1. 1. Fsica General: 4to. Secundaria - 1 - Cap. 1 FACTORES METEOROLGICOS QUE CAUSAN DESEQUILIBRIO EN EL ENTORNO NATURAL
2. 2. - 2 - Fsica General: 4to. Secundaria OBJETIVO HOLSTICO ESPECFICO: Valoramos la tecnologa de los instrumentos creados para estudiar los cambios climticos de nuestro planeta, para la prestacin de servicios en la prevencin de fenmenos naturales de la nia y el nio, en beneficio de toda la poblacin de la comunidad plurinacional de Bolivia. QU ES UN CICLN? Un cicln tropical es un sistema atmosfrico cuyo viento circula en direccin ciclnica, esto es, en el sentido contrario a las manecillas del reloj en el hemisferio norte, y en el sentido de las manecillas del reloj en el hemisferio sur. Como su nombre lo indica, el cicln tropical se origina en las regiones tropicales de nuestro planeta. Como la circulacin ciclnica y bajas presiones atmosfricas relativas normalmente coexisten, es comn usar los trminos cicln y baja de forma intercambiable. En latitudes templadas los ciclones son referidos como depresiones o ciclones extratropicales, y el trmino cicln se usa slo para referirse a los ciclones tropicales. Los ciclones tropicales estn entre los sistemas meteorolgicos ms peligrosos y destructivos de la tierra. Mientras la estructura y funcionamiento de una tormenta tropical madura son conocidos, su origen an no es bien entendido. La etapa antecedente de un cicln tropical es conocida en Amrica como perturbacin tropical; los ciclones tropicales se caracterizan por una circulacin cerrada de sus vientos y se dividen en fases de acuerdo con la velocidad de su Viento Mximo Sostenido en superficie: Depresin tropical: VMS menor a: 63 km/h Tormenta tropical: VMS entre: 63 y 118 km/h Huracn: VMS mayor a: 118 km/h
3. 3. Fsica General: 4to. Secundaria - 3 - Qu es la meteorologa?- La meteorologa es la ciencia que se ocupa de los fenmenos que ocurren a corto plazo en las capas bajas de la atmsfera, fundamentalmente estudia el estado del tiempo, el medio atmosfrico, los fenmenos all producidos y las leyes que lo rigen. Que son las estaciones meteorolgicas?- Una estacin meteorolgica es una instalacin destinada a medir y registrar regularmente diversas variables meteorolgicas. Estos datos se utilizan tanto para la elaboracin de predicciones meteorolgicas a partir de modelos numricos como para estudios climticos. Est equipada con los principales instrumentos de medicin, entre los que se encuentran los siguientes: a) Anemmetro: Que mide la velocidad del viento b) Veleta: Que seala la direccin del viento c) Barmetro: Que mide la presin atmosfrica d) Heligrafo: Que mide la insolacin recibida en la superficie terrestre e) Higrmetro: Que mide la humedad f) Piranmetro: Que mide la radiacin solar
4. 4. - 4 - Fsica General: 4to. Secundaria g) Pluvimetro: Que mide el agua cada h) Termmetro: Que mide la temperatura Estos instrumentos se encuentran protegidos en una casilla ventilada, denominada abrigo meteorolgico o pantalla de Stevenson, la cual mantiene la luz solar directa lejos del termmetro y al viento lejos del higrmetro, de modo que no se alteren las mediciones de stos. Cuanto ms numerosas sean las estaciones meteorolgicas, ms detallada y exactamente se conoce la situacin. Hoy en da, gran cantidad de ellas cuentan con personal especializado, aunque tambin hay un nmero de estaciones automticas ubicadas en lugares inaccesibles o remotos, como regiones polares, islotes deshabitados o cordilleras. Ejercicios: Relaciona los instrumentos meteorolgicos unindolo con una lnea. barmetro temperatura anemmetro presin atmosfrica termmetro direccin del viento psicrmetro humedad relativa pluvimetro precipitacin veleta intensidad del viento La atmsfera.- La atmsfera es la capa gaseosa que envuelve la Tierra. Est formada por aire y partculas en suspensin. El aire es una mezcla gaseosa en distinta proporcin, los ms importantes son: nitrgeno, oxgeno, dixido de carbono, vapor de agua y otros gases en menor proporcin. En la atmsfera tambin flotan diversas cantidades de partculas diminutas como polen, arena fina, cenizas volcnicas, bacterias. Los principales gases que componen la atmsfera son: Nitrgeno (N2): 78 % total del aire. Es un gas que no reacciona con casi ninguna otra sustancia (inerte) y apenas se disuelve en agua. Oxgeno (O2): 21 % del total. Es un gas muy reactivo, se combina con otras sustancias oxidndolas. Permite que los combustibles ardan y se disuelve en agua. Dixido de carbono (CO2): 0.033 % del total. Producido por la combustin de los combustibles fsiles y la respiracin de las plantas. Es soluble en agua. Otros gases presentes son: Gases nobles: Argn (Ar) 0.93 %; Kriptn (Kr) 0.000114 %; Nen (Ne) 0.00182 %; Helio (He) 0.000524 %. Hidrgeno y metano. La densidad.- La densidad de la atmsfera disminuye conforme ascendemos en altura. Cuando subimos a la cima de una montaa, o a un punto de una ladera muy elevada, se dice que el aire est "enrarecido" porque la mayor parte de la masa del aire est en las zonas bajas atrado por la gravedad de la Tierra y est como "aplastado" por su propio peso y cuanto ms ascendemos ms liviano, tenue y ligero es el aire.
5. 5. Fsica General: 4to. Secundaria - 5 - En las capas altas existe menos presin y la densidad es menor. La densidad y la presin del aire disminuyen con la altura. La temperatura.- La temperatura del aire tiende a disminuir con la altitud, aunque en algunas regiones altas de la atmsfera aumenta, debido a que algunos gases absorben las radiaciones solares y las transforman en calor. La atmsfera parece una capa uniforme, pero su temperatura varia de forma irregular con la altitud. Estas variaciones sirven para diferenciar distintas zonas de la atmsfera. La altitud produce variaciones de temperatura: Tierras altas, bajas temperaturas Tierras bajas, altas temperaturas Fenmenos meteorolgicos.- Citaremos los ms importantes: a) Lluvia: Es la precipitacin de agua que cae a la tierra desde las nubes, que son concentraciones de vapor de agua compuestas de diminutas gotas, que al condensarse forman otras ms grandes que se precipitan sobre la tierra. La lluvia es ms habitual en las zonas hmedas como son por ejemplo las zonas tropicales. b) Viento: Este fenmeno atmosfrico se debe a los movimientos de aire provocados por las diferencias de temperatura y presin atmosfrica. Al calentarse el aire, se dilata, se hace menos pesado y tiende a elevarse sobre las masas de aire fro. Existen, adems, tipos de vientos propios de lugares determinados que se producen a consecuencia de ciertas caractersticas geogrficas y climatolgicas del lugar como el siroco. c) Nieve: Es un fenmeno meteorolgico que slo se produce cuando la temperatura de la atmsfera es inferior a 0 C. Esto provoca que las pequeas gotas de lluvia de las nubes se congelen y formen cristales de hielo que precipitan sobre la tierra en forma de copos. La probabilidad de que nieve en un lugar determinado est condicionada tambin por la situacin geogrfica. As se puede decir que a mayor altitud, mayor posibilidad de que nieve, y a mayor cercana al Ecuador, menor posibilidad de que nieve. d) Huracn: Es un fenmeno meteorolgico consistente en una tormenta tropical que se forma en el mar, caracterizado por la potencia de sus vientos superiores a 120 km/h. Se generan en zonas de baja presin atmosfrica. Se suele reservar el nombre de huracn para las tormentas de este tipo que se producen en el Ocano Atlntico.
6. 6. - 6 - Fsica General: 4to. Secundaria e) Tormenta elctrica: Es un fenmeno meteorolgico consistente en una tormenta caracterizada por la presencia de rayos y truenos. Los rayos son descargas elctricas que se originan por el choque de las cargas elctricas positivas y negativas de las nubes. Los truenos se producen como consecuencia de los rayos. Son el ruido que generan las descargas elctricas y que se transmite por el aire. El trueno siempre es posterior al rayo. Granizo: son gotas de agua convertidas en hielo. Se originan tanto en verano como en invierno, y generalmente, en un tipo de nubes caractersticas que reciben el nombre de cumulonimbos. f) Arco iris: Es la descomposicin de la luz en los colores que la forman. Se produce cuando los haces de luz del Sol atraviesan las gotas de lluvia. g) Tornado: Es una columna de viento giratoria que se extiende desde el suelo hasta las nubes. Se produce en determinadas condiciones cuando choca una corriente de aire fro y seco con otra de aire caliente y hmedo. Tifn: Es el nombre que reciben los huracanes cuando se originan en el Ocano Pacfico. h) Inundacin: Invasin lenta o violenta de aguas de ro, lagunas o lagos, debido a fuertes precipitaciones fluviales o rupturas de embalses, causando daos considerables. Se pueden presentar en forma lenta o gradual en llanuras, y de forma violenta o sbita, en regiones montaosas de alta pendiente. i) Sequas: Deficiencia de humedad en la atmsfera por precipitaciones pluviales irregulares o insuficientes, inadecuado uso de las aguas subterrneas, depsitos de agua o sistemas de irrigacin. j) Heladas: Producida por las bajas temperaturas, en general, causan dao a las plantas y animales. Fenmeno del Nio y la Nia.- El Nio y La Nia son dos partes opuestas de un fenmeno climtico formalmente conocido como la Oscilacin del Sur. El nombre comn de "El Nio" refiere al Nio Jess, debido a las aguas inusualmente clidas originalmente observadas por los pescadores de Per en diciembre, cerca de navidad. Los pescadores de Sudamrica empezaron a notar este fenmeno en el siglo 16 y se confirm como un ciclo climtico a travs de las mediciones cientficas en la dcada de los 1920. En esta dcada cada ciclo era de 3 a 7 aos, pero desde los 1970 los ciclos estn ocurriendo con mayor frecuencia.
7. 7. Fsica General: 4to. Secundaria - 7 - El Nio es la etapa clida del ciclo. Se caracteriza por temperaturas ms altas en el Pacfico, lluvia en los desiertos de Sudamrica y baja presin del aire en la regin del Pacfico oriental. Empieza cuando los vientos Alisios sobre el Ocano Pacfico se debilitan por causa de un cambio en la presin del aire. Normalmente estos vientos soplan del lado oriental del Pacfico (las Amricas) hacia el oeste (Australia, Indonesia, China, etc.) y cuando dejan de soplar o cambian de direccin, permiten que las aguas clidas de Asia lleguen a la costa de las Amricas, donde el agua es normalmente ms fra. La presin del aire, la temperatura del ocano y la formacin de nubes de lluvia son ntimamente vinculadas, por lo tanto ocurre una alteracin de los patrones normales de circulacin del ocano y la atmsfera. La Nia es la etapa fra del ciclo. Las caractersticas de La Nia son exactamente el opuesto de la etapa de El Nio, por ejemplo aguas ms fras que lo normal, clima seco en la costa de Sudamrica y lluvias y tormentas en Asia oriental. Efectos de El Nio: - Temperaturas ms altas que lo normal, lluvia e inundaciones en la costa occidental de las Amricas (California, Ecuador, Per), en el Golfo de Mxico y en el nordeste de frica. - Reduccin de la poblacin de pescado en la costa de Per, debido a las temperaturas ms altas del agua. - Sequa en el sur de frica e India y en el Pacfico del oeste (Australia, Indonesia, Filipinas). - Los huracanes que normalmente ocurren en Asia (Indonesia, Filipinas, Tailandia) comienzan a formarse en las islas del Pacfico (Hawi, Tahit, Fiji). Efectos de La Nia: - Clima seco y fro en la costa occidental de las Amricas, en el Golfo de Mxico y en el nordeste de frica. - Lluvias fuertes en el sur de frica e India y en el Pacfico del oeste. - Inundaciones y huracanes en Asia oriental. SOROJCHI (MAL DE ALTURA) La principal causa de mal de altura es la hipoxia (falta de oxgeno en el organismo). La concentracin de oxgeno en la atmsfera disminuye con la altura, lo que afecta a la respiracin de los seres humanos. La gravedad de este trastorno est relacionada directamente con la velocidad de ascenso y la altitud alcanzada. Sin embargo, el cuerpo humano posee adaptaciones a corto y largo plazo que le permiten compensar, en forma parcial, la falta de oxgeno. Los atletas utilizan estas adaptaciones para mejorar su rendimiento. Estos sntomas normalmente desaparecen al descender a cotas ms bajas. Ocurre a partir de los 2100 metros de altitud, hasta los 8000 metros de altitud donde ningn cuerpo humano puede aclimatarse.
