ALGEBRA

FACTORIZACIÓN

Prof. Widman Gutiérrez

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es escribirla como la multiplicación de sus factores primos.

Ejemplos

20=4×535=5(5+2)49=(3+4 )2

4 𝑥+4 𝑦=4 (𝑥+ 𝑦 )𝑥2− 𝑦2= (𝑥+𝑦 ) (𝑥− 𝑦 )𝑥2+4 𝑥+4=(𝑥+2 )2

DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓNMÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Método del Factor Común• Factor común monomio• Factor común Polinomio• Factor común por agrupación de términos

Factorización de Binomios• Diferencia de cuadrados• Suma de cubos• Diferencia de cubos

Factorización de Trinomios• Trinomio cuadrado perfecto• Trinomio de la forma: A+B+C

Factorización por otros Métodos• Aspa doble• Aspa doble especial• Divisores Binómicos

FACTOR COMÚN MONOMIO

El factor común de dos o más términos es el término formado por el M.C.D. de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponen-te de las literales comunes a todos ellos.La factorización de un polinomio con términos que tienen un factor común, es el producto de dicho factor por un polinomio, cuyos términos son los coicientes que resultan al dividir los términos del polinomio original entre el factor común.

Ejemplo: Factorizar el polinomio

3 2 2 312 30a b a b

FACTORIZACIÓN

Polinomio:

Factor común de los términos

3 2

2 2

12

6

a b

a b

2 3

2 2

30

6

a b

a b

M.C.D.

Divisores del 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

FACTORIZACIÓN

Solución:

12𝑎3𝑏2+30𝑎2𝑏3=¿ 6 𝑎2𝑏22𝑎 5𝑏

FACTOR COMÚN MONOMIO

+¿𝒚 (𝒙+𝟐 𝒚 )𝟕=¿(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑 𝒚 𝟐

Factor común (MCD):

Expresión de menor exponente

Si multiplicamos los polinomios

verificamos la factorización

FACTOR COMÚN POLINOMIO

FACTORIZACIÓN

(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑 𝒚𝟐

(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑𝒚

𝒚 (𝒙+𝟐 𝒚 )𝟕

(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟑 𝒚

𝒚+(𝒙+𝟐 𝒚 )𝟒

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

FACTORIZACIÓN

Esta formado por el producto del m.c.d. de los coeficientes, con el (los) polinomio(s) común(es) que tiene el menor exponente.

Ejemplo Factorizar:

5 𝑥2 (𝑚+𝑛 )−3 𝑦 (𝑚+𝑛) −𝑚𝑧−𝑛𝑧

Identificamos el factor común polinomio, obtenemos el otro factor, dividiendoel polinomio entre el factor común polinomio 5 𝑥2 (𝑚+𝑛 )−3 𝑦 (𝑚+𝑛) −𝑧 (𝑚+𝑛)¿ (𝑚+𝑛)()5 𝑥2−3 𝑦−𝑧

Solución

DIFERENCIA DE CUADRADOSLa factorización de una diferencia de cuadrados es un producto de binomios conjugados, en los cuales el término común es la raíz cuadrada del minuendo y los términos simétricos se obtienen mediante la raíz cuadrada del sustraendo.

Ejemplo Factorizar la diferencia

el minuendo es

Solución

1.

9

Extrayendo raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, se obtiene:

y el sustraendo es

En2

,4

x2 1

4 9

x

FACTORIZACIÓN𝒂𝟐−𝒃𝟐=(𝒂+𝒃 ) (𝒂−𝒃 )

( + )( - )( 𝑥2

4−19 )=¿

𝑥2

𝑥2

13

13

2 1

4 9

x

SUMA DE CUBOS

FACTORIZACIÓN

La factorización de una suma de cubos es un producto de un binomio por un trinomio, en los cuales el binomio es la suma de la raíz cúbica del primero y el segundo, y los términos del trinomio son el cuadrado de la raíz cúbica del primero, el segundo el producto de las raíces cúbicas y el tercero el cuadrado de la raíz del cúbica del segundo, con signos alternados.Ejemplo Factorizar la suma:

el primero esSoluciónExtrayendo raíz cúbica del primero y al segundo, se obtiene:

y el segundo esEn

𝑦 3+64, 𝑦 3 64

𝑦 3+64=¿

𝒂𝟑+𝒃 𝟑=(𝒂+𝒃 ) (𝒂 𝟐−𝒂𝒃+𝒃 𝟐)

