix

Sistema de ecuaciones homogéneas que para que tenga una solución distinta de la trivial deberá ser nulo el determinante de los coeficientes, por lo que:

321321

23,,0 raicesconIII iii

Donde I1, I2, I3, son invariantes de primero, segundo y tercer orden:

xyzyxzzxyyzxzxyzyx

yzxzxyxzzyyx

zyx

I

I

I

222

3

222

2

1

2

en un todo análogo (en lo que respecta a álgebra) a lo visto para tensiones.

Representación Plana del Tensor Deformación

Observemos la analogía (angebraica) que existe entre el tensor deformación

(x, y, z, xy, yz, xz) y el tensor

tensión (x, y, z, xy, yz, xz). Para

cualquier dirección (, , ), i

corresponde a i y ij a ij, por lo que podemos, haciendo un desarrollo análogo, emplear para el tensor deformación una representación plana

llevando en abscisas y en ordenadas.



El extremo del vector equipolente al corrimiento debido a la deformación pura se hallará dentro del triángulo curvilíneo rayado de la figura.

Relación entre Tensiones y Deformaciones

La Ley de Hooke (ley de comprobación experimental enunciada a partir del ensayo de tracción simple) establece que:

E

siendo E = módulo de elasticidad longitudinal (o Módulo de Young)

Para las distorsiones puras la Ley de Hooke tiene una expresión similar:

G

siendo G = módulo de elasticidad transversal

La razón entre la distorsión absoluta y la distancia l entre las caras que se desplazan se denomina distorsión unitaria o ángulo de distorsión.

tanl

Los ángulos de distorsión 1, 2 y 3 (variación de los ángulos

rectos entre los planos de acción de tensiones tangenciales

extremas 1, 2 y 3 de igual valor, pero de distinto signo) se

determinan por la Ley de Hook. Estos ángulos son:

siendo:

el módulo de deslizamiento o de elasticidad tangencial del material. La distorsión unitaria 0 originada

por la tensión tangencial octaédrica 0 se denomina distorsión octaédrica.

En el estado tensional correspondiente al deslizamiento puro, en los planos inclinados 45°, surgen las tensiones principales,

las deformaciones lineales principales son:

y la distorsión angular principal será:



lG

2

El centro del círculo de las tensiones se encuentra en este caso en el origen de coordenadas.

Si consideramos que las tensiones tangenciales se distribuyen uniformemente sobre el área F donde está aplicada, entonces el esfuerzo tangencial será:

por lo que podremos escribir:

FG

lQ

Como la deformación x no es sólo consecuencia de x, sino

también de y, z, podemos escribir:

Poissondeecoeficientcon

EE

EE

EE

xyz

x

zx

y

x

zyx

x

Las deformaciones lineales principales 1, 2, 3, (alargamientos unitarios que ocurren en las direcciones

de las tensiones principales) son:

La expresión de deformación específica volumétrica es:

donde la magnitud

se denomina coeficiente de compresibilidad del material, y a su inversa módulo de elasticidad estérea del material.



La energía potencial unitaria de la deformación elástica vale:

La energía potencial unitaria debida a la variación de la forma

y la energía potencial unitaria debida a la variación de volumen será:

Todas las fórmulas correspondientes al estado tensional tridimensional son aplicables también al estado tensional plano, igualando a cero una de las tensiones principales, y al estado tensional lineal, igualando a cero dos de las tensiones principales.

Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones

Sea la expresión de la deformación x :

zyxzyx

xEEE

1

si sumamos y restemos: x resulta:

zyxxxE

11

recordando que: zyxJ 1 y siendo 11

1

podemos escribir:

1

1

1

11

1 11

J

EJ

Exxx

y siendo

12

EG resulta:

12

1 1J

Gxx



operando convenientemente y despejando x, se tiene:

212 v

xx G donde 1

21J

Ezyxv

y análogamente será:

212;

212 v

zzv

yy GG

Por lo que el diagrama de tensiones puede transformarse en un diagrama de deformaciones corriendo el

eje origen un valor

21

e y haciendo un cambio de escala igual a 2.G.

Estado Plano de Deformación

Definimos como estado plano de deformación a aquel en que los infinitos vectores deformación específica resultan paralelos a un plano.

