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Diagramación: FernandoSaraviaGráficos: Andrés Acerenzallustraciones: MarceloPianaColaboración: DiseñoBásico
lmpreso en Uruguay en losTalleres Gráficos de A.
Monteverde & Cía. S.A.
Treinta yTres 147 5 / 1 10OO Montevideo. Uruguay
Tels./Fax: (598 2) 915 20'12-915 2939
Todos los derechos reservados.Prohibida la
reproducción total o parcial de este librq por
ningun medio electrónico o mecánicq incluyendofotocopiado, grabado o cualquier sistema dealmacenaje o recuperación de información, sin la
autorización de la Editorial.
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* =:e libro están tratados todos los temas correspondientes al curso deBs año de bachillerato diversificado (60 año), incluyendo también algu-nn:s :-ras correspond¡entes al núcleo variable,como por ejemplo los capí-'ul¡cs 2 y 5 (capacitores e inducción electromagnética).
llr.¡ :r:ouesta es similar a la que presentamos en 'ta física entre nosotrosr@r: i'ano", intentando realizar un libro práctico y ágil que resulte de fácilírÍireo para el estudiante.
Br aa capítulo encontrarán un conciso desarrollo teórico, seguido siem-pre -.rn ejemplo de aplicación donde se reafirman y profundizan los con-@s tratados. Al finalizar los capítulos se encuentran las secciones: pro-hen-¿s problemas de examen y controles de práctico.
Ér a ;ección denominada "Anexos" se tratan dos temas teóricos (Ley de6a"ss _,' Ley de Ampere) que decidimos ubicarlos separados del texto.Tam-be ncluimos en esta sección nociones básicas sobre trigonometría y ma-ililEc 3e instrumentos de medición
frm'nalizar nuestro trabajo se incluyen los resultados de todos los proble-Írltllias :ropuestos, para que el alumno pueda autoevaluar su trabajo con faci-llhÍ:;.-
@¡errros agradecer profundamente a los siguientes docentes que hanm'rn¡'xrc¡¿ds en la edición de este libro y a través de ellos a todos los colegas
*ltc -os han apoyado y nos alientan a seguir trabajando.
F'mr r¡eia nd ro Vil lamil
F,rcr. d¡rcia DelCioppo
Fqr:r 1-stina Banchero
Ftcr },ego Díaz
M tderico Manzione
M- Eernando Varela
M =orella Fava
Fref- C'ustavo G o nzá I ez
M *erman Bentancour
Prof. Humberto Martínez
Prof.Juan José Olivet
Prof. Laura Ceveda
Prof. Margarita Rufino
Prof. Marta Berrutti
Prof.Vilma Orcesi
Prof. Wellington Mazzotti
Prof.Wilson Netto
Prof. Zulis Goyén
fucs sus comentarios, sugerencias, críticas y aportes nos permitirán cono-@r e respuesta de los lectores y de esa forma intentar mejorar nuestro tra-ümc. \uestra dirección de correo electrónico es: fí[email protected]
Marcelo y Ernesto
Golrillil1r0
Capítulo 1 ! Electrostática
Carga Eléctrica............... .............. 9Propiedades de la carga eléctrica ............................9
Ley de Coulomb ....... 10
Campo Eléctrico ................................ 1 l
Líneas de campo eléctrico ............ 12
Características de las líneas de campo eléctrico: ..................... 12
Campo eléctrico producido por una carga puntual ............... 12
Campos eléctricos producidos por distribucionescontinuas de carga ...................... 14
Campo eléctrico producido por una plano cargado .............. 'l 4Campo eléctrico producido por dos placas paralelas y densi-dades superficiales de cargas opuestas....................................... I 5
Campo eléctrico producido por una línea cargada ................ 17Campo eléctrico producido por una esfera cargada.............. 17Trabajo eléctrico y potencial eléctrico ............... 17Potencial eléctrico y líneas equipotenciales .............................. 18
Características de las líneas equipotenciales: ............................ 18
Potencial eléctrico producido por una carga puntual ........... 18Potencial eléctrico en campos uniformes ......... 19Problemas .....,........22Problemas de examen ..............26Controles de Práctico Electrostática ................................ 29Mapeo de Campo Eléctrico, .........29Mapeo de Campo Eléctrico ..........29
Capítulo 2 Capacitores
Capacitancia .............31
Cálculo de la capacitancia .............. .......................... 31
Combinación de capacitores .................... .............32Conexión en paralelo ...................... 32Conexión en serie .............................32
Energía almacenada en un capacitor ........................................... 34Capacitores con dieléctrico ...................... .............. 34ProblemasProblemas de examen .............. 36Controles de Práctico .............38
Capítulo 4 :.: i
Campo magnético creado por un imán ...................................... 43Campo magnético creado por una corriente eléctrica ..........44Fuerza magnética sobre una carga en movimiento ...............44Trayectoria de una carga en un campo magnético................. 45Fuerza magnética sobre un conductor ...............47por el que circula corriente ............ 47Características de la fuerza magnética ................ 47Campo magnético generado por corrientes eléctricas ......... 49Campo magnético producido por un conductor recto......... 49Regla de la mano derecha .............. 50Campo magnético generado por una espira circu1ar............. 51
Regla de la mano derecha ............. 52Campo magnético creado por un solenoide ............................. 52Aplicaciones de campos electromagnéticos ,............................ 53lnteracción entre conductores para1e1os..................................... 53Selector de velocidades .................... ....................... 53Espectrógrafo de masas ................. 54Problemas ..............54Problemas de examen ..............58Controles de práctico ................61Campo magnético producido por un conductor recto......... 61
Capítulo 5
C¡piü
:;asfglrr,*< c}'cs Jlrr--x 3
¡er:l:C¡det+er:oftrs:**C¡dreccc
¡,-r€p(]l"as:
7a? <s¡lnms e
=rJme.funIác¡cnwk
"r**C¡dlrrias e
rmt*m
Capítulo 6
Movimiento Armónico Simple ....................,..,......76
Relación posición - tiempo en un M.A.S. ............76 lrcs :Relación velocidad - tiempo en un M.A.S. ..........77 ]asffisRelación aceleración - tiempo y fuerza - tiempo...................... 78 ner'É¡rSistema masa - resorte ................... 80 l;rso=Energía en un sistema masa - resorte ................. 81 l¡ñ¡c:rPéndulo simple .......82 l:ft'e--rOscilaciones Amorti9uadas....................... ............. 83 1r:reProblemas ..............84 lnfir:rProblemas de examen ..............86 früControles de práctico ................88 FrüMovimiento armónico simple .......................:................................. 88 C¡dPéndulo ...................... 88 le:r-r
Ir
F
;i
0
2
:--:: emas de examen
' - : : Je superposición ...................... ............. i01' -., =.:acionarias en una cuerda. : - : os extremos fijos ................ ....................... 102. . : - ^ de la onda estacionaria ........................ 102' : ', =s:acionarias en una cuerda
- - - ^ extremo libre y uno fijo ........................ 104. . -=-:-cia de ondas de igual amplitud y frecuencia ....... 105, :- : :el desfasaje ..................... 105''. -='=.cia de ondas de diferentes amplitudes.................. 1 08
:'-: : emas ............ 109:-:: emas de examen ............ 111
-:':'cles de práctico .............. 1 14- -,, =s:acionarias ............... .......114.-'='=ncia de ondas (cubeta de ondas) .......114
3apítulo 9 | Luz, interferencia ydifracción
- :., =tectromagnéticas ........... 1 15
. - ' :: ción de ondas electromagnéticas ............................... 1 1 6' -= -'=':ncla de doble ranura de Young ........... 1 16
- - -, :=.aciones finales sobre la interferencia luminosa .... 1 I8- -". :: Cn ................ 1 1 9
- -".:: ón de una ranura ............. 1 19
- , =::='isticas del patrón de difracción ........... 1 19
- -'=::óneinterferencia..................... .................120;-: blemas 122:':blemas de examen ............ 123l: ¡troles de práctico .. ....124
Capítulo tO I lntroducción a lafísica cuántica
Efecto fotoeléctrico ....................... 125Explicación cuántica del efecto fotoeléctrico.......................... 126Efecto Compton ................. ............. 128El átomo de Hidrógeno...................... ....................129Espectros de emisión y de absorción ...................... ................... i29Ecuación de Ryd berg y series espectrales ....... I 3 1
Dualidad onda - partícula ...........132Ondas de De Broglie .............................
.l32
lncertidumbre y complementariedad .............. 133Problemas ............ 134Problemas de examen ............ 135Controles de práctico .............. 136Determinación de la constante de Rydberg ............................ 136
Anexos
Anexo 1 ......
Anexo Z I Ley de Gauss 140Flujo de campo eléctrico .............. 140Ley de Gauss............. .....................".. 141Aplicaciones de la Ley de Gauss ......................... 14,|Esfera maciza cargada de material conductor ........................ I4lEsfera no conductora cargada uniformemente...................... 1 42
Anexo f I Ley de Ampere ........1q4Circulación de campo magnético ......................i44Ley de Ampere......... ........................ 144Aplicaciones de la Ley de Ampere .....................
,l45
Anexo 4 | Funciones trigonométricas ............................ I 46Características de la función y(t) = A.sen (co.t) ....................... 146Características de la función y(t) = A . sen (co.t + ó) ................ I +O
Característica de la función y(t) = R . cos (ro.t) .........................147
Anexo 5 | lnstrumentos de medida ............ 148Multímetro ...............14gReglas generales para la utilización de un multímetro........ 148Utilización de la interfase Cassy como multímetro ............... I49Graficar con el programa Medir y Evaluar.....:...........................
.l50
Otras opciones..................... ............. .l51
Editar valores e imprimir. .............. l5lDefinir una nueva variable. (lntroducir Formula) .................... ,l 52Almacenar y recuperar datos............. .................152
5o1uciones................. .......... rs3
..='-inación de la constante de una red de difracción .. I24
lapítulo 1
= :': tulo estudiaremos las características de las cargas eléctricas,sus- - - ^:s y los campos eléctricos que crean a su alrededor.
Nill,ff üÁ EIÉCTRIGA
: - r: -na serie de experimentos se pudo constatar la existencia de dos:: ::'gas eléctricas, a las cuáles Benjamin Franklin (Fig.t) les dio el: : :: positivas (+) y negativas ( - ).- ' - -:: on veremos cuatro de sus propiedades fundamentales.
-: :3,9a está cuantizada
:- ':a que el valor de la carga eléctrica de un cuerpo, siempre es: _- l: una unidad fundamental de carga que denominamos',e',.Este: :trresponde al valor de la carga de un protón, mientras que un- , - : :ne carga "-e" (Fig.2). Como los átomos son eléctricamente neu-
: : :: - :ener igual número de electrones que de protones.
' _: ::'ga se conserva
,-:-'.:: un cuerpo contra otro y estos se cargan, es porque un cierto' " ' :'- := electrones pasó de uno a otro, pero no se creo carga eléctricato' : :-o proceso. El cuerpo que recibió los electrones quedará cargado- - ":- :-:nte y el que los cedió tendrá mayor número de protones que:. : - - =. quedando cargado positivamente.
La unidad de carga eléctrica enel 5.1. es el Coulomb (C) y el va-lor de la carga fundamentales:
e=1,6x1O-"C
Fis.2
r : : racción entre cargas
. 3e igual nombre (signo) se repelen entre sí y las de distinto signoProfundizaremos esta propiedad con el estudio de la Ley de
Para representar la magnitudcarga eléctrica utilizaremos in-distintamente la letra "q,'mi-núscula o "Q" mayúscula.
r va riante
:= ia carga eléctrica de un objeto, no depende de la velocidad del:: referencia en elque se mida.
Fig. 1 Benjamin Franklin (j706- 17gO\
I
1 0lthctrostát¡Ga
*:> {--9, F r,, F,,, Q: l
)
d,, .
+l j
<-:- T 'T ---,>F Q, F,
.
I
l
F q q_ F,,
Fig.4.asfuerzas F=. y F=.,forman un pardeacción
prco
nano
mtcro
cent¡
kilo
M mega x lOu
Fig.6 Prefijos de múltiplos y submúltiplos.
tEY 0t c0ulotttB
Como resultado de estudios exper¡mentales referentes a las fuerzas de inte-racc¡ón entre dos partículas cargadas, Charles Coulomb (Fig. 3) llegó a las
siguientes concl usiones:
Ley de Coulomb
Las fuerzas de interacción eléctrica entre dos cargas, tienen la di-recc¡ón de la recta que une las cargas y sent¡dos Gontrar¡os.
Son atractivas s¡ las cargas tienen distinto s¡gno y son de repuls¡ónsielsigno es elm¡smo (Fig.a).
El módulo de las fuerzas es d¡rectamente proporc¡onal al productode las cargas (F a q, .9,) e inversamente proporcional al cuadradode la distancia que las separa {f .c }).
i El módulo de las fuerzas de interacción se calcula:
K = 9,0x1O' +:
gilñ
lF,ol=lF,,l=t*]9
Las unidades en el S.l.de las magnitudes involucradas en esta ecuación y laconstante K (denominada constante de Coulomb) son:
. Fuerza (F) =
. Carga (q) =
. Distancia (d)
Aquí nos enfrentamos a la interacciór' c= ^^:: l=es válido superponer soluciones. tr¿': r::='^-debemos calcular por separado l::'*=-::. : -= =.
luego realizar la suma vecto''t :a : :-:: j-.:'--':
: I S Ca rg a s/ en estos casos^:' a fuerza neta sobre q.:'::n q , q:y qr sobre ella y
N (Newton) l
c (Coulomb) |
m (metro) |
Antes de comenzar con la resolución del primer ejemplo recordemos algu-nos datos y herramientas matemát¡cas que nos serán de utilidad (Fig.5 y 6).
A+B
I¡
I
mili
x 10-"
x10-"
x 10*
x 1O-'
x 1O-'
x 10'Fig.5 Suma de vectores por el método del paralelogramo y aplicación delTeorema del Coseno.
Ejemplo 1
En la distribución de cargas de la figura 7, determine la fuerza neta sobre qo.
Datos: Q,= 4,0pC, Q,=-4,01rC, Q,=-3,OLLC o-=2,0LrC y d=1gcm.
II
,il
Fig. 3 Charles Cou lomb (1 736 - l 806)
lÁl'+ lÉl'+ 2.1Ál.lÉ1. cos(o)
t¡''-:^do la ecuación correspondiente a la Ley de Coulomb obtenemos:
p__ Kq,rlq.l _ 9,oxlo'.49{!_o".2,oxto" 3 F',.=7,2Nd;. o,1o'
9,0 x 10' .4,0 x 10{ .2,0 x 10"T9,0 x 10t .3,0 x 105 .2,0 x 10"r
) Frr= 1r8 N
9 Frr.=5¡4NF*=
Er e =3ura 8a vemos representadas las tres fuerzas que actúan sobre qo. En
F --É. :érmino (Fig.8 b) determinamos la resultante entre F,,o y F,,o Por ser@r '-€zas en igual dirección y sentido su resultante (FrzJ es otro vector enls - :-a dirección y sentido que F,,o y Fuoy su módulo es la suma de losfin{:.: - cs = F,ro= 9,0N. La fuerza rieta la obtuvimos al sumar F,ro + Fr,, por elrlr'ri:i :,: c de I pa ra lelog ra mo.
üllni :-=-do elTeorema de Pitágoras calculamos el módulo de la F*",":
---:-----------:-F*, =, r:- r+ Fl,o-ü9,0' +S,t + Fn","=lO,5N
lE r':-lo "c" que forma F""," con la horizontal lo calculamos:
iF r =*ffi=;;# =0,60 + q,=3ro
!; --c¡esta completa a este problema es:
'-¿'z-a neta sobre la carga "qo" es 10,5 N y forma un ángulo de -31" con la-:^tal.
EÉGTBIGll
5 ¡ :olocar una carga q en un punto delespacio,actúa sobre ella una fuerza:,-igen eléctrico, podemos afirmar que en dicho punto existe un campo
=ico, que representaremos con el símbolo É.
:ampos eléctricos se producen en las cercanías de las cargas eléctricas;cr generados por ellas.
i es una magnitud vectorial.
-na carga positiva colocada en un punto donde existe un campo eléc-
=rco, recibe una fuerza en el mismo sentido del campo eléctrico (Fig.9a).
-na carga negativa colocada en el mismo campo, recibe una fuerza en
=ntido contrar¡o al campo eléctrico (Fig.9b).
=l módulo de la fuerza eléctrica se calcula:
-a unidad de É es "|"
,
arero*ruerlr r
d2dffi
Q,* q.+T 9,tdIv
I'
Fig.7 Ejemplo 1.
LT| 2rq ftu
Fig. 8 a y b Fuerzas sobre qo
F,*->
.H-ÉtE
Fig.9 a y b El campo eléctrico É realiza fuerzas sobrelas cargag pero es producido por otras cargas queno están en el dibujo.
1 2 lUectrostática
Líneas de campo eléctrico
Para poder visualizar una zona de campo eléctrico es útil hacerlo mediantelo que denominamos líneas de campo eléctrico o líneas de fuerza.
Características de las líneas de campo eléctrico:. El vector E en cualquier punto del espacio es tangente a la línea que pasa
por dicho punto (Fig. 10)
. El módulo del campo eléctrico es proporcional al número de líneas porunidad de superficie que la atraviesan perpendicularmente (Fig.11).
. Las líneas de campo no se cruzan, si esto sucediera significaría que en unmismo punto el campo eléctrico tiene dos direcciones diferentes.
. En el caso de dos cargas puntuales,las líneas comienzan en la carga posi-tiva y terminan en las cargas negativas (Fig.12).
. 5i la carga neta del conjunto no es nula, pueden existir líneas que co-mienzan o terminan en el infinito (Fig.13).
. El número de líneas que salen o llegan a una carga es proporcional al
valor absoluto de su carga.
Fig.1O El vector E es tangente a la línea de campoeléctrico en cualquier punto,en este caso en los pun-tos P,7yI.
Fig. 11 Cuanto niás "juntas" están las líneas de cam-po eléctrico mayor es el módulo del campo.
Fig. 14 Si la carga es positiva el E es radial y alejandosedel centro.
\ /--\(A,izvl\-'
-.:'-- -
Fig.12 Un par de cargas una pos¡tiva y otra nega-tiva de igual valor absoluto se denomina dipolo.
Fig. 1 3 En este caso las líneas que salen de la car-ga 2q es el doble de la que llegan a -q.
GITPll ElÉGINICll PROIIUGIII|| PllR U]IA GARGA PU]ITUII
Alrededor de una carga eléctrica puntual se produce un campo eléctricocuayas caracteristicasa son:
. Las líneas de fuerza tienen dirección radial, con centro en la carga. El
sentido de dichas líneas depende del signo de la carga.
. Si la carga es positiva las líneas del campo eléctrico apuntan hacia afue-ra de la carga (Fig.14).
. Si la carga es negativa las líneas del campc eléctrico apuntan hacia lacarga (Fig. 15).
A,^W/
//d
¿E+
\
/ \
tlectrostátical t i
I d6 ts-.- - - v vL b2
- - l - o del campo eléctrico producido (en el vacío) por una carga',q"- - - :.rnto (P) situado a una distancia "d" de ella, se calcula:
tq=#
n -:':emos que las unidades en el S.l. de las magnitudes involucradas- :::a ecuación son: lEl -+(t,, O+(C), d -+ (m) y K=9,0x t0' F':': leterminar el campo eléctrico resultante en un punto del espacio- = =.:é afectado por los campos de más de una carga,es válido calcular:.::ndientemente los campos producidos por cada carga y luego rea-
::-:- SUmaVectOfial,
r')
' ^= elcampo eléctrico resultante en elpunto A (Fig.16).
- = -5,0nC y Q,=4,0nC., - .:r este problema determinaremos el campo eléctrico que pro-: r : :3 rga en el punto A y luego los sumaremos vectorialmente.
:deE.
: - .' el campo que genera q, en el punto A, debemos calcular la dis-: - . i li carga y el punto. Dicha distancia,es la hipotenusa deltriangulo:- .es son las cargas y el punto A. (Fig. 1 7)
-t - 4,0' 3 d, = 5,0 cm = 0,050 m
9,0 x 10' .5,0 x 10-n
o^o5d-
/ \
a - a 17 se representaron los campos E, y E, con sus direciones y- : :-rrespondientes, según el signo de la carga que lo produjo.
=:=''r^inar el campo eléctrico resultante (E,,),aplicamos el método del- :': mo y para determinar su módulo utilizamos la aplicación ya vis-
-::'ema del Coseno:
=' - E: + 2.E,.Er.cos ü , pero previamente necesitamos calcuiar "s,"
= .^gulo entre É, y É,.
- r {r es suplementario del ángulo F (fig. 1B) + c¿ = l BOo - F.
Fig. 1 5 Si la carga es negativa el E es radial y hacia elcentro.
Fig. 16 Ejemplo 2.
Fig. l 7 En el punto A se superponen los campos pro-ducidos por q.y q,. E""." = E ,
1 El lector puede comprobar el valor del ánguloutilizando elTeorema del Seno.
3 E, = 1,8x 10'$
_ 9,0 x 10n .4,0 x 1O-'- ---O¡3b- 3 E' =4'Ox'tO'+
:c'oPuesto = 1'9tt =1,33 = B=53oC.adyacente 3,0 cm r
- 53o -> a=127o
'1,8 x loo)' + (4,0x 10o)' + 2.(1,8x 10').(4,0x 104).cos 127o
Q,
d,
A
E,E,,
A
É,
Fis. 18
i = 3,3 x ro'$ yforma un ángulo de244ocon la horizontal'.
/.A
,/
l4lHecuostática
Fig. 19 8,, es el campo resultante en el punto A.F =É
Ejemplo 3
Determine la fuerza resultante que actuaría sobre un electrón ubicado en elpunto "A" del ejemplo 2.
El módulo de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada que se en-cuentra en una zona donde existe un campo eléctrico es F = ql .E
Sabemos que la carga del electrón €s q = -1,6 x 10'n C y el campo eléctrico
en el punto A es Eo = 3,3 "
10' tLa fuerza sobre el electrón la calculamos:
F=1,6x10'nC x 3,3xf 0'| = F=5,3x10 NensentidoopuestoaEopor
tener el electrón carga negativa (Fig. 19).
GA]IIPÍ|S EITGTRIGÍI$ PNIIDUGIIIO$ PflR DI$TflIBUCIIII{T$Go]{THUIS nE Í][nGn
Ahora estudiaremos las características de los campos eléctricos producidospor cuerpos de diferentes formas cargados eléctricamente. Para deducir ex-presiones (ecuaciones) para calcular dichos campos se pueden utilizar dosmétodos.
. El primero consiste en considerar a un cuerpo cargado como una grancantidad de cargas puntuales. Determinando el campo de cada una yrealizando su suma vectorial, obtenemos el campo resultante de la dis-tribución. Generalmente para realizar estos cálculos es necesario mane-jar herramientas matemáticas (calculo integral) que exceden el nivel delos cursos de 6" año.
. El segundo método consiste en aplicar una ley física denominada Ley deGauss, que en la mayoría de los casos simplifica muchísimo estas de-ducciones. En el anexo 2 encontrará una reseña de dicha ley y como apli-carla.
Campo eléctrico producido por un plano uniformemente carqado
Una placa delgada cargada uniformemente y de grandes dimensiones, pro-duce a su alrededor un campo eléctrico cuyas líneas de campo son rectasparalelas entre si y perpendiculares a la placa (Fig.21).
. 5i la carga es positiva, E es saliente de la placa (Fig.21a).
. Si la carga es negativa, E es hacia la placa (Fig.21 b).
El módulo del campo producido por la placa en un punto, depende exclusi-vamente de la carga de la placa y no de distancia a la que se encuentra, estosiempre que las dimensiones de la placa sean lo suficientemente grandesrespecto a dicha distancia.
. Denominamos Densidad Superficialde Carga de la placa a la carga porunidad de superficie, su notación es "o" (sigma y se calcula:
6 = -9*= y su unidad en el S.l,.t SArea
'a''-t=/+F¿
**
->L.<-+
+
C-rrpo r
hdda
- ¡h.d*i{ ::-:
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Eq,-astP
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,E: 3::.
__,2,
m :r:r É
r -l: .::
-)E
I<-r r->T
Fig.21 a y b El campo eléctrico creado por una pla-
ca extensa y cargada uniformemente, es uniforme.
t
Fig.20 Carl Gauss (l 777-1 855).
t-
: * : : - lo de E se calcula: lÉl =lol2eo
:: ,na constante denominada permitividad eléctrica delvacío y
=8,85 x 10" ffi + ro= 8,85 x 1o''ffiC,c'4n.K
--.: -: c eléctrico producido por dos placas paralelas y:'*,- i sades superficiales de Garqas opuestas
- - i :s puntos que rodean a las placas existen 2 campos, uno produci-" : : aca positiva y otro por la negativa. Analizaremos que ocurre fue-- :- : :casyentreellas(Fig.22).
I : d e recha y a la izquierda de las placas:
: -- : : s producidos por ellas son opuestos y se anulan.
:-:'e las placas:
; -': rs de ambas placas tienen igualdirección y sentido por lo que sus
Í¡ecüostáticall 5i
Recuerde:
El campo eléctrico creado poruna placa uniformemente car-gada es UNIFORME.
Tiene el mismo módulo direc-ción y sentido en todos los pun-tos que la rodean.
I+i
+i
+t
I+1
*l
lolto
t:
t-t:
-
3 campo eléctrico creado entre dos placas paralelas con "o" opues-:¡s es: uniforme, perpendicular a las placas, su sentido es de la placa
psitiva hacia la negativa y su módulo se calcuta E = -lgLto
¡lacas tienen "o" diferentes, se determina el campo eléctrico pro-r i por cada placa por separado, para luego obtener el resultante enzona.
t-clo4-':'-- re el valorysigno de la carga eléctrica de la partícula si el campo
: --' rr en el punto A es nulo (Fig. 23). La densidad superficial de carga de
- i:::So=*3,2Xt0ufi,. :,nto A se superponen dos campos eléctricos, el producido por la
, ., = y elproducido por la carga puntual(E.,).
-- - : .,l lo del campo producido por la placa lo calculamos:
- 5 - 3'2x10"-- +E-=1.8x10'!2.¿. 2.8,85x10'' P ' L
: -e el campo eléctrico resultante en "A" sea nulo,el campo que produ-:arga debe tener el mismo módulo que el producido por la placa y
:o contrario 3 Eo - Eo = 1,8 x 10' I
I
l
i
E-"--.= 0
{+-}E-E trLtotnL
E<-
E.oro,= 0
{+}EE-
Fig.22 En este caso particular or = -o, , solo existecampo entre las placas.
t<__El9lbX
A
=E.-,=E+r= lol * o
-E-.=- LTor¿'-Lr I L
2to' 2eo - LTotal -
F
Fig.23 5i E^ = 0 | , los campos producidos por la
placa y la carga pu-ntual se anulan.
oFIH€
#tffitffitIt¡.1
ffit
ffil q
Hn
ffilEImtl'*¡l
ffitEil
A{+>Eo Eo
t.= # + lql=1,8 x 1o' . O,1o' I
='91=2,ox1o-'c9,0 x 10'E-.d'q+
K-(Elrrffi¡o-riH,
Ecss
Cc¡h
aüü
- 1¡(*
Fig.24 A partir del sentido de Eo determinamos el
signo de "q".
* Redondeamos el módulo de Q a 1 0 $, oara sim-
plificar los cálculos.
En la figura 24 vemos representados los campos eléctricos en "A". Obser-
vando que el sentido del vector E" es hacia la carqa, determinamos que la
carga "q" es negativa = q = - 2,0 x 10-' f
Ejemplo 5
La partícula cargada (q = 2,0 pc y m = 4,0 m9) está colgada de una cuerda de
masa despreciable y se encuentra en equilibrio (Fig.25). En la zona existe un
cantpo eléctrico uniforme creado por dos placas paralelas y uniformementecargadas con densidades superficiales de carga opuesta"
a) Represente todas las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule el
módulo de la fuerza eléctrica.
Sobre la partícula actúan tres fuerzas (Fig.25), el peso (P), la tensión de la
cuerda (Í)y la fuerza eléctrica F-, que realiza el campo neto creado por las
placas. Como sabemos que la partícula está en equilibrio,la fuerza neta so-
bre ella es nula = P + T + F, = 0 N.Despejandoobtenemos que: P + T= -F'
esto significa que la suma vectorial de P y Í da como resultado un vector de
igual módulo que la fuerza eléctrica pero de sentido contra¡'io.
Conociendo ei módulo de P y el ángulo o aplicamos ecuaciones trigonomé-tricas ai triángulo rectángulo formado por los vectores P, T y -[, (Fig. 26)
para calcular el mócjulo de la fuerza eléctrica.
P = ffr. g = 4,Ox 10" Kg. tO $ = P = 4,0x10' N'
C. oouesto tr
tana= - -l . =*+Fr=P.tanc[+FE=3,0x10"]iL.adyacente H
b) Determine el campo eléctrico y el signo de cada placa.
Como la partícula está cargada positivamente,la fuerza eléctrica y el campo
que la produce tienen igual sentido, por lo tanto el campo eléctrico E es
horizontal hacia la derecha (Fig.27).5u módulo se calcula:
r=i =#ijS+ = E=lst
Ya hemos visto que el sentido del campo eléctrico producido por dos placas
con cargas de signos diferentes es desde la positiva a la negativa' En este
caso la placa de la izquierda está cargada positivamente y la de la derecha
negativamente.
c) Determine la densidad superficiatde carga de cada'placa.
La ecuación deducida para la distribución de cargas de este ejemplo es
lq = * + lol = lÉ1.e.= 1s t.8,85 x 1o''.- .,'0 Cffi = o =1,3x10 ñt
Utilizando lo explicado en la parte "b" respec:c a signo de las placas, sabe-
mosque o, = 1,3x 10''o* t o, = - 1,3 x tO-' $
ol o2
Fig.25 La partícula se encuentra en equilibrio.
\Ta.{++
lPV
Fis.26 Ejemplo s.Í + F = -É,
or
->
EL*
ÉtE+q
Fig.27 Si "q" es pos¡tiva F y E tienen igual sentido.
Hectrustát¡cn 17
; *:,: eléctrico producido por una línea uniformemente cargada
: :':':"rros una línea (cilindro de radío muy pequeño) cargada, de lar-- ' :cnde la carga está un¡formemente distribuida en toda su lon-
r= campo para esta distribución de carga son rectas perpendicu--
=a de carga (Fig.28).
=rte de la línea si está cargada positivamente (Fig.28a).
: : la línea si está cargada negativamente (Fig.28b).
: - - t: E en este caso depende de la carga de la línea y de la distancia: .-' . 'ealizar su cálculo debemos conocer lo que denominamos:
l-.'- ::d Linealde Carga "1," (lambda)de la línea,que se define:f, =9L
, - : cargadelcilindroy"L"sulongitud.Launidadde"l."enels.l.esfi.
-' - :, o de E en un punto a una distancia "d" de la línea,se calcula:
= , : 2 se estudia que sucede para puntos interiores a la esfera, según
:- a con que está construida es conductor o no conductor.
i¡.E$TR¡G$ v D¡tERIl*StR 0t p0TEile¡frl tLL#TS[fir,
' :: -1a carga se desplaza dentro de un campo eléctrico,la fuerza del.'. '=ziiza trabajo sobre ellao. El campo eléctrico al igual que el campo' :- -' c qya estudiado en el curso de 5oaño),son campos conservativos.'" : :a que el trabajo que realiza la fuerza eléctrica sobre una carga en
, - - : -nto a otro es independiente de la trayectoria (Fig.30).
' ,: -..c es conservativo es posible definir a partir de é1, una función es-: - :^ lminada potencial eléctrico.
-¡ DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO entre dos puntos A y B,
aya notac¡ón es AVo, se define como eltrabajo realizado por el cam-¡c eléctrico por unidad de carga,altrasladarse la carga delpuntoA
-asta el B.La expresión matemática de esta definición es: AVo, = - +
-, :'erencia de potencial eléctrica recibe también el nombre de ten-: :n eléctrica o voltaje.
Fig.28 a y b Lineas de campo producidas por unalínea cargada uniformemente.
o o
I
V
ii,A
AE
hi++, l,
V
lll-VVV
lEl=
=. * :.l eléctric
:emostrar'que para calcular que el campo eléctrico en un punto- esfera uniformemente cargada (Fig.29),se la puede considerar3artícula cargada ubicada en su centro. Poresta razónlaexpresión
,i'el campo es la que ya vimos para una carga puntual: E = #
: Je esta expresión es válida para puntos exteriores a la esfera (d>R).
lt'l2neod
\
\
Fig.29 Si la carga de la esfera fuera negativa, el sen-tido de las líneas de campo sería opuesto al mostra-do en el dibujo.
Fig.30 Elvalor oet trabalo reati.aOopor la fuerza elec-trica en las tres trayector¡as es el mismo.
3 VerAnexo2 "LeydeGauss"(pá9.'140).
4 Sólo no realizaría trabajo si la fuerza y el despla-zam¡ento fueran perpendiculares.
V
---¡Irlf¡. Jñ,I;
ralar*.mm
Potencial eléctrico y líneas equipotenciales
A cada punto de un plano donde existe un campo eléctrico se le puede asig-nar un valor (escalar) denominado potencial eléctrico que es igual al trabajoeléctrico que debe realizar el campo, para traer una carga desde el infinito(V- = 0V) hasta dicho punto.
EQtftFñElüq*f-ES a las líneas for,R ódas por',todss, los pwrtos quG time igil¡al poterrial eléctrico (Fi+ 31).
Características de las líneas equipotenciales:. Son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico.
. El valor del potencial eléctrico decrece en el sentido de E.
. Por un punto sólo pasa una línea equipotencial (no se cruzan).
. 5i una carga se mueve entre dos puntos de una misma línea equipotencial,el trabajo eléctrico es cero (AV = 0 V).
Potencial eléctrico producido por una carga puntual
Las líneas de campo eléctrico producido por una carga puntualson radialescon centro en la carga,como sabemos que las líneas equipotenciales debenser normales a dichas líneas, determinan circunferencias concéntricas concentro en la carga (Fig.32).
Si la carga es positiva los valores del potencial son positivos ytienden a
cero al alejarse de la carga (V, = 0V). Fig.32a.
Si la carga es negativa los valores del potencial son negativos y tienden a
cero al alejarse de la carga (V. = 0V). Fig.32b.
Es una magnitud escalar y su unidad en el 5.1. es el Volt o Voltio, dondeI
lv= 1É
La notación AVo, = V, - Vo, también es común utilizar la notación
Vo, = -AVo, =Vo -V, 3 V^-U, = *
El potencial eléctrico en un punto ubicado a una distancia "d" de una cargapuntual se representa con la letra V y se calcula:
v='Igd
. Las unidades en el S.l. de las magnitudes y constantes involucradas enesta ecuación son K=9,0x ''o'E,q -+C(Coulomb), d -+ m (metros)yV -+V (Volt).
. El potencial eléctrico total en un punto se obtiene de la suma escalarde todos los potenciales producidos en dicho punto.
ú
(¡r9E5
{bcrr¡úrct
9p
=y..
U,.. i
U" *l
= Ur-
(*ü4
Etrfdqdsl
-.l¡.1
CIITFrü
-bi¡
=k4.
I.qq
-Ir.d.
lr4
Fig.31 Todos los puntos de la línea 1 tienen un po-
tencial eléctrico de 7,0 V y los puntos que forman la
línea 2, 10 V.
Fig. 32 a y b Las líneas equipotenciales en un E pro-ducido por una carga puntual son circunferenciasconcéntricas.
Hccüffirüc¡lte
Qpnplo 6
- -:'Jds de la partículas de la figura 33 son: Q, = 2,0 pC y q, = -4,0 pC.
a iee,mine la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B (avo)J-{z :r cular AVo' calcularemos el potencial en "A,' y en "8,', para luego de_Er- -.3' su diferencia. El potencial eléctrico en cada punto es la suma esca-Gr :É,:s potenciales producidos por cada una de las cargas = Vo = V,o + Vron, =,--V¿
ü. ='-Q - 9,0X10j.2,0X10" - v_.=g,oxl04VJ.. o,2o < YlA-
r"= *,Q, - 9,0x101.-4,0x10" -v--=-1,gx10rv-t d', - o,2o < Y2A-
ú = ¡ - -V,.=9,0x100V+ (-1,gxl0'V) = Vo=-9,0x l0oVi
= (q.
- 9,0 x 10' .2,0 x l O"c.. 0,30
KQ, = 9,0x10t.-4,0xl0'
c- 0,50+ Vr, =-7,2x 10'V (Fig.34)
- Vr, = 6,0 xl0o V + (-7,2 x10o v) 3 v, = - 1,2 xl oov La distancia desde la q, hasta elpunto B la calculamos aplicando elTeorema de Pitágoras:
dru =r,10¡o'*ó,3d 3 d,, = o,5o m
Fig.34 Cálculo de la distancia d,. .
Fig.36 En un E uniforme las líneas equipotencialesson paralelas.Y se cumple que si Ia distancia entreellas es constante la diferencia de potencial también.
9 V'r=6,0X 10oV
ü.r =
li=
FnhI
I
at
¡l
-Lli, * - ,. -Vo = -1 ,2x1Ot- (-9,0 xlOoV) + AVo, =7rgxlloV
&, 2 :ile el trabajo que realiza el campo eréctrico cuando una partícula:; :zrga qo = 2,0pC se traslada desde el punto A al B.
