Colegio San MarcosSubsector de FísicaArica

Factorización Factorización

Profesor Practicante: Ignacio Espinoza Braz

Máximo Común DivisorMáximo Común DivisorCalcular el máximo común divisor (M.C.D) de 15 y 45.

15 45 3

5 15 5

1 3

× =3 5 15

Menor divisor primo común de 15 y 45

Menor divisor primo común de 5 y 15

Es el máximo común divisor de 15 y 45

Termina aquí, porque 1 y 3 no tienen un divisor primo común.

Factor Común de Dos o Más Factor Común de Dos o Más TérminosTérminos

El factor común de dos o más términos es el término formado por el M.C.D de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponente de los factores literales comunes a todos ellos.

La factorización es expresar un objeto o número, como producto de otros objetos más pequeños “factores”.

Factor Común MonomioFactor Común MonomioEs el factor que está presente en cada término del polinomio.

Ejemplo N°1 : ¿Cuál es el factor común monomio en ?

Entre los coeficientes es el 6, o sea

Ejemplo N° 2 : ¿Cuál es el factor común monomio en ?

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto:

12 18 24x y z+ −

( )6·2 6·3 6·4  6 2 3 4x y z x y z+ − = + −

25   -  15     10a ab ac−

25 15   10  a ab ac− − 5 5 3 5 2a a a b a c= ⋅ − ⋅ − ⋅ ( )5 3 2a a b c= ⋅ − −

EJERCICIOS: Encuentra el factor común de las siguientes expresiones.

6   -  12x =

15 20 – 30x y+ =

14 14 – 9 – 9mp mq np nq+ =

175   15   -  25   -15ax ay bx by+ =2 3 4 2 6 8 12  x x x x+ + − =3 2 4 4 3 5 6 4 4 2 4 3-  m n p m n p m n p m n p+ + =3 82 24 9x y xy− =

2 3 3 4 2 5 4 21 1 1 1

2 4 8 16a b a b a b a b+ − + =

2 2 3 34 12 8 16

35 5 15 25a b ab a b a b− + − =

Factor Común PolinomioFactor Común PolinomioEs el polinomio que aparece en cada término de la expresión.

Ejemplo N°1 : Factorizar

Existe un factor común que es: entonces

Ejemplo N° 2 : Factorizar

El factor común es: entonces

( ) ( )  x a b y a b+ + +

( )a b+

( )( ) ( )   ( )x a b y a b a b x y+ + + = + +

( ) ( )2 2 2  a m n b m n− − −

( )2m n−

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a m n b m n m n a b− − − = − −

Ahora, que conoces un nuevo tipo de factorización, realiza los siguientes ejercicios para reforzar lo aprendido…

EJERCICIOS: Factoriza las siguientes expresiones, como en el caso estudiado anteriormente.

( ) ( )1  1a x b x+ + + =

( ) ( )2 2  x p q y p q+ + + =

( ) ( )1 5 1x c x− + − =

( ) ( ) ( )1 3 1x y n n+ + − + =

( ) ( )        a a b b a b+ − + =

( ) ( )2 2m a b p a b+ + + =

( ) ( )2 2 1 1a b a+ − + =

( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 5 3x r x r+ − − − − =

( )2 3 51

5 7 5t t + − + =

Factor Común por AgrupamientoFactor Común por AgrupamientoAquí se trata de extraer un doble factor común.

Ejemplo N°1 : Factorizar

Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos, de la siguiente manera:

Y luego se saca factor común polinomio

 ap bp aq bq+ + +

( ) ( )p a b q a b+ + +

( ) ( )a b p q+ +

EJERCICIOS: Factoriza las siguientes expresiones, según el método conocido anteriormente.

2a ab ax bx+ + + =- 2 -5 10ab a b + =2 3 3x bx xy by− + − =

2ac a bc b c c− − + + − =18 12 3 2 15 10x xy y xz z− − − − − =

6 4 15 10ab a b+ − − =3 2 1a a a+ + + =

215 21 10 1435 7

4 4 3 3x xz xy yz x z− − + + − =

2 8 4 16

3 3 5 5am am bm bn− − + =

Factorización de un Trinomio de la Factorización de un Trinomio de la Forma: Forma: 2x bx c+ +

El trinomio de la forma se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :

Ejemplo N°1 : Descomponer

1.- Hallar dos factores que den el primer término, en este caso:

2.- Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”

pero la suma debe ser +6. Finalmente nuestros factores serán:

2  x bx c+ +

2  6    5x x+ +

( ) ( )... ...x x± ±

( ) ( ) ( ) ( )·         · 5− −1 5 ó 1

( ) ( )1 5x x+ +

Ejemplo Nº 2 : Factorizar

1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 :

2º Hallar los divisores de 12y2 , éstos pueden ser :

Pero la suma debe ser +4 , luego servirán “6y y -2y” entonces:

2 2 4 12x xy y+ −

( ) ( )... ...x x± ±

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

6 · 2           6 · 2

4   · 3          4 · 3

12 ·           12 ·

y y ó y y

y y ó y y

y y ó y y

− −

− −

− −

( ) ( )2 24 12 6 2x xy y x y x y+ − = + −

EJERCICIOS: Factoriza los siguientes trinomios en dos Binomios. 2 4 3x x+ + =2 8 15b b+ + =2 12 27r r− + =2 27 50h h− + =2 214 24x xy y+ + =2 5 4x x+ + =2 7 10a a+ + =2 14 33s s− + =2 19 48m m+ + =2 3 4y y− − =