8. 8. - 8 - Fsica General: 4to. Secundaria LABORATORIO VIRTUAL http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material093/index.html Una pgina muy completa, ingresa y descubre sus actividades: - Ingresa a Educaplus con un buscador - Elija Fsica y luego Ciencias de la tierra - Elige atmsfera - Luego clic en el viento - Con la flecha cambia la velocidad del viento y observa las consecuencias - Investiga y practica VELOCIDAD DEL VIENTO - Ingresa a Educaplus con un buscador - Elija Fsica y luego Ciencias de la tierra - Elige atmsfera - Luego clic en propiedades de la atmosfera - Con la flecha cambia la posicin del globo - Observa, investiga y practica Los cambios de altura, presin, temperatura y densidad del aire. - Investiga y con ayuda del profesor revisa tus conocimientos en las siguientes actividades PROPIEDADES DE LA ATMSFERA
9. 9. Fsica General: 4to. Secundaria - 9 - Cap. 2 TEORA DEL ERROR ANLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES Contenido:
10. 10. - 10 - Fsica General: 4to. Secundaria OBJETIVO HOLSTICO ESPECFICO: Valoramos la importancia del trabajo en el laboratorio de fsica mediante el estudio de la teora del error, realizando mediciones con diversos instrumentos y con el apoyo de la matemtica, determinar el error experimental, para que el estudiante pueda usar en sus estudios posteriores aplicando el mtodo cientfico. CORRECCIN DE MEDIDAS EXPERIMENTALES CON EXCEL Los clculos para corregir datos experimentales pueden ser tediosos si se hacen a mano o con calculadora. Lo ms recomendable es utilizar una hoja de clculo (por ejemplo, Excel) para todo el proceso, tanto las operaciones como las representaciones grficas. En Excel se dispone de muchas funciones estadsticas, entre ellas una que se llama ESTIMACIN LINEAL o DISPERSIN que calcula mediante el mtodo de los mnimos cuadrados la recta de mejor ajuste a una tabla de datos, y devuelve los valores de la pendiente (m), la ordenada en el origen (b), el coeficiente de correlacin (R2 ) y alguna otra informacin de las funciones lineales: y = m x + b Tambin en las representaciones grficas, en particular en los grficos de dispersin, se puede aadir una lnea de tendencia para mostrar la recta obtenida por el mtodo de mnimos cuadrados. Intensidad (A) Diferencia de Potencial (V) 0.1 0.9 0.3 3.1 0.6 5.9 0.7 7.1 0.9 8.9 1 10.1 Se recomienda INVESTIGAR y practicar el tratamiento de datos experimentales con Excel, debido a la enorme simplificacin que se realiza en el ajuste de curvas por regresin lineal, dejando atrs las complicaciones matemticas. LA TECNOLOGA ES PARA FACILITAR EL TRABAJO, NO PARA COMPLICARNOS.
11. 11. Fsica General: 4to. Secundaria - 11 - Introduccin- La medicin, es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad patrn correspondiente. El resultado de la medicin nos da cuantitativamente un valor de la magnitud y podemos interpretar futuras situaciones. Para realizar una medicin, generalmente se hace uso de herramientas y/o equipos especiales as tambin clculos matemticos. Ejemplo: Si medimos la velocidad de un atleta con ayuda de una cinta mtrica, un cronmetro y una ecuacin matemtica, obtenemos como resultado 3 m/s; sabremos entonces que ste nunca ser campen en una competencia de 100 metros planos. Clases de mediciones.- La manera de calcular los errores depende del tipo de medida: a) Mediciones directas.- Son las que se obtienen comparando la magnitud con el patrn directamente o mediante un aparato calibrado. As se suelen medir la longitud, la masa, el tiempo, el voltaje, etc. Ejemplo: La longitud del dimetro en la figura, nos indica directamente un valor de 25.4 mm. b) Mediciones indirectas.- Las que se calculan mediante una frmula a partir de magnitudes medidas directamente. As suelen obtenerse la velocidad, la superficie, etc. Ejemplo: La matemtica es una herramienta muy importante Errores en el proceso de medicin.- La medicin la realiza el ser humano con un instrumento de medida. En toda medicin, por ms calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estar afectado de cierto error. Nunca se llega al valor exacto, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o de leer exactamente una escala. Precisin y exactitud.- Se debe hacer una clara distincin entre exactitud y precisin. a) La exactitud: Da una idea del grado de aproximacin con que el valor medido concuerda con el valor verdadero; es decir, es la cercana del valor experimental obtenido al valor real de dicha medida. Se la asocia con la calidad de la calibracin del instrumento respecto de los patrones de medida. b) La precisin: Indica el grado de concordancia entre valores medidos, es decir, en cuanto se aproximan unas a otras. Tambin est asociada a la sensibilidad o menor variacin de la magnitud que se pueda detectar con un instrumento (o un mtodo de medicin). PRECISIN Y EXACTITUD La precisin es la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en diferentes mediciones realizadas en las mismas condiciones y exactitud es la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real. volumen masa densidad
12. 12. - 12 - Fsica General: 4to. Secundaria Clasificacin de Errores.- Se tienen bsicamente dos tipos de errores en el proceso de medida: a) Errores Sistemticos.- Tienen que ver con la metodologa del proceso de medida (forma de realizar la medida). Son errores que afectan el resultado de una medicin en el mismo sentido, al medir varias veces una magnitud fsica siempre se comete el mismo error. - Calibrado del aparato: Normalmente errores en la puesta a cero. La mala calibracin del instrumento de fbrica o descalibracin por el uso excesivo. Por ejemplo algunas seoras del mercado estiran el resorte de la balanza para que el producto pese menos. Es otro error sistemtico que se produce en el mismo sentido y varias veces. - Error de paralaje: Cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un lquido, lquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la escala de medida del aparato. Visto desde A es el correcto, vistos desde B y C, se cometen errores de paralaje. b) Errores casuales o aleatorios.- Se producen por causas difciles de controlar, ocurren al azar, no se conocen con anticipacin. Las causas que los originan son difciles de descubrir, estas pueden ser: - Los cambios bruscos de temperatura, producen dilataciones y contracciones en los instrumentos. - Presencia de corrientes de aire, que pueden mover la posicin de una aguja indicadora de una balanza sensible. - Para medir tiempos con el cronmetro, el que mide puede pulsar la aguja antes o despus de lo debido. - En la lectura de longitudes con regla u otros instrumentos, las limitaciones de la vista, provocan lecturas diferentes. - El cansancio del que mide, disminuye la capacidad visual y la rapidez de sus reflejos. Sensibilidad (apreciacin o incertidumbre).- La sensibilidad de un aparato es el valor mnimo de la magnitud que es capaz de medir (divisin ms pequea de la escala). Se llama: incertidumbre del instrumento, a la sensibilidad o apreciacin. Para el caso de una regla comn: Su apreciacin o sensibilidad es 1 mm Ejem. 2.1.- Se realiza 5 mediciones con dos balanzas de la misma sensibilidad. Balanza 1 (g) Balanza 2 (g) 25.55 25.56 25.54 25.57 25.53 25.55 25.59 25.51 25.58 25.52 Promedio = 25.55 Eabsoluto = 0.01 Promedio = 25.55 Eabsoluto = 0.03 Nota: La forma de calcular Ea se ver ms adelante. - Las dos balanzas dan como medida 25.55 g - La precisin de la balanza (1) es mayor - La segunda balanza es menos exacta y da una dispersin mayor de las medidas. - La primera balanza es ms exacta y precisa. La incertidumbre en las mediciones afecta a la exactitud. Una medida es ms precisa, cuanto mayor es el nmero de cifras significativas. Se comete errores al ubicar el cero Se comete errores al dar la lectura
13. 13. Fsica General: 4to. Secundaria - 13 - xxx xx x xx Estimacin de una lectura.- La estimacin de una lectura depende de la apreciacin del instrumento y de la habilidad del operador. La estimacin de una lectura es en general menor que la apreciacin del instrumento. MEDIDA REALIZADA CON UNA REGLA COMN Apreciacin del instrumento = 1 mm = 0.1 cm Estimacin de una lectura = 0.5 mm = 0.05 cm Se observa: Longitud del lpiz = ( 29.22 0.05 ) cm El dgito 2 es la cifra estimada por el observador, es una cifra significativa. Cuando se realiza una medicin, siempre se acepta una cifra correspondiente al menor intervalo que se puede estimar con ayuda de la escala del instrumento. Expresin de una medida.- Cuando se expresa una medida se indica el valor observado junto con su error absoluto, incertidumbre o imprecisin y sus unidades. x Resultado de la medicin x Valor verdadero, valor promedio, valor estimado x Incertidumbre o error Medida = Valor estimado Error absoluto Error absoluto = Incertidumbre = imprecisin Cuantificacin de los errores.- Se distinguen tres clases de errores que se utilizan en los clculos: a) Error absoluto (Ea) o (x).- Conocido tambin como imprecisin absoluta, incertidumbre o desviacin. Se define como: El valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. El valor verdadero no se puede conocer, por eso se sustituye por la media aritmtica, llamado tambin valor ms probable (VMP): Error absoluto =Valor medido Valor verdadero xxEa xxx Nota: Para el clculo del error absoluto, no importa el orden del minuendo o sustraendo, solo interesa el valor absoluto de la resta. b) Error relativo (Er).- Es el cociente entre el error absoluto y el que damos como representativo (valor promedio): x E E a r x x Er c) Error porcentual (E%).- Indica la calidad de la medida, es el error relativo en trminos de porcentaje: Un error porcentual mayor del 10% indica que la medida no es vlida. Ejem. 2.2.- Dada la longitud: 5.68 0.05 cm. Determinar el: a) Error relativo, b) Error porcentual. Datos: x 5.68 x 0.05 a) Er = ? b) E% = ? Solucin: a) Calculo del error relativo: x x Er 0088.0 68.5 05.0 rE b) Calculo del error porcentual: rE% E 100% 0.0088 100% 0.88 %100% rEE