E -:,¿. ¡ eléctrico es conservativq por lo tanto sólo depende del potencial::-.:: de los puntos inicial y final de la trayectoria.
,n = -t fVor- -2,oxl0-"c. (-7,gx1oov) > T= I,6x 10-,J
--e;ermine Ia variación de energía potencial (au,) electrica del sistema al-s adar qocomo se indica en la parte "b".
e -:mpo eléctrico realizó un trabajo positivo,la energía potencial del sis-; : sminuyó en igual cantidad (Fig.35 ):
*- - -i, = AU, =-1,Gx lg-tJ
¡neas de campo en un É uniforme son rectas paralelas (por ejemplo enGrnpo producido entre dos placas cargadas), en consecuencia las líneas
nciales, por ser perpendiculares al campo eléctrico, son tambiénnedas y paraleleas entre sí (Fig.36).
encontrar una relación entre la diferencia de potencial eléctrica entrepuntos (lv^J y el módulo del campo eléctrico G) en la zona, realizare-la siguiente deducción:
20cm 20cmffil
xA Q,Te,
l,*,"
| .,
F¡9.33 Ejemplo 6.
Fig. 35 Energía potencial eléctrica.
10v g,ov 6,0v
.:Y B
qlc¿
A
F_>E
7''
2 0 ! Elcctr0srár¡Ga
Supongamos que una carga "q" se tralada desde el punto A al B realizando
un desplazamiento "Aior" que forma un ángulo "cr" con F y E.
Tor=-q.AVou
Tor=F.Ar.cos(cl)
c) Calcule AVu,
Observe (Fig. a0) que los vector:s !que elángulo entre ellos es '3f '
-9 .AVo, = F .Ar 'cos (.')
aVoo = -l .or.cos (a)-q
a-
Recuerde:
5i nos desplazamos en el sent¡-do de E, el potencial disminuye(AV< 0) ysi lo hacemos en elsen-tido opuesto a E, el potencialaumenta (AV> 0).
Fig.37
IOV B,OV 6,OV
Fig, 38 Denominamos "d" a la distancia entre las
equipotenciales que contienen a los punto A y B que
elegimos para calcular AVl.
Fig.39 Ejemplo 7.
Recordando aue i = E obtenemos la expresión: AVor=-E.Aror.cos(ct,) :cry'c
'q.;. Esta ecuación solo es válida para campos eléctricos uniformes.
. El ángulo cr es el formado entre los vectores E y Ai.
. El signo de menos de la ecuación nos está indicando que el potencial - ='
eléctrico disminuye en el sentido de E. (F¡g.37).
. El valor de AVo, es el mismo que la diferencia de potencial entre dos pun-
tos cualquiera uno perteneciente a la equipotencial del punto A y el otro i ' ' :
al de B. En particular se cumple que aVo, = AVo", (Fig.3B). Al ser el ángulo
entreEyAioucerogrados + cos ct=1 Ynos resulta másfácilcalcular - = -AVo' que AVor.
.Podemossimplificarelcálculodelmódulodeuncampoeléctricounifor-me calculando:
. _ llvlb-d
Siendo l¡Vl el valor absoluto de la diferencia de potencial eléctrico entredos líneas equipotenciales y "d" la medida del segmento perpendicular co-
mún a dichas líneas (distancia entre las equipotenciales).
observa que podemos expresar lEl en "S" y es equivalente a "t"
Ejemplo 7
Lii figura 39 muestra dos placas paraleias y los potenciales a los que se en-
cuentra n.
a't Delermine e! can'ipo eléctrico entre las placas,
Sabemos que el campo electricc entre dos placas es uniforme,también co-
nocemos sus potenciales y la distancia entre ellas, Para calcular el rnódulo - * .
deEutilizarnos: E=,^rV==+V ,=E=2,0x10rS :d 0,10 m
La dirección de E es perpendicular a las placas i,.,erilcal)y su sentido es des-
de la placa que está a mayor potencial a la de menor potencial (hacia arriba)
!'*i -b) Calcule AVou
Los puntos A y B pertenecen a una mis^'¿ ::,. :-::=-:iai. por estar conteni- :
dos en una recta paralela a las placas. Es:: ^-rl :: r': J,Vo, = Q\¡/ :
Fig.4O Observe que los puntos A y B pertenecen a la
misma línea equipotencial.
=-=- ,=-t dos opuesto por lo
: = iV..=1OV
necrrostericalz t
1:icule AVo,
^:o A y el B están en una misma línea equipotencial por lo tanto
= lVr. = 10V
en podríamos haber utilizado la ecuación general:
= - E . arrc . cos (cr) y obtendríamos el mismo resultado.
lprnplo 8
' ':-ra 41 representan las líneas equipotenciales en una zona de campoaÉ::-:o uniforme.
. --::ermine las características del campo eléctrico.
-: - : :l campo eléctrico es uniforme para calcular su módulo utilizaremos
¿ ::-:ción E =+ .Si elegimos dos equipotenciáles consecutivas:
,. =2,0V y d=0,020m + E=¡ffi 3 E=1OO#
- - : -:cción es perpendicular a las líneas equipotenciales y el sentido es-,sr ^: : izquierda por ser hacia donde disminuye el potencial eléctrico (Fig.41).
7 -: -)na partícula (m = 2,0 ¡tg Y Q = -2 nC) se deja en reposo en el punto A,
: -: telocidad tendrá despues de recorrer 5,0cm?
-¡:cr: a partícula ubicada en el punto A actuará una fuerza eléctrica hori-*,-:= ^acia la derecha (Fig.aA y comenzará a moverse en dicho sentido:c,-¿;:o al de E). Determinaremos la velocidad luego de desplazarse 5,0 cm
3E : :: 'ormas diferentes.
r¡nner método
1,0v 3,0v 5,0v 7,0v 9,0v
Fig.41 Ejemplo 8.
AF,_-+
q
Fig.42 Ejemplo 8.
Fig.43 El ángulo entre É y Ai es 1 8Oo.
u=-er = ?%fffólgq g !r=1oo+
-: :l movimiento tiene aceleración constante:
Scaundo método
- : - :remos AV correspondiente a un desplazamiento de 5,0 cm:
- - E.-\r.cos (cr)=- 100.0,050 m.cos 1B0o = AV= 5,0V
l: :.:', e (Fig. a3 ) que É y Ai son colineales \ u = 1800, obteniendo un valor:* ' , positivo. Esto concuerda con lo ya visto de que el potencial eléctricoi--:nta aldesplazarnos en sentido contrario alde E.
: :':bajo eléctrico realizado sobre la partícula se calcula:
- - -q .lV=- 2,0x10"C.(-5,0V) = T= 1,0x lo-'J
zzluoouosuucr
Recordemos del curso de 50 año, que el trabajo neto sobre un cuerpo es
igual a la variación de su energía cinética (Fig.44).Como la fuerza eléctrica es
la única que realiza trabajo, su trabajo coincide con el neto (\","= 1,0 x 10" J).
También sabemos que la energía cinética iniciales nula porque la partículaparte del reposo.
T*oo = AE. = Ecnnur - Ea,n,.,.,
E.,n,",", =0J y E.on", =1.t.{T*o"=*.m.{ =+ vr=
D .1^o - 1orv,=yfiffi =vr=3,2+
Pn0Buirñ
Problemas de Electrostática
1. Dos partículas cargadas 9, = 4,0 pCY gr= -2,0 ¡rC, están separadas unadistancia de 2,0 mm.
a) Calcule las fuerza eléctrica que actúa sobre cada una de ellas e indi-que si son de atracción o de repulsión.
b) Sin realizar cálculos responda cuál será el módulo de dichas fuerzassila distancia se reduce a 1,0 mm.
2. En las situaciones A, B, C y D de la figura 1, determine módulo, direccióny sent¡do de la fuerza resultante sobre q,.
q., = 2,0 ¡rC qr= 4,0 ¡tC 9, = -2,0 PC d=10cm
II
_t
ErDE
Earhr
hü=
l-úfyG:.F
lrp\frcFdfL
Fig.44 Relación Trabajo - Energía.
2.T*oo
m
A) B)dddd
# l-l_+ _+ + - +Q' Qz Q, 9, 9¡ '92
c)
I'
D)
+'l 9z Q, l-*T +
.l
Il9,
+9'
9¡
Fig.l Problema 2
:-Tine las características de la fuerza resultante sobre qr(fig.2).
: =-1,0FC g,=go=1,0FC r = 3,0cm
* - ='-ine el campo eléctrico creado por cargas en los puntos A, B,C y"j3i lq,l=lq,l =4,OpC d=10cm
:: - oo eléctrico producido por g, en el punto "P" (fig.4) es E, = 4gN.r = Q, = 2lq,l Determine el campo eléctrico resultante en el punto "p\'.
Q,
+
+I'
k__-_=_><______>l2rraü- "::ü - -:'=- cadacaso(fig.s)elpuntoendondeelcampoeléctricoesnulo.
: =llnCy]q,l =3,0nC
I'
B)-+:'Q,<>;
d = 50cm+
d = 50cm
+9, Q,
rü"
il. .:.":-
".
:: ' placas paralelas del dibujo (Fig.6) están uniformemente carga-. -s densidades superficiales de cargas son:
- -' .7 pfr V o, = *5,1 pfi. Determine el campo eléctrico en los-: :. A,B y C.
- -= -- ine los campos eléctricos resultantes en los puntos A y B (Fig.7),- : -:idos por la placa cargada uniformemente con o = *70,g pt, V
'" -:--:apuntual g =-5,0x 10 "C. La distancia de la carga a los puntósA: =. ,t 30m.
De:ermine la fuerza que actuaría sobre un electrón corocado en los pun-EsAvBdelejercicioB.
¡_:
:::rícula cargada de masa 2,Og (Fig.8), se encuentra en equilibrio a
- :¡ sobre la placa cargada con o =- i7,7 $#.l:iermine el valor y el signo de la carga de la partícula.
-lambia su respuesta sí Ia distancia entre la partícula y la placa es
'-^ or?
_lambia su respuesta síla placa estuviera cargada positivamente?
Fig.8 Problema 10
necuosráricalZi
o.*T
I'+ -üI' la '
Q'ra , 9',
Fig.2 Problema 3
7x X ¡
dl lo
+ I, -lA
Q, Q,
?T?Fig.3 Problema 4
x.
B
X
A
Fig.7 Problema 8
c'.l
x.<AB
o2
l
til
X
c
Fig.6 Problema 7
I.
[ ,o¡urr*stáüca
hb¡E¡. U
Ae*qúIrbtcü¡ft
(b-&-ilGrTGTofhdtrü
tsptsqr
óaüDl
1 1. Una pequeña esfera de m = 3,0 x 10-'g tiene una carga Q = 6,0 x10-uC,
cuelga de un hilo no conductor (F¡g.9). Por la interacción con la placa
cargada el hilo se separa de la vertical un ángulo de 20o, hasta alcanzar
elequilibrio.
a)Realice un diagrama indicando las fuerzas que actúan sobre la esfera.
b) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica que actúa sobre la esfera'
c) Determine la densidad superficialde carga de la placa.
1 2. Determine el potencial eléctrico en los puntos A, B, C y D del problema
número 4.
13. Para la situación de la figura 10 calcule:
a) La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B.
9,=4FC Y 9z='2ltC.b) El trabajo que realiza la fuerza eléctrica cuando se traslada un elec-
trón desde "A" hasta " B".
14. a) Ubique el o los puntos de la recta determinada por las dos cargas
puntuales (Fig. 1 1), en que el potencial eléctrico es nulo. q, = 2,0 ¡rC
Y 9z= -3,0 PC'
b) Existen en e[ plano otros puntos en que el potencial eléctriconulo. En caso afirmativo ubíquelos.
1 5. Determine AVo, en las situaciones a, b, c y d de la figura 12. La
entre los puntos A y B es '10 cm en todos los casos y el campoes lEl= sb I
o %i\i\i\i\i_-l
ir.\i\i\i+
Fig.9 Problema l1
1Ocm
*-ne, l
lr,o.'I-l
9,
^-xloS,Ocml
L*B
1Ocm
Fig.10 Problema 13
+Q' It+
d= 50cm
Fig.11 Problema 14
Fig.12 Problema 15
ttecrosrrncalzs
3 a figura 13 se representan las líneas equipotenciales correspondien-es¿unEuniforme.
a i¿kule y represente la fuerza eléctrica que actúa sobre la partículaa3ada (q=2,0 FC, m = 0,1 mg)
u ! l¿ partícula inicialmente está en reposo,¿cuáles la velocidad luego@ =(orrer 3,0 cm?
: -i¿ánto tiempo demora en recorrer los 3,0 cm de la parte anterior?
'Gruule el trabajo que realiza la fuerza eréctrica (Fig.'14) cuando una@<ula (q = 6,4x10-''C y m = 6,0 x 10-" Kg) se traslada desde:
¡ }sde "A" hasta "B".
@ fesde "B" hasta "C".
c hde "A" hasta "C" pasando por "8".
d bde "A" hasta "C" sin pasar por,,B',.
AB=20cm
BC = 5,0 cm
Itrtro J¿<as 1 y 2(Fig.15) tienen densidades superficiates de carga opues-Es .r h diferencia de potencial eléctrico entre ellas es 5,0V. por un orifi-Gm ae la placa 1 penetra una partícula (m = 2,5 x1O -'n Kg y g = 2,0 pC)ffiniéndose en el punto medio entre ellas.
r l¿kule y represente E entre las placas.
b lalcule o de cada placa indicando en cada caso su signo.
c 5 a superficie de cada placa es 0,40 m' ¿cuánto vale la carga de cadarilat
d¡aré velocidad tenía la partícula al ingresar al campo?
flllllma -rtícula cargada (q = 2,0pC, m=2,0 x l0 -''Kg) se coloca entre dos
mtr=' paralelas de grandes dimensiones dispuestas horizontalmente.J¿cas tienen cargas de igualsigno pero la densidad superficial de
de la placa superior es cuatro veces mayor a la inferior.*epresenta un esquema de la situación.
ü S¿orbndo que la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula equili-ba a l¿ fuerza gravitatoria determine la densidad superfiiial de carga
=da placa.
Jetermine la aceleración de la partícula sise quita ra placa inferior.
6,0v 9,0 v 10 v
+q
ffiFig. 13 Problema t6
o = 17,7 PC
fm
t;X
c
X
B
Fig. 14 Problema 17
o1
I
I
o2
V
Fig. 15 Problema I 8
0.50m 0.40m
-
+-q,=+3,0pc gz
X
A
Fig. 1 Problema 'l
2 6 |
Ihctrostática
\,+
,t q
--ttR9,
Fig.5 Problema 5
9z
Fig.2 Problema 2
ddrffir
+q -q
c
+2q
Fig.3 Problema 3
PRoBltth[$ [Í ErAilElt
1) Sabiendo que el potencial en A es nulo (Fig.1 ).
a)Determine el valor y signo de "q"
b) lndique en que lugar de la recta "x" el campo eléctrico es nulo.
(Prof. G. Oribe - Colegio Ser)
2) Dos cargas q, = 10,0 pC Y g, de valor desconocido, se encuentran sepa-radas 0,20m (fig.2). El campo-eléctrico en el punto "0" (equidistante delas cargas) es Eo = 1,44 x 1O'I hacia la derecha
a) Determine el campo creado por "q," en el punto "0".
b) Determine el valor y sígno de "qr".
c) Determine el potencial eléctrico en el punto "0". (Liceo N" 3 - l.D.A.L.)
Las esferillas A, B y C tienen las cargas indicadas (Fig.3) y sonequidistantes. La fuerza aplicada por A sobre B es de 6,0 Newton. Calcu-le el módulo de la fuerza neta que sufre C y dibújela. (Prof. A.Villamil -
Escuela lntegral)
Las esferas A, B y C tienen cargas iguales (Fig. a). La fuerza que A ejercesobre B es de 0,60 N. Calcule la fuerza neta que sufre C y dibújela. (Prof.
A. Villamil - Escuela lntegral)
Dos cargas iguales (Fiq.5) y de distinto signo se encuentran a una dis-tancia de 1Á (10'o m). La partícula "q," describe un M.C.U. de período2n x i O-'osegundos y su masa es 5,0 x 10''o Kg, mientras "q," permanece enreposo. Determine el valor de las cargas. (Prof.W. Netto - Sagrada Familia)
0,050m
-l
,lt
n
liüü6¡u
qlqr.
hcffilrr*6lm
tc=üreGfiúlrr¡drrlrr,..ca
bgrlJlffssüDE'
Glr@lNCM
MnD{b5¡l ":[W,T
*3¿@r,ü]gl:
3]*6
;
J1r:,¡IllllrE
finE-
ms
, ,
3)
4)
s)
6) El péndulo cargado se halla en equilibrio frente al plano cargado forman- Tudo un ángulo de 6o como indica la figura 6a. En la figura 6b se indicamismo péndulo frente al mismo plano pero se coloca otro plano conmisma cantidad de carga que elprimero aunque de signo contrario.mine el nuevo ángulo de equilibrio. (Prof.J.J. Olivet - Escuela lntegral)
7) Una partícula con carga g = -50 nC se lleva con desde el punto A al B porcamino mostrado (Fig.7) dentrode un campo eléctrico uniformede intensidaO E = B0O t.a) Determine la fuerza eléctri-ca que experimenta la partícu-la en A.
b) Determine eltrabajo que rea-
liza la fuerza eléctrica al llevarla partícula desde A hasta B.
c) SiV^ = 0, ubique Y trace la li-nea equipotencial de +80 V.
(LiceoNo3-l,D.A.L.)
m
IV
IV
-c
A
Idt
IB
Fig,4 Problema 4
oI
+Q
o
+Q
q
-a
Fig.6aybProblema6
rtecuosrárica lz
7
-* :':-:erón (un núcleo de hidrógeno pesado:1 protón + 1 neutrón)y;,: :.:':ícula o, (un núcleo de helio:2 protones y 2 neutrones), inicial-*É-:= :n reposo, son acelerados desde el reposo, por un mismo cam-: : = =::r'ico uniforme. Comparad:
: :i l stancias que recorren en un mismo tiempo.
: j,-. ::ntidades de movimiento al cabo de ese tiempo.
- -, =^ergías cinéticas al cabo de ese tiempo. (Liceo No 3 - |.D.A.L.)
l,:- ::'gas puntuales g y Q se ubican en las proximidades de una:,;:: -niformemente cargada (Fig.B), siendo g = -25 pC, d = 5,0 cm
- = -0,7 O nC/m'. Determine valor y signo de e para que el trabajo:1,113::- :c sobre un electrón que se mueve entre los puntos A y B por elgr - r indicado sea nulo. (Prof. G. González - Maristas)
"it :: :.aa Una Cafga Q = 5 pC*,- ? ::ntro de la zona donde* :: -n campo eléctrico uni-rr,r'*: ., os potenciales son losr't r:tcs (Fig.9).
' l,=::'.nine la fuerza eléctri--- - ---^'r^lr.i -.-- C \J
: it :;spone de 2 cargas pun-*;=. gualesdeq=+10pCyÉ ri j3d que la fuerza neta so-:.'. I sea de5x 10"Nverti-:: . -:cia abajo. Determine la
:r:i, : Jn de las cargas "q" res------'^rr-'|:-_- = \J
'r-:' ,','. Netto - Sagrada Familia)
I.¡'-. ,as líneas equipotenciales de la figura 10:
:, -€::rmine el campo eléctrico en el punto P.
: j ;e coloca un protón en reposo en el punto P ¿Cuáles la velocidad'á
-'-zat la siguiente equipotencial y a que potencial eléctrico corres-:,: - :: esta línea? (Liceo N. 3 - l.D.A.L.)
I :.:':ir del estudio de una región del espacio se obtuvo la gráfica de:,::=^cial eléctrico en función de la posición (Fig.11). En x = 1,Ocm se:'-É:a una partícula de q - 5,0 ¡rC ! m = 1,0 x10' Kg.
" -: lar su aceleración (módulo dirección y sentido)
: _1¡ánto tiempo tarda la partícula en recorrer 3,0cm?
-,::oNo1-Paysandú)
V
200
5,0 x (cm)
Fig. ll Problema 12
o
qoCI
ddI d'A,B]XXI
L]
Fig,8 Problema 9
10v OV
+q
Fig.9 Problema 10
y (cm) 9,5V
5,0v
0,5v4
2
0x (cm)
Fig. l0 Problema 1 1
zalrncrosmrica
C
A
PosrcróN 2
Fig.12 Problema 13
Fig. 13 Problema 1 5
F¡9.14 Problema 16
l3) A, B y C son tres esferillas cargadas ubicadas en los vértices de un trián-
g u\ o equr\átero d e 2O cm d e \ado \F\9. 1 2). Ay Btrenen \gua\es cant\dades
de carga positiva y C la misma cantidad que cada una pero negativa.
a) Encontrar el trabajo realizado por las cargas A y B (fijas), cuando c se
mueve desde la posición t hasta la posición 2.
b) calcular la máxima velocidad de la esferilla c si se deja libre y en repo-
so en la posición 1 . La masa de C es 1 ,0 x 10'Kg y su carga -1 ,B x 1 0'' C.
(Prof. J.J. Olivet - Escuela lntegral)
Un protón que se mueve con velocidad de 0,50 $ hacia una
cr fija (un núcleo de helio, 2 protones y 2 neutrohes), estando en
momento alejados 1,0 m. Calcule cuanto se habrá acercado el protón
la partícula cr en el momento en que se detenga para invertir su curso.
(Liceo No 35 - l.A.v.A)
15) La figura 13 muestra un plano indefinido y un alambre ambos carga
dos. La carga q = 2,0 pC colocada en el punto "A" experimenta una fuer
zdF = 8,0 x10-''N en la dirección indicada. Hallar o y )" (valor y signo).
(Prof. H. Bentancour - l. Ariel)
16) En la figura 14 se representan un par de placas cuadradas de lado 1,0m,
paralelas muy próximas entre si y una carga puntual lejana de ellas tal
que r>>L>>d. Las superficies S, y S, son cerradas. El flujo de E a través
de 5, es cero y a través de S, es 9,0 x 10'' Vm
a)calcule E entre placas sabiendo que la carga de Ia placa 2 es q, = 9,0 nc.
b) lndique signo Y valor de q,.
(Prof. H. Bentancour - l. Ariel)
17) se tienen dos placas plano - paralelas verticales separadas 0,36m. un
partícula de qo = 1,5 ¡rC y m = 52mg se- libera en el punto medio de
dos placas con una velocidad v = 6,0 S' nmOas placas están.cone<
das a un generador que establece entre ellas una diferencia de poten
cial de 3,1V. La placa "A" presenta un orificio a7,2m de su inicio (Fig' 15
¿La partícula logrará salir por él? (Liceo No 1 - Paysandú)
18) Una carga puntualg = 10pCse ubica en una zona delespaciod
r]tubli¡rc,q]hm
ürñ6d5b
GIlfrbrltt^*
14)
dlkt$\hil
existe un campo eléctrico que va^ria según la dirección "x" de la
siguiente: E(x) = (2 x + 0,2) x 10' Ia)Halle el trabajo realizado por la fuerza eléctrica en desplazar dic
carga de x = 5 cm d X= 10cm.(Sugerencia: grafique F = f(x))
b)Determine la diferencia de potencial eléctrico entre x = 5 cm y x = 1
(Prof.W. Netto - Sagrada Familia)
0,36mt-l
Tq.
,T],,,
I
Fig. 15 Problema 1 7
r
:lmronáuoalzs
¡¡m ¡tencial eléctrico de 2,0v,los azutes 4,0v los verdes 6,0v los marro-t"Jtu y los amarillos t0V.
r?re l¿s líneas equipotenciales.
b lmrc= algunas líneas de campo eléctrico (tíneas de fuerza).
Dt
de Campo Eléctrico.
4,0V los verdes 6,0V los marrones g,OV y los amarillos 10V.
l¿s líneas equipotenciales.
Tace algunas líneas de campo eléctrico (líneas de fuerza).
¡É :ampo eléctrico es uniforme? Justifique.
de la figura 1 representa una zona donde existe un campo eréctri-l por dos placas paralelas. Los puntos marcados en color rojo tie-
rc de la figura 2 representa una zona donde existe un campo eréctri-a-ntos marcados en color rojo tienen un potencial eléctrico de 2,0v,
,@ fuinando como referencia (x = 0m) la placa izquierda, realice la gráficaE$Ea eléctrico-en función de la posición V = f (x).
É :arnpo eléctrico es uniforme? Justifique
ra ñ a apreciación del voltímetro con que se realizaron las medidas esrermine el módulo delcampo eléctrico en el plano estudiado.
de Ca
"t2v
o'Gar
oto':'
atJa
>\-¡rJ
(también se le denomina condensador) es un dispositivo quepor dos conductores separados por un aislador. Cuando
res adquieren cargas opuestas, se establece un campo eléc-: Eilos, almacenando energía potencial eléctrica. En la figura 1 ve-
de 2 tipos de capacitores y el símbolo que los representa. En
sólo estudiaremos capacitores formados por placas paralelas,pio veremos el caso en que el espacio entre las placas esté vacío
=r.'rlateriales aislantes denominados dieléctricos.
emos una diferencia de potencial AV entre las placas de unle placas paralelas estas adquieren cargas opuestas (Q y -Q y se
r campo eléctrico uniforme' entre ellas.
CAPACITANCIA de un capacitor al cociente entre laadquiere cada placa y la diferencia de potencial eléctrico
tt¡- OAV
rincad de la capacitancia en el S.l es el Faradio y su símbolo es F. (Fig.2)
r:oro es una unidad de capacidad muy grande, por lo que en la prác-cs '¿alores de C generalmente van desde pF hasta mF.
un la utilización deltérmino "capacidad" en lugarde "capacitancia".
=c¿citancia siempre tiene valor positivo.
de la capacitancia
emos un capacitor (Fig.3)formado por dos placas de superficie "A",una distancia "d" y con cargas Q y -Q.
Un capacitor tiene una capaci-. tancia de un Faradio si por cadaVolt de diferencia de potencial,sus placas adquieren una cargade un Coulomb.
Fig.2 Definición de Faradio.
Fig.3 Capacitor de placas paralelas.
Q=o.A
AV = E.d
Sustituimos en la definición de capacidad
c=# yobtenemor' a=#
:ando que la expresión para calcular el campo eléctrico entre dos pla-
peralelas es e = * y sustituyendo en la expresión ya obtenida:to
o.A= ü simplificando "o," nos queda:
€o
.- 8o'A\--d
Plano
OEsférico
__lsímbolo
I
Fig. 1 Capacitores con diferentes formas.
I Salvo en los bordes de las placas
32iee¡raritores
La capacitancia de un capacitorde placas paralelas es directa-mente proporcional al área desus placas e inversamente pro-porcional a la distancia entre
ellas +c= "o'Ad
Fig.4
Recordemos que so = 8,85 x 10 -'n*,! , "l
área de las placas se expresametros cuadrados y la distancia en'ñiétros (fig.a).
^--T-lTIlc, lc,B>+
Combinación de itores
Disponiendo de dos o más capacitores, existen diferentes formas de conectarlos entre sí.
Conexión en paralelo
La figura 5 nos muestra dos capacitores conectados en paralelo, podemver que las placas de ambos están conectados a los mismos puntos (A y B
por lo tanto la diferencia de potencial de ambos capacitores es la(AV^J.La carga de cada uno se calcula:
Q, = C,.avou
Q, = Cr.AVo,
Qor=C,.AVor+Cr.AV^B
Qor=(C'+Cr).AVou
A
T-- l+Q
_ T-------->----=:__r/
Dos capacitores C, y C, conectados en paralelo tienen la misma dife-rencia de potencial entre sus placas y se pueden sustituir por unosolo cuya capacitancia sea: C,, = C, * Cr.
Conexión en serie
Supongamos dos capacitores conectados en serie (Fig.6) inicialmentecargados. Al establecer una diferencia de potencial AVou, en la zona encerrda con línea punteada se produce una redistribución de cargas quuna placa con carga +q y otra -q, pero de igual valor absoluto. Esto se debe
c,
C,
que dicha zona está aislada y la carga total debe seguir siendo cero coantes de establecerse la diferencia de potencial. Por lo tanto los capacitconectados en serie adquieren siempre igual carga Q, = Q, = Qou.
AVou=AV, +AV,
Av^^ = Qou
c,,
av.=9 vnV.=9'C'C,
Dos capacitores C, y C, conectados en serie adquieren lacarga eléctrica y se pueden sustituir por uno solo cuya
111tanc¡a sea: c. = c,
* c, '
o^" o, o.L,, Lr L,
Simplificando las cargas queson iguales obtenemos:
Fig.6 Capacitores conectados en serie. 111c,,-c'c.
mrsmacapaci-
rmM
(@l
-- l+Q,.-157c, ---....-
Fig.5 Capacitores conectados en paraleleo.
A
III
B
--l+Q
:-"1tóX
B
-: ='mine la carga inicial de cada capacitor.
= I . =1200x10-''F.3,00V = e',=3,60x10-'C. I =800x10-"F.6,00V = ez¡=4,g0x10-'C
: - e la diferencia de potencial de los capacitores luego de conectar-: .'3 5/.
: -:'este tipo de conexión, se produce un pasaje de carga de un.' 3, otro, pero la carga totaldel sistema se conserva.También po--:::rvar que al quedar conectados en paralelo, el AV,,"", de ambos
" . :i =S el mismo.
- - - l, =3,60x 10nC+ 4,80x 10nC = Qro,", ,=8,40x10'C
Qrot"i r= 1200 x 10-" F.aV.+ 800 x lo' F.^v
sacando factor común AV. obtenemos:
Qrot"r ¡ = 2000 x 10u' F.^V,
: carga inicial y final del sistema, despejamos la diferencia' ^ at de ambos capacitores:
,= 8,4 x 10' C = 2000 x 1O-'' F. AV. = AV, = {,29 y
. carga final de cada capacirc-.
=' 200 x I0''F .4,20V =) e,, = 5,O4x lC'C
= 300 x 10-"F . 4,20V + C!,. =3,36 x l0,C (Fig.9)
capacidad equivalente del sistema oe la figura 10.
, = 2,0 mF, C, = 6,0 mF y C. = 5,0 mF.
::':^ros asocianoo C, y C, que están conectados en paralelo. Su ca-: =: - valente es C,- = C, + C, = C,r- 3,0 mF.
' ' vemos ya sustituido C, y C, por C,r. Ahora determinaremos la
=o uivalente entre C,, y C, (C,rr), que por estar conectados en seriel=1*l
C". Cl, c,
1 2+1+ = i C,r, = 2,0 mF (Fig.12)6,0 mF 6,0 mF
- -: :3: el ejemplo realizamos la suma de C.,, + C. (por estar conecta-.- : .': ielo) para obtener la capacidad equivalente de todo el sistema.
. _ -!_,=2,0 mF+5,0mF = C.,rro=7,OmF.
-r_lI
Ii
Fig.8
Verificación:
Si sumamos las cargas finalesQ,, t Q.,, = 5rO4 x 1O'C +3,36 x1o'C=8,4xlo''C.Obtenemos el mismo valor quela carga total inicial, esto nosverifica que el resultado obteni-do es correcto.
Fig.9 Verificación del principio de conservación dela carga eléctrica.
Fig. 12 Sumando C,r, y Co obtenemos la capacidadtotal del sistema.
de
:lmF
I
Ganacitoresl 33
Fig. I 0 C, y C, están conectados en paralelo.
Fig. 1 1 C,, y C, están conectados en serie
a34
|
canacirores
Fig.13 AV r Q
Vacío 1,0000
Aire 1,0006
Vidrio
Papel 233
Agua
Caucho
Fig.14 Constantes dieléctricas de algunos materia-les a temperatura ambiente.
almacenada en un
Un capacitor al cargarse acumula energía potencial eléctrica (Ur), que es
ministrada por el generador al que se encuentra conectado.
Supongamos un capacitor inicialmente descargado, comienza a cargathasta llegar a un voltaje AV y una carga Q. La relación entre estas variabl
es directamente proporcional OU = : y la podemos representar gráfi
^=+
mente (Fig. 13). El área encerrada entre la gráfica y el eje horizontalsenta eltrabajo entregado por el generador,o sea la energía que acumulócapacitor.
En la gráfica queda determinado un triángulo cuya área se calcula:
.base.alturu = !.Q.AV 3 U,= {.O.lV.
El lector puede comprobar que las siguientes expresiones son equivalent
u.=+.e.av=*=f-.c.av'
con dieléctrico
Un dieléctrico es material no conductor, por ejemplo vidrio, caucho, pa
etc. Al rellenar totalmente el espacio entre las placas de un capacitor, supacitancia aumenta "k" veces, dependiendo de la sustancia utilizada. El
tor "k" se denomina constante dieléctrica.
En la figura 14 presentamos una tabla indicando la constante dieléctricaalgunos materiales.
Denominando Co a la capacitancia de un capacitor sin dieléctrico, el valorla capacitancia luego de colocado un dieléctrico es: C = k. Co
Observe que la constante dieléctrica es adimensionada, ya quedirectamente dos valores de capacitancias.
Ejemplo 3
Un capacitor de placas paralelas tiene una capacidad Co y se conecta a u
fuente. Se carga de modo que la diferencia de potencial entre sus placas
Vo. Luego se desconecta del generador y se rellena completamente el
cio entre sus placas con un dieléctrico de k = 3 (Fig. 15). Luego de intel dieléctrico determine como variaron las siguientes magnitudes:
a) La capacidad delcapacitor.
C = k.Co + la capacidad setriplicó = C = 3.Co
b) La carga delcapacitor.
Como el capacitor permaneció aislado desconectado) mientras se injo el dieléctrico,la carga eléctrica se mantr,','o constante - Q = Qo(Fig. 1
5,6
80
6,7
üddrb
k=3
rl hIco
¡hItlk----+l
vo
Fig. 15 Ejemplo 3
,iüid= -tV=f = ComoQpermanececonstante,sepuedeobservar
- - i C t,la diferencia de potencial disminuyó a un tercio delvalor
= Jy=]lv.
-cn de potencial.
:iectrico entre sus placas.
= ¿ ootencial eléctrica.
i carga permaneció constante y la capacidad se triplicó. La rela-
:,:.r anterior que existe una relación inversamente proporcional¡ -=.¿,cidad (C ) y la diferencia de potencial (AV). Si la capacidad se
e :;rancia entre las placas no cambió, pero AV = * O%. Podemos
a -aación funcional entre el campo el,éctrico y la diferencia de po-*l : :ectamente proporcional + E=t E"
c,¡nal entre la energía potencial eléctrica y la capacidad esÉ.ie proporcional + U = {.U"
E= +E.lv= { av.
u =*.u,
rrinas de un capacitor plano están separadas 5,0 mm,tienen 80 dm'iÍea y están en el vacío.5i se conectan a una diferencia de potencial&1/,determine:
h:apacidad
,a c¡rga de cada placa.
e nnodulo delcampo eléctrico entre ellas.
a energía acumulada.
nuevamente las preguntas de problema anterior si al mismoor se le rellena el espacio entre las placas con un material de
constante dieléctrica es k = 2.
capacitor de placas paralelas tiene una capacidad C,se lo conecta adiferencia de potencialVo, adquiriendo sus placas una carga Qo. Unacargado se lo desconecta del generador y se le separan las placas al
de distancia. Que sucede con:
la capacidad.
la carga.
c la diferencia de potencialentre las placas.
d elcampo eléctrico
e la e¡ergía electrostática.
Garac¡mrosl3s
Si un capacitor cargado estádesconectado de la fuente uotro conductor,la carga de susplacas permanece constante.
Si un capacitor se mantiene co-nectado al generadof este man-tiene constante la diferencia depotencial entre sus placas.
Fig.16
Conclusiones
Al introducir un dieléctrico dek = 3 en un capacitor cargado yaislado se cumple:
C=3.Co
Q=Q"
lo lcanacnores
-'*l1
1v¡2J
tc,
Fig.l Problema 5
Fig.3 Problema 8
d
Fig.4 Problema 9
Resuelva el problema anterior suponiendo que el capacitor perm
c¡ó conectado al generador mientras se separaban sus placas'
Al conectar la llave en la posición 1, el capacitor c, = 300 pF se carga
una diferencia de potencial de 1 2v (Fig. t ). Luego se cambia la llave a
posición 2, quedando conectado al capacitor C, = 600 pF que se enc
iraba inicialmente descargado. Para la llave en la posición 2 calcule:
a) AV de cada caPacitor.
b) la carga de cada capacitor'
c) ¿Se conserva la energía del sistema al conmutar la posición de la llave
6) Se disponen de tres capacitores iguales de C = 6,0 ¡rF
a) Represente todos los circuitos distintos que se pueden armar ut
zando los tres caPacitores.
b) Determine la capacidad equivalente de cada uno'
7) En ambos circuitos de la figura 2 la diferencia de potencial entre los pun
AyBesl2V.Lascapacidadesson: C,= 60PF, C,=40pF y C,=20
Determine la carga y la diferencia de potencial de cada capacitor.
