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PPP...AAA...UUU... 222000111111---222000111222

SSSeeeppptttiiieeemmmbbbrrreee MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

OOOpppccciiióóónnn AAA 1 Sean las variables:

x=número de pavos y=número de pollos

Las condiciones límite del problema pueden expresarse de la siguiente forma: Los kilogramos de pienso no pueden ser más de 6000: 600025 yx

Los kilogramos de cereal no pueden ser más de 3000: 360022 yx

El número de pavos no puede ser negativo: 0x

El número de pollos no puede ser negativo: 0y .

Despejando y en cada una de ellas, surge el sistema de inecuaciones:

0

0

1800

30002

5

y

x

xy

xy

Cuya representación en el plano cartesiano conduce a la siguiente región factible:

Los vértices de esta región se calculan resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones formados por las rectas que los determinan:

x

y

30002

5 xy

1800 xy

0y

0x

1P

3P

2P

4P

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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1800;180001800

0:1

yyxy

xP , luego P1(0,1800)

1800;3000·2

51800

30002

51800

:2

xxx

xy

xyP , luego P2(800,1000)

0

0:3 y

xP , luego P3(0,0)

1200;3000·2

50

30002

50

:4

xx

xy

yP , luego P4(1200,0)

Para encontrar el beneficio máximo evaluamos la función beneficio yxyxB 24),( en cada uno de

los vértices de la región factible, así: En P1: €16001800·20·4)1800,0( B

En P2: €52001000·2800·4)1000,800( B

En P3: €00·20·4)0,0( B

En P4: €48000·21200·4)0,1200( B

De donde se concluye que: a) El máximo beneficio se alcanza cuando se venden 800 pavos y 1000 pollos b) El valor de dichos beneficios máximos es de 5200 €

2 a) Dado que T(4)=0 y T(2)=40, sustituyendo en la función, resulta:

4042

0164

2·2·40

4·4·02

2

BA

BA

BA

BA

De cuya resolución se obtiene A=40 y B=10

b) La representación de la función resultante: xxxT 4010)( 2 , 40 x es la de una

parábola convexa (∩) con vértice en (-b/a, f(-b/a)), es decir en x=2, y=40:

P.A.U. 2011-12

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3 Sea: n=500 el tamaño muestral

416 mg la desviación típica poblacional

90,01 el nivel de confianza ( 1,0 )

La media muestral se calcula según: mgn

xx i

i

10500

5000

500

1 , y para la resolución del problema

plantearíamos el siguiente test de hipótesis bilateral para la media poblacional ( ):

mgH

mgH

9:

9:

1

0

Nuestro estadístico de contraste (Zexp) es:

59,5500/4

910

/0

exp

n

xZ

Siendo el valor límite de decisión (Zα/2), extraído de la tabla

645,12/ Z

Y como Zexp > Zα/2, rechazamos la hipótesis conservadora (H0), así pues a este nivel de confianza si podemos rechazar la hipótesis del fabricante.

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SSSeeeppptttiiieeemmmbbbrrreee MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

OOOpppccciiióóónnn BBB 1

a) Construyamos la sucesión:

13

01A

12·3

01

16

01

13

01·

13

01·2 AAA

13·3

01

19

01

13

01·

16

01·23 AAA

14.3

01

112

01

13

01·

19

01·34 AAA

De donde podemos inferir una expresión general

13

01

nAn

Que podemos demostrar verificando la igualdad:

13

01

13)1(3

01

13

01·

1)1(3

01·1

nnnAAA nn

b) Basándonos en este resultado podemos calcular:

06

00

118·3

01

120·3

011820 AA

2 Sea la función de costes y sus derivadas sucesivas:

260014035)( 2 xxxC 14070)( xxC 70)( xC

a) Dado que en un mínimo la recta tangente a una función es horizontal, este se alcanza cuando la derivada de la función se anula, así:

2

014070

0)(

x

x

xC

Que comprobamos que corresponde a un mínimo al sustituir en la segunda derivada: 070)2( C ,

luego el mínimo coste de funcionamiento se alcanza al depurar 2000 metros cúbicos de agua b) El valor de dicho coste mínimo resulta de sustituir en la función:

26002·1402·35)2( 2C 2460€

c) En una localidad de 2000 habitantes siendo el gasto individual de 8 metros cúbicos, supondría depurar 8·2000=16000 metros cúbicos, con lo que x=16 y así el coste:

200016·14016·35)16( 2C 9320€

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3 Sean los sucesos D=defectuoso y N=no defectuoso, y sea p=0,1 la probabilidad de que un objeto sea defectuoso (y q=1-p=0.9 la probabilidad de no defectuoso) y n=3, el número de objetos considerados. Podemos evaluar el número de casos posibles mediante el siguiente diagrama en árbol:

),,(

),,(),,(

),,(

),,(

),,(),,(

),,(

NNNN

DNNDN

NDNN

DDNDD

N

NNDN

DNDDN

NDDN

DDDDD

D

a) Por tratarse de sucesos independientes la naturaleza de un producto respecto a los otros,

podemos calcular la probabilidad de cada suceso 321321 ··,, XPXPXPXXXP , y así:

081,09,0·1,0·9,0)()·()·(),,( NPDPNPNDNP

b) Dado que se trata de una distribución binomial con n=3 experimentos podemos evaluar la probabilidad de k éxitos como sigue:

271,09,0·1,0·0

31)0(1)1( 030

kPkP

c) E igualmente:

243,09,0·1,0·1

3)1( 131

kP