14. 14. - 14 - Fsica General: 4to. Secundaria Ejem. 2.3.- El error porcentual de una medicin es del 8%, si la longitud tiene un valor probable de 5.45 m, determinar: a) Error relativo, b) Error absoluto. Datos: E% = 8 % x 5.45 m a) Er = ? b) x ? Solucin a) Calculo del error relativo: 08.0 %100 %8 %100 % E Er b) Calculo del error absoluto: x x Er mmxEx r 4.045.508.0 Clculo de las incertidumbres en las medidas.- Se pueden tener tres procedimientos matemticos de obtener el valor numrico de la incertidumbre o error absoluto. a) Cuando se realiza una medicin.- El error depende de la precisin del aparato, definida como la mnima separacin que se puede conseguir entre medidas. Ejemplo: Se mide una vez un lpiz con una regla comn: Longitud del lpiz = 29.22 cm Incertidumbre del instrumento: Se toma la apreciacin del observador. En este caso la mitad de la mnima divisin: = 1/2 mm = 0.5 mm = 0.05 cm Expresin: L = 29.22 0.05 cm La ltima cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud que la incertidumbre (Debe encontrarse en la misma posicin decimal). Importante.- Se puede tomar como incertidumbre del instrumento la sensibilidad del mismo (Apreciacin del instrumento = menor divisin). b) Cuando se realizan dos mediciones.- Para dos lecturas de una magnitud fsica, realizar los siguientes clculos: Valor promedio: 2 minmax xx x Incertidumbre: Expresin de la medida: xxx Ejem. 2.4.- Se ha medido la masa de un objeto con una balanza comn: m1 = 15.5 g y m2 = 15.8 g. Halle la expresin de las medidas: Solucin: Valor promedio: max minx x 15.8 15.5 x 15.65 2 2 Incertidumbre: max minx x 15.8 15.5 x 0.15 2 2 Expresin de la medida: x x x 15.56 g 0.15 g c) Cuando se realizan varias mediciones.- Para varias lecturas de una misma magnitud fsica, anotar los datos en una tabla: Nro. de datos 1 2 3 4 5 Realizar los siguientes clculos, obteniendo los siguientes valores en forma ordenada: %100% rEE 2 minmax xx x n x 1x 2x 3x 4x 5x nx
15. 15. Fsica General: 4to. Secundaria - 15 - Nmero de datos: Valor promedio: Desviacin tpica de una muestra: Error absoluto del conjunto de mediciones: Desviacin media o Error absoluto medio (DM): (Promedio de los errores absolutos): Expresin de la medida: Ejem. 2.5.- Se ha medido el tiempo de viaje de un estudiante entre dos puntos fijos 7 veces, habindose obtenido los siguientes datos: Nro. de datos 1 2 3 4 5 6 7 t (min.) 12.3 12.9 15.1 11.8 13.0 14.5 13.9 Solucin: Calcular el valor promedio: min36.13 7 9.135.140.138.111.159.123.12 t n t t i Luego completar una tabla, que tenga las siguientes columnas: 1 12.3 12.3 13.36 1.06 1.1236 2 12.9 12.9 13.36 0.46 0.2116 3 15.1 15.1 13.36 1.74 3.0276 4 11.8 11.8 13.36 1.56 2.4336 5 13.0 13.0 13.36 0.36 0.1296 6 14.5 14.5 13.36 1.14 1.2996 7 13.9 13.9 13.36 0.54 0.2916 6.86 8.5172 Calcular la Desviacin tpica de la muestra: 19.1 17 5172.8 1 1 2 1 n tt n i i n Calcular el Error absoluto: 4.045.0 7 19.11 n t n Expresin final: min4.04.13 ttt Ejem. 2.6.- Un atleta en una carrera de 100 m realiza la prueba 5 veces obteniendo los siguientes tiempos: Nro. 1 2 3 4 5 t (s) 10.22 10.15 10.20 10.16 10.18 Determinar: a) El valor ms probable del tiempo empleado. b) El error absoluto medio c) Expresar de mejor forma el tiempo empleado d) El error porcentual Solucin: a) El VMP es el promedio: n n x x n i i 1 1 1 2 1 n xx n i i n n x n 1 n E DM n i ia 1 xxx n it tti tti 2 tti s t t i i 18.10 5 18.1016.1020.1015.1022.10 5 5 1
16. 16. - 16 - Fsica General: 4to. Secundaria b) El error absoluto medio, llamado tambin desviacin media se obtiene calculando los errores absolutos de cada medida, sumarlos y hallar la media aritmtica de los mismos: n 1 10.22 10.22 10.18 = 0.04 0.04 2 10.15 10.15 10.18 = 0.03 0.03 3 10.20 10.20 10.18 = 0.02 0.02 4 10.16 10.16 10.18 = 0.02 0.02 5 10.18 10.18 10.18 = 0.00 0.00 Nota: La expresin entre barras, significa que solo se anotan los resultados como positivos, aun as hayan salido negativos: c) La expresin final de las medidas, ser: sttt 02.018.10 d) El error relativo: El error porcentual: rE% E 100% 0.00196 100% E% 0.196 100% 0.2% Ejem. 2.7.- El profesor anot las medidas de la longitud de un mesn de laboratorio obtenindose los siguientes datos: 53.57 cm 53.53 cm 53.58 cm 53.59 cm 53.54 cm 53.55 cm Calcular: a) Valor promedio de las mediciones (valor ms probable) b) Error absoluto de cada medida c) Desviacin media Solucin: a) Valor promedio: b) Error absoluto de cada medida: 1) 53.56 53.57 = 0.01 cm 2) 53.56 53.53 = 0.03 cm 3) 53.56 53.58 = 0.02 cm 4) 53.56 53.59 = 0.03 cm 5) 53.56 53.54 = 0.02 cm 6) 53.56 53.55 = 0.01 cm c) Desviacin media: Resultado: = (53.56 0.02) cm Ejem. 2.8.- Un remache se mide cinco veces sucesivas, obtenindose las siguientes lecturas: 1 2 3 4 5 5.5 mm 5.6 mm 5.5 mm 5.6 mm 5.3 mm Determinar: a) El valor ms probable b) El error absoluto c) Expresar la medicin d) Determine el error porcentual Solucin: a) b) Clculo del error absoluto: 1 5.5 5.5 5.5 0.0 0.00 2 5.6 5.6 5.5 0.1 0.01 3 5.5 5.5 5.5 0.0 0.00 4 5.6 5.6 5.5 0.1 0.01 5 5.3 5.3 5.5 0.2 0.04 0.4 0.06 it tti tti n E DME n i ia a 1 sEa 022.0 5 002.002.003.004.0 00196.0 18.10 02.0 x E E a r 53.57 53.53 53.58 53.59 53.54 53.55 53.56 5 VMP cm iia xxE n E DM ia 02.0 6 01.002.003.002.003.001.0 DM VM VMP Ea 5.5 5 3.56.55.56.55.51 n x x n i i n ix xxi xxi 2 xxi
17. 17. Fsica General: 4to. Secundaria - 17 - Desviacin tpica de una muestra: Error absoluto: c) Expresin de la medida: d) Clculo del error porcentual: Propagacin de Errores.- La propagacin de errores se utiliza para medidas indirectas, cuyo error absoluto de la medida final depende de otras variables obtenidas por medicin. Supngase que se tienen dos magnitudes obtenidas por medicin: a) Para la suma: La frmula para la suma es: S x y S El error absoluto: S x y b) Para la resta: La frmula para la resta es: R x y R El error absoluto: R x y c) Para el producto: La frmula para el producto es: P x y P El error absoluto: P y x x y El error relativo: P x y P x y d) Para la divisin: La frmula para la divisin es: x D D y El error absoluto: 2 y x x y D y El error relativo: D x y D x y e) Caso General: El error relativo es: W x y z m n p W x y z Ejem. 2.9.- En un trabajo de laboratorio, los estudiantes obtuvieron las siguientes medidas: 5.00 0.02A 15.00 0.10B 7.00 0.10C Calcular el resultado, el error absoluto y el error relativo de la siguiente frmula: .A B R C Solucin: Clculo del resultado: 5.00 15.00 10.71 7.00 R Clculo del error relativo: z z y y x x R R 0.02 0.10 0.10 0.025 5.00 15.00 7.00 R R Se despeja el error absoluto: 0.025 R R 27.027.071.1002.0025.0 RR Finalmente: 27.071.10 RRR 12.0015.0 15 06.0 1 1 2 1 n xx n i i n 05.0054.0 5 12.01 n x n mmxxx 05.050.5 009.0 50.5 05.0 x x Er %9.0%100)009.0(%100% rEE xxX yyY p nm z yx W
18. 18. - 18 - Fsica General: 4to. Secundaria PARA PROFUNDIZAR TUS CONOCIMIENTOS SOBRE MEDICIONES Ajuste de curvas.- Es un procedimiento estadstico que se usa para encontrar una lnea recta que se acomoda a un conjunto de datos experimentales. Mediante las frmulas de la Regresin Lineal, se encuentra la lnea recta, luego escribir la ecuacin de la misma y a partir de ella predecir resultados. Ecuacin de la recta: bxay b = Ordenada en el origen, la recta corta al eje Y a = Pendiente, inclinacin de la recta x = Variable independiente (En el eje de abscisas) y = Variable dependiente (En el eje de ordenadas) Para la pendiente: 22 ii iiii xxn yxyxn a La recta ajustada debe pasar por el punto yx , , que son los promedios de los valores experimentales: n x x i n y y i De modo que la recta, ser: bxay Intercepcin con y: xaybbxay La calidad del ajuste viene determinada por el coeficiente de correlacin R: n y y n x x n yx yx R i i i i ii ii 2 2 2 2 11 R R = 1 Existe relacin directa y perfecta entre variables. R = 1 Existe relacin inversa y perfecta entre las variables. R = 0 No existe relacin lineal entre las variables 1 < R < 0 Existe relacin inversa entre las variables 0 < R < 1 Existe relacin directa entre las variables O x y y = a x + b b
19. 19. Fsica General: 4to. Secundaria - 19 - Procedimiento para trabajar con R. L.- Para encontrar la ecuacin de regresin, lo primero que se encuentra pendiente, interseccin y usarla para formar la ecuacin de regresin. 1. Cuente el nmero de valores: n 2. Anote los valores de las variables en la tabla 3. Calcular: xy, x2 4. Hallar las sumas: x, y, xy, x2 5. Aplique la ecuacin para hallar la pendiente: 22 ii iiii xxn yxyxn a 6. Calcule los valores promedios: n x x i n y y i 7. Halle la intercepcin con el eje y: xaybbxay TABLA PARA CONSTRUIR LOS DATOS POR EL MTODO DE REGRESIN LINEAL Variable Indep. Variable Depend. Calcular el cuadrado de xi 2 Calcular el producto xi yi xi 2 xi yi ix = iy = 2 ix = ii yx = n = Nmero de valores o elementos x = Variable independiente y = Variable dependiente Ejemplo: Para un movimiento acelerado de un objeto en un plano inclinado OBTENCIN DE LA ECUACIN Aplicando Regresin lineal, utilizando las ecuaciones y una calculadora simple. Variable Indep: Tiempo (s) Variable Dep. Veloc. (m/s) Calcular el cuadrado de xi 2 Calcular el producto xi yi xi 2 xi yi 3.01 4.65 9.06 14.00 3.50 5.14 12.25 17.99 3.80 5.70 14.44 21.66 4.30 6.00 18.49 25.80 4.60 6.50 21.16 29.90 ix = 19.21 iy = 27.99 2 ix = 75.40 ii yx = 111.01 a) Clculo de la pendiente de la recta, que es la aceleracin: 222 21.194.755 37.2821.1901.1115 ii iiii xxn yxyxn a 26.1 9759.7 0623,10 a b) Clculo de valores promedios: 84.3 5 21.19 n x x i 67.5 5 37.28 n y y i c) Interseccin con y: xaybbxay 83.084.326.167.5 by d) Ecuacin corregida: btavbxay 83.026.1 tv
20. 20. - 20 - Fsica General: 4to. Secundaria PROCESAMIENTO DE DATOS CON CALCULADORA CIENTFICA Cada calculadora tiene sus propias caractersticas, consultar su catlogo para tener mayor claridad. CALCULO DE LA DESVIACIN ESTNDAR Para una calculadora: fx-82MS 1) Habilitar SD (desviacin estndar): MODE SD 2) Limpiar la memoria temporal: SHIFT CLR SLC = 3) Verificar la limpieza: SHIFT = Debera verse el mensaje: Math ERROR 4) Introducir los datos: x1 DT x2 DT x3 DT x4 DT 5) Calcular la desviacin tpica: SHIFT = 6) Calcular el promedio: SHIFT = REGRESIN LINEAL CON CALCULADORA 1) Habilitar REG MODO REG (tecla 3) 2) Elegir la opcin lineal: LIN (tecla 1) 3) Introducir datos, Variable Independiente luego Variable dependiente Por ejemplo: 10 tecla , 1003 tecla M+ aparece n = 1 (primer par de puntos) 4) Guardar datos, presionar tecla: AC 5) Repetir la secuencia de datos hasta concluir el ingreso de todos. 6) Ver los resultados: SHIFT 2 7) Seleccionar de la pantalla A, B, r: A = Ordenada en el origen, tecla 1 B = Pendiente de la recta, tecla 2 r = Coeficiente de correlacin, tecla 3 Presionando 1 = 2 = 3 = respectivamente, se obtienen los valores de A, B y r. 8) Escribir la ecuacin de la recta: y = A + B x REGRESIN LINEAL CON EXCEL 1. Abrir el programa de Excel. 2. Introducir los datos en dos columnas (primera columna para las X y segunda columna para las Y) 3. Seleccionar el conjunto de celdas que contienen los datos. 4. Hacer click en la opcin insertar de la barra de herramientas; y seleccionar grficos, luego dispersin y finalmente dispersin de puntos. 5. Aparecer el grfico de puntos en la misma hoja que la tabla de datos. Puede eliminar la leyenda Serie1 haciendo click sobre ella y luego suprimir. 6. Para incluir la recta de regresin se hace click con el botn derecho (secundario) del ratn sobre alguno de los puntos para abrir el men contextual, agregar en l la opcin Agregar lnea de tendencia. 7. En el men emergente tipo de tendencia o regresin elegir la opcin lineal. 8. Tambin debemos incluir la ecuacin de la recta y el coeficiente de regresin lineal, marcamos ambas opciones. En la opcin Extrapolar se puede elegir prolongar la recta algunas unidades hacia atrs, es conveniente que la recta llegue hasta el eje Y. 9. Para dar nombre a los ejes y al grfico, elegimos la opcin Presentacin de la barra de herramientas, del men emergente seleccionamos Ttulo del grfico y Rtulos del eje para aadir el nombre del grfico y nombres de cada eje respectivamente. 1nx 1nx x