8) Los capacitores C' = 600 pF y C, = 300 pF se conectan en serle a
generador de 1 2V. Luego de cargados se desconectan de la fuente y
Ion".tun como indica la figura 3. Determine la carga final de
capacitor.
g) un capacitor de placas cuadradas de lado "L" y separadas una dis
"d,'. Está relleno por materiales dieléctricos de constantes "k," y "kr"
nos muestra la figura 4.Determine su capacitancia en función de L,d,k'
Y to'
PnoBlEthns 0Í tlAtlttll
1) Un capacitor de placas paralelas de área A = 2,0 x 1 0, m' y separad
1,0 x 10-,m, se conecta a una fuente de AV = 10V. Se determina que
carga almacenada es 8,5 x 1O-"C.
a) Determinar el dieléctrico utilizado
b) Si se utilizara un dieléctrico de menor constante ¿cómo sería la r
aimacenada? Kruo", = 3,5 KB"k"r'," = 4,8 Kro,.",un" = 6,5' ([iceo No1 - Melo)
2) un capacitor de c = 200 ¡rF se conecta a una fuente de 12V.
a) ¿Qué le sucede a su carga si se duplica -\V?
b) ¿Qu¿ le sucede a su energía si se retira el dieléctrico de k = 2,0 (m
teniendo AV = 'l2V)? (Prof. F. Manzione - Maristas)
4)
s)
út¡ltüü
h.nIFnE
fr]5(.bcütx
ioTA
I,-IL¡T
c"i'' -L L., ''
I____T -',
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o
c,
c,
l---.TIITtr
Fig.2aybProblemaT
c,nL__l
c,
Iml r = f(V) (Fig.t¡corresponde a un capacitor tal que para el
:ado almacena una energía de 7,8 x 10 'J. Calcular el valor: ue almacena si se lo conecta a 1 0 V. (Liceo N' 1 - Melo)
::.ma de capacitores (Fig.2)se sabe que C, =2CrYVo, = 20V
rn entre sus cargas.
:n entre sus diferencias de potencial
l1 entre sus energías potencial eléctrica.
=:'io - Sagrada Familia)
' ^ en serie 2 capacitores de placas paralelas a una fuente de 9,0V.
, : enen una superficie de 100 cm'y están separadas 8,85 mm. El
1 tiene un dieléctrico de K = 4,00 y el C, vacío. Determine
Ce cada capacitor
-=ncia de potencial en los extremos de C,.
:nzález - Maristas)
, ::ema de capacitores C, = 100 pF Y C,= 200 pF de la figura 3:
: :' :cmo se polarizan las placas y cuál es la lectura delvoltímetro.
- ='c que el AV en cada capacitor sea el mismo. ¿En cuál de los
: .: iores debo introducir un dieléctrico y cual debería ser el va-' . tProf.W.Netto - Sagrada Familia)
-'r dos capacitores C, = 1O00prF con unV, = 10VyCr= 250pF a
, ,. Luego de cargado se desconectan de los generadores y al
- - C se le quita su dieléctrico de K = 2,0, conectándolo ahora en
: :on C,. Determine la carga almacenada en cada capacitor para
: ':a configuración. (Prof. F. Manzione - Maristas)
:,:itores del circuito de la figura 4 tienen ambos una capacitan-
= - J mF. a) Halle la carga de la placa positiva de cada capacitor. b)
:: : parte anterior pero si se unen los puntos A y B con un alambre: ,::or. (Prof.W. Netto - Sagrada Familia)
: = : acitor con C = 2000 prF está cargado con una carga de 0,50C. Al
:l interruptor (fig.5), se lo conecta a otro capacitor igual pero
^"rente descargado. Determinar la energía total disipada por la re-
= -: a. (Prof. H. Bentancour - Escuela lntegral)
. - ':'r capacitores se conectan como se muestra en la figura 6.
, =, 40mF,C, = 0,40mF,Cr=0,20mF,Co= 0,60mF yV= 12V. Determine
: -='ld y la diferenc¡a de potencial de cada capacitor.
- -=c No 1 - Paysandú)
?apac¡toresl37
Fig, 1 Problema 3
C, c,
offi"Fig.2 Problema 4
/¡t, c,l--
Fig.3 Problema 6
Fig.5 Problema 9
Fig. 6 Problema 10
c, c,HVo=10V
ll
ilrm,rli ¿41
-1I
rflú:
lf-
jll9
:id-t
111,
1iltl
:irl
.,ú
JT
Fig.4 Problema 8
c,Q.c_lF-- !l
la I
canacitores
Fig. l Control de práctico
GO]ITRIIIES OT PBAGTIGÍ|
Conservación de la eléctrica
Elcapacitor C,=2200 ¡rF se cargó inicialmente a una diferencia deY = 12V, mientras que el capacitor C, = I500 ¡.rF se encontraba descaLuego se conectaron sus bornes como indica la figura 1 y elvoltímetro indca que la diferencia de potencial de ambos capacitores es 8,4V.
a) 5i las capacitancias tienen una incertidumbre del 10olo y el voltímetro u
apreciación de 0,1V. Calcule la carga inicial y final del sistema con supondiente incertidumbre e indique si se conservó.
b) ¿Se conservó la energía del sistema?
Determinación de la capacitancia de un capacitor
Se repite el procedimiento de la práctica anterior pero en lugar deC, con C, se lo conecta con un capacitor C, de capacitancia desconociDespués de la conexión elvoltímetro indica 9,5V.
Calcule la capacitancia de C, con su correspondiente incertidumbre.
t;l''"ll"
frr-,*,' ' -
il
Iflr
--J
'1I
i
I
I
:: iUlO 3
'"= :ontinua
:'es óhmicos y no óhmicos.
:= ' aIores (Figs,1 y 2) corresponden a los voltajes e intensida_
- - j :cn el circuito de la figura 3, para dos elementos conducto-
. -- ;.' el arnperímetro utilizados tienen una apreciación de 0'2V
-- = -:iVamente.
-- . :s características de cada conductor (9ráfica V = f (i))
-- - ::ci.es óhmico y cual es no óhmico? Justifique
, .::- cleterminado cr-lál de ellos era óhmico sin realizar la 9ráfica
: .=- stencia eléctr¡ca del conductor óhmico con su correspon-
-= .:,rmbre.
:'acterística de un generador.
: le la figura 4 se midieron valores de la diferencia de poten-
., :ig.5) entre los bornes de un generador a medida que' utili-
: i:3to, se hacia variar la intensidad de corriente en el circuito. El
= amperímetro utilizados tienen una apreciación de 0,2V y
::: ''amente'
:,', a característica del generador (gráfica V = f (i))
,= ¡ebe la disminución de la diferencia de potencial a medida
--:nta la intensidad de corriente eléctrica?
-: por qué el valor absoluto de la pendiente de la gráfica, repre-
,alor de la res¡stencia interna dei generador y el valor de "V"
= 0A, es su F.E.M.
: - re el valor de la F.E.M
_: = - ='3d o' y su resistencia
.-: :l' su correspondiente..l-^-ore.
_9-
12,0
13,0
8,0
6,0
4,0
2,0
15,0
12,3
10,0
76
5,2
2,4
Fig. r
12,0'10,0
B,O
6,0
4,0
2,0
15,0
14,3
13,3
12,0
10,1
6,7
Fig.2
12,1
1 1,3
10,3
9,4
9,0
8,5
0,20
0,40
0,60
0,80
0,90
1,00
Fig.4 Fig. s
+o luoniente
ttéctr¡ca
600
490
400
330
270
180
"t20
80
50
40
Fig.6
Fig.9
3. Descarga de un capacitor con amperímetro
Los valores de intensidad de corriente de la tabla (Fig.6) fueronmientras se descargaba un capacitor utilizando el circuito de la figura 7.
apreciación del amperímetro es 10 ¡rA
a) Grafiquei=f (t)
b) Mediante un cambio de variable adecuado compruebe gráficamente
la función que relaciona las variables "i" y "t" es: i = io , e*c) A partir de la gráfica trazada en la parte b), determine la capacidad
capacitor, si la resistencia del circuito tiene un valor de 20 KO.
d) Demuestreteóricamente que después de transcurrido un tiempo t =(denominado constante de tiempo del circuito) desde que el ca
comenzó a descargarse la intensidad y por lo tanto su carga disminuyóun37o/o de la carga inicial.
e) Usando lo demostrado en la parte d) e interpolando en la gráfica i = f (
determine la constante de tiempo y la capacidad del capacitor.
f ) ¿Qué significado físico tiene el área delimitada entre la curva de la g
ca i = f (t) y el eje del tiempo para un cierto intervalo?
Corriente Alterna
1. Circuito RC
El circuito de la figura 8 está compuesto por una resistencia y un cconectados en serie a un generador de corriente alterna, cuya frecuenciaf = 50H2.
Con un voltímetro se midieron las siguientes diferencias de potenciales:
Vor= 8,0V Vu. = 6,0V y Vo.= 10V
a) Realice el diagrama fasorial de votajes
b) Determine el ángulo de desfasaje de la F.E.M del generador respecto a
intensidad.
c) Si la intensidad del circuito es i = 200 mA, calcule la resistencia R,
reactancia capacitiva X. y la capacidad C.
2. Circuito RL
El circuito de la figura 9 está compuesto por una resistencia y una bobiconectados en serie a un generador de corriente alterna, cuya frecuenciaf = 50H2.
Con un voltímetro se midieron las siguientes diferencias de potenciales:
Vor= 5,0V Vur=6,7 V Y Vo. = 10V
a) Realice el diagrama fasorial de votajes
b) Determine el ángulo de desfasaje del voltaje de la bobina respecto a
intensidad del circuito.
0
10
20
30
40
60
80
100
"t20
140
Fig.7
\_7
nCa¡¡¡ ^,---JL
t
Fig.8
...
coil¡snro l¡ócrrbal4l
el voltaje de la resistencia interna de la bobina (V), el voltajer*cinducción (V.) y el desfasaje entre ellos.
idad del circuito es i = 200mA,calcule la resistencia "R",la resis-fÍtema de la bobina "r",la reactancia inductiva "X," y el coeficiente
ión L.
RLC
ae la figura 10 está compuesto por una resistencia, una bobina yconectados en serie a un generador de corriente alterna, cuya
es f = 50H2.
se midieron las siguientes diferencias de potenciales:
'l*=6,7 V Vo.= 10V V."=9,0V y Voo=8,5V
a diagrama fasorial de votajes.
es inductivo o capacitivo?
el ángulo de desfasaje de Ia F.E.M. respecto a la intensidad dedelcircuito.
ía ser la frecuencia del generador para elángulo de desfasajeen la parte "c" sea nulo (circuito resonante)?
Fig.10
l,i
j :::e capítulo,estudiando las características generales de los
.: :rs producidos en elespacio que rodea a un imán o a car-
= - - ovimiento (corrientes eléctricas). Es importante destacar
:-:^iemente son dos tipos distintos de campos magnéticos-=^ el mismo origen.
._-{ trEr
: -", : remos representadas las líneas de campo correspondientes a
- :::r. Las características generales son:
, . ,; lineas salen del polo norte y llegan al sur. No existen líneas que
: - re un polo y no lleguen al otro.
: - :r:las donde las líneas están "más juntas" el campo magnético es
-::nso. Podemos ver que la zona de los polos el campo magnético
:::cr campo magnético (B) en un punto es tangente a la línea de
: -: r magnético que pasa por dicho punto. Si colocamos una brújula
, : = Jel imán, ésta se orientará tangente a la línea de campo, igual que
-::Of B.
ll*
] 'ril
1lllltilr
4llllt '
: ' -'z zona de campo magnético,al igualque lo hiciéramos con- : ::" : l utilizamos líneas de fuerza o también denominadas líneas
: - : - : s indican la dirección del campo en cualquier punto. (Fig. 1).
*-¡:retico creado por un imán
r .'-.':iales pueden tener diferentes formas, siendo las más co--:-':r:ra o rectos. La característica común a todos ellos es la
:.: :: s polos magnéticos, denominados Sur y Norte.
- - - - :: nanes los polos de igual nombre se repelen (Fig.2) y los
n - : - ore se atraen (Fig.3).
mr'-rEEl:. -='=:elen. Fig.3 Polos opuestos se atraen.
.: :n norte y sur surge de la orientación que adquiere una agu-
: --jula) si se la deja mover libremente en el campo magnético:,:'emo de la aguja que indica el punto cardinal Norte se deno-
:= imán y análogamente el otro recibe el nombre de Sur.(Fig.4)
El vector campo magnético o in-ducción magnética se represen-ta "É". La unidad de medida dedicha magnitud en el S.l. se de-nomina Tesla y su símbolo es "T".
Fig. 1
Fig.4 Nuestro planeta es un gran imán natural
Fig.5 En la práctica estas líneas se pueden visualizar
esparciendo limaduras de hierro alrededor del imán.
44
Fig.6 El sent¡do de las líneas de campo dependendel sentido de la intensidad.
Recuerde:
Un campo magnét¡co es Produ-cido por cargas eléctricas en mo-vimiento y real¡za fuerzas sólo,sobre cargas también en mov¡-miento.
Fig.7
Fig.8 Esta regla nos determina las posiciones relati-
vas de los vectores F., É y ü. Conociendo la posición
de dos de ellos y el ángulo o, determinamos la posi-
ción del tercero.
I Para que esto ocurra el módulo de B debe ser
Campo magnét¡co creado por una corr¡ente eléctrica
A principios del siglo XIX H.C. Oersted encontró que toda corriente eléctric
crea un campo magnético a su alrededor. Para comprobar esto, basta
colocar una brújula cerca de un conductor y observar como al esta
una corriente eléctrica en él,la brújula se desvía.
Por ejemplo las líneas de campo producidas por un conductor recto (Fig.
son circunferencias concéntricas, con centro en el conductor. Podemos
servar que al colocar una brújula, ésta se orienta tangencialmente a la
cunferencia y su sentido depende del sentido de la corriente eléctrica.
En este capítulo profundizaremos sobre las características (cualitativas
cuantitativas) de los campos magnéticos produc¡dos por corrientes eléc
Para poner en evidencia la existencia de un campo magnético en una
del espacio podemos utilizar una brújula. Esta se or¡entará en la dirección
sentido de dicho campo'.
Otra forma de comprobar la existencia de un campo magnético es
la fuerza que elcampo realiza sobre una carga eléctrica en movimiento.
Sus características son :
. Módulo = lFl = lql .lvl . lBl . sen €r
Elángulo "cr" es elformado por los vectores ú y É.tas unidades en
S.l. de las magn¡tudes que forman esta expresión son: F -+ (N), q -+ (
u -> (*), É -_> (r).
Dirección = Analizando la ecuación, vemos que existe un producto
dos vectores (ü y É) que da como resultado otro vector. Esta operación
denomina producto vectorial,la notación es ü x B y su resultado es ot
vector cuya dirección es perpendicular al plano formado por los vec
vyB = F-v y ÉlB.
Sentido = Para determinar el sentido de F utilizaremos una regla
tica denominada regla de la mano izquierda, utilizando los dedosyor, índice y pulgar (Fig.8).
Pulgar
índice
Mayor v
Si la carga eléctrica tiene signo negativqutilizo la regla de la mano izquierda, peroel sentido del vector que'quería hallar es
elopuesto al obtenido.
Esto es equivalente a ut¡l¡zar la misma re-gla pero con la mano derecha.
mucho mayor al campo magnét¡co terrestre.tft
45
:: :argadas al moverse dentro de un campo magnético unifor--- :=.:ribir diferentes trayectorias, dependiendo del ángulo que
1 i' = :: Jadyelcampomagnétlco.
"*:i:'escasos:
dr ,- ,€f*r,c dad de la partícula cargada es paralela al campo magnético.
: es paralela al campo, el ángulo que forman estos vecto--r. (Fig. 11 a y b).5i la fuerza magnética sobre la carga se
3.v.sen ü y sen 0o= sen 180o= 0 + F = 0N.
, =:: neta sobre la partícula es nula,se moverá con velocidad cons-
-= ^ercia).
,truni,m :a -trcula cargada que se mueve en una zona de campo magné-lnrtr ::'r '¿elocidad paralela a É, describe un M.R.U.
uttr ,-, e :cidad de la partícula cargada es perpendicularLrrr i-oo magnético.
- . - ::d es perpendicular al campo (Fig. 12) la fuerza que éste le ejer-. ' a partícula. La velocidad estará cambiando su dirección perma-
. ' , * : -::, pero su módulo permanecerá constante porque la fuerza siem-| :=':endicularaú.Estoorigina un movimientocircularuniforme,donde
,, := -- agnética (FJ es una fuerza centrípeta (F.o) + Fu = F.,
- : ; - Bel ángulo"cf,"esgOoysen cr= 1 = Fr=q.B.v.1
,:' -.-'zzcentrípeta se calcula: F.o = $,siendo "R" el radio de la trayec-R
: : ,,"m" la masa de la partícula.
: -: amos las fuerzas Fu = F., = q . 3 . v = r'1,
simplificamos "v" y ob-R
: -:mos una expresión para calcular el radio de giro R = T'u- q.B
Fig.9 Los ve(tores que entran en el planose indican con una cruz @ y los vectores sa-l¡entes Gon un punto @ .
Fig.10 Como la carga es negativa la velocidad t¡enesentido opuesto a lo que indica la regla.
<-- q
Fig, 11 a y b Siü y B son paralelos la fuerza magnéti-c¿ sobre la carga es nula.
Fig. 12 Si v es perpendicular a B la partícula describeun M.C.U.
@
t tr,o
.\x¿-/
+ --1x> rÉ
,l-l+rvl-iotX
rX
46
El período de rotación de unapartícula cargada en un campomagnético no depende de suvelocidad.
Fig. 13
Fig. 14 Descomposición de v en v y v
Fig. 15 El movimiento en espiral es la composiciónde un M.R.U. y un M.C.U.
Fig. 16 Recuerde: en un M.C.U. la fuerza siempre es
centrípeta.
Una partícula cargada que se mueve en una zona de campo magné-tico y cuya velocidad es perpend¡cular a É, describe un M.C.U y el
radio de la trayectoria se calcula R = m'vq.B '
Análogamente a la deducción de la ecuación para determinar radio detrayectoria se pueden determinar otras características del movimiento
Velocidad angular Período t = *?*# (Fig. 13)
- q'BFfeGUenGla I =
-'- 2.n.m
c) La velocidad no es ni paralela ni perpendicular al campo.
Para estudiar este caso más general es útil descomponer la velocidaduna componente paralela al campo y otra perpendicular (Fig. l a)
. La componente paralela al campo se calcula v = v. cos ü y se maconstante ya que en dicha dirección el campo magnético no realiza
. La componente perpendicular al campo se calcula v_ = v. sen o.. Comofuerza es perpendicular a la velocidad produce un M.C.U.
La composición de un movimiento circular uniforme en el planoperpendicular al campo magnético y un movimiento rectilíneouniforme, determinan que la trayectoria de la partícula sea unesp¡ral (Fig. 15).
Ejemplo 2
Una partícula cargada (m = 2,0 x l0''Kg)entra por el punto "A" conv = 3,0 x 10'f a una zona donde existe un campo magnético B = 0,50]saliente (fig.16).Describeunarcodecircunferenciahastasalirporelpunto"C"
a) Determtne al valor y signo de la carga.
Cuando un partícula describe una circunferencia en un B,se cumple la
guienterelación:R= ffi'V I m'v
14 .t = lql = ffi, sustituyendo por los valores
disponemos determinamos que lql = Z,O x 10 -uC.
En el punto "A" conocemos la dirección y sentido de É (perpendicularplano del dibujo y saliente) y de ú (horizontal hacia la derecha). Aplicala regla de la mano izquierda (Fig.17) y determrnamos que la fuerza matica que actuaría sobre la carga siesta fuerza pcsitiva sería verticaly hacabajo.Sin embargo la fuerza es hacia arriba porcr-e debe "apuntar" alde la circunferencia (centrípeta).Con este .:::-:r.iento concluimos quecarga es negativa => q = -2,0x 1O*C
¡lr¡t
o.B(D = ---:-m
q
=lulol\l
\Ol
IÁ
d
r¡l
47
: '' :'a la partícula en ir desde "A" hasta "8"?
- -')ia B es un cuarto de la circunferencia, como el
'. -^rforme, el tiempo que transcurre es una cuarta
r- :Jr losvaloresobtenemos'.T=4.n x lO'us.
::-OOeSAt= + At=nx 10's
: - - r -.tor por el que circulan cargas en una zona de cam-:'= :ada una de ellas actuará una fuerza magnética. La re-
=-:=s le todas las cargas,será la fuerza sobre el conductor.
:::ción recta de conductor de longitud "AL" por el que: " cositivas y se encuentra dentro de un campo magné-
el conductor es "N" veces la fuerza sobre cada car-Si la velocidad de las cargas es constante
\-' : ..-
xBItli :s la carga que pasa por el conductor por unidad de':
-:=rsidad de corriente. Sustituyendo llegamos a la expre-r B :ig. 19)
sacEs de la fuerza magnética
itilllurrrs-rn: = F =i. l¡tl. lgl.sencr
,- : ene igual dirección que el conductor y el sentido es el de la::: .)i lo que el ángulo "o(" es el que forma la intensidad de co-
, :i campo magnético É.
on y sentido = El vector F es perpendicular al plano determina-:: ,./ectores A[ y E, porque se calcula a partir de su producto
:='rrinar la dirección y sentido de F utilizamos nuevamente la
a mano izquierda (Fig.20), donde el dedo pulgar indica la fuer-
Fig. 1 7 Como los vectores ú, B y F no coinciden conla regla de la mano izquierda, sabemos que lacarga es n, gativa.
*vt
-nLXX XB
Fig. 1 8 Porción de conductor de largo ^L
Esta expresión recibe el nombrede Ley de Laplace.
Fig. 19
Fig.20 Utilizamos nuevamente la regla de la manoizquierda. Pero en este caso el dedo índice indica la
intensidad de corriente.
T 4.nx10"s-=-44
-¡D
a¡
ce el campo magnético y el mayor la intensidad.
48
Fig. 21 Ejemplo 3
Fig.22 Aplicamos la regla de la mano izquierdadeterminar que Fo, es saliente.
at -
Lá lrliertSr:)a(
:'- -,\r^ \.Zl\,r' .f. 5ei.9if
(,: a[¡rrrerlli- ei !:te!'Oef'C'CLIraf a: Cai'i]r'
P¿r¿ ¡glgrmrna:'e¡ senltc¡o oe i r
gr lramo Au r cnl-er¡3rllc,i olr.: iO lDrJ .() f tí\t . ?t\
Dt'Or-eOernOS Cr? l;r i'it,-
És '.¿n ioien rr+f r)e'.
,a=0
Fig.23 Las fuerzas sobre el conductor ABCD seanulan.
ScDr.: ei acr c!rcic: ABCD están actuancjo 2 fuerzas de iquar moouro ,l - i. , r;
igual drreccion iperpendicuiares at planc. \, sentir'i3s acir:ranos rto.2's),que determina que la fuerza neta es nuia. El lector puede comorooar que i
momentos o torques que producen las fuerzas no se anuian, producun giro del conductor-.
49
:) :aracterísticas del campo magnético que genera una:: rJe circula por un conductor (recto, circular, etc.) pode-::; 'nétodos.
; Savart
::no calcular elcampo magnético creado a una distan-: -:ña porción de conductor "AL" por el que circula una
' = :alculo del módulo de AB es':
-' : - -:gnético resultante en un punto producido por la tota-, -:-::cr, implica realizar la suma de los campo creados por: :: r: tramos AL. Para llevar a cabo estos cálculos es necesa-
: - -:: -atemáticos que exceden a los correspondientes a este:=:'all
;Lrrru xlill" ¿-:ere
: - : : s conductores presentan ciertas simetrías, podemos utili-" - -::-: para deducir expresiones para determinar los campos
: - = : ':d ucen. En el anexo 3 (pá9. 144) se realiza un estudio de-:-:,= CaCiOneS.
- .:':mos las características de los campos magnéticos pro-" , '- :^:es en un conductor recto,una espira circularyuna bobina.
*;;netico producido por una corr¡enterilil]ilil ;i":
*:Lctor recto-:: co que genera una corriente eléctrica "i" que circula por':::c y muy largo (L>> d), en un punto ubicado a una distan-:- : as siguientes características:
: campo es directamente proporcional a la intensidad de- ,:rsamente proporcional a la distancia. Su módulo se calcula:
B-
Fig.2a EI campo magnético en el punto A es lasumatoria de los campos generados en dicho puntopor todos los AL que componen el conductor.
K.¡d
= proporcionalidad depende delmedio en elque se genere: '.,acío su valor es K = 2,0 x 10' + ffig.25)
Podemos expresar la constante"Ktt como:
X= li,siendopo la permeabi-
lidad magnética del üqcío,cuyovalor es Fo= 4,n x 1O'+
Fig.25
" : I - = I es la distancia desde el conductor al punto donde quere-" : - -:rel campomagnético.
cn y sentido = Para determinar estas características podemos, -: regla práctica denominada regla de la mano derecha. 2 LanotaciónAB significaquenoeselcampototal
en el punto, sino solo el campo creado por unapequeña parte del conductor (AL).
tnü&
50 ian¡po tllagnetico
Regla de la mano deredra
1. El pulgar se coloca en el sentido de la intensidad (Fig.26).
2. se extienden los demás dedos hacia er punto "A. donde queremosterminar la dirección y sentido de B.
3. Al doblar 90o los dedos, ra punta de eilos nos indican comorepresentar É (fig. Zo).
En las figura 27 vemos representada ra proyección verticar de ra siplanteada en la figura 26y en ra figura 2g ra proyección horizontar.
Fig.26 El campo magnético es tangente a una cir_cunferencia que pasa por el punto y tiene centroen el conductor.
Fig.29 La carga de un protón es q = l,6x 10,,C
Fig.30 En los puntos por,debajo,,del conductor B esentrante.
Fig.31 F es perpendicular a V y forma 30o con la ho-rizontal-
o
a
a
a
A
M:-]-,'
B
!
Fig.28 Si la ¡ntensidad sale o entra del planohoja = B esta contenido en dicho plano.
Fig.27 Sila intensidad esta contenida en el planode la hoja = B entra o sale del plano.
Ejemplo 4
Determine lafuerza magnética que actúa sobre un protón (Fig.29)quemueve con v = 2,0 x ig'+ en las cercanía de un conductoriecto y mlargo cuya intensidad de córriente es i = 3,0 A.
+ B=6,0x10"7
La fuerza que queremos determinar es ejercida por er campo magnétique genera la corriente que circura por er conductor en er púnto dondeencuentra la partícula. Este campo se calcula:
B= K.i - 2,ox1o-'.3,0d 0,10
X
_qB Aplicando la regla de la mano derecha determinamos que er campo ma
tico sobre la carga es entrante (Fig.3O).
Ahora estamos en condiciones de determinar el módulo de ra fuerza mnética que actúa sobre la carga:p = ]qi.v. B. sen cx= 1,6x10''n. 2,0x 100. 6,0xl0-u. sen 9Oo = F= l,9x 10.observe que el ángulo "ü" de ra ecuación anterior es erformado por Ées entrante y ü que se encuentra en er prano der dibujo, esto impricaestos vectores son perpendiculares + cr = 90o.
Aplicando la regla de la mano izquierda, determinamos la dirección y sentdo de F (rig.:l ).
51
, r't rl -.
l: :. '{',*,,l\-t,oJ.'
.A
'r,' {' '. 't:-."(:;' ".,''i.- :l i -. r-t,i:i.,i1-r '.
. É,, = f¡,8 ; '10
Fig.32 El triángulo formado por los conductores y elpunto C es equilátero.
É^ -B'<ffiB, J.l-l
.<l/.\ rv) i\r{i, ',
/
\/Fig.33 B,o y É,o son colineales y tienen igual sentido,
,a
ílr-1)Íti :. : ¡"i,.. c, . .>.i'-
i, ;-1..;_- j¿r+r-- .¿^, I r¡ 1
;_a' :' S: ú -'. ': r¡ '.-.á:'(;.1 -)i.. -^É,¡' ¡rrr .
..-
.-. t' __lr
(x)t\: -,
-: \/: r?lle5er.'1- > da- ,1 !. r"
: - :4. ¿,1 il1 Íli,:i :¿1._
a l,i rl
rJa.¡ !., I
-,,L..br".cús..r = BE= 1,2x lC' --
-- -:,e 34 que ei ánguro entre Dr. r i,- -:: :20o t, ei :ampo::-ile e9 noflzontai nacia la izquieroa, pot" -<el' b¡sectriz dei
:-:lOnaí-
i,
Fig.34 B,^ y B,o forman un ángulo de i 20o
g'
nético una corr¡ente en una esp¡ra circular- ' ; - --. espira circular a un conductor arrollado delimitando un cír-
-:':::erísticas del campo magnético son:
ilcl- ,J = Para determinar el módulo del campo magnético que gene-' - ::1tro, utilizaremos la Ley de Biot y Savart.
. * :: l espira en pequeños segmentos de longitud AL,cada unode
,: -:-i'd en su centro un campo ot = **#9 .
: -': 35 podemos ver que "d" es el radio de la espira, 0 = 90o y los
-: serán todos entrantes o salientes dependiendo del sentido de la: : l f,ara hallar el campo total realizamos la sumatoria de todos los
B = ¡ Fo.i.al.sqn 90o = tro.i, .IaL- u- '.¿t - .L 4.n.R 4.o¡ .2-' Fig.35 Para determinar el sentido de los AB los po
demos considerar conductores rectos y aplicar la regla de la mano derecha. En este caso son salientes.
52
La suma de todos los lL es ei perri-re::: ce a : rc-n;erencia (2n.R).
B.*",= #lr .2n.R ysimplificando ootenernos: 8,.- = *
. Dirección = Elcampo magnético en el cenirc de la espira es
cular al plano que la contiene.
. Sentido = Para determinar el sentido de 6 ','eren os otra regla práctutilizando la mano derecha. (Fig.36)
Fig.36 Nueva regla de la mano derecha para deter-minar el sentido de É en el centro de una espira.
Regla de la mano defeCha
Se arrollan todos los dedos menos el pulgar en el sent¡do de la co-rriente y el dedo pulgar nos indica el sentido del campo.
r4l
Fig,39 La dlstribución de líneas de campo es muyparecida a la de un imán recto. Un solenoide por el
que pasa corriente es un electroimán.
Fig.40 El extremo por el que salen las líneas es el
polo Norte y el sur por donde entran.
Fig.37 Si el sentido de "i" es horario + el campomagnético (pulgar) creado por ella es entrante.
Fig.38 Si el sentido de "i" es antihorario = elpo magnético (pulgar) creado por ella es
Cam nético creado una corr¡ente en un soleno¡de.
Un solenoide o bobina es un alambre enrollado en forma helicoidal.
Si sus espiras están bien apretadas unas contra otras y su longitud es mucmayor que su diámetro, produce un campo magnético intenso en su inr¡or y muy pequeño en el exterior (Fig.39)
Las características del campo magnético que produce la corriente que
cula por el solenoide en su interior son:
Módulo = Aplicando la Ley de Ampere (anexo 3) es posible dedu
que la expres¡ón para calcular el módulo del campo es: B = Po'i'N'L
- i = es la intensidad que circula por las espiras.
- N = es el número de vueltas o espiras
- L = es el largo del solenoide.
-Fo=4nx10-'f
- También podría sustituirse I Oor. un valor "n" que es el número
espiras por unidad de longitud y la ecuación será $ = po. i . n
Dirección = Paralela aleje longitudinal del solenoide
Sentido = Para determinar el sentido de las líneas de campoco aplicamos la misma regla que la estudiada para una sola espira (Fig.
- =^:os de campo eléctrico y magnético que hemos adqui-: * - ! á interacción entredosconductores paralelos,comofun-- --- r: velocidades y un espectrógrafo de masa.
e -:'e conductores paralelos
- . :2 observamos 2 conductores rectos, muy largos y parale-n :' ^rer caso los sentidos de las intensidades son iguales y, - - :cntrarios.
: - :.-- actúa una fuerza (É,,,) aplicada por el campo (É,) que- - -::3r 2 y sobre elconductor 2 actúa una fuerza (F,,,)aplica-' : - 3 que produce el 1. Para determinar las direcciones y-- ::-pos magnéticos se utilizó la primera regla de la mano. ,'-erza magnética la regla de la mano izquierda.
: .: calcula: Fr,,, = i,. AL, . Br. sen c¿
F-. = i, .AL, . .1 , ordenando términos
,. _ Fr,r_ K.¡'.¡,oorenemos aL, d
-.=l.Cx10'fm.A' - - -'ra expresión para calcular la fuerza por unidad de longi-
: ' = :onductor 2 sobre el 1. Análogamente podemos encon-:, -- cdrd la fuerza que el 1 aplica al 2,comprobando que los: :^ls fuerzas son iguales.
lüllm, ru '-:¡'acción de dos conductores paralelos muy largos por los::l *r- 3 corriente, surgen dos fuerzas que forman un par de ac-
*:*:cion, cuyo módulo por unidad de longitud es + = * 't, 't,
-'----- -- aL d--€.zas son de atracción silos sentidos de las intensidades son
r$ r son de repulsión silos sentidos son contrarios.
Fig.41 Si las intensidades tienen igual sentido lasfuerzas son de atracción.
^B!
K .i,d
F..
\-)IV
.-.'....
8".
\8.,! F.,,
: e velocidades
= . elocidades es un dispositivo que funciona por la superposi-^- ^^ ^ll-!--:-^-co eléctrico uniforme y en dirección perpendicular a él un
=:rco también uniforme.
-l ,, emos las dos placas paralelas cargadas que generan un cam--niforme entre ellas desde la placa pcsitiva hasta la negativa yrona está representado un campo magnético entrante. Supon-'lgresa a dicha zona una carga positiva. La fuerza eléctrica es¡rvJrrrvo. Lq rugt¿q gtELtf tLd t:>
: a abajo (igual dirección y sentido que f¡y la fuerza magnética^acia arriba (regla de la mano izquierda).Ahora determinaremosCe la velocidad que debe tener la partícula para que Ia fuerza
: anule con la fuerza magnética y la partícula siga con M.R.U.
Fig. a2 Si las intensidades son en sentidos contra- .rios, las fuerzas son de repulsión.
Las fuerzas É r,ry É,,,forman unpar de fuerzas de acción y re-acción.
X
+
'l:V
+
|
-'i
J'l
+
l,V
XX "ÉE\,/=-B
+
- l.E =q.v.B.sen 90,simplificando "q" obtenemos:Fig.43 E y B son perpendiculares
I
54
Ajustando los módulos de E y B pasarán sin desviarse sólo las partículas q
se mueven con cierta velocidad.
XB
Fig.44 Por el selector de velocidades solo pasarán
sin desviarse, las partículas cuyas velocidades cum-
planque: v=f
Fig.45 Las partículas se aceleran en el campo eléc-
trico y luego describen un M.C.U en el campo mag-
nético. Conociendo la carga de una partícula y mi-
diendo su radio de giro se puede determinar su
masa.
Observe que la condición obtenida para que las partículas no se desviat
no depende ni del valor ni el signo de carga. Si 'q'fuera negat¡va se invi
l::l:llten los sentidos de F, y F' pero igual se anularían ffig'afl'
Espectrógrafo de masas
un espectrógrafo de masas sirve para medir la masa de una partícula
.urgu tono.iáa. por ejemplo, permite comprobar Ia existencia de diferer
oX
+jt .L
olvV
Fis.l Probleml 1
t-+
Fig.2 Problema 2
: L* i*topos son átomos que tienen igual nú-
mero de protones, pero diferente número de
neutrones, por lo que sus masas son diferentes'
o
isóiopos'de un elemento, separarlos y estudiar su abundancia relativa en
naturaleza.
Este dispos¡tivo (Fig.45) consta básicamente de una fuente que emite
iones,luego son acelerados por una diferencia de potencial "AV" hasta q
ingresan a una zona de campo magnético perpendicular al plano.
Para calcular la velocidad con que los iones entran al campo magnético
cordemosque q.AV=AEc = v=
Al entrar al campo magnético las partículas describen una arco de
rencia de radio * =;+ ' Combinando las dos ecuaciones obtenidas'
masa del los iones es: m = or l¡f'
En cada caso (fig.1) determine la dirección y el sentido de la fuerza
nética que actúa sobre cada una de las cargas en movimiento.
La figura 2 nos muestra una partícula cargada (q = - 1,6 x 10 -''C¡ que
mueve en una zona donde existe un campo magnético uniforme p
pendicular a su velocidad (v = 5,0 x 10'). La fuerza magnética sobre
partícula tiene un módulo de 2,0 x 10 -"N. Determine las característic
delcampo magnético.
3) En una zona de campo magnético se lanzan partículas cargadas y
sig uen diferentes trayectorias.
a) Algunas partículas siguen con M.R.U'
b) Algunas partículas describen un M'C'U'
c) Las otras partículas describen trayectorias helicoidales.
Analice cada una de las situaciones justificando por qué las trayecto-
rias son diferentes.
A
lv+
X
É
aaóD
+ 1)
lvV
2)
A
lv++
\
A-lu-q
2.q.^Vm
- r : - :-:? en una zona donde existe un campo magnético B = 2,0 x I0rrr ,, :: - Jna velocidad v -- 8,0 x 10' f.,, - = = 'uerza magnética que actúa sobre el protón al entrar al
'=: ':séntela.
. . = 'adio de la circunferencia que describe el protón.
' - : :':.ectoriaaescala.
: -nto donde el protón sale de la zona de campo magnético.
=^'rpo permanece el protón en el campo?