Si hacemos coincidir el eje coordenado z con la dirección principal correspondiente a la deformación nula, será:

zdentesindependievuconw ,;0

0 yzxzz (todas las deformaciones con subíndice “z” resultan nulas)

y el tensor deformación se reduce a un tensor simétrico recto de segundo orden bidimensional:

000

0

0

yxy

yxx

DT

el haz de rectas tendrá n = 0 por lo que:

0

m

l

r

0rz

yxyry

yxxrx

Dr ml

ml

rT

Llamando al ángulo que forma el plano de referencia con el semieje positivo x medido en sentido

antihorario será:

sin

cos

m

l por lo tanto

sincos

sincos

yxyry

yxxrx

ji ryrxr

Dado la similitud de estas expresiones con las halladas oportunamente para las tensiones podemos, desarrollando en forma análoga, obtener las expresiones de las deformaciones específicas longitudinales y transversales:



2sin2cos

2sin2

1sincos 22

xyxyr

xyyxr

y para las deformaciones principales y las direcciones principales es:

442

442

22

2

22

1

xyyxyx

xyyxyx

;

2

22tan

II

I

yx

xy

El estado plano de deformación puede ser representado gráficamente mediante una circunferencia análoga a la de Mohr y que designaremos circunferencia de deformaciones, para ello, sobre el eje de

abscisas se llevan los valores de x y y y sobre sobre la vertical de x los valores de ½ xy (con su

signo). Determinamos así el punto M. Determinamos el punto C haciendo yx 2/1 y el segmento

CM será el radio de dicha circunferencia. Determinamos N donde el diámetro que pasa por M corta a la circunferencia.

Si por M trazamos una paralela al eje y por N una paralela al eje ½ , la intersección de dichas rectas

sobre la circunferencia determinan el punto P, denominado Polo de Direcciones.



Las direcciones 1 y 2 trazadas por P con los punto A y B corresponden a las direcciones de las deformaciones máximas y mínimas. 1 y 2 son ortogonales.

Las direcciones 3 y 4 trazadas por P con los punto S y S’ corresponden a las a las direcciones de ½ max.

Si por P trazamos una paralela a una dirección, la intersección de la misma con la circunferencia

determina un punto Q cuya abscisa será y su ordenada ½ .

Para transformar la circunferencia de deformaciones en circunferencia de tensiones deberemos trasladar

el eje de ordenadas una distancia (coeficiente de Lamé):

zyxvv con

;

21

Problemas de aplicación

Ejercicio IV Dado el sistema plano de tensiones que se indica, se solicita:

1. Determinar la relación entre las constantes E; G y .

2. Calcular el valor del coeficiente de Poisson () para los datos

propuestos.

Datos: I = - II; material: acero común; E = 210 GPa; G = 81 GPa

Resolución:

1. Determinar la relación entre las constantes E; G y

En el caso propuesto se debe tener presente que en planos a 45° respecto de los planos dados como datos, se tienen los planos principales de corte (que corresponden a un sistema de corte puro) equivalente al planteado. Trazando la circunferencia de Mohr se puede apreciar lo planteado (ambas circunferencias son iguales):



Así, se tiene equivalencia entre dos estados planos, el que actúa y el que actúa .

La equivalencia entre dichos estados planos nos permitirá encontrar la expresión correspondiente a las relaciones que estamos buscando.

Para realizar el estudio, se debe tener presente que un elemento (ABCD), que tenía la forma de un cuadrado de lados (a), se transforma por efecto de las tensiones tangenciales en la figura (AB’C’D), atendiendo a las distorsiones que se producen,

donde se supone que la actúa sólo en la cara superior.

Observando la figura y teniendo en cuenta que en

el campo de las pequeñas deformaciones tg ()

1' aCC

Además, la diagonal (d) será:

22 ad

Por otro lado:

32

2'45cos' CCdCCd

Reemplazando (1) en (3)

42

2 ad

También la defoermación específica longitudinal (), en la dirección de la diagonal (d), qu es coincidente

con la dirección de I será:

5d

dI

Reemplazando (2) y (4) en (5)



6222

2

II

a

a

Recordando que:

7G

Reemplazando (7) en (6)

82G

I

Por otra parte, de acuerdo a la Ley de Hooke, para un estado plano de tensiones normales, se tendrá

para la diagonal (d), que coincide con la dirección de I:

IIIIE

1

Siendo

III

En consecuencia:

9111

EE

IIII

Igualando (8) y (9):

