REGLAS DE SIMPSON

Métodos Numéricos

Regla de Simpson

• Introducción

• De 1 / 3

• De 3 / 8

Desarrollo de problemas

• Manualmente

• Mediante Matlab

Es un método para estimar el resultado de una

integral.

Es una mejor aproximación a la regla Trapezoidal, sin incurrir en un mayor número de subdivisiones.

Ajusta una curva de orden superior en lugar de una línea recta como en la regla trapezoidal

a b

a b

Regla trapezoidal

Aproximación a la Regla trapezoidal.Polinomio de Segundo orden

o

o

o

)()(4)(3

ba dx f(x) 210 xfxfxf

h = ancho* altura promedio

Utiliza un polinomio de 3er grado

)()(3)(3)(8

3ba dx f(x) 3210 xfxfxfxf

h

a b

o

o

o

o

Polinomio de tercer orden

a b

o

oo

o

Regla trapezoidal

= ancho* altura promedio

•Son métodos de aproximación•El error es inversamente proporcional al número de subintervalos•El método de simpson da una solución más aproximada•Permiten elaboración de un algoritmo y codificar un programa

“Descripción del problema 2”

Utilice la regla de 1/3 Simpson para evaluar la doble integral.

Los límites de integración son: a=1, b=3, c(x)= ln(x), d(x)= 3 + exp(x/5).

a

b

xd

xc

dydxyxI

)(

)(

)sin(

“Solución matemática problema 2”

exp(x/5)3

ln(x),

)sin()( dyyxixif

3

1

)( dxxifI

6

)(4)( 210 xfxfxf

abI

Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la siguiente sustitución:

Por lo que se obtiene:

Aplicando la regla de Simpson se obtiene:

Los puntos son los siguientes:

X0 = 1; X1= 2 ; X2=3

Por lo tanto sustituyendo (*) en (**). Obtenemos:

6

)sin()sin(4)sin(

)(

exp(x/5)3

ln(x),

exp(x/5)3

ln(x),

exp(x/5)3

ln(x),

dyyxidyyxidyyxi

abI

6

)3sin()2sin(4)1sin(

)13(

exp(3/5)3

ln(3),

exp(2/5)3

ln(2),

exp(1/5)3

ln(1),

dyydyydyy

I

06458.0)1sin(

2214.4

0,

1 dyyI

1086.2)2sin()2sin(

4918.4

0.6931

exp(2/5)3

ln(2),

2

dyydyyI

67454.0)3sin()3sin(

8211.4

1.0986

exp(3/5)3

ln(3)

3

dyydyyI

0148.3

6

67454.0)1086.2(4064581.0)13(

I

I

“Solución en Matlab problema 2”

Por cálculos

Programado

Para los datos de

máximo punto del

volumen en un

tanque, tabulados en

una fábrica de jugos y

medidos por un

sensor cada cierto

tiempo

Datos tabulados

t f(t)

1,6 4,593

1,8 6,05

2 7,389

2,2 9,025

2,4 11,023

2,6 13,464

2,8 16,445

3 20,066

3,2 24,533

3,4 29,964

n-1

I = (b-a)[2∑ f(xi) + f(xn)]/2n

i=1

I = (3,4-1,6) 4,593+2*(108,015 +29,964)

2*18

I = 25,0547

I1 = (0,6)*4,593+3(6,050)+3(7,389)+9,0258

I1 = 4,045125 I2 = (0,6)*9,025+3(11,023)+3(13,464)+16,445

8 I2 = 7,4198 I3 =(0,6)*16,445+3(20,086)+3(24,533)+29,964

8 I3 = 13,1449 I = 24,6099