:artes anteriores si la carga que entra al campo tuviera la:oble velocidad y carga de igual valor absoluto pero sig-
- 16.0 cm
-l
Fig.3 Problema 4
12,0 cm
<---> 4,0 cm
Fig.4 Problema 5
Fig.5a,bycProblema6
Fig.6 Problema 7
,,+t
,,r|t
l<I
I
ú, ll
- :- : c¿rgada penetra por el punto,,M" a una zona B, Gig.a): : - :: .,;n cuarto de circunferencia de rad¡o Ri = 4,0 cm. Al llegar: ', =.tra a la zona Ér.
- " : - * ^: el signo de la carga.
--:'- -e el radío de giro en la zona B, y dibuje la trayectoria que: -:'r3 hasta que sale de la zona ABCD.
: - : -.tores de la figura 5 a, b y c circula una corriente eléctrica- :; módulos de los campos son B = 0,90T. El largo de cada:-r - iS 20cm. Determine la fuerza magnética resultante que ac--::a :3SO.
=s características delcampo magnético que debe existir ené para que el conductor de masa 30g y largo 40cm, por el-'a intensidad de 1,5A, esté en equilibrio.
: = campo magnético resultante en los puntos indicados en:: la figura 7.i, = 4,,9¡,i, = 6,04 y d = 8,0cm
-
l<_+k_=+ddd
Fig.7b
A
,1.-
ü
D
EUO+
i,
@Aa
Bo
l2
o
--d--¡o
tlI
ll<--.,l\-
dlü .lA l',
['lt<____,
d
ir x x x
<YXXl-lt , .'I XB X X X
XXXX
MX X X X\ B. = 0,10-B' = 0,10 T
NXXXaaaa
B' = 0'20 Taaoa
gc
' il, "x¡ill.4)aXX
&-
N..C
Fig.7c
56
lirctl
i,
llt
Fig.8 Problema 9
i,=6,0A Fig'9a
¡,-GEIL.,Iol
\l-cnl v\f ñ4
i,rFig.10 Problema 1 1
Fig.11 Problema 12
9) Los conductores paralelos de la figura I tienen intensidades i, = {,i, = 6,0A y la distancia entre ellos es d = 20 cm.
a) En cual de las tres zonas puede ex¡stir un punto donde el campo mnético sea nulo.
b) Ubique el o los puntos, donde el campo magnético es nulo.
10) En los cuatro casos que muestra la figura 9 determine la fuerzaactúa sobre el electrón que se mueve corl V = 3,0 x 10'+.
_1-¿,@
l
ai
i
i¡,L
v
---=104
o+a=10cm
@104
104
o
ir=
lo=
OA
EIJoN
f-EIUIol"j V
*------+It_lFV
ll¿ü
dr¿'
l,6
r
a
-l
i.=10A
Fig.9b
lr
Fig.9c Fig.9d
11) Determine el valor y el sentido de i, (Fig. 1 0) para que "q" se mueva parlelamente a los conductores con M.R.U. El valor de i, es 6,0A y la dicia entre los conductores es 4,0 cm.
'12) En el instante que se muestra (Fig. 1 1), sobre el protón que se mu€coh V= 5,0x 100$actúa unafuerza F =3,2x 10 ''N.Dicha fuerza-sproducida por el cámpo magnético generado por el conductor recDetermine valor de la intensidad (i) que circula por dicho conductor.
13) El solenoide de la figura 12 tiene 5 espiras por centímetro y circula poruna intensidad de 0,020A. En su interior hay una espira circular de4,0cm. Determinar el valor y el sentido de la intensidad que circulala espira si el campo magnético en su cen:.o es nulo.
i.= 4,0 A
Fig.12 Problema 13
- r ¡ctof recto y muy largo de la figura '13 círcula una intensidad-. rtensidad de corriente en la espira rectangular ABCD es 5,0A' - ' rorario. Determine la fuerza magnética neta sobre la espira.
-r-:iores largos y rectos están colgados de hilos de g0cm de= , ' .,, Las intensidades que circulan por los conductores tienen. -' .,' la masa por unidad de longitud de cada uno de ellos es:' :s fuerzas de repulsión que se ejercen los conductores,los- : ^ entre sí un ángulo de 1 B grados cuando el sistema está en:
:= - - d iag rama indica ndo las fuerzas que actúan sobre cada con_
-:=-sidades tiene igualo diferente sent¡do? Justifique
- ^: el valor de las intensidades.
= - : : de potencial eléctrico entre las placas paralelas (Fig. 15) es
'- ^ 3 r las características del campo magnético que debe existir, : ?:as-para que la carga se mueva con velocidad constante.-- m--. \
BCnl
,___]AD
l̂-l(JlolN
<___>l<___>l8 cm10 cm
Fig. 13 Problema i4
Fig. l4 Problema 15
PLACA A
PLACA B
-: ::u respuesta sila partícula tuviera carga negativa?
- - ..: cnde se mueve el electrón (Fig. 16) existe un campo eléctri-- - +'i un campo magnético creado por el conductor recto. De_
- . = ,:lor y elsentido de la intensidad que circula por elconduc-: : :::rón se mueve con velocidad constante v = 4,0 x 10. $ .
+_>l=lolñt
i'ü
- :.'.-'r ^ es acelerado desde. _ - _ =ig.17), por una dife-
: = ::tencial eléctrico de: - = : <iste entre las placas
: ::' -n pequeño orificio: =-:^ia la placa B, el elec--: -::'a en Una ZOna dOn-
-: -1 campo magnético--
= :e módulo2,27 x1O'f .: . - 1 1' represente el Cam-
- : -i' tJ entre las placas.
-, - :-e velocidad entra el" ' :- : la zona de campo
.. - -- -^)
Lx X X
AT
iel
-,= Jrstancia delpunto "C",elelectrón impacta con la placa B?
:, = el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre el electrón.
t<- o, o t-->
Fig. 17 Problema 1 8
Fig. l5 Problema 16
Fig, 16 Problema 17
58
ú9,aa'-.o
B.
I ) Dos partículas cargadas de igual masa ingresan al interior de un campomagnético con iguales energías cinéticas. Entonces de acuerdo a la fi-gura 1 que se muestra: (Liceo de Carmelo)
a) q, es positiva, q,es negativa y lq,l> lq,l
b) q, es positiva, q, es negativa y lq,l= lqrl
c) q, es positiva;q, es negativa y iq, < lq,l
d) q, es negativa; q, es positiva y lq,l > lq,]
e) q, es negativa; q, es positiva y lq,l< ]q,l
a
TII9tBI
+
I
)_( I
.Y-\la
Fig.3 Problema d" ""¿r"n
o2É
. 0,10m ,fgt9¡br
^-O O ------x
El ,'-¡ a A
ol i
dl igLÓ
Fig.4 Problema de exámen 5
oa
Fig.l Problema de exámen 1
-l
0,20 m
Fig.5 Problema de exámen 6
Un electrón penetra a un cam-po magnético entrante
É,1 = 5,0 x 1 o 'T (Fig.2) con velo-c¡dad lv] =2,0x 10'+ y
-. ,L -
,
B,= t lB,l. Determine:
a) El punto por el que el electrónpasa con la misma velocidad ú,
por primera vez.
b) Represente la trayectoriacompleta en la zona de campo.
(Prof.V. Orcesi - l. Crandon)
XXXXÉ,
lvIxlx.//
.e . . .
B"aaaa'
€t+1,0 cm 3,0 cm
Fig.2 Problema de exámen 2
3) El trazo "aa" representa un plano (no material) que separa dos regen las que existen los campos magnéticos B y ZB indicados (los dos son
entrantes en el papel) (Fig.3).Se lanza una partícula cargada en el pla
no, de modo que describe la semicircunferencia indicada en la regde B. Explique y dibuje la trayectoria que seguirá la partícula.
(Prof. J.J. Olivet - Escuela lntegral)
4) Un conductor de 0,60 m de largo esta colgado horizontalmente de unsortede K= 100# en una r"giOn donde existe un campo magnétiuniforme B = 0,80 T perpendicular al conductor. Calcule la intenque circula por el conductor que produce un incremento de 2,0 cmel estiramiento del resorte cuando se cierra el circuito.
(Prof. G. González - Maristas)
5) a) Hallarel Bcreado por los conductores (Fig.4) en A sabiendo qul,=lr-1, =1,04b) lndicar como debe moverse una carga en A para que no experimen-te fuerza magnética alguna. (Prof. Gabriela Oribe - Colegio Ser)
6) Ubicar un punto sobre la recta "x" (Fig.5 s" ei que el B resultante sea
2,0x10-'T, perpendicular al plano del C'¡--o )'entrante.
l,= 3,0A e l,= 'l 0A. (Prof. Gabriela Oric: - l: :g io Ser)
[,
..¿'ilaE
iue
ü.-c
Jlr']rt
mIrlm¡ü
lffi]ltBf,ts.
ffiInqNIE
b@Ír
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núnÉ{Fg.cdlrli&üEu*frrüF
ühü;úhr
Ét
al=lulol"
Tl-I-lutó
l"
*¡ lil.
t-,ffi
mÚ(
¿lrrl'&
ri'ru.',
g¡t¡:
ü;
59
: -- -estra dos conductores paralelos fijos.Cuando un electrón
= : - nto "P" a una velocidad de 2,50 x 1 0' $ actúa sobre él la: ::la F =5,00x 10''nN. Determinevalorisentldode 1,.
- = '-l elo)
l, = 15,0 A
. " -- -'AS está ubicado a
:: : .-l conductor muy
; - cor el que circula-" . :zJ de 5,0A.
" : - :: ; ca lcu le la fuerza.: i:cre el conductor
: -'.= ; calcule la fuerza: :,3re un eleCtrón
" --'l equidistantede" - - : -:S r, COn velocidad" =:
.=senta. AS = 40 cm,
- :=. - l.Crandon)
:- ::^ductores que se
: = I 8) circulan co-: -: =s en los sentidos
' : :: - Cuál afirmación': -, - .eo de Carmelo)
: :: -:sJltante pOf uni-. -: :-d sobre el con-
: :: -:sultante por uni-, -: :.,ld sobre el con-
:
- := '=sultante por uni-: -; ::d sobre el con--i -- a.
EUO.N
I
EIr.¡ I
ol\|a\.1 I
I
l.IrJloI
VO irt;
-l------_Fig.6 Problema de exámen 7
Fig.7 Problema de exámen 8
R=6,0f), e=24V úl = 3,0x 10'
aa€ _ _)(_____)
123Fig.8 Problema de exámen 9
mS
:sultante por unidad de longitud es mayor sobre el con-sobre el 1 y el 3.
- - : le las respuestas anteriores.
, ' -=oresenta una espira cuadrada por la cuai circulan 5,0A y en
- : -no, dos conductores rectos muy largos con intensida-: , - e l, = 'l 0A, e igual sentido. Determine la fuerza resultante
. : -' los conductores a la espira. (Prof. A.Villamil - Escuela lntegral)
- - a iFig. 10) está 20 cm por debajo de un conductor recto y: - que transporta 15A y que está alineado en la direccion nortei ^i oo magnético terrestre es 2,0 x 1 0 'T)
-:cs grados se desviara la aguja de la brújula respecto a la direc-:o nd uctor?
-e sentido se producirá la desviación? (Liceo de Punta del Este)
bl--€5,0 cm 10 cm 5,0 cm
Fig.9 Problema de exámen '10
Fig. 10 Problema de exámen 11
60
13)
12) La figura 11 muestra una oob ^a.c-ec3Ca a uña fuente e = 10Vy una
carga que se mueve en su inter'¡' .c^ a '€€a o. cerpendicular al eje de la
bobina. La carga experimenta Jn¿ '-€z¿ cerce.dicular al plano y saliente
a) Hallar el módulo de dicha f.e?e
b) Hallar la polaridad de la fuente. Da:os Q = -3 C gC, R.,.,. = 5,0 f) n = 1
espiras por metro, v = 5,0 x l0' f . Froí. ri. Bentancour - l. Ariel)
Un electrón de 1,0 x 10'Kg se mueve con una v = 4,0 x 1O'f a i.gual
distancia entre una placa cargada positrvarnente con o = 35,4\.10 " *m-y un conductor por el que circula una intensidad de corriente "1" (Fig. 12).
Determine valorysentido de "l" para que la partÍcula se mueva con M.R.U(Prof. F. Manzione - Maristas)
14) En la "zona 1" (Fig.13) existe un campo elecirico E = 20,0 #) y.n l."zona2" un campo magnético (B = 8,00x 1O'T . ¿Si colocamos un elec-trón en el centro de la "zona 1", por qué lugar sale del rectánguloy con qué velocidad lo hace? (Prof. G. González - Maristas)
1s) Un protón recorre las trayectorias indicadas ,Fig. 14) a través de las
nas 1,2 y 3. Determine las características de los campos eléctricos o magnéticos existentes en cada zona. Datos: R = I ,0 cm, R, = 2,0 cm, d = 10,0 cnr,
vt =2,0x 10' f yv, = 3,0 x 10' S.(Liceo No 35 - LA.V.A)
16) La figura i6 muestra tres conductores que transportan corrientes ycurvascerradasly2.
a) Hallar la circulación de campo magnético correspondiente a la línea2,síCr=8,0nx10'Tm.
b)Hallar el campo magnético en el punto "P". Datos: l, = 5,0A, l, = 3,0Ay d = 1Ocm (Prof. H. Bentancour - l. Ariel)
17) Una barra conductora de longitud L= 0,10m se mueve (Fig. 17) convelocidad constante v = 10 * "n
el interior de un campo magnéti-co B = 2,0 x 10'T.
a) lndique que ocurre en la barra.
b) ¿Para lograr esta situación es necesario realizar trabajo exterior?
(Prof.W. Netto - Sagrada Familia)
op
' ruEA 1-d<_-______________
I
X
Fig. 12 Problema de exámen 1 3
2.5 cm 2.5 cm
-l-l
Fig. 1l Problema de exámen 12
l=?
ZONA.I
Fig. 13 Problema de exámen 14
Fig. l4 Problema de exámen 15
XXXXVX _X X
X X X Xñb
Fig. l6 Problema de exámen 1 7
a)
ü
/l\ --_
I
l0lcmt_L./ +
l=l(Jl"r
I
t.
o'
t.c'
3
E B
¡(A)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
Fig.1 Control de práctico
d(cm)
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
Fig.3 Control de práctico
e
6o
110
17"
220
260
310
.: :ig. 1) corresponde alángulo "0" que se desvia la brúju-: - - ^ l;ctor de la figura 2 circulan djferentes intensidades de
-' - : a brújula conductor permanece constante)
: resión para calcular el campo magnético que produce':,r del valor del campo magnético terrestre y la desvia-
:a del campo magnético producido por el conductor^:ensidad de corriente B. = f (i).
: onal existe entre B. e i?
=, Fig.3) corresponde al ángulo que se desvÍa la brújula: -cior circula una corriente constante de 8,0A, y se va:.'cia entre el conductor y la brújula.
" :a del campo magnético producido por el conductor en
- .::.rcia conductor brújula B. = f (r).
' -^ ente que la relación funcional existente entre "8." y ',r',
= : roporcional.
-: :..rrso teórico que la expresión para determinar el cam-
: ': C ucido por un conductor recto muy largo es: B = ! I .
r: - ^ stante de proporcionalidad "K".
e
600
390
280
22"
170
150
Fig.2 Control de práctico
tt
aa|.
t:
I
lr
:1"!tti
,i,.
d,. Ir '{¡
ulo 5tuá!l!
- " : , -:=i'ior vimos que una corriente eléctrica producía un cam-;i" - - : .- alrededor.Ahora veremos en qué condiciones es posible- ' : :: " .rte eléctrica a partir de un campo magnético.' : :: ' figura 1 consta de una espira cuyos extremos están co-, - - i-oerímetro. Si tomamos un imán recto y comenzamos a
- " - :: sus extremos a través de la espira, podemos comprobar',:*" -=:'¡ indica pasaje de corriente.Si detenemos el movimiento:- : r: :asar corriente y si comenzamos a retirar el imán,el senti-
: -:= :n la espira es opuesto a cuando se introducía. Se obtie-'* - - - ':-;ltados sien lugarde moverelimán,lo dejamos en repo-''-:-:=;pira.
- -: - : .'imiento relativo entre la espira y el imán, se produce una: :n :::=ncial o F.E.M. que pone en movimiento a los electrones
rr,il : - : -::3r, generando lo que denominamos una corriente eléc-mülcca =-
ia espira (i,).
; * - : -:: ,/ otros parecidos que demuestran la existencia de corrien-: : . : -s características, fueron realizados simultáneamente por, : r : , rig.2) en lnglaterra y Joseph Henry en Estados Unidos al-
::-
lrril . :' - :nto fue de gran importancia histórica ya que permitió ge-' ::: ::ntidades de energía eléctrica aprovechando la energía
il ' -- - -aturaleza, por ejemplo del agua (represas hidroeléctricas),:5,etc.
- : '' :-¿ntitativamente la generación de corrientes inducidas, co-,,* :. ::riniendo el concepto de flujo de campo magnético.
Fig. 1 Si movemos el imán o la espira, en ella se ge-nera una corriente eléctrica inducida.
Fig,2 Michael Faraday, Inglaterra 1791-
64 i ¡ncucciOn ElectromagnÉt¡caI
de ca
La definición de flujo de campo magnético es análoga a la que dpara el flujo de campo eléctrico', y es una magnitud que está directamrelacionada con la cantidad de líneas de campo que atraviesan una
El flujo de campo magnético (0") a través de una espira(Fig.3),una magnitud escalar que surge del producto escalar delcampo magnético (B) y el vector superficie (3) y su valor secula: S, = lÉl . l3l . cos or
El módulo delvector s es el área de la espira y su dirección es
cular a su superficie. Su unidad en el S.l. es el m'.
El ángulo "cr" es el formado por el vector B y el vector 3. Un errorcomún es considerar elángulo entre É y el plano de la espira (Fig.a)
La unidad de flujo magnético en el S.l. es el Weber cuya símbolo es
Según la definición: 1Wb = 1T.m' (Tesla - metro cuadrado).
ltv Bt tfiRiltffLuego de conocer qué es el flujo de campo magnético, podemoslas sencillas experiencias que describimos al comenzar el capítulo y verexiste una relación entre el flujo magnético y la existencia de corrientesducidas. Al alejar o acercar el imán de la espira o viceversa, se estabaciendo un cambio en el flujo magnético a través de ella y se observabaintensidad inducida.Cuando no había movimiento relativo, no existía vación de flujo y no se producía corriente inducida.
La Ley de Faraday cuantifica la relación existente entre la variación del flde campo magnético a través de una espira y la F.E.M.que se induce en
Ley de Faraday
La F.E.M. inducida (e,)en una espira es directamente proporcionalla variación delflujo magnético por unidad de tiempo a través
Fig.3 El flujo de campo magnético es una magnitudescalar y su notación es $u
a=90o
Fig.4 a Cuando É es perpendicular a la espira, É y 3son colineales + d. = 0o.
Fig.4 b Cuando B es paralela a la espira, ti y s sonperpendiculares = c¿ = 90o.
Fig,5 En el dibujo vemos un conductor con 8 espi-ras = N=8.
Recordemos que las unidadesde las magn¡tudes involucradasen la ecuación de Faraday son:
6+(v)40, + (Wb)
At + (s).
ella. Esto se expresa mediante la ecuación! t,= - 40' .'^t
.tOhm i, = É , siendo "R" la resistencia eléctrica del circuito, que se
en ohmios (O).
Si en lugar de una sola espira son "N" espiras (Fig.5) la ecuación se tra
forma en t,= - N *
Si las espiras forman parte de un circuito cerrado, ," g"n"rurá un,rriente inducida. La intensidad inducida se calcula aplicando la Ley
1 Anexo 2 "Flujo de campo eléctrico" (pá9. I a0).
: -e F.E.M inducida en una espira, debe producirse una varia--:gnético a través de ella y el valor de la t es directamente
' . elocidad de dicha variación.
. :'ración de flujo a través de una espira si
':':vesada por un É de módulo variable.
=;: ra Varía.
.=3yscambía.
-:'nación de las anteriores posibilidades.
= :l cm'se encuentra inicialmente en la posición indicada: - r campo magnético uniforme de módulo 0,020 T. En un':ta un ángulo de 60o. Determine la F.E.M. media inducida-
, - , - r entre el vector superficie y el campo magnético se pro-, - : - de flujo (A$),que genera una F.E.M inducida.
, ,::erficie de la espira es perpendicular al campo, en este. r -31 dirección y sentido (o = 0o).Luego de rotar,estos vecto--.
' ^ Co un ángulo de 60o (Fig.7).
'ujo inicial y final
= - l20T.6,0x 10'm'.cosOo f ó,= 1,2x10'Wb
= - 120T.6,0x10'm'.cos600 3 0,=6,0x10'Wb
: = : variación de flujo y la F.E.M. inducida
,''o'wb- 1,2x1oowb = a0=-6,0x lo'wb. -6,0 x 10'
- t, = 1'2x1OoV
': :-lar:omprobar que si la espira rotara con velocidad angular: expresión para el flujo magnético a través de ella esr'r.t) y generaría una F.E.M. variable con el tiempo cuya
=Nro.B.s.sen(o.t).,- conjunto de ellas girando en un campo magnetico consti-:=nominamos un generador de corriente alterna.
lnrlilü{:¡frn H$ütrornírUnetir;a 65
Fig. 6 Al rotar la espira, el flujo magnético a travésde ella varía.
Fig.7 Porserunasolaespira N = 1.El ánguloa entreByies6O".
I
66 i lndl¡¡:r:¡+¡i iianlrfi NtlAgnéti0i
X
XÉ
la de Lenz
Esta regla nos permite determinar el sentido de la corriente inducida en
espira mientras se produce la variación de flujo magnético.
Regla de Lenz
La polaridad de la F.E.M. (t,) inducida es tal, que tiende a produciruna corriente inducida (i,) que genere un campo magnético induci-do (É,) que se oponlta a la variación de flujo magnético.
Veamos dos ejemplos:cuando elflujo magnético aumenta y cuando elflumagnét¡co disminuye.
Aumento de flujo magnético
Consideremos una espira circular y un campo magnético entrante,cuyodulo está aumentando a medida que transcurre el tiempo (Fig.8).
El aumento del módulo del campo B produce un aumento en el fl
magnético a través de la espira.
b. Si elflujo aumenta, según la Ley de Faraday, se genera en la espiraF.E.M, inducida (t).
Como la espira forma un circuito, por ella circula corriente eléctricacida (i).
La corriente eléctrica inducida circulado por una espira,genera otropo magnético denominado inducido (B ).
a.
Fig. 8 ¡
ld.
:e.!
ú*:Aplicando la Regla de Lenz determinamos que el campo magnéticoducido (B) debe tener sentido opuesto al campo (B) para contrarrestar
,i,
X
X
XÉ
aumento de flujo. En este caso como B es entrante = B es saliente.(Fig.9)i
: f. Aplicando la regla de la mano derecha vista para el campo creadouna espira circular', el dedo pulgar indica el sentido de E y los otros d
dos el sentido de i. En este caso E es saliente y la i tiene sentido an
horario. (Fig.9)
g. Al campo B se le llama inductor, porque debido a su variación se indla F.E.M.
Disminución de flujo magnético
Consideremos la misma espira y el campo magnético entrante, pero supo-niendo que el módulo está disminuyendo.
Si el módulo de É disminuye, el flujo también disminuye. Se produce una
F.E.M. inducida y una corriente eléctrica inducida circulará por la espira.
La i,genera un campo magnético inducido,que según la Regla de Lenz,debecontrarrestar la variación del flujo magnético.
Para contrarrestar la disminución de fl- : I t:ce tener el mismo sentidoque B, en este caso debe ser entranie = ; '
-
Aplicando la regla de la mano derec^: :::='^. ^:- 3s que el sentido de i, es
horario (Fig. 10).
Fig.9 Si el flujo magnético aumenta = el campomagnético inducido tiene sentido opuesto a B.
II
Fig.10 Si el flujo magnético disminuye> el campomagnét¡co inducido tiene igual sentido que [i.
2 Ver "Campo magnético generado por una espi-ra circular" (pá9.51).
o^4-.tt'
BiOil'
67
d
d
Brtiene sentidoopuesto a É
B,tiene igualsentido que B
Orientando el dedopulgar de la manoderecha en elsentidode É,,los otros dedosdeterminan el
sentido de ir.
b='l0cm
Fig. 11 Ejemplo 2. Espira rectangular N = 20.
Fig,12 La variación de B induce F.E.M.en lasespiras.
Observe que:
. 5i el flujo magnético aumen-ta la e,es negativa.
. Sielflujo magnéticodisminu-ye la e,es positiva.
0-4,0
,^IElulol$lillo
i. : -4.{} x 1O v
,.ie5cf-1."(
'.: - i' ,/,:, a a'
\r.:1._¡ - o,...
:¡l: : {j.ti:. "' ,- t¡t.'
0,20 0,40 0,s0
(x10'v)
Fig.1 3 En cada intervalo el valor de e, es constante
a
a
a
.É
oe I ruü*nÉu $rstromrgnátipr
xIFig.17 Se logra una situación estacionaria cuando
rio a B.
Fig. 15 El flujo disminuye + E, tiene igual sentidoque É.
X
x$
b) lndique el sentido de la intensidad inducida en la espira en cada trama
Aplicaremos la Regla de Lenz en cada intervalo:
Primer tramo:
En la gráfica B = f (t) (Fig. 1 2) observamos que el campo magnéticoyse prodru*r*r aumentddel flujo (A$+O). Fara contraf*estar este,
la espira generará un campo magnético inducido B, opuesto a B (Fig. 1
Aplicando la regla de la mano derecha y orientando el dedo pulgar en
sentido de É, (entrante), determinamos que el sentido de i, es horario.
Segundo tramo:
En este caso no hay t, por lo que la i,= 0 A
Tercer tramo:
Ocurre lo opuesto al primer tramo, el flujo magnético disminuye,lagenera un campo inducido É, en igual sentido que B para contrarestardisminución (Fig. 1 5). Aplicando la regla de la mano derecha determinaque el sentido de la corriente inducida es antihorario.
F.E.M. inducida movimiento.
Veamos que sucede si una barra metálica de largo "L" se mueve con M.R.
en una zona de campo magnético uniforme (Fig. 16).
Sobre cada uno de los electrones libres de la barra actúa una fuerzaverticaly hacia abajo (regla de la mano izquierda)y módulo f, = lql .v.B.sen 9fLas cargas negativas se desplazan al extremo inferior y el superiorcon cargado positivamente.
Esta distribución de cargas trae como consecuencia una diferenciapotencial eléctrico entre los extremos de la barra.
cada electrón.
Cuando la fuerza magnética y eléctrica tengan igual módulo se alcanzaráun estado de equilibrio.
F,=E, = lql.v.g=lql ry Simplificando q rdespejunOolVqu"esigual
a la F.E.M. inducida en los extremos de la b¿'ra cD:enemos: t, = v. L. B
X
L
X
Fig. l6 Los electrones libres de la barra se muevencreando un campo eléctrico.
Dentro de la barra se genera un campo eléctrico tf = jLl vertical hacia.L
abajo (Fig. 17) y unafuerza (f, = 1O¡ .E = 9 . !L 1 vertical hacia arriba sobreL
X
L
X
Bi /\'9nl/\{ '/
.1. r$
É, anula a Fu.
lnduooion tlootromrsnÉüoi i 69
i ,,,
lllmr
I
: :a1plo no se producirá una corriente inducida por no haber un:: -cleto.Si la barra la apoyamos sobre un dispositivo como el de lai ::menzará a circular corriente (i,)desde el extremo positivo de la- :; ativo. La barra se comporta como una fuente de corriente conti-
' 'rura 19 podemos ver el circuito equivalente.
+,.--
1
IL
)v
'., : barra está en movimiento se Fig. 19 La barra se comporta como una fuente decorriente continua.
lirr.-ilt , ;
..iu*"_
= : 'cuito existe una corriente inducida, según la Ley de Faraday,
;: ' una varíac¡ón del flujo magnético. Efectivamente, al deslizar la-: ios conductores, el área de la espira rectangular aumenta y el
: . :s de ella también, ya que el campo magnético permanece cons-3arra se moviera en sentido contrario,el área y elflujo magnético
- '- : : re la corriente inducida también lo podemos determinar a partirr : :: I : Ce Lenz (Fig.20).
Srendo la Ley de Faraday es pos¡ble demostrar que la F.E.M. in-üita en una esp¡ra rectangular cuando se produce una variaciónül¡F magnético debida a una variación uniforme de área se cal-út =v.L.B
'lur-:,o 3
'= rectangular (Fig.21) se mueve con velocidad constante, desde la
^ ndicada hasta que sale totalmente de la zona de campo magnéti-:'me.Datos a=5,0cm, b= 10cm, v=0,10+, 8=0,30T, R=3,0O
::'iba cualitat¡vamente que sucede con el fluio magnético a través de
:oira e indique cuando se induce corriente en ella y su sentido.
: - r'3 s la espira recorre los primeros 1 0 cm se encuentra fuera de la zona
" ::-go magnético por lo queel flujo magnético a través de ella es nuloy:=-bia.En estetramo no se induce corriente en la espira.
- : -te los siguientes 1Ocm de recorrido es cuando la espira entra al cam-
. - :gnético (Fig. 22). El flujo a través de ella aumenta, alcanzando su máxi-
: ,:lor cuando toda su superficie es atravesada por elcampo. Aplicando:=;la de Lenz sabemos que la espira generará un campo magnético in-
- : ro en sentido contrario (saliente) al campo existente, induciéndose una' ente en sentido antihorario (regla de la mano derecha).
Fig. 20 Al aumentar el área,aumenta el flujo a travésdel circuito. Según la Regla de Lenz, se genera uncampo magnético inducido (ti,) en sentido opuestoa B, o sea saliente del plano.
Aplicando la regla de la mano derecha sabemos quela i tiene sentido antihorario.
,1.- r-----t v
'L I l-'1+1 b2b
Fig.21 Posición de la espira en t = 0s.
Fig.22 Mientras la espira entra a la zona de campomagnético el área dentro del campo aumenta = el
flujo magnético aumenta y "8," tiene sentido opues-toaÉ.
(x10"A)
70 : lnducup:! tteütroHaurGti{:t
Fig.23 Se consideró la intensidad positiva en senti-do antihorario y positiva en sentido horario.
t8,0
Fig.3 Problema 2
@
* fl-"l "t_t"1,.
Bt l"Fig.4ayb Problema4
Mientras la espira se mueve dentro del campo, el flujo magnético permanece constante, no induciéndose corriente en la espira.
Por último mientras la espira sale del campo, el flujo disminuye, esta vari¿ ,Ctción hace que la espira genere un campo magnético inducido en iouar se'-tido al campo existente (entrante), por lo que la intensidao en ra eso¡ra rie.sent¡do horaric.
b) Grafique la intensidad inducida en func¡ón de Ia posición cie n espr.zConsidere x : 0m en la posición mostrada en la fiour¿ ' '
La variación de flujo magnético se produce primero por un aurnenrci untrc'-me de superficie y luego por una disminución uniforme. En estos casos la tse caicula:
t =B.L.v= 0,30T.0,050m.0,,l0f .+ t, = 1,5x 10 VrobservaoueL=a
. i l,5xl.:= _ =-i _ =>i.=5,0X10-l, 3..,
La TlgUra 2¡ nos mueslra ra gráítca construida,donde se uUilZU ur¡ Cilr.:'. ':signos para diferenciar los sentidos de la intensidad indr.lcrc.
Problemas de lnducción Electromaqnét¡ca
1) El arrollamiento circular de radio 8,6cm (Fig. 1)tiene 4 vueltas y unaresistencia eléctrica R = 20 f).Se encuentra en una zona de campo magnético de módulo variable como indica la gráfica de la figura 2.
a)Grafique la F.E.M.inducida en las espiras en función deltiempo (t,=f (t)Ib) Grafique la intensidad en función del tiempo (i = f (t))
c) Determine el sentido de la intensidad inducida en la espira en cadatramo.
Fig.l Problema 1 Fig.2 :':: :-:
2) La gráfica t, = f (t) corresponde a un¿ espl': de area 200 cm'que es
atravesada perpendicularmente por r:'^ .3-:c 'nagnético de módulovariable (Fig.3).Sielcampo er I = I s:: I 3l -:
a) Grafique rD = f (t) a traves 3: : .s! ':b) Grafique B = f 't e^ ': :s: -:
[?TITd
-G
!Tlt(
4
::üfl.lwaia@
.c*
G5
a
5
ü'
o
,4,/',,r"' ,
,.f'
4,0 5,0t(x1 0's)
Fig.5 Problema 5
,!iric¡i'¡-:::'ir1 +f 4:::Érlt i'fliti:!lf¡¡i*;: i 7 1
r" -': .:s de una espira de área 100 cm'existe un campo magnético nor-* : : sJ superficie,cuyo módulo aumenta arazóndeO,2f /s.
- , : - : la F.E.M. inducida en la espira.
\_-,--\I!l
. ' : - ras 4 ay b representan dos situaciones diferentes de una misma: '= :uadrada de 5,Ocm de lado.En ambas casos elcampo magnético: : -ente tiene un módulo de 0,80T y se reduce a la cuarta parte en, - - 's. Calcule la t, y determine el sentido de la intensidad en cada
. -: c magnético de la figura 5 es horizontal ytiene un módulo cons--= :: 0,40 T. Atraviesa perpendicularmente a la espira de área 50cm'- -: Je resistencia eléctrica.En un intervalo de 0,10 s la espira gira
, : :ue por qué el flujo magnético a traves de la espira cambia, indi-:: : aumentaodisminuye.
=.=-¡¡ine valor y sent¡do de la intensidad media inducida en la espira.
. ::nductor recto circula una corriente "i" constante (Fig.6).lndi-
=^ :ada uno de los siguientes casos, si se induce corriente en la'' :3CD. En caso afirmativo justifique su sentido.
. =.:ira se mueve paralela al conductor hacia arriba.
. =,: ra se mueve perpendicularmente al conductor alejándose de é1.
: = j:i:a se mueve perpendicularmente al conductor acercándose a é1.
- r -ctor atraviesa perpendicularmente a la espira cuadrada por su' : =i9.7). Si la corriente del conductor aumenta ¿se induce corrien-
' espira?. En caso afirmativo indique su sentido.
:: ra de la figura 8 existe un campo magnético uniforme B = 0,80T.
'-': AB desliza sobre los conductores con velocidad constante de^,¡-O1( ffi-"" s'
:-ie la t,en la barra AB.
: oue el sentido de la i,en la espira.
-: extremo de la barra está a mayor potencial eléctrico.
4nBITllDc
)
Fig.6 Problema 6
/'-\¡-'J \
Fig.7 Problema 7
30 cm
-- \- l"i.lil
jto .''l'
I
ü
B.B
l= :ule la fuerza que debe realizarse sobre la barra para que se mue-:: - velocidad constante, si la resistencia de la barra es l2 O.
l:rpruebe que la potencia mecánica empleada en mover la barra,:-ala la disipada en la resistencia.
- : = 0 s la espira se encuentra en la posición ind icada (Fig.9) y se m ue-
= ::n velocidad constante v = 0,20 *.: espira es cuadrada de 10 cm de lado y el campo magnético tiene
: Julo B=0,20 T. Grafique t,= f (t)desde t = 0 s hasta t = 3,0 s.
Fig.8 Problema 8
o$.
Trff
¡
Fig.9 Problema 9
zz I muuacron tlÉcuom¡lnüllcr
Fig,lO Problema 10
Fig.l Problema de exámen 1
/r.- f--__lLI I Ivl I
XXXB
XXX
XXX
XXX
f-----l /ÑI lllI lrrM
?r?ff,*.kCFig.2 Problema de exámen 2
Fig.3 Problema de exámen 3
0,02 t(s)
Fig.4 Problema de exámen 3
10) Las dos bobinas están enrolladas en el mismo núcleo. La de la izquier
está conectado a un generador y a una resistencia variable.
lndique justificando elsentido de la corriente inducida en la bobina
la derecha, cuando:
a) La resistencia variable disminuye su valor.
b) La resistencia variable aumenta su valor.
1) En el solenoide 1 circula la corriente en el sentido que se indica (Fig. I
a) ¿En el circuito 2, se está abriendo o cerrando el interruptor?
b) Si con la llave cerrada se introduce en el solenoide 2 un núcleo
hierro, señale el sentido de la corriente inducida en el circuito 1 . Just
que su respuesta (Prof.V.Orcesi- l.Crandon).
La espira cuadrada de lado "L" (Fig.2) se desplaza con velocidad cons-
tante a lo largo del eje "x" desde la posición "M" hasta la posición "N',
atravesando como parte de su camino la región de ancho "3L" donde
existe un campo magnético uniforme como se indica. Construya la gráfica de:
a) La fuerza electromotriz inducida en la espira función del tiempo des-
de M hasta N.
b) La fuerza que debe ejercerse sobre la espira, para mantener su veloci-
dad constante, en función deltiempo.
Datos: L= 10cm, v=0,50+, B=2,01 R",o,,u =2,0{L(Prof. J.J. Olivet - Escuela lntegral)
La figura 3 representa un solenoide de 800 vueltas y largo 20 cm,conec-
tado a una fuente que le hace pasar corriente como se muestra en el
gráfico (Fig. +). En el interior del solenoide y en el pla no perpendicular a
su eje hay una espira metálica de radio R = 2,0 cm. Grafique flujo mag-
nético en función deltiempo y F.E.M. inducida en función del tiempo en
la espira. (Prof. A.Villamil - Escuela Integral)
4) Dos imanes idénticos se dejan caer desde la misma altura "h" sobre sen-
dos anillos de idénticas dimensiones pero de diferentes materiales. El
anillo "A" es conductory el "8" es aislante..Qr-e imán alcanza primero el
plano del anillo? Justifique. (Prof. J. J. Oti'. e: - !scuela lntegral).