21. 21. Fsica General: 4to. Secundaria - 21 - PRCTICA DE LABORATORIO: APLICACIN DE LA REGRESIN LINEAL VELOCIDAD MEDIA EN UN PLANO INCLINADO Objetivos: - Determinar la dependencia lineal de la velocidad media en funcin del tiempo para un movimiento acelerado. - Encontrar la aceleracin con su error mediante una regresin lineal. Procedimiento: Coloque un pequeo cuerpo o una canica (obviar el rozamiento) sobre un carril inclinado. El ngulo de inclinacin debe ser lo ms pequeo posible para que el movimiento sea lento y se puedan tomar buenas medidas con un cronmetro manual. Con Interactive Physics Registre el tiempo que tarda en recorrer diferentes distancias sobre el plano inclinado. Fundamento terico: Se trata de un movimiento uniformemente acelerado. El desplazamiento: La velocidad media: Que es una relacin lineal: Dnde: a = Es la aceleracin del mvil t = El tiempo empleado Grafique la velocidad media en funcin del tiempo y encuentre la aceleracin con su error mediante una regresin lineal. Desarrollo de la prctica: Tomar datos: desplazamientos y tiempos. Tabla I Nro. d (m) t (s) 1 0.50 0.81 0.62 1.53 2 0.75 0.95 0.79 1.66 3 1.00 1.15 0.87 1.51 4 1.25 1.23 1.02 1.95 5 1.50 1.30 1.15 1.77 6 1.75 1.45 1.21 1.67 7 2.00 1.54 1.30 1.69 Promedio: 1.68 De la tabla se puede deducir: Variable independiente, xi: corresponde al tiempo ti Variable dependiente, yi: corresponde a la velocidad media 21 2 d a t at t d vm 2 1 tavbxay m 2 1 d 10 s m t d vm 2 2 s m t v a mv
22. 22. - 22 - Fsica General: 4to. Secundaria Clculo de la pendiente y ordenada en el origen: Nro. x i y i x i . y i x2i it iv ii vt 2 it 1 0.81 0.62 0.50 0.66 2 0.95 0.79 0.75 0.90 3 1.15 0.87 1.00 1.32 4 1.23 1.02 1.26 1.51 5 1.30 1.15 1.50 1.69 6 1.45 1.21 1.76 2.10 7 1.54 1.30 2.00 2.37 8.43 6.96 8.77 10.55 Pendiente: 98.0 785.2 72.2 43.855.107 96.643.877.87 222 ii iiii ttn vtvtn a Promedios de las variables: 8.43 1.2 7 it t s N sm n v v i /99.0 7 96.6 Ordenada en origen: 19.02.198.099.0 btavbbtav Ecuacin corregida: 19.098.0 tvm Grfica obtenida con Excel: muestra los puntos medidos, la recta corregida, ecuacin Comparacin de resultados: Aceleracin calculada experimentalmente (valor medido): De la tabla l: aexperimental = 1.68 m/s2 Aceleracin calculada tericamente (valor ms probable): De la grfica corregida, la pendiente de la recta: 2 /86.19298.029298.0 2 1 smaa Clculo del Error porcentual: %7.10%100 68.1 18.0 %100 68.1 68.186.1 %100% VMP VMVMP E Conclusin: Este error es aceptado, el estudiante debe repetir sta prctica procurando realizar las mediciones con mayor exactitud y precisin. Ser un reto para Ud. reducir ste porcentaje de error. v = 0.9298t- 0.1255 R = 0.9691 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Velocidadmedia:v(m/s) Tiempo: t (s)
23. 23. Fsica General: 4to. Secundaria - 23 - 1. Qu nos indica la desviacin estndar? Resp: la dispersin de datos con respecto al valor promedio 1. Al medir las 30 oscilaciones de un pndulo se ha obtenido el valor de 30.52 0.03 s. Calcular su periodo. Resp: s03.002.1 2. El error porcentual de una medicin es del 4 %, si la longitud en estudio tiene un valor probable de 1.85 m, determinar: a) Error relativo, b) Error absoluto. Resp:a) 0.04; b) 0.074 m 3. Cristian midi la longitud de su gato tres veces obteniendo los siguientes resultados: 1 = 33.0 , 2 = 32.5 3 = 33.3 a) Cul es el promedio del conjunto de medidas? b) Cul es la desviacin estndar del conjunto de medidas? Resp:a) 32.9 cm; b) 0.41 cm 4. Se ha medido la longitud de un terreno, los datos obtenidos en metros son: 1 Medicin: 100.21 2 Medicin: 100.45 3 Medicin: 100.68 Se pide: a) Calcular la media. b) Calcular la desviacin tpica o estndar. Resp:a) 100.45 m; b) 0.235 m 5. En el problema anterior calcular: a) El error absoluto b) El resultado final c) El error relativo porcentual Resp: a) 0.14 m; b) (100.45 0.14) m; c) 0.1% 6. Se ha efectuado la medicin de una distancia y los resultados obtenidos son: 800.23 m 800.58 m 800.66 m 800.59 m Calcular el error relativo Resp: 0.01% 7. Queremos determinar la distancia que hay entre dos columnas con una cinta mtrica que aprecia milmetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores: 80.3 cm; 79.4 cm; 80.2 cm; 79.7 cm; 80.0 cm a) Cul es el resultado de sta medida? b) Cul es el error absoluto y relativo de sta medida? Resp: a) 79.9 0.3 cm; b) 0.3 cm; 0.004 8. Para determinar la longitud de una mesa se han realizado cuatro mediciones con una cinta mtrica. Los valores obtenidos son los siguientes: 75.2 cm; 74.8 cm; 75.1 cm; 74.9 cm. Expresa el resultado de la medida acompaado del error absoluto. Entre qu mrgenes se encuentra el valor real de la longitud de la mesa? Resp: 75.0 0.2 cm; 74.8 75.2x 9. Para un cubo cuya arista es de 10.5 0.5 cm, calcular el error relativo y porcentual de la superficie y el volumen. Resp: ErS = 0.095 y 9.52 %: ErV = 0.143 y 14.3 % 10. Sabiendo que las medidas de los lados de un rectngulo, son de 73.3 0.2 y 27.5 0.2 en cm respectivamente, calcular el error porcentual de la superficie y el permetro. Resp: E% = 1 % E% = 0.19 % = 0.2 % 11. La masa de un cuerpo es de 37.5 0.02 g, y su volumen es de 13.89 0.01 cm . a) calcular la densidad b) sabiendo que la densidad del aluminio es de 2.7 g/cm y la del cobre es 8.92 g/cm, de qu material podra ser el cuerpo? Resp: a) 2.7 0.003 g/cm, b) aluminio 12. Para un objeto con movimiento uniformemente acelerado se hicieron las siguientes mediciones. t (s) 1 2 3 4 5 v (m/s) 8 11 14 17 20 Hallar la ecuacin de la velocidad en funcin del tiempo. Resp: v = 3 t + 5 EJERCICIOS PROPUESTOS
24. 24. - 24 - Fsica General: 4to. Secundaria 1. Medimos una mesa de longitud un metro con una regla graduada en mm. Indica cul de los siguientes resultados de la medida est expresado correctamente: a) 1.0 0.001 m b) 1.00 0.001 m c) 1.000 0.001 m d) 1 0.001 cm 2. La calidad de la medida se manifiesta por: a) Un error absoluto pequeo b) Un error relativo pequeo c) Una expresin correcta con su grado de incertidumbre d) N. A. 3. Cul de las siguientes medidas: 1.23 0.01 ; 300 1 ; 45.0 0.1 Tiene mejor calidad? a) 1.23 0.01 b) 45.0 0.1 c) 300 1 d) N. A. 4. Cmo se pueden reducir los errores casuales o aleatorios (accidentales)? a) Realizando varias medidas b) Colocndose en una posicin correcta c) Cambiando de aparato d) Empleando mtodos estadsticos 5. Cul de las alternativas no puede ser una causa de error en las mediciones? a) Naturales b) Instrumentales c) Personales d) Temperamentales 6. Diferencia entre el valor verdadero de una magnitud y el valor obtenido al medirla: a) Error absoluto b) Error de medicin c) Error sistemtico e) Exactitud de medicin 7. Estos errores no se repiten regularmente de una medicin a otra y se deben a los efectos provocados por las variaciones de la presin, humedad, y temperatura del medio ambiente: a) Errores sistemticos b) Errores casuales o aleatorios c) Errores de paralaje d) Errores de tanteo . 8. Las clases de errores se dividen en: a) Absoluto y relativo b) Estocsticos y aleatorios c) Sistemtico y casual d) Desviacin media y absoluto 9. Cul es la media o promedio ponderado de las mediciones de cierta varilla cuyas medidas obtenidas fueron: 12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm a) 12.0 cm b) 11.8 cm c) 12.2 cm d) 12.4 cm 10. La media de un grupo de medidas de cierto peso es 28.5 g, siendo una de las medidas obtenidas 27.8 g; la desviacin sera: a) 1.3 g b) 0.7 g c) 1.7 g d) 0.9 g .11. La suma de los cuadrados desviaciones de cierto grupo de medidas (cinco mediciones) fue 81. Hallar su desviacin tpica o estndar. a) 6.5 b) 5.5 c) 3.5 d) 4.5 12. Se ha medido el tiempo de viaje de un estudiante entre dos puntos fijos 7 veces, habindose obtenido los siguientes datos: Nro. 1 2 3 4 5 6 7 t (min.) 12.3 12.9 15.1 11.8 13.0 14.5 13.9 Calcule la desviacin tpica de una muestra: a) 1.19 b) 11.9 c) 2.61 d) 1.50 13. Un atleta en una carrera de 100 m realiza la prueba 5 veces obteniendo los siguientes tiempos: Nro. 1 2 3 4 5 t (s) 10.22 10.15 10.20 10.16 10.18 Expresar de mejor forma el tiempo empleado a) .02.018.10 s b) .10.018.10 s c) .20.018.10 s d) .5.018.10 s 14. En el ejercicio anterior, determine el error porcentual a) 0.2% b) 0.3% c) 0.4% d) 0.5% EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIN
25. 25. Fsica General: 4to. Secundaria - 25 - Cap. 3 ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA (Optativo) Contenido:
26. 26. - 26 - Fsica General: 4to. Secundaria OBJETIVO HOLSTICO ESPECFICO: Apreciamos la importancia del estudio de la trigonometra y su aplicacin en el trabajo con vectores, mediante la resolucin de problemas relacionados a tringulos rectngulos y oblicungulos, para proporcionar al estudiante estrategias creativas en su desarrollo personal. TEODOLITO CASERO En muchos problemas de aplicacin de la trigonometra, cuando queremos medir alturas de objetos, intervienen los ngulos de elevacin. Una versin casera, hecha con materiales que se puede encontrar y obviamente su precisin es limitada, pero sirve para nuestro caso se muestra en los siguientes grficos. Se llama lnea de visin a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ngulo de elevacin al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando ste est situado arriba del observador. Cuando el observador est ms alto lo llamaremos ngulo de depresin. Se mide el ngulo Luego el ngulo de elevacin o depresin es: 90 Resuelve problemas reales y prcticos sobre tringulos con ste sencillo aparato
27. 27. Fsica General: 4to. Secundaria - 27 - Teorema de Pitgoras.- Para empezar a estudiar las funciones trigonomtricas, es necesario dominar el Teorema de Pitgoras: En un Tringulo Rectngulo el Cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma de los Cuadrados de sus Catetos. 2 2 2 Hipotenusa cateto cateto 2 2 2 c a b - Los lados adyacentes al ngulo recto se denominan catetos. - Lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa. Ejem. 3.1.- En el tringulo rectngulo, hallar el valor que falta. a = 6 cm, b = x, c = 9 cm. Solucin: La incgnita que debemos encontrar, es: b: Aplicando el Teorema de Pitgoras: 2 2 2 c a b 1. Sustituimos las cantidades numricas: 222 69 x 2. Realizamos las operaciones: 4536812 x 70.645 x Funciones trigonomtricas.- Para definir funciones trigonomtricas, se usa del Teorema de Pitgoras. - Las letras minsculas son las que utilizamos para los lados en el Teorema de Pitgoras. - Las letras maysculas, se utilizarn para referirnos a los ngulos del tringulo. a) Funcin Seno (sen): Su definicin es la siguiente: lado opuesto sen hipotenusa a sen A c b sen B c b) Funcin Coseno (cos): Su definicin es la siguiente: cos lado adyacente hipotenusa cos b A c cos a B c c) Funcin Tangente (tan): Su definicin es la siguiente: tan lado opuesto lado adyacente tan a A b tan b B a a = cateto b = cateto b = x a = 6 cm
