ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 11 – 08 – 2012

Nº 05- CIRCUNFERENCIA

I. CIRCUNFERENCIA – CONCEPTOSBÁSICOS

Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, dichos

puntos equidistan de un punto interior llamado

CENTRO. La distancia de un punto cualquiera de la

circunferencia al centro se denomina RADIO.

OA B

E

F

C

T

ELEMENTOSCentro: ORadio : ROB Diámetro: R2ABCuerda: BCFlecha: EFArcos: AC, CE …

Cuadrante: BOT

Longitud: 2R

01. PROPIEDADES

1. 2.

A

B

C

D

A

B C

D

Si: AB // CD Si: AB = CD

3. 4.A

R

aM a

o

P

B

1

R

o

T

L

R

Si: R AB Si: “T” es punto AM = MB de tangencia

( MP : flecha) R L1

5. 6.

A

P

t

B

t

AP

B

o

R

Si: A y B son punto Si: PA y PB sonde tangencia tangentes PA = PB PO : bisectriz

7. TRIÁNGULO DE PITHOT

n

ba

m

a+b=m+ n

8. TRIÁNGULO DE PONCELET

R

a+b = c+2R

ba

c

II. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. Ángulo Central

Ejm:

x = .....

O x

x =

80º

xO

mAB mCDmAC mBC

2. Ángulo InscritoEjm:

x = .....

x

2x=

x100º

3. Ángulo Semi – inscrito

x = .....

240º

2x=

x

Tx

T

4. Ángulo Interior

x = .....

80º

2x=

x

x

60º

5. Ángulo Exterior

2

x=

x

x60º

100º

x = .........

x30º

120º

x = .........

T

6. IMPORTANTE:

tx

t

x+ =180º

III. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE ENUNA CIRCUNFERENCIA:

Un cuadrilátero será inscriptible si cumple por lo menosuna de las siguientes condiciones:

1. Que la suma de las medidas de los ángulos internosopuestos sea 180°.

Es decir:

B

A D

C

Si, + = 180°, entonces el ABCD es inscriptible.

2. Que la medida de un ángulo interior sea igual a lamedida del ángulo exterior opuesto.

Es decir:

B

A D

C

Si, = , entonces ABCD es inscriptible.

3. Que las medidas de los ángulos determinados por lasdiagonales con los lados opuestos sean de igualmedida.

Es decir:

B

A D

C

Si, = , entonces el ABCD es inscriptible.

Circunferencia - Propiedades

01. En una circunferencia de 20 cm de

diámetro, la longitud de la cuerda que limita un arco

de 60°, en cm, es:

[CEPUNT – 09 – I]a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

02. Se da una circunferencia inscrita a un

triángulo rectángulo cuyos lados miden 18 cm, 24 cm

y 30 cm. El diámetro de dicha circunferencia, en cm,

es:

[CEPUNT – 09 – I]a) 12 b) 15 c) 16

d) 18 e) 20

03. Sobre una circunferencia se toman tres puntos A, B y

C tal que AB=BC=15m y AC=24m. Entonces la

longitud de la circunferencia, en metro, es:

[UNT – 11 – I]a) 20 b) 22 c) 23

d) 24 e) 25

04. Si en una circunferencia, se observa que dos cuerdas

PQ y RS se cortan perpendicularmente en un punto

M de modo que: PM = MS = 21m y RM = MQ =

3m entonces el radio de dicha circunferencia, en

metros es:

[Cepunt – 11 – I]

a) 10 b) 15 c) 18

d) 20 e) 25

05. Haciendo centro en los vértices de un triángulo ABC,

se trazan circunferencias tangentes dos a dos. Si AB =

5, AC =7 y BC =8, entonces el radio de la

circunferencia menor es:

[UNT – 11 – II]a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0

d) 2,5 e) 4,0

06. En la figura mostrada, si AC = 26 y BC = 22, halle

R, siendo “T” punto de tangencia y “=” el centro

a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

07. En la figura

10;11;8 CDBCAB =10 y O es el centro de

la circunferencia. Si 5AO , entonces el inradio del

triángulo AMO es:

[UNT – 10 – I]a) 9 b) 7 c) 5

d) 3 e) 1

Ángulos en la circunferencia

08. Calcular “x”

a) 60º

b) 80º

c) 70º

d) 30º

e) 40º

09. Del gráfico, calcule m APB

40°

BP

AO

a) 80° b) 100° c) 120°

d) 150° e) 160°

10. En el gráfico, calcular “x”.

P

Qx

R50°

a) 20° b) 25° c) 30°

d) 35° e) 40°

11. En el gráfico, calcule m PQB

A50°

P

O B

Q

a) 100° b) 150° c) 160°

d) 200° e) 180°

120º

140º

x

12. En el gráfico calcule la m AB.

A

B

50°

a) 20° b) 30° c) 45°d) 40° e) 50°

13. Halle el valor de “x” en la figura siguiente:

a) 45° b) 36° c) 30°

d) 27° e) 18°

14. Según el gráfico, calcular arcoAB (P, Q y T sonpuntos de tangencia)

a) 140º

b) 150º

c) 180º

d) 160º

e) 135º

15. Según el gráfico, calcular “x”. Si O’ y P son puntosde tangencia.

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 40

16. Según el gráfico el valor de “x” si arco AB =arcoBC.

a) 35 b) 45 c) 55d) 65 e) 75º

17. Según la figura mostrada. Calcular el arcoQP si:arcoDE = 80º

a) 80b) 160c) 150d) 75e) 185

18. Hallar “x”.

a) 100º b) 120º c) 140º

d) 150º e) 160º

19. Hallar “x”, si 1 2L // L

A) 15º

B) 18º

C) 20º

D) 22º30’

E) 30º

Cuadrilátero inscriptible

20. En la figura calcular “x”

a) 1 b) 2º c) 3°d) 5 e) 6°

21. En la figura calcular “x”

a) 14°b) 28°c) 32°d) 62°e) 24°

22. Calcular mCAB en:

a) 27º b) 28º c) 30ºd) 31º e) 32º

23. Del gráfico, calcular “x” em función de “”

a) 90º- b) 60º + c) 90º + d) 45º + e)

24. En la figura el valor de “a” es:

a) 10º

b) 15º

c) 22º30’

d) 37º

e) 30º

25. En la figura, calcular “x” siendo UNCP un cuadrado.

a) 15º b) 30º c) 40ºd) 45º e) 90º

26. En la figura, calcular “x”

a) 25º b) 27º c) 30º

d) 36º e) 45º

27. En la figura mostrada, calcular “”

a) 9º b) 10º c) 12ºd) 15º e) 18º

Tarea domiciliaria

1. En el trapecio rectangular ABCD, recto en A y B,

DT = 8cm y CT = 2 cm, el perímetro de dicho

trapecio, en centímetros, es:

[UNT – 11 – II]a) 16 b) 18 c) 36

d) 27 e) 30

2. De la figura mostrada, calcule “x”

a) 70º

b) 110º

c) 140º

d) 100º

e) 105º

3. Según la figura arcoBAD = 12m ABN. Calcular

m BCD.

a) 100ºb) 110ºc) 135ºd) 140ºe) 144º

4. Según el gráfico r = 20 y arco OA = 74º.

Calcular AB. (T es punto de tangencia)

a) 16 b) 17 c) 32d) 35 e) 36

5. Hallar “R”, si AB = BC = 6 cm.

A) 3 cm B) 3 cm C) 4 3 cm

D) 6 cm E) 3 3 cm

6. Hallar “x”, si: m AB = 80º.

a) 20º

b) 40º

c) 50º

d) 60º

e) 80º

7. Hallar AE, si m CDF = m FDB y AD = 5cm

a) 2cm

b) 3cm

c) 5cm

d) 7cm

e) 12cm

8. En la figura mostrada AB = r. Hallar la relación

correcta.

a) b c

d e

9. En la figura: Calcular “x”.

a) 60º

b) 80º

c) 50º

d) 30º

e) 40º

10. En el gráfico calcular “x”; si

m AB = mBC = mCP

a) 120º

b) 130º

c) 140º

d) 150º

e) 160º

11. Si m AP = mPQ = mQB y AO =2 3 .

Hallar PR.

a) 3

b) 3 /2

c) 2

d) 3

e) 1

12. En la figura m a – m c = 40º, m y n son puntos

medios de los arcos, hallar x.

a) 60º

b) 70º

c) 80º

d) 50º

e) 90º

13. Hallar R. Si: CH = 5u y CE = 4u.

a) 7u

b) 8u

c) 9u

d) 10u

e) 12u

14. Hallar xº.

a) 40ºb) 50ºc) 60ºd) 72ºe) 45º

15. Hallar xº.

a) 60ºb) 80ºc) 70ºd) 50ºe) 40º

16. Hallar xº, si: m AB = 40º

a) 50ºb) 60ºc) 70ºd) 80ºe) 65º

17. Calcular “x” si AB=BC y m FDC=

a) 90º+ b) 60º + c) 90º - d) 45º + e)

18. Calcular “x” en

a) 10º b) 20º c) 30ºd) 50º e) 80º

19. En la figura “O” ES centro, T es un punto de tangencia y

m

TC = 40º. Calcule “x”

a) 60º b) 65º c) 70º

d) 75º e) 80º

20. En el cuadrado ABCD, P y Q son puntos de tangencia.Hallar mPCH

a) 10º b) 15º c) 22º30’

d) 37º e) 30º