5) Un anillo conductor "A" se coloc¿ s3:'= -- -:terial ferroso que tiene
arrollado una bobina conio i': :- .':-'. á Se cierra la llave "L" y el
anillo se levanta. ¿Por quei l':' ,', ',il:l - j::-eca Familia)
[¡liiEtÉ-iF
dc@@@TrI'lt!il't(!
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¡lüÍ'b161
drTüI
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v
3)
73
l
- :. carras "a" y "6" se mueven sobre rieles en una zona de É uniforme- - r se indica (Fig.7).Determine la relación entre las velocidades "v"" y
iara que la resistencia "R" no disipe energía. El largo de la barra "b,,
' " = loble del de la barra "a". (Liceo No 35 - l.A.V.A)
- - = :spira circular de 1,0 x 10'' m'=, = :crtada en un punto y en. :-f corte se conecta un: : ::rtor de 2,0pF (Fig.8). La es-
: ': s: encuentra en una región:. =.cacio en donde existe un: -: o magnético perpendicu-,- ' clano de la espira y cuyo- ::- o varia uniformemente a
,::^ Ce0,30T/s.
, -' :ular la carga y la energía; -:tinádd en el capacitor.
a placa de la izquierda se Fig.8 probtema de exámen 7
: ': ' cositivamente. ¿La intensi-:,: :el campo magnét¡co está, -
* =^tando o disminuyendo? -lustifique.
-' ':Jra 9 muestra un genera-- ' :: 4,0 V unido a dos rieles: - : -ctores sin resistencia, so-: ls que desliza una varilla de
: - : :¡d 10,0cm. La varilla tiene- ' ':sistencia de 2,0 O. Hallar,z .r y sentido de la velocidad
- = :ebe moverse la varilla para
-= : ntensidad enel circuitosea: : en elsentido indicado.(Prof.
- ::r:ancour - Escuela lntegral)
Fig.9 Problema de exámen 8
Fig.5 Problema de exámen 4
Fig.6 Problema de exámen 5
Fig.7 Problema de exámen 6
l.
CONDUCTOR NO CONDUCTOR
lBi= 2,or
¡III
| -: :-es dibujos correspond¡entes a la figura 1,la bolita se encuentra enn . . :',O.
::r' : :'imercaso (Fig.1a)su equilibrio es inestable,esto significa que si la-= ;: desplaza ligeramente de la posición de equilibrio, comenzará a
- :-r'alejándose de dicha posición.
.. : ::luñdo caso (Fig. 1b) el equilibrio es indiferente, si se desplaza de la, : :' de equilibrio, no se observará ninguna tendencia ni a volver a di-'' : r -i :ión niaalejarse.
: ::':er caso (Fig. 1c) al desplazar la bolita de la posición de equilibrio,*
=-:ará a realizar un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de
: :r de equilibrio, por esta razón suele decirse que la fuerza es, -, , '3 d ora".
- : riento de un péndulo, el de una masa unida a un resorte o el de un-- : r: una cuerda de guitarra,son ejemplos de movimientos oscilatorios." :''::terística común a todos estos ejemplos es la periodicidad, esto' " :: que el movimiento se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo.
krominamos PERíoDo al tiempo en que se desarrolla una oscitaciónurnpleta.Su notación es "T" y su unidad en el S.l es el segundo (s).
nenominamos FRECUENCIA al número de oscilaciones comple-ils que se realizan por unidad de tiempo. Su unidad en el S.l. esr dertz (HZ).1¡¡9.2¡
que se ha efectuado una oscilación completa, cuándo el cuerpoe pasa 2 veces por la misma posición y con la misma velocidad. por
-<i soltamos un cuerpo que está en reposo unido a un resorte com-se completará una oscilación cuando el cuerpo vuelva a estar en:omprimiendo el resorte.
:' parte de este capítulo lo dedicaremos a estudiar un tipo especial- , niento oscilatorio denominado Movimiento Armónico Simple
!ste es un movimiento ideal, en el cual la energía del sistema per-:: constante y la oscilación se mantiene incambiada durante un tiem-- :o.
. s stemas oscilantes reales, siempre existen fuerzas (fricción) que disi-
='ergía, al final del capítulo veremos las características más relevantes
1
T
o
owFig. 1 Las tres bolitas están en equilibrio
a. Equilibrio inestable.b, Equilibrio indiferente.c. Equilibrio estable.
Relación entre frecuencia yperíodo en un movimiento pe-riódico.
f=Fig.2
La sigla M.A.S. significa Movi-m¡ento Armónico Simple.
Iapítulo 6
- = - .: tipo de movimiento, denominado movimiento amortiguado.
76loscilaciones
X=-A X=0 X=A
Fig.3 Elegimos la posición "x = 0" donde el bloquese encuentra en equilibrio. Durante la oscilación el
bloque se mueveentre las posicionesx=A y x=-4.
Fig.4 El cuerpo se encontraba en la posición "xo"
cuando comenzó el movimiento. Si el móvil se en-contraba en el origen de coordenadas al iniciar el
estudio del movimiento, la gráfica comenzaría des-de el origen.
(D=2.rE.f= 2 .rE
En todos los ejemplos y proble-mas planteados en este GaPítu-lo y el siguiente, si no se indicanlas unidades en que están ex-presadas las magnitudesinvolucradas en las ecuaciones,significa que corresponden alS.l.de Unidades.
Fig. s
Para representar la posición,también se utilizanlas letras: "e" por la elongación del resorte o "y"
en los casos de movimientos verticales.
El M.A.S.es un movimiento rectilíneo.El nombrevelocidad angular puede inducir al error de su-
poner la existencia de una rotación.
t[0utMrrltT0 AnilÚillG0 slt[PlE
Un típico ejemplo de M.A.S.es el de un bloque oscilando libremente y sin
fricción unido a un resorte (Fig.3). Estudiaremos el movim¡ento desde el
punto de vista cinemático, dinámico y energético.
Relación posición - tiempo en un M.A.S.
Comenzaremos descr'rbiendo como varia la posrirónl lx) de) cuerpo en tun-ción del tiempo (t). Elegimos como punto de referencia (x = 0)el punto donde
el cuerpo está en equilibrio, en este caso es cuando el resorte está sin estirar.
Denominamos AMPLITUD y la simbolizamos "A",a la distancia des-de la posición de equilibrio hasta el punto de máxima pos¡c¡ón.
El movimiento de un cuerpo con M.A.S. es simétrico respecto a la posición
deequilibrio yse mueve entre las posicionesx= A y x= -A.
Experimentalmente podríamos medir las posiciones (x) que va tomando el
cuerpo a medida que transcurre el tiempo y al realizar la gráfica x = f (tobtendremos una curva como la de la figura 4. Este tipo de curva es una
función trigonométrica denominada sinusoide. En el anexo 4 encontrará más
información sobre las características de algunas funciones trigonométricas.
La ecuación que descr¡be la posición en función deltiempo para uncuerpo con M.A.S.es: x (t) = A.sen ((').t + 0).
"A"es la amplitud del movimiento, su unidad en el S.l. es el metro.
"0" (phi) recibe el nombre de fase inicial o desfasaje del movimiento y lo
expresaremos en radianes (rad).5u valor depende de la posición y veloc'r-.
dad inicial del movimiento.
"trl" (omega) se denomina velocidad o frecuencia angular'y su valor de-
pende de la periodicidad del sistema a = 2 .x .f = +.La unidad de "o'
en el S.l. es "s'"' o "t10" que es dimensionalmente equivalente.
Ejemplo 1
Un objeto describe un M.A.S. y la ecuación de la posición en función d:tiempo es x (t) = 0,10 sen (n .t + lt. (Fig.5)
a) Determine: la amplitud (A),la frecuencia angular (o.),la frecuencia (f ) y zperíodo (T).
La amplitud y la velocidad angular la reconocemos directalnente de ia ecu¿-
ción del movimiento: x (t) = 0,10 sen (¡ t * I
x(t)= A.sen,r,.r,t-r-r
A=0,10m y r¡=t *.Conociendo "ro" calculamos la frecuencia . = :=- :co:
.
#fit c
GMRrefua
6-::rffiü¡ or¡¡
üil@&lnmlrrrltt "
r-iüfuEÍrcb'fr¡r
a
T
ú') il
-=-2.- 2.-
¡-
a=2.n.f+f-- - f =0,50H2 -= = T=2,0s
0sc¡laG¡ones 177
ti
atagráiicax=f(t)., t) es una sinusoide desfasada:sentación gráfica.
radianes'. En la figura 6 '.,e
. rrás general de trazar una gráfica es determinar valores de posr-
: EUnos t¡empos. Por ejemplo podemos tomar como guía los si-
: = 0 s, ,= trr,r= Ir,r= trr, ! t =T.Luego los ubicamos en los
r -:mos realizar el trazado. Recuerde que para calcular los valores
:' rdo la ecuación del movimiento, la calculadora deberá estar en-, iianes".
ffiela,': on velocidad - tiempo en un M.A.S.* -: :: que un cuerpo con M.A.S.se aleja de la posición de equilibrio su
,, ::: Cisminuye hasta alcanzarelreposoen las posicionesx= Ayx=-A.' - :: -:rario a medida que se acerca a la posición de equilibrio la veloci-
i,n : - - i.td, alcanzando su valor máximo al pasar por ella (Fig.7)'
-¿ *"eiocidad de un Guerpo con M.A.S.puede expresarse en funciónur uempo con la ecuación: v (t) - o.A.cos (ar.t + 0).
5s¡'do el producto "rD.A", la velocidad máxima ? v.¡, = o.A
- : : io por nosotros que la pendiente de una gráfica x (t) representa la,, . :: : Cel móvil. La gráfica x (t) de un M.A.S.es una curva (sinusoide), por
: -. = ,elocidad esta en continuo cambio. Para saber su valor en un ins-
= :=:eríamoslrazarla tangente en dicho puntoy luego calcular su pen-
- "-. = 3.8).
' - . : :. alumnos que tengan conocimientos de cálculo diferencial, sabrán
. : .:: Zdñdo la derivada de una función obtienen otra, cuyos valores co-, : : - f en a los de las pendientes de las tangentes en cada punto de la', :- quefuederivada.
",,:^ificaquesideriivamos la función x (t) = ¡ . sen (c¡ .t * 0), obtenemos
i "- -: rn v (t)= r¡.A.cos (or .t + $).
-¡lo2- '.',A.S.delejemplo 1 cuya ecuación es:x (t) = 010 sen
- )a :i grafiOue ia functÓn v = | (ti
: ..ónv=l'it) esunafunciónciei tioo "-'r ':cs ':-: -:"'',,,, - .,,,1.r--,1 7eiángurodec::t'.: 1 - .a :::''ccenlos
-r ao :l v (ti - 0,10n . cos (n . t *Sl-:nsrruir ta gráfica v = f (t), podemos calcuiar algunos Valore s ce '.,eloci-
-.,tirzando la ecuación v (t), que nos sirvan de guía para rea l za r er traza-
- .ecordar la forma de la función coseno y desfasarla un ángulo cle ;rad.¿
0,10
Fig.6 El rrovimiento comienza desde su posición
máxima.
V=0i--- -- -ii¡ri
X=-A X=O x=A
Fig. 7 En los extremos la velocidad es nula y en el
punto de equilibrio la velocidad es máxima.
+"
Fig.SVemosque cuando x =A o x = -A,la pendien-
te es nula (v = 0) y cuando x = 0, las pendientes al-
canzan sus valores máximos.
f, l
2,0 t(s)l
3 Ver anexo 4 (Pá9.1a6)
78 |
oserlacienes
Fig,9 Gráficas correspondientes a las funciones
x(t)=s,16sen(n.t+]) V
v (t) = 0,10r.cos (n.t + !).
sen (c) = sen (tE - a)
cos (o¿) = cos (2r¡ - a,)
Fig. lO Cuando realizamos el arcoseno o el arcoco-seno de un número debemos recordar que existen2 soluciones por período. La calculadora sólo nos da
una de ellas, la otra debemos determinarla utilizan-do las relaciones indicadas.
X=-A X=0 X=A
Fig. 11 F y á tienen siempre el mismo sentido,que es contrario a la posición del cuerpo.
4 Recuerdequelas gráficasx=f(t)yv=f(t)repre-sentan magnitudes distintas.
g, "a
t'ye.c. t !c",vJ ¡o v,q,,!*,. 1 . \!l \¡uc yC lullU!,4f 1,...
corresponCiente a este movimiento. Podemos ooservar que re rc)¡ r'rr(
las gráficas sóio difieren en la posición del eje de las ordenada-'
!n t¡':ira l$..t- - a i,ó OráfiC: ., =f it\ r.,- ¿,.i9¡¿'r-¡n'-'t\f\ -tt')rt/-, ^.¡r ñór¡aa\/r.)^ro^otr¡- -
)u5ttrutntos €r Váloi oe , ert ta ecuacron x tL v úe5L
0.0-50 = 0.10 sen ír . t - -I-' =. 0.5(i = S€n i- *
El sicurenre oaso es naiiar ei anguio cuyo seno V?l€ 0,-5r., r ,( ir,-i :
LafunclonmatematlcaouenoSoermitehacereStos..jF. '¡< carcutao()r¡'r, ra fLrrrcrort atcosgno esT? tn6'6¿ : :
tec'a ¡c) mrs!-r)a oile ia oe ii rLlníton serro. nPro o!.€r,,.:r,' .. )
olra te(ic oerreraimente rotuiacic ir-trr¡i, ii':,. . .. ::Arcsen(0,5Ür= (r¡.t+") =
(),52=rT.t++ = t=-i.,.,t:i,:.t
Hemos obteniclo como solución un tiempo negatrvo soiu.r(,'i üirr: iro::correcta.El problema radica en que el arcoseno de 0,5ü t¡ene rnás cie un.solución. Por cada período tiene dos soluc¡ones y la caicuiaoora soio nos c:una de ellas. Si a la obtenida con la calculadora la denominamos "G." ia ot-:es "ty - cr." lFiq. 10). Como a = 0,52 rad la otra solución es (r - 0,-i 2 j r¿ti
La siguiente soluc¡ón es: n - 0,52=n.t* + t=0,33s
Relación acelerac¡ón - t¡empo y fuerza - tiempoLa ecuación de la v = f (t) la obtuvimos al derivar en función del tiempo la
ecuación x = f (t). Nosotros sabemos que la variación de velocidad en fun-ción del tiempo es la aceleración del movimiento. Si razonamos de formaanáloga al caso anterior, podremos obtener la ecuación a = f (t) derivando la
funciónv=f(t).
La aceleración de un cuerpo con M.A.S. puede expresarse en fun-ción deltiempo con la ecuac¡ón: a(t) = - 6¡'z.¡ .sen (or .t + 0). S¡endo elproducto "o)'. A", la aceleración máxima + a.á,= co2. A
La ecuación de la segunda Ley de Newton expresa una relación directa-mente proporc¡onal entre la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo (masa
constante) y su aceleración. Si multiplicamos la función a(t) por la masa del
cuerpo obtendremos la función F(t).
La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo un cuerpo con M.A.S. pue-de expresarse en función deltiempo con la ecuac¡ón:
F(t) = - m. a.á, . sen (co . t * O). Siendo el producto "m. a,r," l" fu"rr"máxima I F.¿,=m.amáx. (Fig. 11)
=eño
P-{': :rP-f=':
ú--
@sl'1ü -É;
3'''¿ {TE
z
oscitac¡oicsl 79
:cnstruirlagráficapodemoscalcularvaloresdeaceleraciónparadife-:; :iempos y con ellos trazar la gráfica (Fig' 12)'
:c :.rvamos las gráficas x = f (t) ! a = f (t) vemos que sus formas (sin tener
:-:nta sus valores) presentan simetría respecto al eje de los tiempos'
:: .: puede explicar por el hecho que la función fit) ::'lt t:lt-t-T:: :: pueog gxpllLdr P(JI Er rtsL¡rv Y"" ';.I :, a A,, multipiicada porel seno de (n .t + f) V la función a(t) es una constan-
',.::::iva "- a.,*" *urtipil.iu;;;;ü;; o"lu tnittu expresión (n 't + f)'a (t) - -r,r'.A.sen'(ol't+0) vsimplificandoobte-
-.do el cociente rt Í =ffi / Jrrrrv¡rrrsvrrY-
,:: que una expresiÓn (independiente deltiempo) para la aceleración
:a la funcióh d = f (t)y realice la gráfica de aceleración en función del
: : del M.A.S. del ejemplo 1 cuya ecuación es:x (t) = 0'10 sen (n i + L2)'
.:-ación de la aceleración es: a(t) = - amá'' sen (t¡ 't + O)'
., = .r'.A ?a.r*=0,10.n'S = a(t)=-0,10'n"sen (n't++l
---:lón de la Posición a = - @'' x
4 Determinación de
olo 3
.':'ca (Fig. 13) muestra la posición en
.:: a una partícula en M.A'S'
Fig. 1 2 Representación gráfica de las funciones
x(t)=0,105s¡(n.t+]) Y
a (t) = - 0,10.n'. 5en (n't+ !).función del tiemPo corresPon-
,a --:'iba la ecuación x = f (t)
;¡ ::-ación es: x (t) = A' sen (ol't + S)'
2'L = 2+
=, 6¡ = 2,s .n$¡,=-lOmy(D= T-- O¡O -,-
4r z- crara ecuación es x (t) = 0,20. sen (2,5n . t + $), sóro nos queda hallar "$".
::"::loextraemosdelagráficalossiguientesdatos:ent=0sxo=0'i5my,-,:;yéndolos en la ecu-ación podremos despejar eldesfasaje "$"'
l' j = 0,20.sen (2,5n.0*0) = +* =sen 0 = 0=Arcoseno0'75
;*::'demos del ejemplo 2,que cuando realizamos el arcoseno de un nú-
-=.: obtenemos 2 ,oiu.ion"r. una de ellas la obtenemos con la calculado-
'-: i --0,85 rad y la otra es 0, = n - 0'85 = 2'3 rad'
--¿t de las dos soluciones elegimos?
l=;Ceunprincipiosabemosque"O"dependedelascondicionesiniciales:= novimiento. t-us Jo, soluciánes (S' y 0,) fueron obtenidas conociendo la
:,-: ición inicial Oef oOjeto (xo = 0'1 5 m)' peio no aclaramos en que sentido se
:...:ba moviendo. p;;;J;gi, cuar de ros dos ánguros es er correcto, debe-
- ls conocer el sentido de la velocidad inicial'
Fig.13 La posición inicialdel móviles: xo =0'15 m'La
arñplitud es A = 0,20 m y el período esT = 0'80 s'
-0,10¡
a
l-:l0,10n? a = f(t)
-0,10n?
(m)
iln".*r¿"putttt*alculadoraalmodoradianes'
(m) x = f(t)
0,2 I
0,15
I
80 | 0scitacionesI
Fig. 14 A partir de xo los valores de la posición au-mentan = vo>0.También podemos observar que la pendiente en "xo"
es positiva.
5i los valores de pos¡ción a partir de "xo" van en aumento,la pen-diente x = f(t) en dicho punto es pos¡t¡va + la velocidad inicial es
positiva y elegimos la solución $,.
5i los valores de posición a partir de "xo" van disminuyencfo,la pen-diente x = f{t) en dicho punto es negativa = la velocidad lnicial es
negativa y elegimos la solución $,
Ln ei caso particular de este probiema la veiocioad iniciai "i.." es posi:.:(Fie 1¿) y la ecuación del movimiento es: x(t)= 0,20.sen (2,5r.t+ 0,85
stsilthA t[AsA - RIs0Rrt
En un sistema masa - resorte (Fig. 15) la fuerza neta sobre "m" es la realipor el resorte y su módulo es directamente proporcional a su variaciónlongitud ? F = - K.x,siendo K la constante elástica del resorte (Ley
Hooke).
Sustituyendo F por el producto m. a = m. a = -K.xFig. t 5 La fuerza neta sobre"m"es directamente pro-porcional a su posición.
El período de oscilación de uns¡stema masa resorte, al igualque cualquier M.A.S no dependede la amplitud del movimiento
Fig. 16
P. EQUILIBRIO
Fig. 1 7 Cuando el resorte se estiró AL = 1 Ocm,el pesose equilibra con la fuerza que realiza el resorte.
m.a=-K.x
2a=-(D.x
tK-,l-!m <
m.-(D'.x=-K.x = (D=
a
a
. Si co
Recordemos que la unidad de la constante elástica del resorte en el S.l.es S-Observa que ro,f yT no dependen de la amplitud del movimiento y si dela masa del bloque y la constante del resorte (Fig. 16).
Ejemplo 5
Al colgar de un resorte un cuerpo de 4009 de masa, éste se estira 10 c-hasta su posición de equilibrio (Fig. 1 7). Luego se desplaza el cuerpo 4,0 c-hacia abajo y se lo libera dejándolo oscilar libremente.
a) Determine la constante del resorte
En la posición de equilibrio la fuerza neta es nula = F "u*."
= P.
K.aL=m.g = r= T,g = o'oo-K-9-toS
=AL 0,10 mK=40+
b) Escriba la ecuación de la x: f (t) para el mo'.,,;niento del cuerpo.
Para escribir la ecuación x(t) = 4 . sen (r,r.t : -, r=:=^1os conocer A, co y 0.
- La amplitud es 4,0 cm, por ser lo máxirc r-: :: :'eja de la posición de
equilibrio.
K
m
q
\ /40=r/- =(r)=10IAd! 0,40 s
: -r:terminar Q sabemos que en t = 0s se encuentra en el máximo: -- iento x = 4,0 cm = 0,040m y su velocidad es nula.
" =.r.sen (rrr.t*O) > 0,04=0,04.sen(10.0+$) = sen4t= 1
- -':rseno 1 = 0 = !rad.(Fig.18). - :r del movimientoesx (t) =O,O4.sen (10.t + +)
:s ta aceleración del cuerpo cuando pasa por la posición x:2,0 cm7
:^ entre la aceleración y la posición en un lvl.A.S es:
- a=-(10+)'.0,020m = a=2,0+.
ia en un sistema masa - resorte
-.=^ra masa - resorte,que oscila sobre un plano horizontal sin roza-- - - :s conservativo. La energía mecánica (Er)que es la suma de la energía- :. : ) más la energía potencialelástica (U"),permanece constante (Fig.19).
"=-; a cinética en función deltiempo se calcula:
I
0sc¡lac¡ones 181
Recordemos que elarcoseno deun número tiene dos soluciones:
(c¿)y(lr-a).
Si c¿= 4 rad la solución es única,¿
porque la otra sería n - + = +Fig. 1 8 Caso particular del arcoseno de un número.
. - -1.V' -l
l t.=+.rn.(D'.A'.cos' (<o.t*0)
= A.cos(r,r.t+6¡ _l
:'; ra potencial elá
. K. A'. sen'(c,r . t * 0)
=1.ser't(rrt.t+S)
= - ='9ia mecánica se calcula Er= E. + U":
= = ín .(D'.A'.cos'(r,r.t * 0) * + .K.A'.sen'(r¡.t + 0)
t2K- - ':ando que co' = - V sacando factor común I .X .A' obtenemos:
= : K.A'[cos'(r¡.t+$)+sen'(ro.t+0)] = Er= +.K.A'
=,:resión obtenida nos indica que la energía mecánica del sistema es
, : la energía potencial elástica cuando x = A,lo cual es lógico ya que en: J nto la energía cinética es nula. (Fig.20)
:'':ir de la conservación de la energía mecánica, podemos deducir una:'=sión para la velocidad en función de la posición para este sistema.
=1,+U" = +.K.A'= + m.v'+ t.X.x',despejandolavelocidad
Fig. 19 La curva amarilla representa la energía ciné-tica y la violeta la energía potencialelástica.Su sumaen cualquier instante tiene el m¡smo valor y es la
energía mecánica del sistema.
La energía mecánica en un siste-ma que oscila con M.A.S. es di-rectamente proporcional al cua-dradode la amplitud = E'cA'.
Fig,20 Relación energía mecánica - amplitud en urM.A.S.
stica se calcula:
lJ '"=*
-x,
I
82 i0scilaciones
Fig.21 La componente tangencial de F es propor-cional al desplazamiento el péndulo, solo para án-gulos pequeños.
La relación entre el largo de lacuerda de un pénduloysu perío-do es: L ocT'
Fig. 22 Relación entre L y T.
PHilrUlo StfÍtPtI
Un péndulo simple consta de una masa puntual que oscila unida a un exlremo de una.cuerda de masa despreciable (Fig.21).Si la amplitud angulai (ex
es pequeña,elarco de circunferencia que describe la masa puede suponerserecto y la oscilación del péndulo puede considerarse un M.A.S.
Sobre la masa actúan lasfuerzas pesoytensión.Podemosverque la componente tangencial del peso está dirigida aproximadamente en la direcciondel eje "x" y su sentido es hacia el punto de equilibrio.
El período de oscilación del movimiento de un péndulo sólo depen-de de el largo de la cuerda y la aceleración gravitatoria. La relación
entre estas variables es: , = , . rnfIg
t=*.'F y",=\F
Como todos los movimientos armónicos simples, su período no deper>de de la amplitud del movimiento.
El período y por consiguiente o¡ y I no dependen de la masa del cuerpoque está oscilando.
Ejemplo 6
a) ¿Cuánto debo variar el largo de una cuerda de un péndulo para que s-período aumente al doble?
r=2n rE =*='E + L= -3--.T Gig.22)Yg 2n Yg 4.n'
Para hallar la nueva longitud (L') en lugar de "T" usamos "2T".
I =;A.4T' . Recordand:
.f = L'= 4L
L'=;7.QT)'y como (2T)'= 4T'nos
que la expresión del
b) ¿Qué sucede con el período de oscilación si utilizamos un péndulo con edoble de masa?
La expresión para calcular el período del péndulo es
pende de "m", por lo tanto el período no se modifica.
Egllll,,llrt =eLtlI c)
mir=mDr:Cr:r
ü i;,tftur-¿
furr:r@!€
l¡cD¡
GJ¡trr'Gffilnrlf :
lll,],¡ =r
(0=
no (2T)'= 4T' nos queda L'
largooriginaleraL= 9.4.rc'
r=),..,Er/ g
P,"¿i"t
y no de-
Oscilac¡onesi83
e*
m
¡e
ü ) c I t Acl0ltts Atn0RTtGUA0As
. - :-emplo de oscilador amortiguado es un sistema masa - resorte donde,: -:sa está sumergida totalmente en un líquido viscoso (Fig.23). El fluidor :3 sobre el bloque una fuerza de fricción cuyo módulo es directamente: :: crcional a la velocidad de la masa. La expresión para esta fuerza es F = -: . siendo "b" una constante que depende de la viscosidad del medio y la. --: del objeto.
: --':'iamentea loqueocurreen un M.A.S.,en un movimientoamortigua-::r , = :isipa energía y la amplitud de la oscilación decae.
-¡ ecuación de la posición en función deltiempo para un movimien-
u o,s(ilatorio amortiguado es x (t) - A .e*''sen (co .t + 0)
-b
,. =*presión A.eñ' nos indica que a medida que transcurre eltiempo. :.'rplitud del movimiento disminuye exponencialmente.
: : 'igura 24 vemos la representación gráfica de la función x(t).
, recordando que la frecuencia angular del movimiento
,'- cnico sin amortiguamiento es orj =
. : -: influye el valor de "b" en el movimiento oscilatorio?
" : -: r mayor es el valor de "b", la amplitud decae en mayor proporción por,",.: ' :eríodo. Si el valor de "b" es muy grande, la fuerza amortiguadora es
:'ande y puede ocurrir que el sistema no oscile.
* :: - dición de existencia de "ú)" según la ecuación
,*,' esque r; (*)'>o + b<coo.2m
- rs genera 3 posibilidades (Fig.25):
! ( oo .2m = movimiento amortiguado (oscilante)
b = (Do .2m = movimiento críticamente amortiguado (no hay oscilación)
, ¡ (Do .2m = movimiento sobreamortiguado (no hay oscilación)
K b.,- \- /'m 2m
Fig. 23 Ejemplo de un sistema oscilatorio amor-tig u ado.
Fig.24 La amplitud de este movimiento disminuye
según la función A (t) = A.e:*'. Su representacióngráfica es la envolvente indicada con línea punteada.
Fig.2sa) amortiguado,b) críticamente amortiguado yc) Sobreamortiguado.
K
m,*,'
a+loscitaciones
0
-5,0
1,6 t(s)
Fig.2 Problema 5
Fig, 1 Problema 3
PNOBHIIIAS
1) La ecuación de un M.A.S. es: x (t) = 0,050 sen (16nt)
a) Determine: amplitud, velocidad angular, frecuencia y período.
b)Grafique x=f (t)
c) Calcule v.r,, escriba la ecuación v = f (t) y represéntela gráficamente
d) Calcule a.r,, escriba la ecuación a = f (t) y represéntela gráficamen
2) Con los datos del problema anterior determine:
a) La posición,la velocidad y la aceleración a los 0,20s de comenzadomovimiento
b) ¿En qué instante pasa elcuerpo por primera vez por la posición
La gráfica (Fig. 1) corresponde al movimiento de un cuerpo unido a un resor:g
a)Determine:A,T,l ro.
b) Escriba la ecuación de la elongación de resorte en función deltiemp:
c)Escriba la ecuación v = f (t) y a =f (t) del cuerpo y realice su represe-*tación gráfica.
Un cuerpo oscila con un movimiento cuya ecuación es:
x (t) = 9,59 sen (2 ." .t+ \)a)Escribalasecuaciones V=f (t) y a=f (t).b)Realicelasgráficas x=f (t), v=f (t) y a=f (t).
a)Escribalaecuación x=f (t) v=f (t) y a=f (t),correspondientedmovimiento (M.A.S.) mostrado en la gráfica (Fig.2).
b) Grafique v = f (t) y a = f (t).
c) ¿Para que instantes la velocidad es nula?
d) ¿Para que tiempo el módulo de la velocidad se redujo a la mitad dede la velocidad máxima por primera vez?
¿Cuál de las gráficas de la figura 3 corresponde a la ecuación:
x=O,2sen(5.lT.t+I)?6t.
7) a)Escriba las ecuacionesx=f (t),v=f (t)ya =f (t)delmovimiento corres-pondiente a la gráfica de la figura 4.
b) ¿Cuál fue la posición y velocidad inicial?
c) ¿Que velocidad tiene el cuerpo cuando pasa por la posición x = 0,0Bml
_r
:rC
=
f
-0
0,2
0,1
0
-0,20
5n t(s)
x(m)0,2
0
-0,20
0,20
0,40t(s)
x(m)
0,1
Fig.3 Problema 6
0
-0,10
Fig.4 Problema 7
3)
4)
s)
6)
¿Cuál es la posición y la velocidad inícial?: Escriba las ecuaciones x =f (t),v = f (t), a = f (t),F = f (t)y realice sus:'áficas.
cloque (Fig.5) de masa 2,oKg oscira entre ros puntos A y B comenzan-: en A y demorand o 0,1n segundos en llegar por primera vez a B.lscriba la ecuación x = f (t) y realice su representación gráfica.Jetermine la constante del resorte
: 3rafique la energía mecánica en función dertiempo para un período- = :scilación.
: lalcule ra energía cinética y potenciar erástica cuando er broque pasa: -' 1a pe5i6ión x = 5,0 cm.
^ :uerpo (m = 200 g) se cuerga de un resorte verticar estirándoro r Ocm:::a su posición de equilibrio. Se lo estira 5,0cm más y se lo suelta.Lales la constante del resorte?
---:rjque y = f(t) y escriba su ecuacÍón.
: ='dulo simpre realiza 1o oscíracíones en 0,50minutos.-= :ule el período y la longitud de la cuerda.l,é sucede con elperíodo sila masa del péndulo se duplica?I -e sucede con er período si ra rongitud de ra cuerda se duprica?I -e sucede con er período si ra ampritud de ra osciración se duprica?
:¿la de m = 10 g se mueve con velocidad 500 $, choca con un: 'drd ue m = ru g se mueve con velocidad 500 $, choca con un---e de m=2,49 Kg inicialmenteen reposo (Fig.6),qtr;;;;;;i;rrr_
, l::;:llji":::::,if p^.y.d" en un prano ná,¡,ontarli," v ,"ia" .ine la ecuación de la oscilación que
=:;ación que describe la velocidad en función del tiempo de un=:3 es v = 0,2 n sen (4r t).
.-:íiquev=f(t).;:riba la ecuación x = f (t) y grafíquela
.criba la ecuación a = f (t) y grafíquela.
,a masa del cuerpo es 2O0g,escriba la ecuación F = f (t) y grafíquela.
I =¡uestre que el período de osciración de ros sistemas de ra figura 7 se
:, :ulan: T = 2n. 'i t
. Siendo K,o en cada caso los siguientes:V K,o
oscitacionesJas
<->20 cm
Fig,5 Problema 9
Jn cuerpo de masa m = 2,0Kg apoyadoen un plano horizontal sin fric_
::i.",li:13^;::ru ou i = +so # t" despraza er cuerfo r o cm
Fig.6 Problema 1 2
trr
I
.) 1 =1*1' Kro K, K,Fig,7 Problema 14
' (=.=K,+K, b) Kro-K,+K,
I
I
III
II
86 I 0sciracrone:r.
Fig.l Problema de examen 2
Fig.2 Problema de.examen 3
Fig.3 Problema de examen 5
y (cm)
Fig.4 Problema de examen 5
PR0BIE]IAS 0E EtfAiltEl{
1) una partícula realiza un M.A.s. según una trayectoria vertical efectuado 60 oscilaciones por segundo. se la empieza a observar cuando
r
:-$
_t
35;
2)
!
pasando por la po-sición de equilibrio hacia abajo y en ese ¡nstantevelocidad es 5,0 S.a) ¿Cuál será su posición en t = 4,2x10'3s.
b) Grafique a = f (t) para medio período. (Liceo No 't - paysandú)
3)
4)
s)
6)
Un sistema masa - resorte oscila con M.A.S. (Fig. l )
a) calcule y represente la elongación, aceleración y fuerza restauradoeento y tr.5i t0=0,0s, t,=0,75s, V,¿,.=2,0+ym=0,50Kg.b) Represente elgráfico de la posición en función deltiempo.(Prof.V. Orcesi - l. Crandon)
El bloque de 0,50 Kg (Fig.2) oscila entre las posiciones ',1 " y "2" con M.AS
a) Represente la velocidad,la aceleración ,la elongación y la fuerza enlas posiciones 1 y2.
b) Escriba la ecuación de su velocidad en función der tiempo y trace s.,¡
gráfica. (Prof.V. Orcesi - l. Crandon)
una masa efectúa un M.A.s.con centro en su posición de equilibrio x = 0r.-La amplitud de la oscilación es 0,15m, la frecuencia f = 8,5 Hz y su pos-ción inicial es 0,060m. Escribir una expresión para "x" en función detiempo para este movimiento. (prof. G. Oribe - Colegio Ser)
La gráfica del estiramiento de un resorte en función de la fuerza aplica-da al mismo se indica en la figura 3. cuando ar resorte se le cuelga unamasa de 2,0 Kg,oscila según la gráfica y = f (t) (Fig. +). En esas condiciones determine la velocidad de la masa alcabo de'1,0s.
(Prof. H, Bentancour - l. Ariel)
un resorte cuelga del techo, cuando se le cuelgan dos pesas de 3009cada una, se estira 20cm hasta quedar en equilibrio y en reposo. En esemomento se corta el hilo Qle une las pesas y el sistema comienza a
oscilar con una masa sola.