28. 28. - 28 - Fsica General: 4to. Secundaria Ejem. 3.2.- Dado el siguiente tringulo, encontrar todas las funciones trigonomtricas, si: Datos: b = 4 y c = 5 a = ? 1. Primero encontraremos el valor del lado que hace falta: 2 2 2 c a b Sustituyendo valores: 2 2 2 2 5 4 25 16 9a a Extrayendo la raz: 9 3a 2. Ahora calculamos los valores de todas las funciones trigonomtricas: 3 4 3 ; cos ; tan 5 5 4 senA A A 4 3 4 ; cos ; tan 5 5 3 senB B B Ejem. 3.3.- Dado el siguiente tringulo, encontrar las funciones trigonomtricas. Dato: tan 2A 1. En este caso, se puede decir que: 2 tan 1 A o sea: tan a A b Entonces: a = 2; b = 1 2. Teorema de Pitgoras: 2 2 2 c a b 5 2.2c 3. Conociendo (c) encontramos los valores de las funciones trigonomtricas: 2 1 2 ; cos ; tan 2 2.2 2.2 1 senA A A Funciones trigonomtricas de ngulos notables.- Algunos ngulos notables son los siguientes: 30, 45, 60, 37, 53. Los valores de las funciones trigonomtricas de ciertos ngulos se pueden obtener con facilidad. a) Funciones trigonomtricas de 30 y 60.- Para ello se utiliza un tringulo equiltero de lado 2 unidades (cualquier medida da lo mismo). Trazar la altura CD del tringulo; resulta una bisectriz y mediana a la vez, se forma un ngulo de 30 y un tringulo rectngulo con un ngulo de 30 En el tringulo rectngulo ADC, calcular la altura CD es: Funciones trigonomtricas para 30: Funciones trigonomtricas para 60: 4 1 3CD 1 30 2 sen 3 cos 30 2 3 tan 30 3 3 60 2 sen 1 cos 60 2 tan 60 3
29. 29. Fsica General: 4to. Secundaria - 29 - b) Funciones trigonomtricas de 45.- El tringulo que se va a utilizar debe ser un tringulo rectngulo issceles de catetos 1 cm (o cualquier otra medida). La hipotenusa (AB): c) Funciones trigonomtricas 37 y 53.- En muchos problemas de fsica o matemtica se hace bastante uso del ste tringulo notable, de lados 3; 4 y 5, cuyos ngulos aproximados son de 37 y 53. Funciones trigonomtricas para 37: Funciones trigonomtricas para 53: Clculo de ngulos.- Para obtener el valor de un ngulo en un tringulo, hay que sacar la funcin inversa de la razn trigonomtrica. Ejem: Calcular en el tringulo siguiente, el ngulo 6.0 5 3 sen "shift" o "inv" que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda. Luego apretar la tecla "sin" y El resultado da: = 36.87 = 36 52 12 FUNCIONES DE NGULOS NOTABLES Grados 30 45 60 37 53 Radianes 0.646 0.925 1 Resolucin de tringulos rectngulos.- Resolver un tringulo rectngulo es encontrar los lados y los ngulos que se desconocen. 211 22 AB 2 45 2 sen 2 cos 45 2 tan 45 1 A B C 3 4 5 53 37 3 37 5 sen 4 cos 37 5 3 tan 37 4 4 53 5 sen 3 cos 53 5 4 tan 53 3 1 (0.6)sen 6 4 3 sen 2 1 2 2 2 3 5 3 5 4 cos 2 3 2 2 2 1 5 4 5 3 tan 3 3 3 4 3 3 4
30. 30. - 30 - Fsica General: 4to. Secundaria El lado (a) es opuesto al ngulo (alfa) El lado (b) es opuesto al ngulo (beta) El lado (c) es opuesto al ngulo 90 90 Ejem. 3.4.- Resolver, nos proporcionan la siguiente informacin: Revisemos la informacin que tenemos: - Tenemos un ngulo equivalente a 60 - El lado b = 7 cm. - Nos piden encontrar un ngulo y dos lados, que son los que desconocemos. Solucin: 1. Conociendo , podemos conocer , ya que C = 90. Se tiene: 90 306090 2. Clculo de los lados, mediante funciones trigonomtricas: cos cos cos b b c b c c Reemplazando valores; con ayuda del profesor y una calculadora se halla el valor del coseno: 7 7 14 cos cos60 0.5 b c c 3. Conociendo el valor de (c), aplicando Pitgoras se obtiene el valor de (b): 222222 714 abac 147491962 a 12.12147 a 4. Quedando finalmente el tringulo solucionado: Resolucin de tringulos oblicungulos.- Resolver un tringulo oblicungulo es encontrar los lados y los ngulos que se desconocen. El lado (a) es opuesto al ngulo (alfa) El lado (b) es opuesto al ngulo (beta) El lado (c) es opuesto al ngulo (gamma) 180 a) Teorema de los senos.- Los lados son directamente proporcionales a los senos de los ngulos opuestos a dichos ngulos a b c sen A sen B senC b) Teorema de los cosenos.- El cuadrado de un lado de un tringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ngulo que forman 2 2 2 2 cosa b c bc A a = ? b = 7 c =? A B C 60 ? A C B a b c
31. 31. Fsica General: 4to. Secundaria - 31 - Ejem. 3.5.- Resolver el siguiente tringulo oblicungulo: Datos: Incgnitas: a = 10 m b = ? B = 30 c = ? C = 120 A = ? Solucin: El tercer ngulo es: CBACBA 180180 3012030180 AA Lado c: Aplicando el teorema de los senos: 30 1201010 120 sen senm c Asen m sen c Con ayuda del profesor y una calculadora: mc m c 32.17 5.0 867.010 Lado b: 10 3010 10 30 30 m senmb b b m sen sen A sen Ejem. 3.6.- Resolver: Datos: Incgnitas: a = 30 m c = ? b = 25 m C = ? A = 100 B = ? Solucin: ngulo B: Aplica el teorema de los senos: 30 10025 100 3025 sen Bsen senBsen )82083.0(82083.0 1 senBBsen 2.55B ngulo C: BACCBA 180180 8.242.55100180 CC Lado c: Aplica el teorema de los senos: 100 8.2430 100 30 8.24 sen sen c sensen c mc 78.12 98.0 42.030
32. 32. - 32 - Fsica General: 4to. Secundaria RESOLVER LOS TRINGULOS RECTNGULOS 1. En los tringulos mostrados determinar los valores de a y b. a = b = .... a = b = ... a = b = ... a = b = ... a = b = ... a = b = ... a = b = ... a = b = ... a = b = ... 2. Determine los valores del < y r, a partir de la relacin entre los lados del tringulo mostrado. = r = .... =. r = .. =. r = .. = r = .... =. r = .. =. r = .. = r = .... =. r = ... =. r = .. RESOLVER LOS TRINGULOS OBLICUNGULOS 1. En los tringulos mostrados determinar los valores de los lados y ngulos. b = c = ... C = a = b = ... A = a = B = ... C = A = B = ... C = c = B = ... A = A = B = ... C = a = r = ... C = b = r = ... C = b = r = ... C = b = r = ... C = EJERCICIOS PROPUESTOS
33. 33. Fsica General: 4to. Secundaria - 33 - Cap. 4 MAGNITUDES VECTORIALES EN LA TIERRA Y EL COSMOS MTODOS ANALTICOS Contenido:
34. 34. - 34 - Fsica General: 4to. Secundaria OBJETIVO HOLSTICO ESPECFICO: Practicamos y valoramos las operaciones con magnitudes vectoriales, a travs de las operaciones de la suma y resta de vectores para obtener una resultante en forma grfica y analtica, en beneficio de la preparacin acadmica del estudiante. VECTORES - Ingresa a Educaplus.org en el buscador de pginas. Haga clic izquierdo en educa plus.org - En la barra que aparece hacer clic en fsica. Luego click en la pestaa de vectores - De la ventana que aparece selecciona las siguientes actividades y practique. Investiga cmo funcionan. Asigne valores con ayuda del profesor(a). Practica nuevas situaciones. Suma y Resta de vectores, mtodo del paralelogramo SUMA Y RESTA DE VECTORES CON GEOGEBRA Descargue el software GEOGEBRA, un pequeo manual de uso y practique con operaciones vectoriales
35. 35. Fsica General: 4to. Secundaria - 35 - Introduccin.- Luego de haber aprendido a realizar operaciones con vectores aplicando los mtodos grficos; en este tema conoceremos los mtodos analticos de resolucin de vectores, para eso necesitas conocer los elementos bsicos de la trigonometra, resolver tringulos rectngulos y oblicungulos. Magnitud vectorial.- Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una direccin. Consiste en un nmero, una unidad y una direccin. Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores. Algunas cantidades vectoriales comunes son: La velocidad, aceleracin, el desplazamiento, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, etc. Ejemplo: Una velocidad de (30 m/s, 60), quiere decir "velocidad de 30 m/s en una direccin de 60 desde el origen del punto de referencia dado". La velocidad es una magnitud vectorial Vectores.- Un vector es un segmento de recta orientado cuya longitud es proporcional al valor numrico de la magnitud que representa. Sus elementos son: 1. Punto de aplicacin.- Es el origen del vector (O) 2. Direccin.- Es la lnea de accin del vector o las lneas rectas paralelas a l (L). Queda definida por el ngulo 3. Sentido.- Est indicado por la punta de la flecha (A) 4. Mdulo, intensidad o magnitud.- Es el valor numrico del vector, o la longitud del mismo (OA) Representacin de vectores.- Para dibujar vectores en el plano se utiliza un sistema de referencia, que puede ser un sistema de ejes coordenados, un sistema de ejes cardinales. Coordenadas rectangulares Ejes cardinales a) Representacin rectangular.- Un vector se representa en el sistema de ejes coordenados XY, colocando el punto de aplicacin en el origen (0, 0) y el extremo en un punto del plano. b) Representacin polar.- La longitud de un vector representado en forma rectangular, nos da su mdulo, su ngulo de inclinacin, nos da su direccin. Para representar un vector en forma polar, es suficiente conocer su mdulo y su ngulo. V = Mdulo o longitud de = ngulo formado por y el eje X positivo Ejem. 4.1.- Representar los siguientes vectores: O A L ),( yx VVV Absisa Ordenada ),( yx VVV Absisa Ordenada Mdulo Direccin ),( VV Mdulo Direccin ),( VV V V (3,4)A 5,5B 4, 2C 2, 4D
36. 36. - 36 - Fsica General: 4to. Secundaria El diagrama de ejes de a lado muestra los vectores dados en coordenadas rectangulares. Ejem. 4.2.- Representar los siguientes vectores dados en forma polar: Vector equipolente.- Es un vector equivalente o igual a otro: Misma direccin, modulo y sentido. Los vectores A y B son equipolentes Mtodos grficos para la suma de vectores.- Con ayuda de dos escuadras y un transportador, se determina la magnitud y direccin del vector resultante o suma de varios vectores componentes. 1.- Mtodo del paralelogramo.- Se dibujan los dos vectores dados haciendo coincidir sus orgenes, luego se trazan lneas paralelas para formar un paralelogramo, el vector resultante empieza en el origen y termina en la interseccin de las lneas trazadas. 2.- Mtodo del tringulo.- Se trazan los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un tringulo, el vector resultante se traza desde el primer origen y termina en la ltima cabeza. La suma de con es conmutativa, se expresa como: 3.- Mtodo del polgono.- Es una continuacin del mtodo del tringulo, vlido para dos o ms vectores concurrentes. El vector suma o resultante, se expresa como: X Y )40,4( cmA )120,3( cmB )200,3( cmC )60,5.2( cmD 40 X 120 200 60 Y B A A B R A B B A R A B C D