10122

11

EG

GE

2. Cálculo de para los datos propuestos (acero común)

Despejando de la expresión (10) y reemplazando valores:

3,02963,01812

2101

2

GPa

GPa

G

E

Ejercicio V: Un cubo de aluminio de lados (a) se introduce sin presentar huelgo en la ranura de un

bloque de acero. Dicho cubo es sometido a una presión (p) en su cara superior, según se observa en la figura. Considerando que no existe rozamiento entre las caras laterales del mismo y las paredes del bloque, el cual a su vez se lo considera rígido, se solicita lo siguiente:

1. Calcular las tensiones normales (X) que se generan.

2. Determinar las deformaciones específicas (Y y Z).

3. Calcular la deformación volumétrica (V) y su

variación de volumen (V).



Datos: a = 6 cm; E = 72 GPa; = 0,32; p = 30 MPa; (1): cubo de aluminio; (2) bloque de acero. Las caras extremas del cubo paralelas al plano (X; Z) se encuentran libres.

Resolución:

1. Calcular las tensiones normales

Teniendo en cuenta la ley generalizada de Hooke, será:

1

1

1

1

YXZZ

ZXYY

ZYXX

E

E

E

Por otro lado, de acuerdo a las condiciones planteadas:

pZXY ;0

Las ecuaciones (1) resultan:

401

301

2001

XZ

XY

XX

pE

pE

pE

Para que se cumpla la ecuación (2) debe ser:

MPaMPa

p

X

X

6,93032,0

5

2. Determinar las deformaciones específicas

Reemplazando (5) en (3) resulta:

6

31017632,0132,0

1072

30

61

01

MPa

MPa

E

p

ppE

Y

Y

Y

Reemplazando (5) en (4) resulta:



62

3

2

1037432,011072

30

71

1

MPa

MPa

E

p

ppE

Z

Z

Z

3. Calcular la deformación volumétrica y su variación de volumen

La deformación volumétrica está dada por:

8ZYXV

Siendo X = 0 y reemplazando (6) y (7) en (8)

62

3

2

2

2

10198132,032,021072

30

12

11

11

MPa

MPa

E

p

E

p

E

p

E

p

V

V

V

V

y su variación de volumen será:

336

333

042768,021610198

2166con

cmcm

cmcmaVV

V

VV

Ejercicio VI: Los vectores tensión (en MPa) para los planos 1 y 2 de un mismo punto de un sólido sometido a tensión plana son los que se muestran en la figura. Halle las tensiones normales y tangenciales para la dirección n.

Datos: = 30°

Resolución:

Se conocen dos puntos del diagrama de Mohr 1 de coordenadas (5 ; 3) y 2 de coordenadas (2 ; 0). El centro del círculo de Mohr se hallará en la intersección entre la mediatriz del segmento que los une y el

eje de las abscisas, de esta forma los puntos 1 y 2 resultan equidistantes del centro C. El punto

correspondiente a la dirección n se encontrará sobre la dirección ubicada a 2 (°) medidos en el sentido

horario a partir de la normal saliente al plano 1 y la intersección con la circunferencia de Mohr (punto n).

Medimos del gráfico los valores: n = 6 MPa y n = 0 (la dirección n coincide con una dirección principal).



Ejercicio VII: En un estado de tensión plana se sabe que el eje x se encuentra a de la dirección principal 1, medidos en sentido horario, y se conoce el círculo de Mohr de tensiones. Halle la matriz de tensiones respecto a los ejes x e y y

el ángulo que forma el eje x y la dirección principal 1.

Los criterios de signos para el círculo de Mohr y para la matriz de tensiones son:

Resolución:

De acuerdo con los criterios de la circunferencia de Mohr el estado tensional de un volumen elemental del sólido será:



El ángulo que forma el eje x y la dirección principal 1, siendo = 30º será = ½ = 15º, mientras que la matriz de tensiones resulta:

MPaT3212

2321

Ejercicio VIII: En una chapa sometida a un estado plano de tensiones se conoce las dilataciones n1,

n2, n3 para tres direcciones concurrentes a un punto “O”.

Se pide para el haz de direcciones contenida en la chapa:

1. Determinar analíticamente las dilataciones principales.

2. Determinar la dilatación y la distorsión correspondiente a una dirección n.

3. Determinar las direcciones y deformaciones principales.

4. Trazar la circunferencia de deformaciones y verificar los valores obtenidos en los puntos 1, 2 y 3.

5. Calcular la dilatación para una dirección normal al plano de la chapa, escribir el tensor deformación y determinar analíticamente las tensiones principales.