Escribalasecuaciones x=f (t), v=f (t) y a=f (t).(Prof. H. Bentancour - l. Ariel)
una masa "m" oscila con una frecuencia "f unrdo al extremo de un re-sorte de constante "K". si hago oscilar el resorte colocando en su extre-mo una masa doble (2m),entonces la nueva frecuencia de oscilación f
'
está relacionada con f por:
a)f '=2.f b)f'= fi.f c)f = f I ,
7)
f2
e) ninguna de las anteriores. (Licec ::
una cuerda de masa "m" cuelga de una cuerda de rongitud "L" experi-mentando una osciláción de período "T". se aumenta la longitud de lacuerda al doble, pasando a oscilar con período Ti La relación entre elperíodo T y el nuevo T'es:
c)T= 2.T' d) T= \E.T' e)f = frb)T=I'2
llscilaciones i 87
V = 4,0*
Fig. 5 Problema de examen i 0
Fig.6 Problema de examen 1 1
a)T=T'
f ) ninguna de la anteriores. (Liceo de Carmelo)
Jn reloj de péndulo posee una varilla de longitud "L" y oscira con unceríodo "T". La varilla se dilata aumentando su longitud en un 1oo/o,pa-sando a oscilar con un período T'. La relación entre T y T' es:
:)T' = T b) T' = r/i,r .t c) T' =Tt- d) T',=
0,1 .vz:r ninguna de las anteriores. (Liceo de Carmelo)
-in cuerpo de m = 10^0 g está unido a dos resorte (Fig.5) de igual cons-::nte elásticaK=20 # yr" mueve sobre un plano sin fricción.conside--ando t = 0 s cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio:cn v = 4,0 +.¿Qué velocidad tendrá en t = 0,10 s? (Liceo Zorrilla- No 4)
: sistema de la figura 6 consta de una masa "m", una cuerda de L = 1,0 m y:cs resortes de constantes k = 20 # t o'= :o S .cuando el sistema se::para de la posición de equilibrio, describe un'n¡.n.s. ¿cuál es el valor:: la masa "m" si el período de oscilación es 0,80 s?
rrof. H. Bentancour - Escuela lntegral)
I
iI
I
88 | 0scilaciones
Fig.2 Control de práctico
0,50
1,0
1,5
2,0
2,5
Fig.3 Control de práctico
14,2
20,1
24,5
28,2
31,7
GO]ITROIES IIE PRIGTIG||
Movimiento armónico s¡mDle
La cinta (Fig. 1) adjunta fue tomada con un timer cuyo At = 0,02 s,y registnel movimiento de una pesa unida a un resorte (Fig.2) desde la posición "A'
hasta la posición "-A" (medio período).
a) De los datos de la cinta determine el período y la amplitud.
b) Calcule la frecuencia angular.
c) Grafiquex =f (t),tomando como punto de referencia x = 0m yt = 0s el
punto medio del intervalo.
d) Compruebe gráficamente que x oc sen (rrl . t).
e) ¿Qué significado físico tiene la pendiente de la gráfica anterior?
f) Calcule la velocidad instantánea en tres puntos que usted elija.
oo o o o o o o o oo
Fig. 1 Cinta registradora.
Péndulo
El cuadro de valores (Fig.3) se obtuvo midiendo el tiempo correspondientea 10 oscilaciones completas de un péndulo al que se le fue modificando la
longitud de la cuerda.
a) GrafiqueT=f (L)
b) ¿Es directamente proporcional la relación entre T y L?
c) Determine gráficamente la relación funcional entre el período y el largode la cuerda.
d) A partir de la gráfica anterior calcule el módulo de la aceleracióngravitatoria "lQl".
@,,8
lruE:
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G
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-@aF-g
Ia
*,r- - - ^ gamos un recipiente con agua en reposo en el que dejamos caer unaF,'r'-,:ña piedra. Allí veremos la formación de una onda circular que se pro-r".l = :iejándose del centro. Si dentro del recipiente colocamos un corchitor : ' observaremos que cuando es alcanzado por la onda se desplaza'q- :almente hacia arriba y hacia abajo,pero no es arrastrado horizontal-
:: por la onda.
'gura 2 vemos dos niños sosteniendo los extremos de una cuerda. Si:= ellos comienza a agitarla, la perturbación comienza a transmitirse a
- ^tos contiguos generándose así una onda a lo largo de ella. Si marca--^ punto de la cuerda, podremos observar que oscila sin desplazarse: rección de la onda.
:. :jemplos anteriores se generó una onda produciendo una perturba--)l^ l^ --:a----l- I- :=, medio (agitandoel agua y moviendo un extremo de la cuerda).Lue-
.,:a alteración se fue transmitiendo a otros puntos, pero sin que exista-':^sporte de materia.
-n,a onda o movimiento ondulatorio es una forma de transportarenergía de un punto del espacio a otro, s¡n que se produzca conjun-:¡r'nente transporte de materia.
=..: capítulo estudiaremos las denominadas ondas mecánicas, son las. :: propagan en medios materiales elásticos, por ejemplo a través de
r'- ' : -erda o el sonido en el aire. Estas ondas se originan cuando un punto-:dio material se desplaza de su posición de equilibrio y comienza a
''. Debido a las propiedades elásticas del medio esta perturbación se-,rite a un punto contiguo y así sucesivamente a otros puntos,
=^Cose la propagación.
:aso de las ondas electromagnéticas como la luz, ondas de televi-':yos X,etc,la energía es transportada por campos eléctricos y magné-rue como ya hemos visto se pueden propagar en el vacío.
c as longitudinales y transversales-- ' 'orma de clasificar las ondas, es según la relación entre el sentido de pro-.: =:ión de la onda y el sentido en que se mueven sus partículas materiales.
rJna onda esTRANSVERSALcuando las partículas del medio materialos<ilan perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
Fí9. 1
Fig.2 La perturbación se transm¡te a lo largo de lacuerda desde un niño hacia el otro, sin embargo, los"puntos" de la cuerda no se trasladan.
90
Por ejemplo, si se agita el extremo de la cuerda horizontalmente (Fig.3onda se propaga verticalmente.
Una onda es LONGITUDINAL cuando las partículas del medio materialoscilan en la misma dirección que se propaga de la onda.
Las espiras del resorte (Fig.a) oscilan horizontalmente hacia delante y hacaatrás, al mismo tiempo la perturbación se propaga en la misma direcció'
COMPRIMIDO COMPRIMIDO
:*_'-{l .€-'
DIREccIÓN DE
PRoPAGAcIÓN
DE LA
PERTURBACIÓN DIREccIÓN DEL
MOVIMIENTO
PARTÍCULAS DE
LA CUERDA
<- DE LAS
Y
Fig.3 Ejemplo de onda viajera transversal.
Fig.5 Las onda se propaga radialmente desde elpunto donde se generó. Este es un ejemplo de ondabidimensional.
ESTIRADO
Fig.4 Ejemplo de onda longitudinal.
ESTIRADO
Ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales
Una onda es unidimensional cuando su dirección de propagación es ún :aPor ejemplo las ondas que se transmiten en el resorte de la Fig. 4, tierardirección horizontal coincidiendo con la dirección en que este ubicadc 3i
resorte. Sin embargo las ondas producidas en un recipiente con agua repropagan en todas las dirección del plano (Fig.5),formando lo que se de-,:-mina un frente de onda circular.
También existen ondas tridimensionales, en este caso la propagación es :ncualquier dirección del espacio. Por ejemplo la luz que emite el filamentc ¡euna lamparita, se propaga en las tres dimensiones del espacio.
VCRESTA
VALLE
Fig.6 Todos los puntos de la cuerda t¡enen M.A.S.
Puede observarse que la forma de la cuerda en cual-quier instante es sinusoidal.
Fig.7 Dos puntos que se encuentran a una distancia")"" se mueven en fase.
'r .. ''i i-r +.r l*r i{ l,
Una forma de producir una onda armónica en una cuerda tensa, es come--zar a mover uno de sus extremos hacia arriba y hacia abajo con un mo,.-miento a rmón ico sim ple. Un instante después, com enzará a moverse el pu n::contiguo y asítodos los puntos de la cuerda se verán afectados por la pt'-turbación.
Todos los puntos de un medio material por los que se propaga una onciarmónica se mueven con M.A.S.(Fig.6).
. Todos los puntos en algún instante alcanzan la máxima elongación (y =A), siendo esta la amplitud de la onda.
. La frecuencia (f ) y por lo tanto el período (T) de oscilación de todos lc:puntos es el mismo.
. Los M.A.S.de los diferentes puntos están desfasados unos respecto a otrc:dependiendo de su posición.
. La distancia entre dos puntos consecutivos q ue se m ueven en fase (Fig.7) s:denomina longitud de onda y su notacion es ¡ lambda).
. Mientras un punto del medio materier 'aa)'z¿ una oscilación completa(período),la onda se propaga una d s:-' : - . -¿ a la longitud de onda "7,' .
I
Sien una ecuación y(x,t), füamoseltiempo. Obtenemos una fun-ción y (x), que representa la for-ma que tiene el medio material(cuerda) en ese instante.
Si en una ecuación y(x,t), füamosla posición "x" . Obtenemos unafunción y (t), que representa etM.A.S del punto que se encuen-tra en dicha posición.
Fig.8
La ecuación que describe unaonda armónica que se propagahacia la derecha es:
y(x,t) - A. sen (K. x- cr). t + O)
La ecuación que describe unaonda armónica que se propagahacia la izquierda es:
y(x,t) - A. sen (K. x+ ú). t + 0)
Fig.9 Ecuac ion de una onda viajera armón ica que sepropaga por el eje "x".
MAGNITUD UNIDAD {S.I.)
m
5
Hz
radS
m
m
T
fCD
k
A
!
I
t
[. rr*ili:,';Ji;:Y i: ü::,: il::,i:ffi'I:n''u q ue se pr'pasa e n
I v (x,t)= A.sen (+ .- - + .t * O)
I -' :cuación de la onda armónica es una función de dos variabres y(x,t).
I - : significa que para saber la posición "y" de un punto, debemos cono-
I -;:::;::,":.1,.';'=L,
cuya unidaden e,s, es:
I rad
I , ,
t*lrros frecuencia ansuta* o, = #,cuya unidad en er s r es:
I . u,l.rouo de propagación de la onda es constante =
¡ u,=+=j!=,..r=eI : :=;fasaje "$", depende de las condiciones iniciales de la onda. cono-I - : - ro la posición y velocidad de un punto del medio en un determina-I - . -;tante, podemos despejarlo de la ecuacicn.
I - ' = ::ación que describe una onda armónica que se propaga en el sen-
I - ::creciente de "x" (hacia la izquierda), difiere solamente en un sig_
I ' , .=-ioecto
a un onda que se desplaza en sentido contrario:
I y(x,t¡=A.sen r#.*.+.t*O) (Fis.e)
lFLrLlF - --: :: i=25h:J -',"'
I .- \.!,;..)t tuaj )t ,rt -):-t¿- :. ln ., .
F - . ?','' ;5h¿ .. = 2:. ', \'su senil,l:, --,
F :. .l€ X . ;)crQ;JÉ ,:'s lc ir',]r'. i signr ce inai- _-.-
l" ,r .te a onda,
I
Fig. 10
gráfica y (x,0) es la forma de la cuerda
Fig.14 Si el punto "J" sube. la onda se desplaza haciala izquierda.
1 El período de esta función no es un tiempo sinoun distancia, porque la función es y (x) y no y (t).
:t i.';!bt¡je- ia forma cle la cuerCa en t = ()s.
ri 5'¡'-,r.¡¡';¡r¡¡S t - rls en ia €Cuac;ón cie la onda, cll:r'r'r{rrtos rlna fur¡cicn c::l(¡r'.. ior ver{ical "v" :especto a la posiciór.t horiz(.'it,_¿i ",(".
:r (x,0),-- r,1. ¡ii. sen i.2,5 .x - 50;r . 0) ..; y(x,0) =0,'!0.sen (2,52r.x)
La representac¡ón gráf¡ca de esta función y (x) es ia forma de la cuerdeilicho instante. Para dibujar la forma de la cuerda oodemos calcular aigur lvaicresce lafunclót1 entrex=0yx=i (recuerdequeei "período" oe e:funcrán es,1") para tomar como referencia en el trazado. También poden-recordar (Anexo 4) la forma de este tipo de funcicnes (Fig. 1 1).
d) Dibuje la forma de la cuerda ۖ t = 0,010s.
Siguiendo el mismo procedimiento determinamos y (x,0,010):
y (x, 0,010) = 0,10 . sen (2,5n . x - 50n . 0,010) =y (x,0,010) = 0,10 . sen (2,5n . x - 0,50n) (Fig. 1 2)
e) Escriba la ecuación del movimiento del punto ubicado a 0,40m del etremo inicial de Ia cuerda (x = 0m|
Sustituimos x = 0,40m en la ecuación de la onda y obtenemos:
y (0.40s,t) = 0,1 0 . sen (2,5n . 0,40 - 50n . t)
y (0,40s,1) = 0,10 . sen (ft - 50n . t)
Ejemplo 2
La figura 13 nos muestra la forma que tiene inicialmente un cuerda por ,a
que se propaga una onda armónica. En dicho instante el punto "J" se mue,econ v = 4,0 n $ en el sentido indicado.
a) Calcule la velocidad de propagación de la onda e indique su sent¡do.
El valor v = 4,0 n f es la velocidad transversal (M.A.S.) que tiene el punto '-'al pasar por la posición de equilibrio, o sea su máxima velocidad.Y no deb=confundirse con la velocidad de propagación de la onda.
Calcularemos r,r y K para determinar la velocidad u = 9K
rrl 40n\, - _' K 5,0n
v=8r0*
Si en t = 0 s el punto "J" está en la posición de equilibrio y subiendo (Fig. l4un cuarto de período después su posición vertical será y = A. En la figura 1a
vemos la forma de la cuerda pdra t = I "n .olor. rojo. Podemos concluir que,4
la onda se desplazó hacia la izquierda.
11 La
= 0s. E!
Fig. 12 Podemos observar que la forma de la cuerdaen t = O,01Os está desfasada -]n de la forma quetenía en t=0s.Estosedebea qüe0,0l0ses un cuar-to del período.
ll¡rcd
JülhrrIlSc
¡.I
[¡c!!tll!üe
l¡e
GE
EGü(bdi!V.¿,=o.A + c¡=+ = (D=40"+
i
IK=2:L= ^+ 3 K=S,orum-, ]¡, 0,40
E
Fig. 13 Forma de la cuerda en t = 0s
93
I
I
I
IIjj
I
:
I
I
¿
,,elocidad de las ondas en un medio material dependen exclusivamente
determinadas propiedades del medio, relacionadas generalmente con
lensidad y elasticidad.
el caso de una cuerda'?depende de su densidad lineal de masa "pt" (letra
, del alfabeto griego)y de la tensión (T)a la que esté sometida'
Denominamos DENSIDAD LINEAL DEMASAdelacuerda,a la masa por
unidad de longitud = p = ttr-'su unidad en el s'l'esS'trig'rot
-= :uerda se puede tensar por varios métodos, por ejemplo en una guitarra
= -tlliza un clavijero. Un método práctico para tensar una cuerda es colgar
: = :lla una pesa de masa "M" conocida (Fig. 1 7 ).
-. expresión para calcular la velocidad de propagación de las ondas en la
l-r:-='daes: u=V*
- = análisis de esta ecuación concluimos que, sólo podremos variar la velo-
- :ad de los ondas en una cuerda modificando su tens¡ón.Y que la propor-
- :ralidad entre estas variables es vccrli. por ejemplo, para duplicar la
= ¡cidad debemos cuadriplicar la tensión, para triplicar la velocidad la ten-
- ^ se debe aumentar nueve veces,etc.
I
#l
El signo "+" entre "Kx" y "cDt" nos
indica que la onda se ProPagahacia la izquierda.
Fig. 1s
1'0 1,0 x 10-'Kg
Fig. 1 6 Conversión de unidades
Fig. 1 7 La pesa está en equilibrio, por lo tanto el mÓ-
dulo de la tensión de la cuerda es igual al peso de la
pesa .T = M.g
2 Supondremos que la masa de la cuerda está uni-
formemente distribuida en toda su longitud.
g_m m
Vpropaqación
/
Fi9 18 : iSar a un extremo fijo, el pulso de onda:'::.
Voroo"n".'on
t:'. 3f r'8
En los ejemplos que hemos visto hasta ahora,las ondas se propagaban rl-definidamente por el medio material.
¿Qué sucede cuando la perturbación llega a un extremo de la cuerda?
Así como la luz se refleja en un espejo o un sonido produce eco,las ondas €rt
una cuerda también se reflejan. La forma en que la onda se refleja depentde la cuerda y de las condiciones de sus extremos (ambos fijos, uno fijc runo libre, etc.).
. Si el extremo de la cuerda es fijo (Fig. 18) la onda al reflejarse se invierte D
sea se desfasa 180o respecto a la onda incidente. Si no hay pérdida rrenergía,la amplitud y la forma de la onda no cambian.
. Si el extremo de la cuerda puede moverse libremente (Fig.19),la oncareflejada no se invierte y mantiene su forma y amplitud.
¿Qué sucede si el limite no es totalmente rígido ni libre?
Supongamos dos cuerdas (Fig.20) de diferentes densidades líneas de mas¿
unidas en un punto "M". Si por la primera cuerda se propaga una onda. a
llegar a la unión "M", parte de la energía se transmite a la siguiente cuerda _,
parte se refleja. Si bien la frecuencia de la onda se mantiene constante, las
amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas son menores a la inicial.
En la figura 20a vemos que sucede si la onda de transmite de una cuerda o:menordensidad de masa a una de mayoryen lafigura 20b,elcasoopuesic.
l-t
:-150.. DENTE
Fig. 19 I-'::...
regar a un extremo libre, el pulso de onda
s'tgT
f..: --¡
Í-cu;:l3 3:|.a-'-
=
&5 lrtl
Pr¡ q
¡in¡ errls l
aR¡
n -l-:
==:*É- "
PULSO
REFLE.IADo ¡, l-r,
F' o*J ü,
TRANSMITIDO
Fig.20a Al transmitirse una onda desde una cuer-
da de menor masa por unidad de longitud a unade mayot el pulso reflejado se invierte.
PULSO
ú, REFLEJADO
<-
->vPULSO
TRANSMITIDC
Fig,20b A transr¡iiirse una onda desde una cue-da de mayor ¡r3s¿ oor unidad de longitud a ur-:de meno' e : - ,: '='elado no se inv¡erte.
ondasles
Ejemplo 3
-as cuerdas 1 y 2 (Fig.21) tienen el mismo largo L = 2,0m y diferentes masas,- = 40 9 y m, = 160 g.Calcule cuánto tiempo demora un pulso en propa-:erse desde el punto "A" hasta el "8".
lcmo primer paso calcularemos la densidad lineal de masa de cada cuerda:
m. 0.040 Koü.--L 2,0m
m, 0,160 Kq- L 2,0m
=) F, - 0,020 K9
m
3 F, = O,O8O K9
m
-a tensión de ambas cuerdas es la misma e igual al peso de la pesa que:relga deella.T- M.g =0,800Kg. tO$ + T=8,0 N
-: velocidad con que se propaga el pulso en cada cuerda va a ser distinta."3rque depende del medio de propagación y sus valores son:
'. =,E='ffi +v,=20+
, = \E=tffi e !,=10+ (Fie.22)
Si la tensión es constante:
Vc E-vu
P,=+ll2 = vr=2v2i
Fig.22 Ejemplo 3
: =! =+ + Aq =9,10s l:. =!=# + At,=0,20, -f
:mo la velocidad de propagación en cada cuerda es constante:
Ator=Atr+At,
Ator-0,10s+0,20s
Ato, = 0'30 s
D0PPrtR
experiencia cotidiana puede ser escuchar el sonido de la sirena de unabulancia o la bocina de un coche en movimiento (Fig.23). La frecuencia
I sonido que perciben nuestros oídos mientras el móvil se acerca es dis-ta a la que percibimos cuando el móvil se aleja. Esta variación de la fre-ncia de una onda causada por el movimiento entre la fuente que emiteondas y el observador se denomina Efecto Doppler.
Fig. 23 La frecuencia del sonido percibida por el ob-que se manifieste el efecto Doppler debe existir movimiento rela- servador cuando la ambulancia se acerca a ét es
entre la fuente de onda y el observador. A cont¡nuación analizare- mavorquecuandosealeja'
3 casos:
Fuente en movimiento y observador en reposo
ngamos un observador en reposo respecto a un sistema de referenciaun fuente que se mueve con velocidad "v," respecto al mismo sistema de
Fig.21 La tensión es igual en ambascuerdas.
. La fuente emite ondas que se propagan con velocidad "v" y tie-
QÁ
Si la fuente se acerca alobserva-dor,la frecuencia percibida poréste, es mayor a la emitida porla fuente.
Fig.24
Si la fuente se aleja del observa-dor,la frecuencia percibida poréste, es menor a la emitida porla fuente.
Fig.2s
Si el observador se acerca a lafuente, la frecuencia percibidapor éste, es mayor a la emitidapor la fuente.
Fig.26
5i el observador se aleja de lafuente, la frecuencia percibidapor éste, es.menor a la emitidapor la fuente.
Fig.27
-5,0
-5,0
Fig, 1 Problema 3
La frecuencia "f " percibida por el observador será:
t) 1lf = fo . I _-; ] si la fuente se acerca al observad or.(Fig.24)
lr- v lrl 1l
f = fo . - r¿ | si la fuente se aleja del observador. (Fig.25)
[r+vJ
b) Fuente en reposo y observador en movimiento
La frecuencia "f" que percibe un observador que se mueve con velocidaC"vn" respecto a una fuente en reposo, que emite ondas de frecuencia "f," es
f = f" (1 + vo ) si el observador se acerca a la fuente. (Fig.26)
V
f = f" (1 - vo ¡ si el observador se aleja de la fuente .(Fig.27)
V
Recuerde que "v" es la velocidad de propagación de las ondas.
c) Fuente en movimiento y observador en movimiento
Si tanto la fuente y el observador se encuentran en movimiento la frecuer'
cia que éste percibe es: f = f, I I =
Il"Iv+v,]
1) La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es
y (x,t) = 0,10 sen (0,5¡ . x -20n . t) (M.K.S.)
a) Hallar:amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación
b) ¿Cuáles el sentido de propagación de la onda?
c) Calcule la velocidad máxima y mínima de un punto de la cuerda.
Represente la forma de la cuerda correspondiente al problema anterioren los siguientes instantes:
a)t=0s
b) Luego de transcurrido un cuarto de periodo
c) Luego de transcurrido medio período.
d) Alcompletarse un período.
.¡l --= -
l=
s-
-i
=.:
{
Sjl-1A
2)
' t'.1 VU ¡J dr-
Ss¡da* 97
La gráfica 1 (Fig. 1) muestra el movimiento que describe el primer pun-to de una cuerda. La gráfica 2 muestra la forma de la cuerda en t = 0s.
a) ¿En qué sentido se propaga la onda?
b) Escriba la ecuación de la onda armónica.
c) Calcule la velocidad de propagación de la onda.
d) Escriba la ecuación del movimiento del punto ubicado en la posiciónx = 0,20m y represente su gráfica y = f (t).
La figura 2 representa la forma de una cuerda €ñ t = 0s por la que sepropaga una onda armónica La velocidad del punto "J" en ese instantees an $ vertical hacia abajo.
a) lndique y justifique el sentido de propagación de la onda
b) Escriba la ecuación de la onda
c) Grafique y escriba la ecuación del movimiento del punto "J" en fun-ción deltiempo.
C) lndique la posición de un punto que se mueva en fase con "J" y otroque esté desfasado n rad con é1.
-a cuerdas de la figura tienen igual largo, la tensión de la 1 es el triple:ue la de la 2 y sus masa cumplen la relación ffiz= 4 m,.¿Cuál es la'elación entre las velocidades de propagación de las ondas en ellas?
A que velocidad debe moverse una fuente de sonido para, que la fre-:.iencia percibida por una persona en reposo sea un 4o/o ma\or que la
'recuencia emitida ? (V,oni¿o = ¡+O T)
r*.$$ illH ilt&*Hfis
- na cuerda vibra y pdrd t = 0,0s se representa el gráfico y = f (x) (Fig. 1).
-a velocidad de propagación es 2,0 + hacia la derecha,
: Escriba la ecuación de la onda viajera.
l, Represente la forma de la cuerda en t = | . tr,..o No 35 - l.A.V.A)
,na onda que se propaga en un determinado medio tiene una ecua-:'ón y (x,t) = 0,020 sen (126x- 31t) donde "x" está en metros y "t" en
'egundos. El medio de propagación se cambia sin cambiar la frecuencia:e modo que la velocidad de propagación de la onda se hace el doble.
: Escriba una ecuación que describa esta nueva situación.
o I Para este caso determine la elongación para t = 0,050s y x = 0,010m
-iceo No1 - Melo)
Jna onda progresiva avanza sobre una cuerda con una frecuencia de50H2. La gráfica (Fig.2) nos muestra la forma de la cuerda en t = 0s.
a) Determine la velocidad de propagación de la onda.
c) Represente las velocidades de los puntos BQ y R en t = 0s y compárelas.
LiceoNo3-l.D.A.L.)
Fig.2 Problema 4
i
I
Fig.3 Problema 5
-2,5
Fig. 1 Problema de examen 1
Fig.2 Problema de examen 3
gg lnda$
160 n
t (x10's)i
160 n
Fig.3 Problema de examen 4
Figr.4 Problema de examen 5
OB
Fig.5 Problema de examen 7
La gráfi ca (Fig, 3) a = f (t) corresponde a un punto de coordenadds X = 0,0¡rde una cuerda por donde avanza una onda hacia la izquierda con un¡velocidad de propagación de v = 125 *.a) Escriba la ecuación de la onda.
b) Dibuje la forma de la cuerda pdrd t = 0,0s. (Prof. F.Manzione - Marista$
Una onda se est¡blece en un medio elástico, indicándose el cambio &posición con el tiempo para un punto elegido como x = 0m (Fig.4).5i bvelocidad de la perturbación es 10'* V lu onda viaja hacia las x<&Escriba la ecuación de elongación en función deltiempo para cada pu
del medio ubicado en la dirección "x". (Prof. ro. Netto - Sagrada Famil'ral
En una cuerda longitud muy grande se propaga una onda viajera hacbla derecha. La elongación de un punto ubicado en x = 0,20m y en d
instantet= 0,10s es:y = 0,50 . sen ($n)m.La elongación del mismo punio
0,05 segundos más tarde es: y = O,5O . sen (J n)m (considere 0 = 0
a) Determinar la longitud de onda,la frecuencia y la velocidad de dicha orü,b) Escribir la ecuación de la onda viajer,a.
c) Escribir la ecuación de la velocidad en función del tiempo para Lm
punto ubicado en x = 0,10m. (Prof.W. Mazzotti - IUDEP)
Una cuerda está formada por dos trozos del mismo largo (Fig.5,"
pero de diferentes densidades lineales de masa V, = 2,Ox t O' S fF, = 8,0x 1 O' H. 5e mantiene tensa mediante una fuerzaF = 200N. En dextremo "A" se generan ondas con un oscilador a una frecuencia de 50F¿
a) ¿Cuál es la velocidad de propagación en cada uno de los trozos?
b) ¿Cuál es la longitud de onda en el trozo 1?
c) ¿Cual es la frecuencia de las ondas en el trozo 2?
d) ¿Cuáles la longitud de onda en eltrozo 2.
e) ¿Si la velocidad del sonido en el aire es 3a0$ , cuál es la longitud oe
onda del sonido producido por la vibración de las cuerdas?
(LiceoN"3-l.D.A.L.)
Dos cuerdas unidas en "S" se encuentran ubicadas horizontalmente (Fig.6
y en su extremo está colgada una pesa de masa 4,0Kg.lra relación entrelas densidad lineales de masa de las cuerdas €s Fz = * .p,. Un pulsoparte de A y emplea 0,42 segundos en llegar a "S". z
a)Calcular la relación I.v2-
b) ¿Cuánto tiempo demora el pulso en recorrer la distancia "SB"?
(Prof. V. Orcesi - l. Crandon)
Elsilbato de un tren detenido en la estación emite un sonido def = 850H2
Una persona se acerca a la estación escuchando un sonido de 920H2
Determine a que velocidad se acerca esa persona a la estación.
(v,oni¿o= 340 +) (Liceo No1 - Melo)
4)
s)
!b(L"r --ri{ltrE'lnlqs€
k¡:rrcr@: 3
¡lj
ü! 3-
-t.G
dr:
6)
7)
B)
e)
Fig.6 Problema de examen 8
I
I
99iI
I
li
relocidad de un pulso en una cuerda.
-, :uerda de la figura 'l tiene una longitud de 5,0m y está fija en sus dos: i'3fi'1o5. Las pesas que cuelgan en uno de sus extremos permiten variar su'= -;ión.
:'': diferentes valores de tensión (peso de las pesas colgadas)se midió er-
= - po que tarda una perturbación en recorrer 10 veces el largo de la cuer-: : , sea 5 veces el recorrido de ida y vuelta (Fig.2)
lalcule la velocidad de propagación del pulso para cada tensión.
3'afiqueT = f (v)
lrmpruebe gráficamente que la relación entre la tensión de la cuerda y: 'velocidad de propagación es T
"c v'
: partir de la gráfica anterior calcule la densidad lineal de masa de la- -erda (pr).
^t (s)
3,5
2,5
2,0
1,8
1,6
M {kg}
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Fig.2 Control de práctico
Fig.1 Control de práctico
t
#f*
'1f'$
El Principio de Superposiciónpara ondas mecánicas, sólo secumple si la relación entre la de-formación del medio y la fuerzarestauradora es directamenteproporcional, como por ejemploen las ondas armónicas.
Fig. I
Fig.2a Si al superponerse dos ondas, los desplaza-mientos son ambos positivos, las elongaciones se
suman y se produce interferencia constructiva.
Fig.2b Si los desplazamientos son uno pos¡tivo yotro negativq las elongaciones sé restan, producién-dose interferencia destructiva
t
l
102
Fig.3 Los puntos indicados con'A'son antinodos(máxima amplitud) y los indicados con"N"son nodos(amplitud nula).
fo ñ=1
Si generamos ondas armónicas en una cLerda que se encuentra tensa entredos extremos fijos, al llegar a los extremos las ondas se reflejan. En la cuerdase superponen ondas de igual amplitud y frecuencia, que se propagan en
sentidos contrarios.
Para determinados valores de frecuencia y como resultado de la interferen-cia de estas ondas,veremos que la cuerda adquiere ciertas configuracionesestacionarias (Fig.3).Existiendo puntos que permanecen siempre en reposoy se denominan nodos y a los q ue tienen máxima a m plltud se les denomin¿ant¡nodos. En una onda estacionaria, a diferencia de las ondas viajeras, la
ampl¡tud de oscilación de los puntos de la cuerda depende de su posición.
Como dijimos en un principio,este t¡po de onda se produce solamente para
algunos valores de frecuencias, denominados frecuencias naturales o deresonancia del sistema.
. A la menor frecuencia de resonancia la denominamos frecuencia fun-damental "fo" y da lugar a que la cuerda vibre en su modo fundamentao primer armónico de vibración "n = 1" (Fig.4a). En este caso la cuerd¿presenta dos nodos (los extremos de la cuerda) y un antinodo.
. La siguiente frecuencia a la que se produce una onda estacionaria en l¿
cuerda (Fig. b)es eldoble de la fundamentalf =2.f,En este caso deci-mos que la cuerda vibra en su segundo armónico "n =2 ".
. Si seguimos aumentando la frecuencia en un número entero de "fo" ob.tendremos los siguientes modos naturales de vibración = f = n.fo,sien-do "n" números naturales que coinciden con el número de antinodosque se observarán en la cuerda.
En la figura 4 podemos observar que en todos los casos la distancia entredos nodos consecutivos corresponden a media longitud de onda. Por lctanto el largo de la cuerda es igual al producto del número de armóni-
._^;
o
o
4fo
3f o ,',
@
l-L
Fig.4 La frecuencia fundamental y sus múltiplos,for-man lo que se denomina una serie armónica.
También se utiliza la siguientedenominación para las frecuen-cias de resonanc¡a:
1"" armónico +tono fundamental
2o, armónico + 1"" sobretono
3"'' armónico -+ 2do'sobretono
y así sucesivamente.
ñ=4 cos por I = ,= n .f siendo n = 1,2,3,.....
Recordandoque ), =],sustituyendoen la ecuación L= n 4Vdespejan-t2do la frecuencia se obtiene que: f = n . -i- siendo n = 1,2,3,..' 2.LDe esta última ecuación se deduce que la frecuencia fundamental (n = 1) se
calcula f" = J= y su valor sólo depende de las características de la cuerda." 2.L
Ecuación de la onda estacionaria
Para obtener la ecuación de una onda estacionaria, debemos sumar las
ecuaciones de dos ondas (y, e y,) de igual amplitud, longitud de onda y fre-cuencia que se propagan en igual dirección y sentido contrario.
y, (x,t)=A.sen (K.x-c¡.t) e yr(x,t)=A.sen (K.x+r¡.t)y* (x,t) =y, (x,t) +y, (x,t) =A. sen (K.x- rrl.t) + A. sen (K. x + rD.t)
Denominando c¿ = K.x y 0 = tll .t y utilizando la relación trigonométrica:sen (a + p) = sen ü.cos B + cos cr..sen p,se obtiene que la ecuación de la
onda estacionaria resultante de la superposición es:
SEGUNDo ARMÓNIco
TERcER ARMÓNIco
Y* (x,t) = 2.A.sen (K.x) . cos (ar .t)
_-I
103
-3 amplitud de la oscilación de un punto depende de su posición "x" según
' expresión 2 .A .sen (K.x). Para ciertas posiciones (cuando sen (K.x) = 1) la
'rplitud alcanza su máximo valor ubicándose allí los antinodos. para otras: :siciones (cuando sen (K .x) = 0) la amplitud es nula, es allí donde se en-: - entran los nodos (Fig. 5)
i emplo 1
'' cuerda de 2,0m oe longitud tiene an'lbos,..xtremos fijos,vibra en reso-.-cia para una frecuencia de 30H2. La fioura ri nos muestra la forma de la, ='da en dos instantes (separados medio perro.Co).
-En qué armónico está vibrandoT
, -.ervando el dibujo (Fig.6) donde existen 3 vientres, sabemos que vibra- ' =l tercer armónico (n = 3).
; Cu á ntos n odos p resenta?
, 'lodos son los puntos de la cuerda que no tienen movimiento o sea su:litud es nula.Contando los extremos que al serfijos también son nodos,::rvamos 4 nodos. (Fig.7)
_Cuál es la amplitud de las ondas que viajan por la cuerda?
:--os que la amplitud máxima del movimiento de un punto de la cuerda
=. - l0m. Esta amplitud se produce por la superposición constructiva de: , . cndas viajeras que se mueven en sentido contrario. Por lo tanto la am-- :-ld de cada una de la ondas viajeras es la mitad de la que se observa: : '..,",=0'050rn'
- -Si la densidad linealde masa de la cuerda es ¡t :25 f,, cuát es elvalor dea masa (M) que tensa la cuerdaT
2 .L .f 2 .2.0 m.30 Hz
n3
Antinodos:
sen {K.x)= 1 + K.> n,=Z+nfi=2.n n ]r, LI.x=r*n;i=x= q*n.i
Nodos:
sen (K.x)= 0 = K.x - nri =2.n f,I .X-nn=)t=n.t
Fig.5 Posición de nodos y antinodos. n = 0.1 ,2,3 .....
Fig.6 Ejemplo 1
Observe que el número de ar-mónico no coincide Gon el nú-mero de nodos.
Fig.7
n.v2.L
< + v-40+
+T=40N (2sfl=o,02sH-)= ] * T=v'.F=(40+)'.0,025H
--\¡.g = M=l=-{+ + M=4,0Kg- s 10+
- -:,:riba ia ecuación de la onda estacionaria.
. = <presión general de la ecuación de la onda estacionaria es
, lr = 2A. . sen (K .x) . cos (ro .t), clebemos calcular K y r,r oara sustituirlos en,
=: uación"
^ 4 .. 2¡= t,= - m y K=:.: - K=1,5¡m-
5/"
= ú)-v.K=40+ .1,5n = o=66¡#0)=-K
x2-1 " 2.L
:cuacion nos queda: y (x,t) = 0,10 . sen (1,52r . x) . cos (60n . t)
104
En una cuerda con dos extremosfijos las frecuencias naturalesson múltiplos de la frecuenciafundamental.
Fig.8
CUERDA i
CUERDA 2
Fig.9 Las.cuerdas oscilan a la misma frecuencia, tie-"e el mismo largo y la misma tensión. n, = 2 y n, = 3.
T,4
Frg, I 0 ras diferencia entre dos frecuencias natura-:: ::-secutivas es el doble de la frecuencia funda-
f ) ¿La cuerda vibrará en resonancia si la frecuencia se aumenta a 45Hz?
, h.V 2.L.f 2.2,0m.45H2'= 2r = ?'= =- ---' ¡=ll'J
40+Elvalor de "n" obtenido no es entero,lo que significa que ra frecuencia f = 45-:no es múltiplo de la frecuencia fundamental y no se producirá una onc.estacionaria. (Fig.8)
Ejemplc 2
Las cuerdas (Fig.9)tienen el mismo largo,están sometidas a la misma tensió- ,
al hacerlas vibrar con igual frecuencia, toman la configuración que se muestrs
a) Determine la relación entre las velocidades de propagación de ias on:::en ¡as (uerciias.
saoemos que Í. = f v como t = +:, pianteamos;
ñ' 'V' = ñ, 'V, ---. + = + .Como los largos de las cuerdas son ig_,,2.L 2.L 2
les, simplificamos "2L" y obtenemos = 2.v, = 3.vz
b) Determine la relación entre las masas de las cuerdas.
La velocidad de propagación de las ondas en una cuerda depende oe . -
tensión y su densidad lineal de masa " =t/+
rilr2.v,=3.v,+2.\il =3.\l L,sustitui mr¡'t lF. mosF=1 =
2. -2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtenemos:
= r.,[=r.\/ ffl,t1V"r
Cr-: -Ir;r , ¡
-tii='¡T-F¿
t. t¡
*16 3E5-IPET-
5"=
:@amErIJra 3
Er=Sgro
'q-r€
5c:!¡c
3fm.
1 =g. t =In.,=4m.m2m29
ondas estacionarias en una cuerda con un extremo libre v uno fiioEn una cuerda que tenga un extremo fijo y uno ribre también se puedenproducir ondas estacionarias. El extremo fijo siempre corresponde a un nodoy el libre a un antinodo. En la figura 10 vemos los diferentes modos de vibra-ción de una cuerda con un extremo libre. para la frecuenciá fundamenta{"fo" el largo de la cuerda corresponde a una cuarta parte de la longitud deonda. La siguiente frecuencia de resonancia es "3.f0" y el largo es tres cuar-tos de longitud de onda.