37. 37. Fsica General: 4to. Secundaria - 37 - Se trazan los vectores uno a continuacin de otro y luego formar un polgono con una recta, el vector resultante se traza del primer origen hasta la ltima cabeza. En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del ltimo vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema de vectores est en equilibrio. Resta de vectores.- Para obtener el vector resultante de una resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo o tringulo teniendo en cuenta el vector opuesto: ABABR Existe un procedimiento abreviado: Unir los extremos de ambos vectores (direccin) y trazar la flecha (sentido) del sustraendo al minuendo. Mtodos analticos para la suma de vectores.- Recordar temas bsicos de la trigonometra, como el teorema de Pitgoras y la definicin de las funciones trigonomtricas. 1. Vectores colinealesy del mismo sentido.- ngulo entre vectores 0 El mdulo de la resultante est dado por: 2. Vectores colinealesde diferente sentido.- ngulo entre vectores 180 El mdulo de la resultante est dado por: 3. Vectores perpendiculares.- ngulo entre vectores 90 El mdulo de la resultante est dado por: Teorema de Pitgoras: La direccin: 4. Vectores que forman cualquier ngulo.- = ngulo entre los dos vectores componentes Mdulo de : Direccin de : + R A B R A B + 2 2 R A B adyacentecat opuestocat . . tan tan B A R 2 2 2 cosR A B AB R B sen sen R
38. 38. - 38 - Fsica General: 4to. Secundaria Resultante mxima y mnima.- De dos vectores: - La resultante de dos vectores es mxima cuando estos se encuentran en la misma direccin y sentido ( = 0 ) - La resultante de dos vectores es mnima, cuando estos se encuentran en la misma direccin; pero de sentidos contrarios ( = 180 ) Ejem. 4.3.- Halla el mdulo de la resultante de dos vectores colineales del mismo sentido de 70 N y 80 N. Datos: A = 70 N B = 80 N R = ? El mdulo es: R = A + B = 70 N + 80 N La direccin de la resultante es la misma de sus componentes, en este caso horizontal. Ejem. 4.4.- Se tiene dos vectores perpendiculares, A = 20 m y B = 30 m. Calcular el mdulo de la resultante y su direccin. Datos: A = 20 m B = 30 m = 90 R = ? = ? Mdulo de la resultante: 2222 3020 mmBAR mmmmR 1.361300900400 222 Direccin de la resultante: Ejem. 4.5.- Dos vectores A = 200 km y B = 300 km forman 60 entre s. Calcular el mdulo de la resultante y su direccin. Datos: A = 200 km B = 300 km = 60 R = ? = ? Mdulo de la resultante: cos222 ABBAR 60cos)300)(200(2)300()200( 22 kmkmkmkmR 22222 5.01200009000040000 kmkmkmR 22222 600009000040000 kmkmkmR kmkmR 9.435190000 22 Direccin de la resultante: Ejem. 4.6.- Se tienen dos vectores cuyos mdulos son U = 35 kp y V = 50 kp y que forman 120. Calcular el mdulo de la resultante y su direccin. Datos: U = 35 kp V = 50 kp = 120 R = ? = ? 120 tan 0.667 tan (0.667) 33.7 30 A m B m 1 200 60 200 0.866 0.397 435.9 435.9 (0.397) 23.4 km sen kmA sen sen R km km sen
39. 39. Fsica General: 4to. Secundaria - 39 - Mdulo de la resultante: )5.0(350025001225 120cos503525035 cos2 222 22 22 kpkpkpR kpkpkpkpR UVVUR kpkpR kpkpkpR 4.441975 175025001225 2 222 Direccin de la resultante: Ejem. 4.7.- Un avin vuela en direccin sur-norte con una velocidad de 50 m/s, el viento sopla de oeste a este con una velocidad de 30 m/s. Calcular la velocidad resultante del avin con respecto a la Tierra. Datos: Incgnitas: V1 = 50 m/s R = ? V2 = 30 m/s = ? Por el teorema de Pitgoras: La direccin de la resultante: Componentes rectangulares de un vector.- Se denominan as a las proyecciones rectangulares de un vector sobre los ejes coordenados. Se puede expresar un vector en funcin de otros dos ubicados sobre los ejes X e Y. Los mdulos de stas componentes se obtienen a partir de las funciones trigonomtricas: Componente horizontal Componente vertical Ejem. 4.8.- Para el vector que se muestra, se tienen los siguientes datos: A = 20 m; = 50 Hallar los mdulos de sus componentes rectangulares 35 120 35 0.866 0.683 44.4 44.4 kp sen kpU sen sen R kp kp 1 (0.683) 43sen V2 E N V1 V 2 2 2 1 VVR 22 )/30()/50( smsmR smR /31.58 667.1 /30 /50 tan 2 1 sm sm V V 0.59667.1tan arc O X Y yx RRR coscos AA A A x x senAA A A sen y y cosxA A yA Asen O X Y
40. 40. - 40 - Fsica General: 4to. Secundaria Solucin: Componente horizontal: xA A cos 20m cos50 20m 0.643 xA 12.86m Componente vertical: yA A sen 20m sen50 20m 0.766 xA 15.32m Suma de varios vectores aplicando componentes rectangulares: - Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares. - Hallar la resultante en el eje X y Y, por el mtodo de vectores colineales. - Hallar el mdulo del vector resultante aplicando el teorema de Pitgoras. - Hallar la direccin de la resultante con la funcin tangente: Ejem. 4.9.- Hallar la resultante. Datos: A = 30 N B = 50 N C = 25 N D = 60 N E = 40 N Solucin: 1) Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares: 2) Determinar la resultante horizontal y vertical, por la suma de vectores componentes colineales, horizontales y verticales: CUADRO RESUMEN V A = 30 70 30 cos70 30 sen 70 B = 50 150 50 cos 150 50 sen 150 C = 25 0 25 cos 0 25 sen 0 D = 60 30 60 cos(-30) 60 sen(-30) E = 40 270 40 cos 270 40 sen 270 43.92 16.81 3) Graficando las sumatorias horizontal y vertical, se tienen dos vectores perpendiculares: 4) Con Pitgoras se obtiene el mdulo de R: 2222 81.1692.43 yx VVR NR 03.47 La direccin de la resultante: 3827.0 92.43 81.16 N N V V tg x y 9.20 2 2 x yR V V tan y x V V cosVVx senVVy xV yV
41. 41. Fsica General: 4to. Secundaria - 41 - Vectores unitarios cartesianos.- Son aquellos vectores que tienen como mdulo la unidad de medida de medida y las direcciones coinciden con los ejes cartesianos. Los vectores cartesianos son: i = Tiene direccin del eje X positivo i = Tiene direccin del eje X negativo j = Tiene direccin del eje Y positivo j = Tiene direccin del eje Y negativo Representacin de un vector en funcin de los vectores unitarios: jViVVVVV yxyx ; Modulo: 22 yx VVV Direccin: x y V V tg Ejemplos: jiAA 545;4 jiBB 262;6 iCC 40;4 Suma de vectores aplicando los vectores unitarios.- Para estas operaciones, se deben sumar o restar cada uno de los componentes unitarios de cada vector: Ejemplos: 1) Sumar: jiA 54 con jiB 32 jiBAR )35()24( jiR 26 2) Sean los vectores: A = 2 i + 2 j B = 2 i + j Hallar el mdulo de: A + B Solucin: Vector resultante: R = A + B R = (2 i + 2 j) + (2 i + j) R = (2 + 2) i + (2 + 1) j R = 4 i + 3 j Mdulo de la resultante: 534 22 R Direccin de la resultante: 13 0.75 (0.75) 37 4 tg tg
42. 42. - 42 - Fsica General: 4to. Secundaria 1. Copia en tu cuaderno. Sumar aplicando los mtodos del paralelogramo y el tringulo: 2. Copia en tu cuaderno. Sumar aplicando el mtodo del polgono: 3. Copia en tu cuaderno y suma los siguientes vectores (elige el mtodo): 4. Copia en tu cuaderno y realiza las dos restas de los siguientes pares de vectores: Restar: a b Restar: b a Problemas del 5 al 8. Realizar la suma de vectores representndolos en una hoja cuadriculada. Graficar el vector resultante y expresarlo con sus vectores unitarios (i ; j): = (2, 4) = (5, 2) = (1, 3) = (7, 4) = (4, 0) 5. Sumar: + Resp: R = 3 i + 6 j 6. Sumar: + Resp: R = 6 i j 7. Sumar: Resp: R = 9 i 2 j 8. Sumar: Resp: R = 8 i 7 j 9. Cul es la resultante de un par de fuerzas, una de 100 N hacia arriba y una de 75 N hacia abajo (Solucin grfica y analtica) Escala: 1 cm : 25 km Resp: 25 N hacia arriba 10. Un auto viaja 40 km hacia el este y 70 km hacia el sur, cul es su desplazamiento resultante? (Solucin grfica y analtica) Escala: 1 cm : 20 km Resp: 80.6 km 11. Una mujer camina 4 km hacia el este y despus camina 8 km hacia el norte. a) Aplique el mtodo del tringulo para hallar su desplazamiento resultante. b) Compruebe el resultado con el mtodo del paralelogramo. Escala: 1 cm : 2 km c) Verifique ambos con el mtodo analtico. Resp: 8.94 km ; 63.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
43. 43. Fsica General: 4to. Secundaria - 43 - 12. Se tienen dos fuerzas iguales de 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Resp: 17.3 N 13. Encontrar la magnitud del vector A + B sabiendo que A = 5 unid., B = 8 unid. Resp: 9.4 unidades 14. Hallar el vector resultante de dos vectores fuerzas de 15 N y 6 N cuando forman un ngulo de: a) 90 b) de 50 y c) de 75. (Solucin grfica y analtica) Resp: a) 16.2 N; 21.8; b) 19.4 N; 13.7; c) 17.5 N; 19.3 15. Determine el mdulo de la resultante de dos vectores cuyos mdulos son 15 y 7 unidades, si forman un ngulo de 53. Resp: 20 unidades 16. Dados: A = (250 N , 0) y B = (300 N , 150) . Hallar grfica y analticamente la resultante. Escala: 1 cm : 50 N Resp: 150.3 N 17. Dados: A = (60 kp , 0) y B = (90 kp, 35) Calcular el vector suma aplicando el mtodo del tringulo y en forma analtica. Escala: 1 cm : 20 kp Resp: 144 kp 18. Calcular el vector resultante por el mtodo del paralelogramo y del tringulo, de los siguientes sistemas de vectores. Escala: 1 cm : 10 N Resp: 26.8 N 19. Calcule la resultante mediante los mtodos del polgono y por descomposicin. (Vuelva a dibujar con la escala) Escala: 1 cm : 40 N Resp: 35.87 N ; - 8.6 con el eje +X 20. Un trabajador de topografa inicia su tarea en la esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, Norte; B = 400 m, Oeste; C = 200 m, Sur; y D = 100 m; Este. Cul es el desplazamiento neto desde el punto de partida? Resuelva por el mtodo del polgono y por descomposicin. Escala: 1 cm : 100 m Resp: 500 m ; 126.9 21. Sean los vectores: A = 15 i + 12 j B = 3 i + 7 j Hallar el mdulo de: A B Resp:13 unidades 22. Sean los vectores: A = 5 i + 3 j B = 7 i + 2 j Hallar el mdulo de: A + B Resp: 13 unidades 23. En el sistema vectorial mostrado, determine el mdulo del vector resultante. Resp: R = 0i + 1j ; Mdulo = 1 unidad 24. Determine el mdulo del vector resultante. Resp: R = 4i + 3j ; Mdulo = 5 unidades A B C
44. 44. - 44 - Fsica General: 4to. Secundaria 1. Una de las siguientes magnitudes es escalar: a) La aceleracin b) La velocidad c) La fuerza d) El tiempo 2. Una de las siguientes magnitudes es vectorial: a) La masa b) El tiempo c) La fuerza d) La densidad 3. La suma de dos vectores A y B que aparecen en la figura es igual a: A = 3 u B = 4 u a) 3 u b) 4 u c) 5 u d) 7 u 4. La suma de dos vectores A y B es mxima cuando el ngulo entre ellos es: a) 90 b) 180 c) 45 d) 0 5. La suma de dos vectores A y B es mnima cuando el ngulo entre ellos es de: a) 90 b) 180 c) 45 d) 0 6. Se tiene un vector de 4 unidades hacia el norte, uno de 8 unidades hacia el sur y otro de 3 unidades hacia el oeste. El vector resultante mide: a) 9 u b) 8 u c) 5 u d) 15 u 7. Calcular la resultante de dos fuerzas de 10 y 30 kgf si forman un ngulo de 60. a) 36.06 kgf b) 10 kgf c) 40 kgf d) 50 kgf 8. Los mdulos de dos vectores perpendiculares son 8 cm y 6 cm respetivamente. El vector resultante de ambos es: a) 3 cm b) 13 cm c) 10 cm d) 14 cm 9. Si a un desplazamiento de 45 m al Norte se le aade uno de 60 m al Sur; el vector resultante es: a) 15 m al N b) 105 m al S c) 15 m al S d) 105 m al S 10. Si a un desplazamiento de 30 m al Este se le aade uno de 15 m al Oeste; el vector resultante es: a) 45 m al N b) 15 m al O c) 15 m al E d) 45 m al E 11. Dos vectores de magnitudes iguales a 10 kp y 20 kp, forman un ngulo de 37. Cul es el valor de la suma de estos vectores? a) 30 kp b) 28.6 kp c) 13.4 kp d) 10 kp 12. Dos fuerzas de 30 lbf y 40 lbf forman un ngulo de 90, luego la resultante de estas fuerzas es: a) 30 lbf b) 40 lbf c) 50 lbf d) 60 lbf 13. Determine el mdulo de la resultante de dos vectores cuyos mdulos son 15 y 7 unidades, si forman un ngulo de 53. a) 32 b) 28 c) 20 d) 30 14. Hallar la resultante de los siguientes vectores, sabiendo que: A = 6 N y B = 8 N a) 15 N b) 10 N c) 14 N d) 20 N 15. En la figura mostrada el mdulo de los vectores es A = 12 u; B = 5 u. Determine el mdulo del vector resultante. a) 26 u b) 14 u. c) 16 u. d) 13 u. 16. Hallar el vector resultante: a) d2 b) a c) a2 d) b2 17.Hallar el vector resultante. a) c b) b2 c) c2 d) a2 EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIN
45. 45. Fsica General: 4to. Secundaria - 45 - Cap. 5 CINEMTICA I MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME EN LA MADRE TIERRA Contenido:
46. 46. - 46 - Fsica General: 4to. Secundaria OBJETIVO HOLSTICO ESPECFICO: Valoramos la importancia del movimiento de los cuerpos mediante el conocimiento de las variables de la cinemtica, para determinar rapidez, velocidad, desplazamiento, distancia y tiempo, que permitan asumir con responsabilidad el buen uso de los instrumentos de medida en la comunidad. DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO Ingresa a Educaplus, luego Fsica, despus selecciona Movimientos y luego Distancia y desplazamiento y luego Laboratorio virtual de cinemtica, investiga con ayuda del profesor y practica por tu cuenta:
47. 47. Fsica General: 4to. Secundaria - 47 - Introduccin.- La cinemtica se ocupa de describir los movimientos y determinar cules son sus caractersticas sin importar las causas que lo originan. Movimiento.- El movimiento es el cambio de posicin en funcin del tiempo que experimenta un objeto o partcula con respecto a un sistema o punto de referencia. Posicin de un punto.- La posicin de un punto se determina mediante un sistema de referencia fijo, que puede ser un sistema de ejes coordenados. Una dimensin.- Cuando un objeto se mueve por una recta, realiza un movimiento en una dimensin. Para determinar su posicin slo necesitamos indicar a qu distancia del origen se encuentra. Sistema de referencia: Eje X (Origen O) - Posicin del punto A: + 4 - Posicin del punto C: 5 - Posicin del punto B: + 7 Trayectoria.- La trayectoria es la lnea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un mvil. a) Trayectoria rectilnea: Un automvil viajando en una carretera plana y recta. b) Trayectoria parablica: Lanzamiento de un proyectil, can. c) Trayectoria circular: Una silla de un carrusel en movimiento Distancia recorrida.- Magnitud escalar. Es la medida o longitud de la trayectoria. Desplazamiento efectuado.- Magnitud vectorial. Es un vector que representa el desplazamiento realizado entre dos puntos. Desplazamiento = Posicin Final Posicin Inicial 12 xxx Dnde: x : Representa el desplazamiento : Posicin en el instante final de observacin : Posicin en el instante inicial de observacin Distancia y desplazamiento.- El desplazamiento puede ser positivo, nulo o negativo dependiendo de la posicin relativa entre el instante final e inicial. C O A B X +X X1 X2 X O 2x 2t 1x 1t
48. 48. - 48 - Fsica General: 4to. Secundaria Ejem. 5.1.- Una persona se pasea en lnea recta en una pieza de 3 m entre ambas paredes. Despus de dar 10 vueltas completas, retorna a su silla donde se encontraba sentada inicialmente. Qu distancia recorri? Cul fue su desplazamiento? Solucin: Como la posicin inicial y final es la misma, el desplazamiento es nulo: La distancia recorrida es la suma de sus idas y vueltas dentro de la pieza, por lo tanto es: Distancia: x = 6 ( 10 m) = 60 m Ejem. 5.2.- Una partcula situada en el eje X en el punto 5 m se mueve hasta la posicin 2 m, cul es su desplazamiento? Desplazamiento: Resumiendo: Distancia: Es magnitud o valor numrico Desplazamiento: Es magnitud y direccin Rapidez.- Es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo. Rapidez media.- La rapidez media de un mvil es el cociente entre la distancia que recorre y el tiempo que emplea. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche recorre una distancia de 80 km en cada hora. Velocidad.- Es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento con el tiempo. Velocidad media.- La velocidad media de un mvil es el cociente entre el desplazamiento efectuado y el tiempo que emplea. Si la velocidad de un coche es 80 km/h al NE, esto quiere decir que el coche se mueve con una rapidez de 80 km/h en una direccin NE. Unidades de rapidez y velocidad.- Se expresa en dimensiones de longitud sobre tiempo: Rapidez y velocidad.- Son dos magnitudes cinemticas que suelen confundirse con frecuencia. Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un mvil son dos magnitudes diferentes. Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, tambin obtenemos dos magnitudes diferentes: - La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo. - La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento (o cambio de posicin) con el tiempo. - La rapidez es el escalar de la velocidad, importa su mdulo. - La velocidad es un vector, importa su mdulo, direccin y sentido. - Cuando vara la rapidez solo puede hacerlo en su mdulo. - Cuando vara la velocidad, puede hacerlo en su mdulo, en su direccin y/o en su sentido. - El "velocmetro" de un automvil nos indica rapidez instantnea y no rapidez media, y mucho menos velocidad. 0final inicialx x x 2 1 2 5 3x x x m m m empleadotiempo recorridaciadis mediaRapidez tan x v t ; m cm v s s desplazamiento Velocidad media tiempoempleado x v t ; ; ; m cm km milla v s s h h
49. 49. Fsica General: 4to. Secundaria - 49 - Ejm. 5.3.- Un automvil viaja por una carretera con una velocidad de 20 m/s rumbo al norte. Indicar cul es la rapidez y su velocidad: Movimiento rectilneo uniforme (M. R. U.).- Se caracteriza por: Movimiento que se realiza en una sola direccin (horizontal o vertical) La velocidad es constante; implica magnitud y direccin inalterables. Describe desplazamientos iguales en tiempos iguales. La velocidad, se denomina velocidad media La frmula del M.R.U. es: Grficas del M.R.U.- Supongamos que un automvil se mueve a 100 km/h. Grfica desplazamiento tiempo: A 0 h le corresponde 0 km A 1 h le corresponde 100 km Variable independiente: El tiempo Variable dependiente: El desplazamiento Grfica velocidad tiempo: La grfica velocidadtiempo, es una recta horizontal porque el valor de la velocidad se mantiene constante. El rea comprendida entre v y t, representa la distancia recorrida por el mvil. Ejem. 5.4.- Transformar 72 km/h en m/s: Ejem. 5.5.- Un mvil con Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU) tiene una rapidez de 4 m/s. Calcula la distancia que recorre en 6 s. Solucin: De la ecuacin: Despejando: nortealsmV /20 Rapidez: solo mdulo Velocidad: mdulo, direccin y sentido nortealsmV /20 Rapidez: solo mdulo Velocidad: mdulo, direccin y sentido 0 2 s 10 m 20 m 30 m 2 s 2 s x v t .x v t x t v tvxtvA v t t v s m s h km m h km v 20 3600 1 1 1000 27 x v t . 4 / 6 24x v t m s s m
50. 50. - 50 - Fsica General: 4to. Secundaria Ejem. 5.6.- Un velocista corre los 100 m planos en 10 s. Calcula su rapidez media. Ejem. 5.7.- Calcula el tiempo que demora un automvil en recorrer 800 m, con una rapidez media de 20 m/s. Ejem. 5.8.- Un barco navega hacia el oriente recorriendo 4 millas en 2 horas. Cunto es su rapidez media? Cunto es su velocidad media? Datos: x = 40 millas t = 2 h v = ? Solucin: Conversin de unidades: Rapidez media: Velocidad media: v = 8.94 m/s hacia el oriente. Ejem. 5.9.- Un automvil parte de Sucre a Potos con una rapidez promedio de 60 km/h la distancia entre ambas ciudades es de 162 km. Qu tiempo emplear en recorrerla? Datos: v = 60 km/h x = 162 km t = ? Solucin: hkm km v x t t x v /60 162 min4227.2 hht Ejem. 5.10.- Un muchacho para bajar por una escalera emple 30 s. Cunto demorara en subir la misma escalera si lo hace con el triple de velocidad? Cuando el muchacho baja: L vb30g ..... (1) Cuando el muchacho sube: L 3vbtg ..... (2) Resolviendo (1) y (2), se tiene: t 10 s Ejem. 5.11.- Dos atletas parten juntos en la misma direccin y sentido con velocidades de 4 m/s y 3m/s, despus de 1 minuto. Qu distancia los separa? Solucin: De la ecuacin: d v d v.t t Para el ms veloz: 11d v .t 4 m/ s 60 s 240 m Para el ms lento: 22d v .t 3 m/ s 60 s 180 m La separacin entre atletas es: 1 2x d d 240 m 180 m x 60 m 100 10 / 10 mx v m s t s 800 40 20 / mx t s v m s 1609 40 * 64360 1 m x milas m milla 3600 2 * 7200 1 s t h s h 64360 8.94 7200 mx m v t s s x
51. 51. Fsica General: 4to. Secundaria - 51 - PRCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME 1. Objetivo General: - Describir las caractersticas del movimiento rectilneo uniforme. 2. Objetivos especficos: - Construir e interpretar la grfica de la posicin en funcin al tiempo. - Relacionar la pendiente de la grfica distancia vs. tiempo, con la rapidez media. - Calcular la rapidez media para diferentes distancias de un tipo de movimiento. 3. Fundamento terico: - La cinemtica se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos sin importar la causa que los produce. - El movimiento rectilneo uniforme se caracteriza por mantener la velocidad constante. - La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se define como: - La distancia recorrida por un mvil con una velocidad constante es una funcin lineal: 4. Material: - Disponer del programa Interactive Physics, que puede descargase del internet o del CD (Teora del error) - Cronmetro 5. Procedimiento: tiempo ciadis mediaRapidez tan t x v tvx
52. 52. - 52 - Fsica General: 4to. Secundaria 1. Inicie el programa de M.R.U. creado o el disponible en el software. 2. Ponga a funcionar el experimento virtual, mida el tiempo tres veces para cada tramo. Halle el promedio. 3. Proceda para distancias de: 6.0, 8.0, 10.0, 12.0 y 14.0 m 4. Anote los resultados en la tabla I. TABLA I Tabulacin de tiempos y distancias Ensayo Tiempo para: x = 6 Tiempo para: x = 8 Tiempo para: x = 10 Tiempo para: x = 12 Tiempo para: x = 14 1 2 3 Tiempo promedio 5. Traslade los datos a la tabla II 6. Calcule los valores de la rapidez en cada tramo. Halle el promedio de ellos y anote en la tabla III (medida experimental) TABLA II Tabulacin de datos experimentales Distancia: x (m) 6 8 10 12 14 Tiempo: t (s) Rapidez: (m/s) Velocidad experimental promedio: Vexp.= 7. Grafique los pares de datos distancia (x) vs. tiempo (t). de la tabla II. 8. Corrija la curva aplicando regresin lineal. Consulte las pginas 20 y 21 del Cap. 2 Teora del error. 9. Obtenga la pendiente de la curva. 10.La pendiente representa a la rapidez del mvil. Anote su valor en la tabla III Resultado analtico) 11.Determine el error porcentual, considerando como VMP la pendiente. (Consulte el Cap. 2) TABLA III Tabulacin de resultados Rapidez: Resultados analticos Resultados experimentales Er E% v (m/s) 6. Discusin y anlisis de resultados: (El estudiante deber anotar todos los clculos realizados, las ecuaciones, etc.) 1. Qu factores influyen para una toma mejor de tiempos? 2. Cmo son las rapideces obtenidas en la tabla II? Existe mucha dispersin? 3. Para la construccin de la grfica y posterior correccin mediante regresin lineal de los pares de datos x vs. t Cmo hizo el trabajo? (manualmente, con RL de la calculadora o Excel) Cul cree es ms conveniente por la facilidad? 4. La pendiente de la grfica qu representa? 5. Estos dos valores finales difieren mucho? 6. El error porcentual es aceptable o no? 7. Conclusiones: (Verificar las respuestas a los objetivos especficos planteados; anotar sus conclusiones) t x v