6. Trazar la circunferencia de Mohr para tensiones y deformaciones, transformar la circunferencia de deformaciones en una circunferencia de tensiones y verificar los valores de las tensiones principales.

Datos: n1 = -33x10-3; n2 = 29x10-3

; n3 = 19x10-3; = = 30º; n = 50º; = 0,3; E = 200.000 kg/cm2

Resolución:

1. Determinar analíticamente las dilataciones principales:

Para un estado plano de deformaciones, la deformación específica en una dirección “” en función

de las deformaciones específicas x y y en las direcciones “x” e “y”; y la distorsión xy en el plano “xy”

respectivo, será:

2sin2

1sincos 22 xyyx

por lo tanto, planteando esta expresión para 1; 2; y 3 resulta:

33

2

3

2

22

2

2

2

11

2

1

2

2sin2

1sincos

2sin2

1sincos

2sin2

1sincos

3

2

1

xyyxn

xyyxn

xyyxn

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas x; y y xy. Reemplazando valores y resolviendo

resulta:



3

3

3

3

2

1

1060

1029

10115

º120

º90

º60

xy

y

x

2. Determinar la dilatación y la distorsión correspondiente a una dirección n=50º:

Conocidos los valores de x; y y xy podemos calcular los valores de y para cualquier ángulo

mediante las siguientes expresiones:

II

I

xyyx

xyyx

2cos2sin

2sin2

1sincos 22

Reemplazando valores resulta:

3

º50

3

º50

10152

1060º50

3. Determinar las direcciones y deformaciones principales:

Si variamos el valor de variarán los valores de y ; veamos para que valores de ; alcanza

valores máximos y mínimos. Para ello derivamos la expresión (I) respecto de e igualando a 0 (cero)

llegamos a:

...416666,0102910115

10602tan

33

3

yx

xy

Existen dos valores de que difieren en /2 y que satisfacen la ecuación, que corresponden a las dos

direcciones principales de deformación:

"36'18º11arctan2

1

yx

xy

I

"36'18º101

2 III

y las expresiones que dan los valores de las deformaciones específicas principales son:

322

2

322

1

101212

1

2

10352

1

2

xyyx

yx

xyyx

yx

4. Trazar la circunferencia de deformaciones y verificar los valores obtenidos en el punto 1, 2 y 3:



5. Calcular la dilatación para una dirección normal al plano de la chapa, escribir el tensor

deformación y determinar analíticamente las tensiones principales:

Para calcular la dilatación en la dirección normal al plano de la chapa recordamos la Ley Generalizada de Hooke cuyas expresiones son:

yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

1

1

1

pero siendo z = 0 (estado plano de tensiones) las expresiones anteriores se reducen a:

yxz

xyy

yxx

E

E

E

1

1



que constituye un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: x; y y z; reemplazando valores

se obtiene:

3

2

2

3

3

1086,36

79,1208

64,23362

1029

10115

z

y

x

y

x

cm

kg

cm

kg

El tensor deformación será:

3

33

33

1086,3600

010291060

0106010115

0;0;

zyzxz

zyyxy

zxyxx

D

yzzyxzzxxyyx

T

Para calcular las tensiones principales, previamente calculamos el módulo de elasticidad transversal “G”:

2

2

08,769233,012

200000

12 cm

kgcmkg

EG

y siendo la relación que vincula la tensión tangencial con la distorsión:

22

3 38,461508,769231060cm

kg

cm

kgG

Gxyxy

xy

xy

Calculemos los invariante de tensión:

243,24571

cm

kgJ zyx

2

22251,6938775

cm

kgJ yzxzxyxzzyyx

0

02

23

222

JJJ

J

iii

xyzxzyyzxyzxzxyzyx

Calculamos las raíces de esta ecuación

002

JqueyaJJ iii



23

22

2

1

71,24285

71,285

051,693877543,24571

0

cm

kg

cm

kg

ii

6. Trazar la circunferencia de Mohr para tensiones y deformaciones, transformar la circunferencia

de deformaciones en una circunferencia de tensiones y verificar los valores de las tensiones principales:

Para transformar la circunferencia de tensiones en circunferencia de deformaciones debemos trasladar

el eje de ordenadas un valor y hacer un cambio de escala (2G).