El largo de la cuerda debe ser múltiplo impar d" 4 + la condición de'4
resonanciaes: L=n ¡' - v.i y f=n. 4I siendon=1,3,5,7,.......
105
-rs ondas y,(x,t) = A . sen (K. x - ro . t) e y,(x,t) = A . sen (K . x - co . t * O) tienen--ral amplitud, número de onda, frecuencia angular, sentido de propaga-: ln y se encuentran desfasadas un ángulo "0". (Fig. 1 1)
!-.9ún el principio de superposición,la ecuación de la onda resultante-:tiene sumando las ecuaciones = yR = y,(x,t) + y, (x,t)
- : lizando la relación trigonométrica sen (cr + B¡ = sen o .cos B + cos crt, . sen p y:'lenando los términos se obtiene la siguiente ecuación:
y* (x,t) =An.sen (K.x-ar.t+0) SiendoA,=2.n..o, { V
-a superposición de dos o más ondas armónicas que se propagan en elmismo sentidoytienen igualKyco,da como resultado otra onda armóni-:a con la misma K y ro.
-a amplitud de la onda resultante es máxima y corresponde a la suma de
as amplitudes de las ondas superpuestas si cos { = 't. Esto ocurre si Q2:s múltipf o de2n,o sea 0,2n,4n rad, etc. En este caso se dice que la inter-'erencia es totalmente constructiva (Fig. 12a)
-a amplitud de la onda resultante es mínima (nula) si .o, 4 = 0 . Esto2
lcurre si $ es un número impar de veces 7r, o sea $ = n,3n,5n, etc. En este:aso la interferencia se denomina totalmente destructiva (Fig. 12b)
l¡lculo deldesfasaje
posible causa del desfasaje entre ondas, puede ser que las fuentes que:nriten lo hagan fuera de fase.También es posible que se desfasen por: rrer diferentes distancia desde que son emitidas hasta que interfieren ocombinación de ambas causas.
Fig. 1 1 Las ondas no están en fase.
a)
Fig.12 a) Las ondas están en fase y la interferenciaes constructiva.Fig. 1 2b) Las ondas están completamente desfasa-das, la interferencia es destructiva.
-t
/x
F,
Fig. I 3 Las o1o¿s se cesfas¿n un ángulo o = K. lx
e=A2
:i caso de las ondas que recorren diferentes distancias, el ángulo de'asaje depende de la relación entre dicha diferencia de distancias y la;itud de onda. Los focos F, y F, emiten ondas en fase (Fig. 13) y recorrenCistancia "x," y "xr" respectivamente hasta llegar al punto "P".
::sfasaje de las ondas en P se calcula: 0 = K. Ax
=^Co Ax la diferencia entre las distancias recorridas + Ax = x, - x, y K el
--rerodeonda e K= 2+
:sfocosemitieran desfasados, eldesfasaje (o-)de las ondas en P sería la
--a de la diferencia de fase inicial de los emisores {,, más el desfasaje': lucido por la diferencia de los recorridos io = K . tx -- 0- = 0, + 0
xr- -7-
106
¿Qué condición debe cumplir ax para que se produzca interferencia tot¿-mente constructiva (máximo de interferencia)?
si el desfasaje es un múltiplo de 2n, ras ondas vuelven a estar en fase y .;amplitud resultante de la superposición de dos ondas es máxima.
Condición de máximo de inter-ferencia para dos focos que emi-ten en fase.
Ax=n.1"Fig. 14 n = 0,1 ,2,3, ....
Condición de mínimo de inter-ferencia para dos focos que emi-ten en fase.
Ax=tn-*l .¡,¿'Fig. 15 n =1,2,3,.....
Fig. 1 6 Los focos emiten frentes de ondas circulares.l- iodo el plano se produce la interferencia de di-:-¿s ondas. En particular se destacan los puntos de-axima amplitud (antinodos, en color rojo) y los de* ^ ima amplitud (nodos, en color azul).
Tanto las líneas nodales comolas antinodales son hipérbolas,por ser el lugar geométrico delos puntos del plano cuya diferen-cia de distancias (Ax) a dos pun-tos fijos (los focos) es constante.
Fig. 17 -:s lineas que unen los máximos y los míni--::::- -rcerbOlas.
n.2n=K.Ax > ¡*= n-.?n ysustltuyendo
xoor { obtenemos: Ax = n.x. Fig.t4
0=K.Ax
Ó=n.2n
0=K.Ax
6=(2n-1).n
¿Qué condición debe cumplir ax para que se produzca interferencia to:e-mente destructiva (mínimo de interferencia)?
si el desfasaje es un múltiplo impar de n,las ondas están totalmente des-¡sadas y la amplitud resultante de la superposición de dos ondas es mínir:,
2(n-1).n=K.Ax = (2n-1\'r
AX = y sustituyendo
obtenemos: ax = (n - +) . r. Fig. 15
En la figura 1 6 las líneas llenas representan las crestas de las ondas prod,:-das por dos fuentes puntuales en una cubeta de ondas y las líneas pun::?das los valles. En todos los puntos del plano las ondas de los dos focos in::--fieren.
' Las líneas rojas unen puntos donde coinciden dos crestas o dos va, =produciéndose interferencia construct¡va. A estas líneas se les de^:-mina líneas antinodales. En la línea central (n = 0) no hay diferencia :--tre las distancia recorridas por ambas ondas desde los focos hasta c,:-quiera de sus puntos. para las siguientes líneas antinodales (tanto he:eun lado de la centralcomo hacia elotro) la diferencia de estas distanc ,.(Ax) es i-,r-,T_, etc, respectivamente.
' Las líneas azules unen puntos donde coinciden una cresta con un va ;,produciéndose interferencia destructiva. A estas líneas se les denor -na líneas nodales. Para los puntos de la primera línea nodal (n = I ,idiferencia entre las distancia recorridas por ambas ondas desde los foc::
hasta ellos (ax), es igual a ] . euru ras siguientes líneas la diferencia ::2
estasdistanciases 1^, 7^ 1x,....
un punto pertenece a una línea antinodar si allí se produce interfe.rencia constructiva (máximo).
un punto pertenece a una línea nodar si ailí se produce interferen-<ia destructiva (mínimo).
xoor f
Ejemplo 3
.as fuentes s, y s, (Fig. 18) emiten ondas armónicas en fase de igual amplitudA = 0,05m), que se propagan hacia la derecha. Las frecuencias y velocida-
des de ambas ondas son f = 20 Hzy v = 5,0 *
¿, Escriba la ecuación de las ondas emitidas por las fuentes.
-as ecuaciones de las dos ondas son iguales:
.. =2n.f =2n.20 > a=40xHz
K =9 =# => K=8,on m-'
)' x,t) =A. sen (K.x-r¡.t) + y(x,t) =0,05.sen (8,0n.x-40n.t)
Determine el desfasaje entre las ondas cuando las ondas se superponena la derecha de s,
ra cualquier punto sobre la recta que une los focos (menos entre ellos),la'erencia de distancias (ax) desde los focos al punto es igual a la separación-:re los focos = Ax = 0,10m (Fig. l9)
= K.Ax = 8,0fi .0,10 + 0 = 0,90n rad
Escriba la ecuación de la onda resultante de la superposición.
=:erminaremos la amplitud y el desfasaje correspondiente a la onda resul-^te de la superposición,
= 2.0,05..or t9f) =+ A,-e03 m
= 0 =O40r rad
ecuación de la onda resultante es: y* (x,t)= Ao.sen (K.x -rrl.t+ e)
1x,t) = 0,03 sen (8,0n . x- 4On. t + 0,40fi)
nombre parado en el punto "A" equidistante de los parlantes (Fig.20),:.rcha un sonido intenso producido por la interferencia de las ondas pro-',entes de los parlantes.comienza a caminar por la recta hacia la derecha: ,ntensidad del sonido va disminuyendo hasta que en el punto B no per-: ningún sonido.
'tos parlantes emiten en fase?
corque en el punto A que equidista de ellos, las ondas llegan en fase,:cn por la cual se produce allí un máximo de interferencia (sonido inten-
Si las ondas se hubieran emitido desfasadas y luego recorren la misma:ancia,la diferencia de fase se hubiera mantenido constante y en el pun-:, no existiría un máximo.
lnrGlforcrc¡a y 0nda$ e$laG¡0nar¡asi 1 07
0.10 ml+l
s2 *iFig. 18 Los focos em¡ten ondas en fase.
Fig. 1 9 Para cualquier punto "P" ubicado a la dere-cha de S,, Ax = 5, P - S,P. Esta diferencia de distanciases igual a la separación entre los focos.
Fig.2O En el punto A se produce interferencia cons-tructiva y en el B se produce interferencia destructiva.
108
b) ¿El punto B pertenece a una línea nodalo antinodal?
En el punto B no se percibe sonido,la interferencia es ciestructiva. Este pu--to pertenece a una línea nodal, en particular podemos decir que pertene::a la primera línea nodal (n = 1) por ser elprimer mínimo a partir de la med\a'.-:del segmento que une los emisores de las ondas (parlantes). (Fig.2l )
c) ¿Determine la longitud de onda emitida por los parlantes?
En el punto B pertenece a la primera línea nodal- Ax - tn ]1.1,ax = P,B - PrB = 9,0 m - 8,0 m = 1,0 m
Ax=(n-1).I = 1,0m=(1 *l i = l,= 2,Om
d) Al llegar al punto C vuelve a escuchar un sonido intenso (Fig.22). S ¿
distancia desde elparlante 2 alpunto C es l0m ¿cuáles la distancia ::parlante 1 a dicho puntoT
En el punto c se produce un máximo de interferencia (sonido intenso) y ::rser el primer máximo a partir de la mediatriz del segmento determin¿::por los parlantes, sabemos que pertenece a la primera línea antinodal.
Fig.21 El punto B pertenece a la primera línea nodal.
Fig.22 El
a ntinodal.punto C pertenece a la primera línea
A.se
Fig. 23 La amplitud resultante se puede obtenersur'-rando vectorialmente las amplitudes de las on-:as que interfieren, siendo $ el ángulo entre los vec-:ores.
Ax=P,C-PrC
n=1
)"=2,0m
Ax=n.1" = P,C-P,C=n.1" =>
P,C- 10m= 1 .2,0m = P,C= 12m
Las ondas y,(x,t) = A,. sen (K. x - ro . t) e y, (x,t) = 4, . sen (K. x - cü . t + O) tiereigual K y r,l, pero sus amplitudes y fases son diferentes. Según el principio esuperposición, la ecuación de la onda resultante se obtiene sumando lasecuaciones 3 yn = y., (x,t) + y, (x,t). La ecuación resultante es:
y* (x,t) = An. sen (K. x - o.t + 0)
siendo4=@ytan0= A''sen0
A, + Ar.cos S
En la figura 23 se puede observar que el resultado obtenido para ra ampri-tud resultante, se puede interpretar como la suma vectoriaf de las amplitu-des A, y A,, siendo el ángulo entre ellas la diferencia de fase entre las ondas "o'.
A.cos$
109
Ejemplo 5
-cs focos 1 y 2 de la figura 24 emiten ondas armónicas en fase de igual fre-:uencia (f = 50 Hz), siendo la velocidad de propagación 20 f. t-as amplitu-:es de dichas ondas son A, = 4,0 cm y Ar= 3,0 cm respectivamente. Calculea amplitud correspondiente al movimiento del punto "P".
-as ondas son emitidas en fase, pero al llegar al punto "P" están desfasadas: cr haber recorridos diferéntes distancias. Para calcular el desfasaje utiliza-
-os la expresión 0 = K.Ax.
. - lf = 20
= 1-=0.40m D K= 2:n = K=Srsm-'.-f_50-'v_v,|vlll)l
1,2m
F,r.--
¡F,
I
Fig.24 Ejemplo s
1tI
10,s0 m
I
::,a calcular la diferencia de distancias recorridas debemos calcular en pri-
-:r término la distancia FrP que es la hipotenusa del triángulo F]F"P:
+ 0,502 = FrP = 1,3 m
-,= FrP- F,P= 1,3 m- 1,2m > Ax=0110m
: =K.Ax=5nm-'.0,10m + 0=0,50nrad
amplitud resultante de dos ondas de diferente amplitud desfasadas "$"
-=:alcula: Rr=ffi
-: no cos (0,-5fu) = 0 y sen (0,50n) = 1 la ecuación nos queda:
,. = ,'T', .r. 4' = 6,0' + 3,0' 9 A, = 5r0 cm (Fig.25)
Una cuerda fija en ambos extremos vibra como muestra el dibujo (F¡9. 1)
cuando su frecuencia es 40H2. Sabiendo que p = 4,0 # y soporta unatensión de 1,6N.
a) Calcule la frecuencia fundamental (fJ.
b)Calcule el largo de la cuerda.
c) Escriba la ecuación de la onda estacionaria si la mayor amplitud deun punto de la cuerda es 3,0 cm.
d) ¿Cuál es la amplitud de oscilación de un punto que se encuentra a
0,20 m delextremo derecho de la cuerda?
Una cuerda de fija en ambos extremos vibra en el tercer armónico se-
gún la ecuación: Y (x,t) = 0,20 sen (n . x) . cos (1 0n . t). (M.K.S.)
a) ¿Cuántos nodos se observan?
b) ¿Cuál es la amplitud de las ondas que viajan por la cuerda?
c)Calcule la longitud de la cuerda.
d)¿Cuál es la tensión de la cuerda si su masa es i 89?
e) Si la tensión de la cuerda se aumenta nueve veces ¿en que armónicopasará a oscilar la cuerda?
Fig.25 Podemos ver que la amplitud resultante re-presenta la suma vectorial de las amplitudes A, y A, .
Como el ángulo de desfasaje es recto (0,50n rad), la
A. se puede obtener utilizando el Teorema dePitágoras
Fig. 1 Problema 1
FTF
f'-
&d¡ry¡r-
110
4)
3e
z
3)
=-
3.s)
La cuerda Fig.2 está e{citada con una frecuencia de 5OHz y su densidadlinealde masa es 2,0 *.a) ¿Cuál es la masa de la pesa que tensa la cuerda?
b) Escriba la ecuación de la onda estacionaria.
Una cuerda fija en dos extremosy p = 4,0 x 1O''S está sometida a unatensión de 360 N. Resuena en cierto armónico a una frecuencia de375Ftry en el armónico siguiente a una frecuencia f = 45}Hz.Determine:
a) la frecuencia fundamental.
b) la longitud de la cuerda.
Una cuerda fija en ambos extremos, cuando vibra en cierto armónicopresenta una longitud de onda )" = 0,54 m y si vibra en el armónicosiguiente l, = 0,48 m. Determine:
a) el numero de armónico en cada caso.
b)el largo de la cuerda.
Las cuerdas de la figura 3 tiene igual longitud, vibran a la misma frecuencia y están somet¡das a la misma tensión. Determine la relaciónentre las masa de las cuerdas ,--J
Una cuerda con dos extremos fijos, tiene en su extremo una pesa de9,0K9 de masa y oscila en su cuarto armónico. Si a la pesa anterior se laagrega otra de 7,0K9 y se mant¡ene la frecuencia constante.¿ En quearmónico pasa a oscilar?
Una cuerda de 3,0 m de largo vibra como muestra la figura 4 siendo la
amplitud de las ondas que viajan por ella 2,0cm y su velocidad 6,0 f.a) Calcule )" y f.
b) Escriba la ecuación de la onda estacionaria.
c) lndique otra dos frecuencias a las que puede resonar la cuerda.
Una cuerda está en resonancia para una frecuencia de 280 Hz y el si-guiente modo se obtiene a 360 Hz. ¿La cuerda tiene sus 2 extremos fijoso uno fijo y uno libre? Justifique.
Los focos f, y f, de la figura 5, emiten ondas coherentes cuyas ecuacio-nes son: y,(x,t) = 0,080 sen (2n .x- 100n .t) (x e y en metros) e
Y,(x,t) = 0,080 sen (2n .x- 100n . t).
a) Determine la ecuación de la onda resultante a la derecha delfoco 2.
b) Conteste nuevamente la parte anterior si la amplitud de la onda emi-tida por "f," fuera 0,060m.
Desde los puntos fr y f, se emiten sonidos en fase (Fig.6) que excitan el airecon amplitud 2,0 mm. La longitud de onda de ambas ondas es 3,0 cm. De-termine la amplitud de la oscilación res,l:ante en el punto P.
Fig.2 Problema 3
Fig.3 Problema 6
Fig.4 Problema 8
f,
+ x
25 cm
Fig.5 Problema 10
.ft '2I
I
iI
DiLI'. ------------ - ---------'-¿ f ,
12 cm
6)
7)
f,i->
B)
e)
10)
t
lr,o.'I
CUERDA 1
CUERDA 2
Fig.6 rroblema 1 1
11)
n1
Los focos f, yf, de la figura 7 pulsan en fase con f = 80 Hz.Si el punto "A,'pertenece a la 20" línea nodal:
a) Determine la velocidad de propagación de las ondas.
b) ¿En ql punto B se produce interferencia constructiva o destructiva?
Utilizando los datos del problema anterior responda: ¿a qué distanciade "fr" se encuentra un punto que pertenece a la primera línea nodal sisu distancia alfoco 1 es 14 cm ?
En el punto "A" se emiten ondas de l" = 2,4 m (Fig.B). La vibración sepropaga tanto por el tramo recto como por el curvo. Determine el míni-mo radio que debe tener trayectoria circular para que en el punto "8" seproduzca i nterferencia destructiva.
tor una cuerda viajan dos ondas, siendo sus ecuaciones:
i (x,t) = 4,0 x 10'. sen (2,5n . x - 20n . t) e
,; (x,t) = 4,0 x 10'. sen (2,5n . x + 2On. t), estando "x" en metros y el tiempo:n segundos. (Prof. G.González- Maristas)
a) Escriba la función de la onda resultante de la superposición
b) Dibuje la configuración que adquíere la cuerda si su largo es 1,60m
Se producen ondas estacionarias en una cuerda fija en sus dos extre-rnos con un generador de 5OHz, como se muestra en la figura 1 . Se sabeque 10m del mismo tipo de cuerda tienen una masa de 1,0 x 10'Kg yque la velocidad de la onda es 20 S Determine:
a) El largo de la cuerda con que se trabajó.
o) La tensión que debe tener la cuerda para que se forme una onda esta-cionaria con tres antinodos, sin variar la frecuencia de oscilación.
Liceo N"l - Melo)
En la cuerda de 60cm de largo (Fig.2)se generan ondas de f = 100H2 yamplitud 1,Ocm.Al superponerse se obtienen ondas estacionarias. La
masa de la pesa que tensa la cuerda es 150 veces mayor que la masa dela cuerda. Escribir las ecuaciones de las ondas viajeras y estacionarias., Prof. H. Bentancour - l. Ariel)
Una cuerda se tensa mediante un conjunto de pesas que de enganchanen uno de sus extremos.Si se mantiene constante la longitud efectivade la cuerda y su frecuencia de vibración, se observa que entra resonan-cias sucesívas cuando se la coloca una masa 'm y cuando se le colocauna masa que difiere en un 30,60lo de "m' . Determine el número de nodosen ambos casos (Considere el modelo de extremos fijos;
(Prof.W. Netto - Sagrada Familia).
Fig.7 Problema I 2
Fig.8 Problema 14
Fig. 1 Problema de examen 2
112
s) Trabajando con un tubo con un extremo abierto (Fig.3) y el otro cerra-do y móvil, en el aire a 20oC y un diapasón de f = 4OOHz,se obtiene unaintensificación del sonido a 0,21m del extremo abierto.
a) si el extremo móvil se sigue alejando del extremo abierto, determine a
que distancia de dicho extremo se obtendrá otra intens¡ficación delsonído
b) si el medio es He a Ooc,la velocidad del sonido aumenta, determinepara este caso la distancia entre dos máximos consecutivos.
Datos: La velocidad del sonido en el aire a 20 oc es 3a3f y en herio a 0 oC
es 965 $.{Liceo Nol - Melo)
una cuerda de 5,0 metros de largo vibra en forma estacionaria cuandces excitada con una frecuencia de 90 Hz. La frecuencia se va incremer-tando y recién aparece una nueva vibración en modo estacionario paaf = 150H2. La tensión de la cuerda es 3600 N.
a) lndique la condición de los extremos de la cuerda (libres, fijos, etc.i
b) Determine la densidad linealde masa de la cuerda.(Prof. A.Villamil - Escuela lntegral)
La figura 4 muestra las configuraciones que adquieren dos cuerdas deigual densidad lineal de masa, de la misma longitud y que osciran corigual frecuencia.
a) Halle la relación entre las tensiones de ambas cuerdas.
b) Suponga que el largo de las cuerdas es "L", determine el primer pur-to de la cuerda con dos extremos fijos cuya amplitud sea la tercera par-te de la amplitud máxima.
c) Dibuje las nuevas configuraciones que adquieren las cuerdas si se tripl;ca la frecuencia de oscilación. (Prof.W. Mazzotti - IUDEp).
Superponer las siguientes ondas e interpretar el resultado:
Y,(x,t) = 0,20 sen 2n(0,10x - 100t) e
y,(x,t) = 0,20 sen l2n(0,10x - 100t) - nl(Prof.W. Netto - Sagrada Familia)
Los focos A y B emiten ondas (Fig.s) de amplitudes: %A - 2,0 cm e y*desconocida. Hallar "yor" sabiendo que la amplitud de ra onda resultarr.te en "P" es 3,0 cm. Datos: f = 850 Hz y v = 340 f .
(Prof. J.J. Olivet - Escuela lntegral)
La función correspondiente a una onda armónica en.una cuerda esy (x,t) = 0,001 0 sen (62,8.x +31 4.t) [S.1.].
a) ¿En qué sentido se mueve la onda y cual es su velocidad?
b)¿cuál es el desplazamiento máximo de un segmento pequeño de cuerda?
c)¿cuál es la ecuación de la onda armónica que al interferir con la ante.rior se obtiene interferencia totalmente destructiva?
d) ¿cuál es la ecuación de la onda que al interferir con la anterior da comoresultadoy (x,t)= 0,0020 sen (62,8.x - 3r 4 t'+) (LiceodeCarmelo).
üraltsl
?
l#l
Fig.3 Problema de examen 5
V
6)
r
7)
L
Fig,4 Problema de examen 7 B)
=ñ:
- 5,0mrfrl
Ar---------------------------r pr'
B.
e)
10)Fig.5 Problema de examen 9
113
-
I
I
1) Dos fuentes puntuales coherentes f, y f, (Fig.6) separadas 40 cm gene-ran ondas armónicas que al llegar al punto "p", muy alejado, producenel primer mínimo de interferencia.
a) Determine la distancia oB sabiendo que la longitud de onda es de 5,0 cm.
b) ¿Cuántos máximos se observan? (Prof.W. Netto - Sagrada Familia)
La figura 7 muestra dos focos coherentes S, y S, que emiten ondas enfase de amplitud 1,Ocm. El punto "A" pertenece a la primera línea nodal.Determine la amplitud de la onda resultante en el punto "8"
(Prof. A.Villamil - Escuela lntegral)
La figura 8 muestra dos focos coherentes que emiten ondas de ampli-tud 2,0 cm con un desfasaje inicial de 60o. Hallar la amplitud de la ondaresultante en el punto "8", sabiendo que el punto "A" se encuentra enla segunda línea nodal. (Prof.W. Mazzotti - IUDEp)
La figura 9 muestra dos focos coherentes que oscilan con una frecuen-cia de 10 Hzy desfasaje inicial de f; radianes y emiten ondas de 1 2 cm
de longitud de onda y amplitud de A, = '10,0 cm y Ar= 1O,Ocm.
Datos: F,P = 12cm, F,A = 15cm \ FrA= 33cm.
a) Determinar la distancia FrP
b) Escribir la ecuación de la onda resultante en "A"
(Prof.W. Mazzotti - IUDEP)
Dos parlantes que distan 2,0m emiten en fase (fig. 10). Desde el máxi-mo central hasta el nodo más próximo hay 25cm.
a) Determinar las posiciones de todos los máximos y mínimos existen-tesentreAyB.
b) ¿Son audibles las ondas emitidas por los parlantes?
Prof. A.Villamil - Escuela lntegral)
2,O rn
F,
Fri
Fig.6 Problema de examen 1 1
Fig.7 Problema de examen 12
F,
Fig.8 Problema de examen 'l 3
F'x
F,X
Fig,9 rroblema de examen 1 4. La líneas que se mues-:ran son nodales.
S,
A B
Fig. 10 Problema de examen 1 5.
114
Ondas estacionarias
A una cuerda de 1,0 m de largo y los dos extremos fijos, se ra hace vibrarutilizando un oscilador de frecuencia variable. En el cuadro de valores (Fig.'vemos los valores de la frecuencias de resonancia para los distintos armónicor
a) Grafique f = f (n) y explique porque no es correcto unir mediante unerecta los puntos obtenidos en la gráfica.
b) ¿Qué relación funcional existe entre la frecuencia y el número de arm*nico?
c) Trace una recta que una los puntos de la gráfica de la parte "a".
d) Calcule su pendiente e indique su significado físico.
e) Calcule la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
lnterferencia de ondas (cubeta de ondas)En la cubeta de ondas, dos focos sincrónicos generan ondas que produce-un esquema como el.de la figura2.
Las líneas llenas corresponden a las crestas de las ondas y las punteadas alos valles.
a) Marque todos los puntos en los que se produzca interferencia destrr,c-tiva (nodos)
b) Trace las líneas nodales y numérelas.
c) Elija un punto perteneciente a la primera línea nodal y calcule la dif*rencia de distancia (ax), restando la distancia entre un foco y el punto ,
el otro foco y al mismo punto.
d) Repita el mismo procedimiento para todas las líneas nodales.
e) Grafique Ax = f (n) y a partir de ella calcule 1".
"--a-
I
ttI
C¡
Ij
f(Hz)
10
20
30
40
50
Fig. l Control de práctico
n
1
2
3
4
5
,¡'lr,S
3f:
\:¿\:/v/:\/i\,|\
-\----
m€f
"t: :?tl:É
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=r.aú-trr:dfld
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II
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Fig.2 Control de práctico
¡
I'
:sta el siglo XVll la luz era considerada como una corriente de partículas-itidas por las fuentes luminosas. Sobre la base de esta teoría (Teoría,'puscular) se explicaron los fenómenos ópticos conocidos hasta ese mo-:nto como la reflexíón y la refracción.
-:go comenzó a desarrollarse una nueva teoría denomínada Teoría- lulatoria, que asocia la luz a un cierto tipo de movimiento ondulatorio.
-:3 n ueva teoría fue adquiriendo mayor aceptación a partir del trabajo rea li-: rc por científicos como Cristian Huygens (1629 - 1695), Thomas Young-'3 - 1829) y A. Fresnel ('1788 - 1829). Estos científicos realizaron experi-
=1tos que permitieron observar la interferencia luminosa, fenómeno que- :s explicable mediante la teoría corpuscular, ya que no es posible que se
: eran coincidir dos o más partículas y se anulasen entre sí. Esto se convir-- :n el mayor argumento a favor de la teoría ondulatoria.
- : I mente a finales del siglo XIX los trabajos de J. Maxwell (1 83 1 - 1 87 9)- l-lertz (1857 - 1894), explican todas las propiedades de la luz, conside-
'- jola como un nuevo tipo de onda. Estas ondas reciben el nombre de
: rdas electromagnéticas y son generada por la interacción de campos- ': néticos y eléctricos variables.
I ndas electromagnéticas
=;o de haber estudiado los capítulos correspondientes a los temas Cam-: éctrico y Campo Magnético estamos en condiciones de afirmar que:
- ^ campo magnético variable con el tiempo produce un voltaje induci-: -i o sea un campo eléctrico.Y un campo eléctrico variable produce a; - vez un campo magnético también variable.
' - na partícula cargada oscilando con M.A.S.genera un campo magnético. uno eléctrico, ambos variables según una función sinusoidal (Fig.2).
-a relación entre E y B cumplen con las condiciones para considerarlos
-na onda que se propaga por el vacío a la velocidad de la luz c ='E- V p,o .ro
- y B son perpendiculares entre síy a la direccion de movimiento.
-as ondas electromagnéticas cumplen e : D' ': c : de Superposición
F¡9.1 Cristian Huygens (1629 - 1695),físico y astró-nomo holandés.
Fig.2 Las ond¿s e ect'o1'¿c'+: : :; , : - :': :,: r: ioor cargas electric¡: j ri ?'l r:: - t: .:::: -=,
= . jest¿- er fase ) so^ :: ::-: -- : =: a-'.'1 1 = :l'::: l- ia c-:::::: :-
i
I
*l
v
I
l
i r olruz, ¡nreilerenc¡a y difiacción
Clasificación de ondas electromagnéticas
Las ondas electromagnéticas se clasifican según su longitud de onda o s-frecuencia. Recuerde que l, y f están relacionadas en forma inversamen:eproporcional c =l.f,siendo c = 3,0x l0'$ la velocidad de la luz.
Al ser el espectro electromagnético continuo,los limites eritre cada categc!ría son aproximados.
En el siguiente cuadro (Fig.3) vemos como se subdivide el espectro electr*magnético.
Frecuencia, Hz Longitud de onda -
F-.,",,.".i10"
i0"10''
l oto
1o'n
I o''l ott
10 ''1o"1o ''10"lo'''10 "
1o'lo'1o'lo'10"'lo'
1o'10'
1
10'
lo'l0'
't--
1o'
1 Mhz 10u
1o'
ioo'l khz 10'
10,
10
Rayos X
lnfrarrojo
Ondas de radio cortas
FTelevisión y radio rm--{Radio AM
Ondas de radio largasRecuerda:
l nm=10-em
1A=10''om
Dos fuentes de ondas son cohe-rentes,s¡ mantienen constante enel tiempo su diferencia de fase.
Fi9.4 Para observar un patrón de ¡nterferencia lumi--:sa, los emisores deben ser coherentes.
10''lo'
1ou
'lo'
ac
IilTTNÍHTIIGIA Ot IIOBIT RA]IURA OT YllU]IG
En 1801 Thomas Young llevó a cabo el primer experimento que permiticobservar la interferencia de haces luminosos e incluso medir sus longitudesde onda.
Para realizar el experimento de young es necesario contar con dos fuentesluminosas idénticas. Para obtener esto se puede utilizar una única fuente eiluminar dos ranuras muy estrechas y muy cercanas una con otra. cada ra-nura actúa como una nueva fuente puntual y cualquier variación en la emi-sión que se produzca,afectará de igualforma a ambas fuentes (ranuras). Dosfuentes de ondas que tienen estas características se denominan coheren-tes (Fig.4).
400 - 450 nmzl50 - 500 nm500 - 550 nm
anaranjado 600 - 650 nm
rojo 650 - 700 nm
Fig.3 La luz visible corresponde a una pequeña porción del espectro electromagnético.
-.,, -: iuego de atravesar las ranuras interfiere y para observar el patrón de^-='':rencia se puede utilizar una pantalla (Fig.5 )
---: es la razón por la que se produce interferencia?
. : , a I que lo visto en el capítulo anteriot las ondas q ue provienen de las', -
- -3 's," y "sr" recorren diferentes distancias hasta llegar a los puntos de la
: , -:: la. Esta diferencia de distancias hace que las ondas lleguen desfasa-: :, I lr ejemplo si las ondas llegan a un punto con fases opuestas,se produ-
, ^:erferencia destructiva,observándose una franja oscura sobre la pan-,: = Sr las ondas llegan en fase se producirá interferencia constructiva,ob-
= 'rdose una franja luminosa sobre la pantalla (Fig.6).
: : . :ralizar cuantitativamente el experimento deYoung supondremos dos:--'3s separadas una pequeña distancia "d", sobre la que incide luz- - -:cromática de longitud de onda "2"" y una pantalla ubicada a una dis-': - : : D" de las ranuras, sobre la que se observará el patrón de interferen-; = g.l).5i consideramos un punto "P" sobre la pantalla,la distancia "r,"
: . : -:corre la onda proveniente de la ranura "s." es mayor que la distancia:::respondiente a la de la ranura "s,".
*, : ':rencia de distancias recorridas por las ondas Lt =tz- r..,se puede ex-: :,:' en funcíón de la separación entre las rendijas y el ángulo "0" median-
= = :cuación:Ar= d.sen 0 (Fig.8).
Fig.5 En el centro de la pantalla se observará unafranja luminosa correspondiente a un máximo deinterferencra (constructiva). A ambos lados de ellase observan franjas oscuras correspondientes al pri-mer mínimo de interferencia (destructiva). Luego se
siguen alternando los máximos y mínimos de otrosordenes.
.l5,
PANTALLAl<_-______________
D
Fig.7 Para ubicar un punto P podemos hacerlo consu distancia "y" desde el centro de la pantalla o conel ángulo "0" formado entre "D" y la línea que une elpunto con el centro de las ranuras.
Fig.8 Si la distancia entre las ranuras y la pantalla es
mucho más grande que su separación (D >>d), po-demos considerar las trayectorias r, y r, paralelas. El
segmento indicado en rojo representa la diferenciade distancias recorridas por las ondas (1r). Este seg-mento es un cateto del triángulo de hipotenusa "d"y ángulo0+Ar=d.sen0.
i:ndición de máximo de
- terferencia
:.'a que se produzca interferen-- ' constructiva, la diferencia de: ,:ancias tiene que ser múltiplo de. rngitud de onda = Ar = n . ).
d . sen 0 = n . 2v ( n = 0,1,2,...)
- = 0 corresponde a la línea bri-:¡te que se observa en el centro
:= Ia pantalla.
Condición de mínimo de
interferencia
Para que se produzca interferen-cia destructiva la diferencia de dis-tancias debe cumplir con la con-dición: Ar = (n - ll ¡"'2'
d.sen0=(n -trr^(n = 1,2,3...)
lur, inreilerenc¡a y d¡fracoiOn I r r z
2"MÁx.
1''MÁx.
MÁX.n=0
1.MAX.
2o"MÁx
1*MtN.
1"'MtN.
2o"MlN'!"lPANTATLA
s,
S,
.fI
f f a I fur, ¡ntcrfercnc¡a y d¡fracc¡ún
Fig.9 Ejemplo 1
I'
D>>y=sen0:tang0
Fig, 10 En el triángulo rectángulo se cumple que:
^ c. oouesto vtanoH= ' , =z- c.adyacente D'
hj*nrnlo r
i.., li,t'r :.' 1.. :.: .1 l', 5í:í-: rr:':', . :'l,lvl.,'; .;r.:':. ..:. .. ', .\;' ' :'.. : .,
nlrS,r)', .! !'.,.'!r::.'i., :'re': hrillarit.l ¿ lít áirrirllr, ri . i, jc /l,,ij y) i.,, i.r.,.i"¡n:lji1,;l;.1n.-ie .1¡¡,;¡.¡ i;;', iclli U ídS
?ara i:: f 1¡1r ¿1r i-ir!l;¡lrtioi, (i íf riixir|i(-¡:t Ce inlelrir:rerit!¡-!lr r:..,: i r.lt-lt;¡ii i:l-1..t.
ri.¡, 2.500x 10n
sen 0 sen 30o
Consideraciones finales sobre la interferencia luminosa
Para ángulos "0" pequeños, sen 0 = tang 0, pudiendo utilizar uno u otn
indistintamente. En la figura 10 vemos que tang 0 = },sustituyendo en
las ecuaciones para máximos y mínimos de interferencia obtenemos:
d.+ = n.r.
Máximo
d'+ =1n-{ll.Mínimo
Las líneas claras y oscuras que se observan en el patrón de interferencr¿están ¡gualmente espaciadas.5e puede demostrar que la distancia entr:
dos máximos o mínimos consecutivos (Ay) se calcula: ly = 1:ld
La intensidad luminosa de todos los máximos es aproximadamente ia
misma, (para ángulos 0 pequeños y D>>d). La gráfica de la intensidadluminosa sobre la pantalla en función de 0, es de la forma indicada en i¿
figura 1 1.
Si en lugar de hacer incidir la luz sobre 2 ranuras lo hiciéramos por 3,¿etc, también obtendríamos un patrón de interferencia. En el que exisr:-rían máximos principales cada vez más intensos en las mismas ubicacionesque para el caso de dos ranuras y algunos máximos secundarigs que dismi-nuyen su amplitud a medida que aumentan el número de rend'rjas (Fig. l2 .
Para estudiar la interferencia luminosa se puede utilizar un dispositivodenominado red de difracción, que está formado por miles de rendijasigualmente espaciadas. Con la letra "k" denominaremos a la constantede la red, que es el número de rendijas por unidad de longitud. para cal-
cular la distancia entre dos ranuras se cumple que d = I. eor. ejemplo,K
una red de 5000 líneas
cm- ,tiene un espaciamiento entre rendijas:
d=--= I d= 2,Ox10ocm5000 cm
n-J.3
J3-
I tlr
_>:r
="]5:-3
-"-tC')
tr€d:
Fig,I 1 Los máximos de interferencia presentan igualintensidad luminosa.
Fig. 1 2 Diagrama de la intensidad de la luz, para cua-tro rendija. El número de máximos secundarios, es
dos menos del número de ranuras (N - 2).