53. 53. Fsica General: 4to. Secundaria - 53 - 1. Qu velocidad tiene un ciclista que recorre 0.5 km en 5.5 min? Resp: 1.52 m/s 2. Un automvil viaj 86.4 km. con una velocidad constante de 8 m/s, Cuntas horas se requiere para el viaje? Resp: 3 horas 3. El sonido viaja por el aire con una rapidez de 340 m/s, disparando un can, en cunto tiempo ms se oir el disparo a 1360 m de distancia? Resp: 4 seg. 4. La velocidad de un avin es de 980 km/h, mientras que un segundo avin tiene una velocidad de 300 m/s. Cul es ms veloz? Resp: El segundo 5. A las 9: 30 horas se informa en la estacin que un avin se halla a 108 km del aeropuerto, halle la velocidad del avin, supuesta constante, sabiendo que aterrizar en el aeropuerto a las 11 horas. Resp: 72 km/h 6. Un estudiante, para llegar a la escuela, camina 3 cuadras al este y 4 cuadras al norte, esto le toma alrededor de 20 minutos, conociendo que el estudiante tiene una rapidez de 0.8 m/s. Calcule la longitud de cada cuadra supuesta de igual medida. Resp: 137.14 m 7. Cunto tiempo tardar un nio en patines, que puede desarrollar una velocidad de 7.4 m/s, recorrer una distancia de 120 m? Resp: 16.2 s 8. Una rueda se desliza por un camino horizontal. Si se mueve a razn de 8 m/s, cunto tardar en recorrer 100 m? Resp: 12.5 s 9. Un atleta corre una maratn de 42 kilmetros en 2 horas y 15 min. Cul es su velocidad? Resp: 5.18 m/s 10. Un auto de juguete avanza segn los siguientes pisos: en madera a 0.5 m/s; en cemento a 0.4 m/s, en baldosa a 0.8 m/s. Cunto tarda en recorrer una distancia total de 20 metros, repartidos en 4 metros de madera, 2.5 metros de cemento y el resto en baldosa? Resp: 31.13 s 11. Un automvil recorre 40 km en media hora. a) Cul es su rapidez? b) Si mantiene esa rapidez, cunto tardar en recorrer 320 km, desde que parti? Resp: a) 80 km/h; b) 4 h 12. Un atleta recorre 100 m en 10 s. a) Con qu rapidez se desplaza?, b) qu distancia recorrera en una hora? (si pudiera mantener esa rapidez). Resp: a) 10 m/s, b) 36 km 13. Un bus en el trayecto Sucre - Tarabuco, tarda una hora y tres cuartos. Si la distancia que recorre es de 110 km, con qu rapidez se desplaz? Exprese el resultado en km/h. Resp: 62.86 km/h 14. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. Cunto tarda un espectador de un partido de ftbol en escuchar el ruido de un "chute" que se lanza a 127.5 m de distancia de l? Resp: 0.375 s 15. Un mach es la velocidad del sonido. Un avin supersnico viaja a 2.5 mach. Cunto tardar en recorrer 2448 km? Resp: 0.8 h = 48 min 16. Desde un mismo punto parten un automvil, a razn de 72 km/h, y una motocicleta, a razn de 15 m/s. a) Qu distancia los separar al cabo de media hora si se dirigen hacia un mismo lugar?, b) Qu distancia los separar al cabo de media hora si parten en una misma direccin pero en sentidos contrarios? Resp: a) 9000 m; b) 63000 m 17. Qu distancia hay entre la Tierra y el sol si la luz de este astro tarda 8 min 20 seg en recorrer la distancia que los separa? Resp: 1.5x108 km 18. Un hombre conduciendo un camin a velocidad constante de 25 m/s, observa el pueblo a 2.5 km en qu tiempo llegar a su destino? Resp: 1 min y 60 seg. EJERCICIOS PROPUESTOS
54. 54. - 54 - Fsica General: 4to. Secundaria 1. Un ciclista se desplaza en lnea recta 750 m. Si su posicin final est a 1250 m del punto de referencia, el ciclista inici su recorrido desde una posicin de: a) 750 m b) 1250 m c) 500 m d) N. A. 2. Un auto viaja en lnea recta 200 km; luego regresa 100 km empleando un tiempo de 5 horas en todo el recorrido, se movi con velocidad media de: a) 60 km/h b) 20 km/h c) 40 km/h d) 30 km/h 3. La rapidez media del auto del problema anterior fue: a) 60 km/h b) 20 km/h c) 40 km/h d) 30 km/h 4. Un ciclista que se mueve a razn de 6 m/s, en un cuarto de hora recorre una distancia de: a) 5400 km b) 90 m c) 90 km d) 5400 m 5. Un coche de carreras recorre la distancia de 2000 m en 1.5 min. Cul es su rapidez? a) 22.2 m/s b) 1333.3 m/s c) 180000 m d) N. A. 6. El desplazamiento es un: a) Escalar b) Vector c) La rapidez d) La velocidad 7. Un autobs parte de Sucre a las 7:30 de la maana y llega a Potos a las 12:30, si la distancia recorrida es de 160 km, su rapidez media es: a) 40 km/h b) 60 km/h c) 32 km/h d) 50 km/h 8. Seala el valor de la siguiente velocidad en unidades del S.I.: v = 36 km/h a) 200 m/s b) 72 m/s c) 20 km/h d) 10 m/s 9. Un coche recorre 3 km en 2 min. Calcula su velocidad en m/s. a) 25 m/s b) 30 m/s c) 1.5 m/s d) N. A. 10. Un avin se desplaza a una velocidad de 1080 km/h. Calcula la velocidad en m/s a) 108 m/s b) 300 m/s c) 600 m/s d) N. A. 11. Un coche avanza con una velocidad de 8 m/s. Calcula el espacio recorrido en un tiempo de 4 segundos. a) 16 m b) 32 m c) 2 m d) N. A. 12. Qu magnitud permanece constante en un movimiento rectilneo uniforme? a) El tiempo b) La velocidad c) El espacio d) N. A. 13. Cuntos metros recorre en 10 s un coche que se mueve a una velocidad de 36 km/h? a) 360 m b) 3.6 m c) 100 m d) N. A. 14. Un mvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en x = 12 m y luego de 8 s est en x = + 28 m, hallar su velocidad. a) 4 m/s b) 3 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s 15. Javier un joven estudiante, desea saber a qu distancia se encuentra el cerro ms prximo, para lo cual emite un grito y cronmetro en mano, comprueba que el eco escucha luego de 3s. Cul es esa distancia en metros? (velocidad del sonido = 340 m/s) a) 500 m b) 510 m c) 450 m d) 400 m 16. Dos atletas parten juntos en la misma direccin y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, despus de 1 minuto. Qu distancia los separa? a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 150 m 17. Una moto y un auto se encuentran a una distancia de 1000 m. Si parten simultneamente en la misma direccin y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. En qu tiempo se produce el encuentro? a) 16 s b) 20 s c) 25 s d) 30 s 18. Dos mviles con velocidades constantes de 40 y 25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en la misma recta alejndose el uno del otro. Despus de cunto tiempo estarn separados 13 km? a) 100 s b) 200 s c) 150 s d) 125 s EJERCICIOS DE RAZONAMIENTO PARA AUTOEVALUACIN
55. 55. Fsica General: 4to. Secundaria - 55 - Cap. 6 CINEMTICA II MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO EN LA MADRE TIERRA CONTENIDO:
56. 56. - 56 - Fsica General: 4to. Secundaria OBJETIVO HOLSTICO ESPECFICO: Valoramos los procesos de movimiento acelerado estudiando y analizando las caractersticas y efectos de los cambios de velocidad, recurriendo al trabajo prctico de laboratorio y solucin de problemas numricos, que permita a los estudiantes aplicar a situaciones creativas en el contexto que les rodea. CINEMTICA CON EDUCAPLUS Ingresa a educaplus, fsica, movimientos y selecciona Movimiento en una direccin.
57. 57. Fsica General: 4to. Secundaria - 57 - Introduccin.- Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleracin tambin es grande; que si se mueve con velocidad pequea es porque su aceleracin es pequea; y si su velocidad es cero, entonces su aceleracin tambin debe valer cero. Esto es un error! - Una aceleracin grande significa que la velocidad cambia rpidamente. - Una aceleracin pequea significa que la velocidad cambia lentamente. - Una aceleracin cero significa que la velocidad no cambia. Aceleracin.- Los conceptos de velocidad y aceleracin estn relacionados, pero muchas veces se hace una interpretacin incorrecta de esta relacin. La aceleracin relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cmo de rpidos son los cambios de velocidad: La aceleracin es una magnitud vectorial, se define como la razn de cambio de la velocidad respecto al tiempo Un objeto se acelera cuando su rapidez aumenta, cuando su rapidez disminuye o cuando cambia la direccin de movimiento Aceleracin media.- Es el cociente de la variacin de la velocidad entre el intervalo de tiempo. a = Aceleracin = Velocidad final = Velocidad inicial = Tiempo empleado Unidades: Ejem. 6.1.- Un objeto que posee una aceleracin constante de 5 m/s2. Su velocidad se incrementa 5 m/s cada segundo, supongamos que el objeto tiene una velocidad inicial (v0) de 20 m/s en t0 = 0 s, entonces sus rapideces para diferentes tiempos sern: t (s) 0 1 2 3 4 5 v (m/s) 20 25 30 35 40 45 Incremento de velocidad cada segundo: Movimiento rectilneo uniformemente variado (M. R. U. V.).- Se caracteriza por: Su trayectoria es una lnea recta. Los cambios de velocidad son iguales en intervalos de tiempos iguales. El mvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad uniformemente variable. La aceleracin del mvil es constante. Ecuaciones del M.R.U.V. Las ecuaciones del movimiento rectilneo, son de tipo vectorial (velocidad, aceleracin y desplazamiento son magnitudes vectoriales). - Si la velocidad y la aceleracin tienen sentidos opuestos, el mvil desacelera, va frenando. - Si la velocidad y la aceleracin tienen igual sentido, el mvil acelera, aumenta su rapidez. - Si el mvil parte del reposo, la velocidad inicial es cero. - Si el mvil va frenando y se detiene, la velocidad final es cero. t vv tt vv t v a 0 0 0 v 0v t 2 2 ; m cm a s s smsmsmvvv /5/20/250 2 /5 1 /5 sm s sm t v a
58. 58. - 58 - Fsica General: 4to. Secundaria v0 = Velocidad inicial v = Velocidad final a = Aceleracin x = Desplazamiento a) Velocidad en funcin del tiempo: De la definicin de la aceleracin: b) Velocidad en funcin del desplazamiento: c) Desplazamiento en funcin del tiempo: Tambin es importante considerar la ecuacin: d) Velocidad media o promedio: Grficas del movimiento uniformemente variado: a) Velocidad -vs- tiempo.- Es una recta, cuya pendiente es la aceleracin media del mvil: - La inclinacin de la recta depende de la aceleracin. - Para calcular v0 determinar el punto de corte de la recta con el eje v. - Para calcular la aceleracin del movimiento, calcular la pendiente de la recta - El rea comprendida entre la pendiente las verticales y el eje de los tiempos representa la distancia recorrida por el mvil. b) Desplazamiento -vs- tiempo.- La grfica es una parbola: - La aceleracin es positiva si la parbola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo. - Cuanto ms cerrada sea la parbola, mayor aceleracin - La parbola siempre pasa por el origen, (desplazamiento inicial x0 = 0) - Si es cncava hacia arriba el movimiento es acelerado. t vv a 0 0v v at 2 2 0 2v v a x 21 0 2x v t at 0 2 v v x t x v t 2 ov v v t v2 v v1 t2t1 - - tan v v a t t O t x