3

3

10875,3621

10143,49

v

zyxv

e

e



Obtención del estado de deformaciones con rosetas extensométricas

SUMARIO

Obtención de lecturas de dos rosetas extensométricas rectangulares colocadas sobre dos puntos de la superficie libre de una probeta plana de aluminio, sometida a carga.

Obtención del diagrama de Mohr plano de deformaciones en ambos puntos.

Determinación gráfica de deformaciones principales.

CONOCIMIENTOS DE TEORÍA NECESARIOS

La lectura de una galga colocada en el plano xy es:

coscoscoscos22

xyyxn

Con una roseta de 3 galgas no alineadas, se pueden obtener los valores: 2

,,xy

yx

y, si la matriz de

tensiones o la de deformaciones es plana, se puede dibujar el círculo de Mohr de deformaciones del estado plano del siguiente modo:

Se dibuja el estado de deformaciones sobre un elemento (tratando las deformaciones vectorialmente, como se haría con tensiones), siguiendo el siguiente criterio de signos:



Se sitúan en el diagrama de Mohr los valores:

2, nt

n

correspondientes a los ejes x e y, ésta vez

según el siguiente criterio de signos:

Se traza la recta que une los puntos x e y, para hallar el centro del círculo de Mohr.

Con el círculo de Mohr se obtienen deformaciones y direcciones principales, midiendo los valores y los ángulos sobre el diagrama.

Ejemplo: Sea un punto material con los siguientes valores de deformaciones:

666 107,103,104 xyyx

que siguiendo el criterio de signos adoptado puede esquematizarse como se aprecia en la figura de la derecha:

Así, podremos definir:



Ejercicio IX: Un transductor de par tiene como elemento de medición un cilindro de acero (E=2x105

MPa, =0.3). Sobre su superficie se coloca una roseta rectangular de galgas extensométricas, según la

figura (con =45°):

Si el par torsor aplicado produce en la superficie del cilindro un estado de cortadura puro (representado en la figura de la derecha), se pide calcular cuál sería la medida en cada una de las galgas.

Resolución:

La deformación específica en una dirección “” en función de las deformaciones específicas x y y en

las direcciones “x” e “y”; y la distorsión xy en el plano “xy” respectivo, será:

2sin2

1sincos

ócoscoscoscos

22

22

xyyx

xyyx

Por lo tanto, siendo =45°, será:



xc

xyyxb

ya

0

22

45

90

45cos45cos45cos45cos

Como el estado tensional es de cortadura pura, resulta:

0;0 yxyxE

y

5

5106,2

102

3,012212

MPa

MPa

EG

xyxy

xy

Por lo tanto:

5103,122

2

2

2 xy

xyb

Ejercicio X: Las tres galgas de la figura colocadas en un punto de una superficie plana proporcionan

las siguientes mediciones: a = -0,0025; b = 0,001; c = 0,002. Se pide calcular la longitud deformada de un segmento de 3 cm de longitud inicial orientado según la bisectriz del ángulo que forman los ejes X e Y, sabiendo que el estado de deformación es homogéneo.

Resolución:

Planteamos la ecuación de la deformación específica para cada una de las galgas:

2sin2

1sincos

ócoscoscoscos

22

22

xyyx

xyyx

Para la galga a, resulta: = 0°; = 90° cos () = 1, cos () = 0

0025,0 xa

Para la galga b, resulta: = 30°; = 60° cos () = (3)/2, cos () = 1/2

001,04

3

4

1

4

3

2

3

2

1

2

1

2

322

xyyxxyyxb

Para la galga c resulta: = 120°; = -30° cos () = -1/2, cos () = (3)/2



002,04

3

4

3

4

1

2

3

2

1

2

3

2

122

xyyxxyyxc

con lo que podemos formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

00346,0

0055,0

0025,0

002,04

3

4

3

4

1

001,04

3

4

1

4

3

0025,0

xy

y

x

xyyx

xyyx

x

y la deformación para la bisectriz del ángulo que forman los ejes X e Y viene dada por: = 45°; = 45°

cos () = (2)/2, cos () = (2)/2

00323,02

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

222

xyyxxyyxn

y la longitud deformada será:

cmcmlll n 0097,300323,0131



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Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

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Education

Estados de tensión y deformación