𝑦 24 𝑦 16𝑦 4¿

DIFERENCIA DE CUBOS

FACTORIZACIÓN

La factorización de una diferencia de cubos es un producto de un binomio por un trinomio, en los cuales el binomio es la diferencia de la raíz cúbica del minuendo y el sustraendo y los términos del trinomio son el cuadrado de la raíz cúbica del minuendo, el segundo el producto de las raíces cúbicas y el tercero el cuadrado de la raíz del cúbica del sustraendo, con signos positivos.Ejemplo Factorizar la

diferencia:el minuendo es

SoluciónExtrayendo raíz cúbica del minuendo y al sustraendo, se obtiene la factorización deseada. Observe:

y el sustraendo es

En

𝑥3−27

𝑥3−27 𝑥3 27

𝒂𝟑−𝒃𝟑=(𝒂−𝒃 ) (𝒂𝟐+𝒂𝒃+𝒃𝟐)

𝑥3+27=¿ 𝑥23 𝑥9𝑥3(−)¿

2 ,ax bx c

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

2 ;ax bx c , y a b c

Un trinomio es trinomio cuadrado perfecto (TCP), si es de la forma:

o bien

en donde2 4 0.b ac

son tales que

Un trinomio cuadrado perfecto de la forma:

se factoriza así:

2 ,ax bx c

FACTORIZACIÓN𝒂𝟐±𝟐𝒂𝒃+𝒃𝟐= (𝒂±𝒃 ) 𝟐

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=¿()2 √𝑐+¿− −

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA

ASPA SIMPLE

Del producto notable “producto de dos binomios con un término común”

Por propiedad simétrica de la igualdad tenemos:

(𝑥+𝑚 ) (𝑥+𝑛)=𝑥2+(𝑚+𝑛)𝑥+𝑚 ∙𝑛

𝑥2+ (𝑚+𝑛)𝑥+𝑚 ∙𝑛= (𝑥+𝑚 ) (𝑥+𝑛 )Donde:

FACTORIZACIÓN

Factorizar:

Ejemplo

x2 + 5x - 24

𝑥𝑥

83

+¿−

+8𝑥−3 𝑥+5 𝑥

¿(𝑥+8 )(𝑥−3 )

𝑥2+5 𝑥−24¿(𝑥+8 )(𝑥−3 )∴

ASPA SIMPLE

FACTORIZACIÓN

Factorizar:

Ejemplo:

2x2 + 9x - 5

2 𝑥𝑥15

−

+¿−𝑥

+10 𝑥+9𝑥

¿(2 𝑥−1 )(𝑥+5 )

2 𝑥2+9 𝑥−5¿(2 𝑥−1 )(𝑥+5 )∴

ASPA SIMPLE

TRINOMIO DE LA FORMA

FACTORIZACIÓN

Factorizar:

Ejemplo

20 𝑥2+22𝑥𝑦+6 𝑦 2−33 𝑥−17 𝑦+75 𝑥4 𝑥

3 𝑦2 𝑦

+¿+¿

+10 𝑥𝑦+12 𝑥𝑦+22 𝑥𝑦

20 𝑥2+22𝑥 𝑦+6 𝑦2−33𝑥−17 𝑦+7¿Por lo tanto:

71

−−

−14 𝑦−3 𝑦−17 𝑦

ASPA DOBLE

(5 𝑥+3 𝑦−7 )(4 𝑥+2 𝑦−1 )

−5 𝑥−28 𝑥

−33 𝑥

POLINOMIO DE LA FORMA

FACTORIZACIÓNASPA DOBLE ESPECIAL

POLINOMIO DE LA FORMA

Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del producto en aspa.

A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio

Regla:

Método que utiliza para factorizar polinomios de cinco términos y de una sola variable.

FACTORIZACIÓNASPA DOBLE ESPECIAL

Factorizar:

Ejemplo

𝑥 4+5 𝑥 3+4 𝑥2−𝑥−15𝑥2𝑥2

3 𝑥2 𝑥

+¿+¿

+5 𝑥3

𝑥 4+5 𝑥 3+4 𝑥2−𝑥−15¿Por lo tanto:

53

−

+¿−10 𝑥+9𝑥−𝑥

(𝑥2+3 𝑥−5 )(𝑥2+2 𝑥+3 )

(4 𝑥2 ) − (−2𝑥2 )=6 𝑥2−5 𝑥2+3 𝑥2

−2 𝑥2

FACTORIZACIÓN

Factorizar:

Ejemplo

DIVISORES BINÓMICOS

𝑃 (𝑥 )=𝑥 3−6 𝑥2+11𝑥−6Posibles ceros:±

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠𝑑𝑒6𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒1 ¿± (1;2 ;3 ;6 ), Probamos con:𝑥=1

11+1−5

−5+6

+60 R=0

Lo que significa que x=1, es un cero y luego un factor es:(𝑥−1)

𝑃 (𝑥 )=(𝑥−1)(𝑥2−5𝑥+6)

Por Ruffini

, y aplicando aspa simple al 2º paréntesis

𝑷 (𝒙 )=𝒙𝟑−𝟔 𝒙𝟐+𝟏𝟏𝒙−𝟔¿ (𝑥−1)(𝑥−3)(𝑥−2)∴

DIVISORES BINÓMICOS

FACTORIZACIÓN

GRACIAS