Dil
alr
Yl-t tr
C,z
,Tlul,inrerferenciayüifiacc,Onl f tS i
Ejempio 2
)ara los datos delejemplo 1 ()" = 500 nm yd =2,0x loum)y si la distanciaCesde las ranuras a la pantalla es D = 2,0 m.
;A qué distancia delcentro de la pantalla se encuentra el primer mínimo?rara ubicar un mínimo de interferencia en la pantalla utilizamos la ecuación:
d.#= rn -]li"=,=!-l['o - (r -tl -s-ojl11o"'z'o =>y=0,25 m
lsto significa,que simétricamente respecto ar centro de la pantalla ya 0,25m: cada lado de él,existe una franja oscura correspondiente al primer mínimo:e interferencia. (Fig. 13)
DITBAGGIÚil
l.rando la luz proveniente de una sola fuente pasa a través de una pequeña'3nura',en lugar de obtenerse sobre la pantalla una pequeña línea ilumina-: a, se observa un patrón de interferencia. Este patrón consiste en una franja:entral ancha e iluminada,luego una zona de oscuridad (mínimo de difrac-: ón)y luego otros máximos de menor intensidad luminosa (Fig.14).
-)orqué sino existen almenos dosfuentes de ondas,se produce interferencia?
=^ 1678 christian Huygens ideó un método geométrico por el cual se pude::scribir la propagación de un frente de ondas, considerando que cada punto:: é1, es una nueva fuente puntual de ondas (Fig. l5). Un instante después, el- Jevo frente de ondas es el resultado de la interferencia de todas las fuen-::s pu ntuales anteriores.
--ando un obstáculo limita un frente de onda y sólo se le deja pasar por-'a abertura,aplicando el método propuesto por Huygens podemos deter-- nar el comportamiento de esta onda. Esto se realiza estudiando la inter-'='encia de todas las fuentes puntuales situadas en la porción no obstruida: abertura)
l-ando la luz atraviesa una ranura de ancho "a", podemos considerar que
' existen un gran número de fuentes puntuales de luz (Fig.16). La interfe-'=rcia de todas las ondas provenientes de cada una de estas fuentes deter-* naran el patrón de difracción que se observará en la pantalla.
Características del patrón de difracción
' Denominamos mínimos de difracción a los puntos donde todas las on-das provenientes de las fuentes puntuales s€ a¡ulan entre sí. En dichospuntos la intensidad de la luzes nula )'se,.:-: ::-o una franja oscurasobre la pantalla.
Fig. 13 La distribución de la intensidad de la luz en lapantalla es simétrica respecto a su centro. A 0,25 mdel centro Je la pantalla la intensidad de la luz seanula.
Fig. 14 La zona central iluminada se denomina máxi-mo central de difracción y las franjas oscuras quelo limitan, primer mínimo de difracción.
'¡----r
Fig.15 C::a cJ^tl Ce ur frente de o¡Ca se puede,: _:'-.=:--:_: :: :-::i
Fig. l6Todos los puntos emiten ondas en fase, peroal llegar a un punto de la pantalla estarán desfasa-das por haber recorrido diferentes distancias.
I Elanchodelaranurarodebese.--:^: -:.,:.que la longitud oe o^ca a¿.2 =_2: =.=::: ,=:cbservable.
LUZ
_>lal
I
t Z0 \
trn, intcrtcrGnsisl ñ$rssi6s
. Se puede demostrar que la posición de los mínimos de difracción es:
a.sen 0 = m.2r, o a. * =rn.^ Siendo "a" elancho de la ranura,lfel ángulo respecto a la perpendicular a la pantalla, "y" la distancia des*el mínimo al centro de la pantalla y "m" un número natural.
. La figura 17 nos muestra un esquema de la intensidad de la luz sobre bpantalla en función del ángulo. Puede observarse que el máximo centrdes más intenso que los secundarios y es el doble de ancho.
El-:;mplo 3
Atrar",,:i:; Ce.'u¡¿t';r!tL.!ra,:.j,r-t;¡'iiho.1 =,J,(!i.;itt;:li.!-t.,,.i-::'itü¡l::l,-'i:'::it.i:].. - 6i :'ii nrn. i.)el,.r'lrin,: .-:i ¿llchc dr,:l ¡¡áxiitrt iirir)1,í,:;l ,-1.¡ rjlirarlicÍ1,:, 1., ::tall¿,.ir. i::itr-.ltilr'¡tre a .r.l,:¡, ije la r;:rlilra.
En la figurat 18 ver¡ros clue el márinlo centrel ei i: zcll.l iiur:iinac;.t cu,iímites son ios nrimeros mírrir.rros (m = I ) a cacia iarjc dc {-entr() dr,l i:i D¿ -lla. Caictliaremos la oosic¡ón de uno Oe ios mínir.r¡.-: 'i íflino É'i n:trr,l-crrir¿1¡'6¡' es simétrico muttipitcanclcr rro'c¡()s crb;cr,:j:',,, nto:. t:r :ir;.::Cm11xir':rr central.
Fig.17 La intensidad de la luz decrece al alejarse delcentro de la pantalla."lo" es el máximo central e "1," e"1," máximos secundarios de menor intensidad lumi-nosa.
Fig. 18 El máximo central de difracción está com-prendido entre los mínimos de primer orden a cadalado del centro de la pantalla.
Fig. 19 Los máximos de interferencias disminuyensu intensidad. La curva roja que "envuelve" los máxi-mos corresponde al patrón de d¡fracción por una delas ranuras.
Para ia oos¡(¡on de
a.i = f-.I .lr = !i.:
F-i ancho dei máximc) centrai es
los mínimos de ditracción se curi',,:iFl oiie:
nr .fu . [,]
a
1 .600 x1?-e .2,A
3r.0 xl0"-eidoble de "y" >
::¡' W j:: 4,í) y rrfr fTt
8.t] x 1L¡' ¡r'¡
Difracción e interferencia
cuando estudiamos el experimento de Young, consideramos las ranuras Jo
suficientemente estrechas para suponer que se trataba de fuentes puntua-les de luz. En la realidad esto no es así, por lo que tenemos que tener encuenta también la difracción que se produce cuando la luz atraviesa cadaranura.
¿Cómo cambia el patrón de interferenc¡a si consideramos la difracción deÍas ondas?
Los máximos de interferencia que idealmente tenían todos igual intensidadluminosa, ahora van decreciendo su intensidad. lnclusive álgunos puedenno observarse cuando su posición coincide con la de un mínimo de difracción.
En la figura 19 vemos que la intensidad de los máximos de interferenciaqueda "recortada" por el patrón de difracción. La cantidad de líneas brillan-tes que quedan comprendidas dentro del máximo central de difracción de-pende de la relación entre la separación de l¿s ranuras y elancho de cadauna de ellas.
LUZ
--+fal
-'ü
1"'MtN.
Máx. central
1"'MtN.
PANTALLA
lu, ¡nter¡erenc¡a y d¡ftacoiOn I r z I
Ejemplo 4
j:bre una doble ranura cuya separación d es igualaltripledelancho "a"
:: cada una de ellas, incide iriz monocromática de longitud de onda 7,.
: lnciique que máximo de interferencta no se observa en la pantalla porcoincidir con el prímer mínimo de difracción y realice un bosquejo de laqráfica de la ¡ntensidad de la luz sobre una pantalta
-: oosicion anguiar de ios maxrrnos de interferencia se determina con ta
=:.lación ci. sen 0 = n.i.
-: oosición angular de los mínimos de difracción se determina con la ecuación a .
,:n d = m.i,siendo m = 1 portratarse del primer mínimo de difracción.
-rn ias dos ecuaciones resolveremos un sistema:
: sen0=n.)"
: sene=m.1"
- .'rdiendo ambas ecuaciones y simplificando
- -. d n-a,rrll.-=--am:'cemosqgem = 1 yque"d"eseltriple der¡ar' = d=3.a -,,
3.a n= -'- = " 3 ñ=3a1
Fig.20 Ejemplo 4
"sen 0" y "i'' obtenemos
"sen 0" es igual en ambas ecua-c¡on€s poque el enunciado delprcHema dice que el máximo deinterferencia coincidecon el mí-nimo de difracción.
F,9.21 l-¿ intens¡d¿d de os Íiaxirnos de nterferen-cia decrece,hafa anul¿rse en l¿ poskbn corrspoo-dientean=3.
-t!
l
Ii
I
I
I
l
d.se" = t\ "),a.Sen0=r;:.4
:n- =-:m
i :ercer máximo de interferencia no se ve por coincidir con el orimer míni--: de difracción, haciendo que su intensidad luminosa se anule Fia.21 .
: Cuantos máximos de interferencia se observan dentro del máximo cen-:ral de difracción.
l- a figura 21 vemos que hay 5 máximos de interferencia dentro del máxi--: central de difracción en el centro de la pantalla más dos a cada lado de: .,'a que hemos hallado que eltercer máximo de interferencia no se ve.
n=0
I
1 22 | lur. ¡ntcrferencia y difracciónI
Fig.l Problema 4
PR0BIHnAS
1) a) Determine la longitud de onda correspondiente a una onda electro-magnética emitida a una frecuencia de 6,0 x 1 O'o Hz.
b) ¿Es visible dicha radiación?
2) En una experiencia de Young se hace incidir luz de 400nm sobre dceranuras separadas 0,40mm .
a) ¿A qué ángulo se observa el tercer máximo?
b) 5i la distancia de las ranuras a la pantalla es 1,5m. ¿Dónde se ubicrdicho máximo?
Calcule la distancia entre la tercera y quinta línea brillante en un esp€c-
tro de luz de l. = 5000Á. La distancia entre ranuras es 0,05mm y de estas
a la pantalla hay 2,0m.
A partir de la gráfica (Fig. 1 ) de la intensidad luminosa en función deángulo "0", para un experimento de doble rendija. Determine la distar-cia entre las rendijas, si )" = 400 nm.
Cuando una radiación de l" = 550nm incide sobre una red de difraccio-
de k = 2000 ranuras
,la franja luminosa de segundo orden se encueccm
lraa2,0 cm del máximo central.
a) ¿A que distancia se encuentra la pantalla de la red?
b) ¿5e observará en la pantalla el máximo número 12?
Sobre una red de difracción incide luz de l" = 700nm y el espectro de
segundo orden forma un ángulo de 20o. ¿Cuántas líneas por centímetrotiene la red?
5e ilumina una rendija con luz de frecuencia 5,0 x 1O'o Hzy el segundcmínimo de difracción se obtiene a 0 = 30o.
a) ¿Cuál es el ancho de la ranura?
b)¿Cuáles elancho del máximo central de difracción si D = 1,0 m?
En un experimento de interferencia se hace incidir luz monocromáticasobre dos ranuras separadas 0,10mm y de ancho "a".
a) Explique por que razón la tercer franja brillante a eada lado del cen-
tro no se observa.
b)Calcule el ancho de cada ranura
c) Realice un esquema (cualitativo) de la gráfica intensidad de la luz sobre la pantalla en función 0.
A partir de los datos de la figura 2 deter"nrne cuantos máximos de interfe-
rencia estarán comprendidos dentro de -ax n'o centralde difracción.
lr
c'l'
=a
a
3)
4)
s)
6)
7)
8)
e)
l^o=o,zommf I ,
lrLFig.2 Problema 9
luz, interferencia y ilifracc¡On i I Z¡
PR0BltitA$ Dt HtlffEil
Una luz de frecuencia 7 ,2 x 1O'o Hz llega a una doble rendija de separa-ción 0,28mm. El patrón de interferencia se observa en una pantalla ubi-cada a 2,0m.
a)Calcule la separación entre los mínimos de segundo orden.
b) Represente en un esquema la situación anterior indicando todos losvalores. (Prof.V. Orcesi - L Crandon)
Una radiación de longitud de onda 620 nm, atraviesa una doble ranuracuya separación es 0,28mm. La distancia entre los mínimos de tercer or-den es 1,6cm. Si se repite el experimento pero utilizando luz de longitudde onda "1",la separación entre los máximos de cuarto orden es 3,0 cm.Determine la longitud de onda ").". (Prof.V. Orcesi - L Crandon)
Cuando se hace incidir luz coherente monocromática2000 rayas cada 0,01m, se obtiene en una pantalla elpara un ángulo de 20o. Determinar:
a) Con que luz se trabajó.
b) Para que ángulo se observará el segundo mínimo.
(l,o¡o = 650nm, Iu"d"= 546 nm,),u,o,u,u= 430 nm) (Liceo Nol
por una red decuarto máximo
- Melo)
Dos radiaciones de l, = 5000Á y L,= 6000Á inciden sobre una red dedifracción. El espectro se observa sobre una pantalla ubicada a 2,0m dela red. La separación entre las líneas de primer orden correspondientesa)".y )',es 10 cm. Hallar la constante de la red.
(Prof. H. Bentancour - L Ariel)
Sobre una red de difracción de k=2000 líneas incide luz de 550nm.
cmDetermine el número totalde máximos que se pueden observar.
(Prof. G. González- Maristas)
Dos parlantes emiten sonidos idénticos en un pat¡o rectangular (Fig.1).
Determine para que rangos de frecuencias emitidas por los parlantesen la pared delfondo no hay "silencios". La velocidad del sonido es 3a0 $.(Prof. F. Manzione - Maristas)
Una radiación electromagnética de frecuenciaT,5 x 10'o Hz, pasa a tra-vés de una doble rendija . La separación entre los primeros mínimos dedifracción es2,4cm sobre una pantalla ubicada a 2,0m.
a)Calcule elancho de cada rendija.
b) Calcule la separación "d" entreras'enCijas sabiendo que el tercermínimo de interferencia coincid€ coñ i a' - ?'-inimo de difracción.
c)Sielexperimento se realiza en elagra.-:-: -::" :tdes cambian ypor qué? (Liceo N. 3 - LD.A.L.)
UFz)É.L
,- . .|' 50m
lelol¡lJ
Fig. 1 Problema de examen 6
1 24 luz, ¡nterfcrenc¡a y difiacción
Fig.2 Problema de examen 9
r.rÁl
40005500
61 00
6900
Ca
lr
fe) En un experimento óptico se hace incidir luzroja de 700nm sobre una
doble rendija cada una de ancho 1,0mm y separadas entre sí por 5,0mm-La pantalla se ubica a 2,0m.
a) Determine la distancia entre la terceia franja brillante de la izquierday la segunda franja oscura de la derecha.
b) Construya la gráfica I = f (0) incluyendo el máximo central de difrac-ción y los máximos secundarios de primer orden. (no es necesario po-nervalores).
c) Haga un esquema de lo que se ve en la pantalla.
d)Repita las partes b y c suponiendo que se tapa una de la rendijas.
(Prof.W. Mazzotti - IUDEP)
La figura 2 muestra un patrón de interferencia - difracción de unadoble ranura iluminada con luz roja,la distancia entre las ranuras es
1,0 x 1 O,m. Determine el ancho de las ranuras.
(Prof. H. Bentancour - Escuela lntegral).
e)
i^n¡a_^--t
:- lsir- - -t -
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l-¿'--€- <_:
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16i
fr;
{¡95er
ffiG|!]ITROITS IIt PRÁGTIGO
Determinación de la constante de una red de difracciónA través de una red de difracción colocada a una distancia de 1,5m de urupantalla se hace pasar luz blanca. En la pantalla (Fig.1) se observa el espec-tro de primer orden para las diferentes longitudes de onda que componerla luz.
a) Complete el cuadro de valores (Fig.2).
b) Grafique "sen 0" en función de "1"".
c) A partir de la gráfica determine la constante de la red, justificando teóri-camente su cálculo.
-_r tt
COLOR
IIFig.2 Control de práctico
2x(cm) senO
24
32
3742
lI il|lFig. I Control de práctico
-_n
Capítulo 10
Fig.2 Cuando incide luz sobre la placa "E" se emitenelectrones,que luego llegan a la placa "C".
Fig.3 Denominamos potencial de frenado al volta-je mínimo que detiene a todos los fotoelectrones an-
:es de llegar al colector.
lntrodueeiún alalísiea cuántica
I
I
I ,:Ure finales del siglo XIX y principio del XX los científicos se encontraron
I = - te la imposibilidad de explicar ciertos fenómenos, como los espectros de
| =risión de un gas o el efecto fotoeléctrico aplicando las leyes de la física
J : :sica. En la búsqueda de respuestas a muchos de estas interrogantes co-
I - :nzó a desarrollarse lo que se conoce con el nombre de "Mecánica
J - ,: ntica". Basá ndonos en esta teoría, explica remos a lgunos fenómenos físi-
| :: , que se producen a nivel atómico y que no podríamos hacerlo utilizando
| - -:stros conocimientos de electromagnetismo.
I
I ¡ffero fl,To¡tfgTnrcot_| - :ontinuación describiremos un experimento en el que haciendo incidir
| -: sobre ciertas superficies metálicas, se produce desde ella emisión de
| = =:trones. A este fenómeno físico se le denomina efecto fotoeléctrico y a
| - . electrones emitidos, fotoelectrones.
I
| = ,i,cuito (Fig.2)consta de un tubo de vidrio donde se ha hecho vacío. Den-
| - : de él hay se encuentra la placa metálica "E" y un colector "C", ambos
| - : - ectados a los bornes de un generador de voltaje variable.
| - -:ndo se mantiene el dispositivo a oscuras, el amperímetro no indica pa-
I , ' : de corriente, pero al iluminar la placa "E" con una radiación acjecuada,
| -.:antáneamente se detecta la emisión de electrones, que llegan al colec-
| - r' C", produciendo corriente eléctrica en el circuito.I
I
| .'iando elvoltaje y/olapolaridad entre el emisor (E)yel colector (C),se
| - -ede acelerar o frenar a los electrones. Podemos ver en la gráfica (Fig.3)
J =,u al aumentar la diferencia de potencial aumenta la intensidad de co-
I ' ente, hasta alcanzar un valor casi constante. Por el contrario si se polariza
I := forma tal que los electrones se frenen,la intensidad de corriente dismi-
I - -y", haciéndose cero para un valor "Vo" que denominamos potencial deI jrenado o de corte.I
I
| : gunos datos experimentales obtenidos de este experimento no pudieron
| ,=r explicados utilizando la teoría ondulatoria de la luz:
I
I
| . No se emiten electrones si la frecuencia de la radiación que incide sobre
I lu placa es menor que cierto valor'f :-e se denomina frecuencia de
I umbral.Según la teoría clásica,siaumen:¿^':s : intensidad de la radia-
I ción debería llegar un momento en que la e^='; - =s lc suficientemente
I OrunO"paragenerarlaemisión,peroestoen'=: ::: ^: l.i're.I
¡
Fig. 1 Albert Einstein (1879 - 1955).
126 lriroducc¡ón a la f¡s¡ca Güántca
h = 6,63 x 1O34J. s
h=4,14x1O-" eV. s
h.c=1,99x10-t'J.mh.c= 1,24x10'eV.Á
' l eV= 1,6x 10"J
Fig. 4 Datos útiles. El "eV" (electrón Volt) es una uni-::: ;e energía.
2,46
4,O8
4,70
4,31
4,50
Fig.5 .os valores de "$" son característicos de cada-:::'al y es la energía mínima necesaria para ex-:'::- -r electrón.
' La energía cinética máxima de los electrones emitidos aumenta con lafrecuencia de la radiación incidente y no depende de la intensidad lumi-nosa. según la teoría clásica la energía de la radiación depende de sr.¡
intensidad y por lo tanto la energía de los fotoelectrones debería depen-der también de dicha intensidad.
' La emisión se produce casi instantáneamente al iluminar la placa (me-nos de 10ns). clásicamente se esperaría que el tiempo sea significativa-mente mayor, para que la placa pueda absorber la radiación y tener ener-gía suficiente para liberar los electrones.
En 1 905 Albert Einstein (1874 - 1 955) dio una explicación a estos hechos. pa.ello se basó en el concepto de cuantización de la energía de las radiacioneselectromagnéticas, introducido por Max planck (l B5g - 1947) algunos añosantes.
El postulado básico de A. Einstein consiste en considerar que :
cualquier radiación electromagnética está formada por paquetesdiscretos de energía que se comportan como partícutas y reciben elnombre de FOTONES o CUÁNTOS.
' cada fotón tiene una energía que depende únicamente de la frecuencia
de la radiación y se calcula: e=h.f =T Siendo c = 3,0 x10'$ r:
velocidad de la luz y "h" la constante de planck (Fig.4).
' un fotón no tiene masa, pero debido a su comportamiento como partr
cula se le puede asignar una cantidad de movimiento p = Jt
Explicación cuántica del efecto fotoeléctrico
Al incidir la radiación sobre la placa cada fotón cede completamente su ener-gía (E
,o,u" = h,f ) a un solo electrón. Parte de esa energía se ut¡liza para extraerel electrón del metal. A esta energía se le denomina trabajo de extracción ofunción trabajo del metal (Fig.5) y su notación es g.
La diferencia entre la energía aportada por el fotón y la que se utiliza enextraerlo de la placa, es la energía cinética máxima que puede tener elfotoelectrón al ser emitido.
La conservación de la energía en la interacción entre un electrón dela placa y un fotón, nos conduce a la ecuación del efecto fotoeléctri-co: Eroron=0*E...,
' El mínimo valor de frecuencia (frecuencia de umbrar) que puede teneruna radiación para que se produzca la emisión de electrones es cuandola energía de los fotones es igual al ó - h.f" = 0
. Análogamente,la máxima longitud de c',.:¿ longitud de ohda de um-bral) de la radiación incidente para q-: se ::oduzca la emisión de elec-
h.ctrones es: :f] = ó
. Elcr
aun:¿ n'
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7
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L AI
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Cu
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Fe
El considerar la radiación como una corriente de fotones, supone que unaumento de su intensidad es un aumento del número de fotones y por lotanto un aumento en el número de electrones que se emiten. pero no seregistrará un aumento de la energía cinética máxima de ellos. (Fig.6)La energía cinética máxima, es igual al trabajo etéctrico necesario parafrenar a los fotoelectrones, cuando la diferencia de potencial eléctrico esigual al voltaje de corte e E..r, = e .Vc
La emisión instantánea de los erectrones se explica por el hecho de quelas interacciones se producen directamente entre un electrón y un fotón.La energía de la radiación no se distribuye en toda la supeificie de laplaca como se suponía según la teoría ondulatoria
Ejemplo 1
-a función trabajo para una placa metáf íca es: 6 = 2,07eV (Fig.7).
, Calcule la frecuencia de umbral.
¡=h.f" = f, 2,07 eY + t=5,00x10'oHz4,14x10-''eV.s
: ¿5e emiten fotoelectrones si la radiación incidente tiene una longitud deonda )":500 nm?
,=l=:ggg 3 f= 6,ox1o,oHz¡. 500'x 10-'m
- r mo la frecuencía íncídente (F = 6,0 x 1 0 '' Hz)es mayor que la frecuencia de- mbral (1, = 5,0 x 1 o'o Hz),la placa emitirá electrones. La energía de los fotones^ cidentes es mayor que la función trabajo (Fig. 8).
¿Cuál será la máxima velocidad de los electrones emitidos si la frecuen-cia incidente es f = 6,0 x l0'' Hz?
,. = h.f-ó= 4,14x10'' eVs.6,0x 1 O' Hz-2.C7 e',/ =:ra convertidos a Joules lo multiplicamos por 1,6 x i o
...=6,6x1O''oJ.
Fig. 6 Cuando la frecuencja de )a radiacjón )ndden-te es menor f,, no se produce la emisión de electro_nes y cuanto mayor sea la frecuencia mayor es suenergía c¡nét¡ca máxima.
Considerando la carga del elec-trón "e" como unida4 obtene-mos una unidad de energía de-nominada electronvolt "eV".
1 eV =1róx lO'ttJFig. 7 Ejemplo 1
Para que exista emisión deelectrones se debe cumplirque E",0. > {También se puede expresar delas siguientes formas:
h.f >0
>é
f>f"
iI
tII
I
__q_h
h.c?t
l<1.
- etermine la longitud de onda de le :':toeléctrica, si la longitud de onda de
'-:nar totalmente a los electrones con
Fig. 8 Ejemplo I
: Calcule el potencial de frenado.
-'abemos que E..r"= q.V..Si utilizamos la energía expresada en eVen lugar-:: Joule, la carga del electrón la debemos tomar como "1e":
- 41 eV= 1e.V. + V.= i1l > [.= O,41V
Ejemplo 2
sobre una célula, 'l -r y se logra"." = -: 1 i\/
J'J.
InrlodüGción r t0 fisioa ounnrior j tzz
iI
ó) Calcule la energía del electrón después de la dispersión.
-a energía inicial deJ sistema antes de la dispersión es solamente /a del fo-.)n,ya que elelecfrdn se encontraóa en reposo. Luego úe ñ .tofistOn-'tene-
¡os la energía del fotón dispersado y la del electrón que comenzó a mover-, ---. ,461/rcarr</o e/ grritcrizro </e corrser rtacrórr c/e /a errerg"r',2, o/z(erzer¡zczs:
= E) + La","oro-
= 4,14 x 10" eV
Ea","oro"=Er-Et
E.",*,on =116xl0t gV
hrodücclón a leff¡too qlánucall zg
La energía del fotón incidentedebe ser igual a la suma de lasenergías del fotóndispersadomás la que adquiere el electrónluego de la interacción.
L
L,-I : = 1.,' ,= 3,98x10o eV
II ÁTflIIIll IIt HIIRÚGTII||
Espectros de emisión y de absorción
--,^Co se realiza una descarga eléctr¡ca a través de un gas de cierto ele-* : -:c, éste emite radiaciones que dan lugar a lo que denominamos espec-
- - :: emisión. Estos espectros están compuestos por líneas de colores so-
: = .:ndo oscuro (Fig. 1 1a).Cada línea corresponde a una longitud de onda
: = : 'adiación emitida y su distribución es característica del elemento que
= =-:é estudiando.
-, --:ién se pueden obtener espectros de absorción, haciendo pasar luz de
.', '¡ente continua a través delgas del elemento que queremos estudiar'
:,- -. espectros presentan líneas oscuras (Fig.1 1 b), que coinciden en su po-
- -' con las detespectro de emisión del mismo elemento'
b Esi.ectro de absorción del l.r'cli.!'-eslo ;ignifica que utr mistlo elenr: ri: :
-reríogante que se planteaba e': ,: l' I -':- =iminado emiten o absorben soic : =-:" -
- ; Bohr (Fig.12) expone una teoria ;::': :.' c,con basesen la cuantización de la ei^=-: :-
. :rnstein y ei modelo atómico propuestc : -
,: :e .:,! cscriras tiene la mi!ma posición que las de
- : ,,:.'i)e r¿¡ii¿clones de la misma longitud de onda.
-i,'í;rnrjs de un elemento-. ,:s ce c,nda? En 1913
: I -,: ilort^¡c de hidró-:- - ..a)riadefotones'-t-
-'-
'l
I
' : a Espectro de enrisiÓn del hidrógeno.Cada 1Ínea corresporrde a trna longitud de onda
r zS I mrotucción a !a fsica cuánüca
1O-to m
La longitud de onda de los foto-nes dispersados siempre es ma-yor que la de los fotones inci-dentes.
Fig. 10
L.¿; er-riiiCi():i CIQ; €rf:CLO !OIOereCIiraa a
fi¡¡¡r !qr¿!c ¡,,\/ poden:os calc¡,e.
,- , o.63 x r0 '' Js .3"0 x 'lil: ,|r
ó-
_ ::, - =-
L1o,6, - -,-- -'/ l\
' " It \t i t
ü.o.: )1 i(.- -rs .5.L, >. ! :_ ^r:_ --)-- =- ^=3,6xlt¡ n.5.) Y lLr r
-3 3-
^-r 35
l -
ANTES
-A/\A/+-ForóN (),) rrrcrnóNINCIDENTE EN REPOSO
DESPUES
Fig. 9 La interacción fotón - electrón se puede con-siderar como un choque elástico.
TftGIO GO]NPTIIII
Arthur Compton (1892 - 1962),estudió la dispersión (desviación) que sufre
un haz de rayos X al incidir sobre electrones libres. Sus observaciones mos-
traron que la longitud de onda de la radiación después de ser dispersada i.es distinta a la de la radiación incidente "1"" y este cambio (A),) solo dependedel ángulo de dispersión "0". (Fig.9)
Una explicación satisfactoria para estas observaciones, fue considerar la ra-
diación incidente formada por fotones de energía E = h . f y cantidad oe
hmovimiento p = i que chocan en forma totalmente elástica con los elec-
trones libres.
Planteando la conservación de la energía y la conservación de la cantidacde movimiento del sistema fotón - electrón se llega a la siguiente ecuación
Al, = 1,,- l, = h (l - cos 0)m.c
La energía del fotón dispersado es menor que la del incidente, o sea l¿
longitud de onda l"' es mayor que 1".
A la expresión - h se la conoce como "Longitud de onda de Compton'' m.c
y su valor para un electrón es 0,0243 Á. el símbolo "Á" corresponde a la
unidad de longitud llamada Angstrom y su equivalencia es 1 Á = 10-" n
Ejemplo 3
Un haz de rayos X de longitud de onda i = 0,3004 sufre u¡a dispersión de
Compton de 60o al incidir sobre un electrón libre.
a) Calcule la longitud de onda delfotón dispersado.
l.'-1.= n ,'t -cos0) =1"'-0,300A =0,0243A11 -cos600)
m.c?u'= 0,312 Á (Fig. 1o)
Eli
-z-
i::
:rt
=:
1A=
tnüülrcclón a h ff¡lGi dt¡nre¡ll ze
=:óarñ12 1;
' --:a:ii-
- - - a)4x10'eV
. - :=3,98x100eV l
Ec"t"oró"=Er-E,
E.",*,on = 116 x 10t eV
La energía del fotón incidentedebe ser igual a la suma de las
energías del fotóndisPersadomás la que adquiere elelectrónluego de la interacción.
r cialdel sisrenra antes de la dispersión es solamente la delfo-
:L electrón Se encontraba en reposo. Luego de la "colisión" tene-
'g a del fotón dispersado y la del electrón que comenzó a mover-
:c ei principio de conservación de la energía, obtenemos:
B n0ir0 llt HIDBÚG[]|0
Es;ectros de emisión Y de absorción
--,-:o se realiza una descarga eléctrica a través de un gas de cierto ele-
* :- .: este emite radiaciones que dan lugara lo que denominamos espec-* , : = emisión. Estos espectros están compuestos por líneas de colores so-
: = ,, ^ do oscuro (Fig. 1 1 a). Cada línea corresponde a una longitud de onda
: = , 'adiación emitida y su distribución es característica del elemento que
::::: estudiando.
-- : :n se pueden obtener espectros de absorción, haciendo pasar luz de
, ',ente continua a través del gas del elemento que queremos estudiar'.:: :spectros presentan líneas oscuras (Fig.11 b), que coinciden en su po-
- - con las del.espectro de emisión del mismo elemento'
b ls¡,.ectro de absorción del hl.lr.!:'-- .,r. ' ¡É-.i: .scuras tiei'le la misma posiciÓn que las de
:slo:.ignifica que un mismo eler¡-¿ ri: :^' :: : ll..r'!re r¿cliaciones de Ia mlsma longitud de onda.
-ierrogante que se planteaba e'¿ -::' -r -: I - |
' -r'minado emiten o absorben sorc : =- '" - .. ; Bohr (Fig.12) expone una teorra ;-:-: :.'l,conbasesenlacuantizacióndelaen='; -: l:: '- -' :
= : nstern y ei modelo atómlco propuestc ::' : - --
= ' -
i.í;irrcs de un elementocnda? En 1913
jlonrc cie hidró-'.=':,'¿ de frJtone5
a:spectrodeemisiónilel hidrógeno.cadalineacorrespondeauna iongituddeonda
Fig. 12\l e:!e-'
tiO lmrooucciún
a ta física cuánrica
Las ideas básicas de la teoría de Bohr sobre la estructura del átomo de hi-drógeno son:
' El electrón se mueve en órbitas circulares alrededor der protón, debido a
la fuerza de atracción eléctrica entre ellos (Fig. l3)
' sólo algunas de estas órbitas son estables. cuando el electrón se mueveen alguna de estas órbitas, su energía es constante y no emite radiación.
' El átomo emite radiación (fotones) cuando por alguna razón,unelectrónpasa de una órbita estable a otra de menor energía.
' La energía de los fotones emitidos en una transición de órbitas niveleses igual a la diferencia de las energías de dichos niveles.
' Para determinar los radios de las órbitas y sus correspondientes energíasBohr introdujo otro postulado:
El momento cinético del electrón respecto al centro de giro (L = m.v.r
debesermúltiplod" * > m.v.r= n.¡|-,sienao n=1,2,3.....
A partir de esta ecuación y aplicando algunos conceptos de mecánica demovimiento circular,obtenemos que los radios de las órbitas estables cum-plen con la ecuación: r = 0,534. n'
El primer radio es 0,53Á, el segundo posible es cuatro (2') veces mayor, etercero nueve veces (3'), etc.
Dijimos que cada para cada órbita o nivel, el átomo tenía un varor de ener-
gía estable. La expresión para su cálculo es: E = -13'9 eV
n
El nivel de menor de energía (n = 1) es para el radio más cercano al núcleo y
su energía es E = -1 3,6 ev (Fig.1a).5i el electrón se encuentra en otro niveltiene más energía y se dice que el átomo esta excitado.
cuando se produce un "salto" del electrón de un nivel de mayor energía (E.
a uno de menor energía (E,), el átomo emite un fotón, cuya frecuencia y lon-
gitud deonda cumpleque: E,- E;= n.f = ittL
Fig. 1 3 El modelo de átomo de hidrógeno de N. Bohr.El átomo es estable, sólo para órbitas de determina-dos radios.
Fig. 14 Cuando n -+ o,la energía tiende a cero. En
este caso el núcleo deja de tener influencia sobre elelectrón y se dice que el átomo esta ionizado.
Ecua
Las lír
can dnen e
El lafi
- ^ár
:e
lT
T
n=5
n=4
n=3
ENERGfA
0eV-0,54 eV
-0,85 eV
-1,51 eV
-3,40 eV
-1 3,6 eV
tnrroüucción a ¡a fÍsica Guánr¡Gal 1 3 I
Ecuación de Rydberg y series espectrales
-as líneas delespectro del hidrógeno están distribuidas en series,que abar-:an diferentes zonas del espectro. Las líneas que componen una serie tie-^en en común el nivelfinal que alcanza el electrón (n,).
-l la figura 15 vemos las diferentes series y sus nombres
Serie de Lyman(ultavioleta)
-: ecuación de Rydberg nos permite encontrar el valor de la longitud de:'da de cualquier línea delespectro de hidrógeno.
El valor de la constante es R = 1,O97 x 10-' Á''
Fig. 15 Las transiciones permitidas están indicadascon flechas Todas las flechas que terminan el el mis-mo nivel componen una serieObserve que solo las líneas de la serie de Balmer se
encuentran en la región del espectro visible, cuyorango de longitudes de onda es entre 4000Á y 7000Á.
n=4
n=3
n=2
E=-0,85
=-1,51eV
=-3,40 eV
E=-13,6 eV
Fig. f 6 La mayor longitud de onda co!'resDo'r:e 3 3
transición de niveles más ce'canos. -: -=-:' :-; -
tud de onda correspoloe ¿ ¿ :.3-5 a a' aa -2:='diferenci¿ de energias.
n
T6
5
4
O
.ñ -3,40oocU
f =n.,*-*,
: lector puede demostrar que si en la ecuación E,- ,,= + se sustituye la
:1ergía de cada nivel por , = --]lÉgy se obtiene la ecuación de Rydberg.
ijemplo 4
:termine la mayor longitud de onda visible delespectro correspondienteatomo de hidrógeno.
3oemos que la zona visible del espectro pertenece a la serie de Balmer, o
=a las transiciones cuyo nlvel final es n = 2. La máxima longitud de onda se-oduce cuando la energía es mínima, por lo tanto la transición es del nivelal3(Fig.16)
¡lculamos la energía del nivel n = l. ., - =3
-13,6 eV -13,6 eV=_fr_::_=F 3 E,=-3¡40eV
-13,6 eV -13,6 eV=ff =ff 3 E,=-1,51 eV
I
I
1
' iz
I mroduruón ¡ l¡ llrlo¡ cuónflo¡
El átomo emitirá un fotón cuya energra €s ja oiferencia de energía de losniveles Ero,¿n= - 1,51 - (- 3,40) = 1,89 eV
4,"14x 10-" eVs.3,0 x 10'f1É9eV
También podemos resolveresta situación utilizando la ecuación de Rydberg
- h.c ^ h.cEfotón=
^ -/,=;-=lv Efo,on = l, = 6,57 x 10-'m
Aquí t
ment(mientorder
En el
mentta ent
dispedandla lorcon l,
rtGl
Si nc
nearexislerrotos )En'lciPi
La radiación electromagnéticaes dual, muestra característicastanto ondulatoria como corpus-cular.
Fig.17
Fig, 18 Louis De Broglie (1892- 1987).Premio Nobelde fÍsica en 1929.
Al igual que las ondas electro-magnét¡cas, la materia presentaun comportamiento dual, cor-puscular y ondulatorio
Fig. 19
= R.(+-11 = 't,097 x10'm-'tl-*i+ r = 6,57 xr0'' m'ni ni' '2' 3"
Düilt¡tD otD[ - mnilGultEn elcapítulo 8 hemos explicado mediante un modelo ondulatorio elcorr-portamiento de la luz en algunos experimentos (interferencia, difracciónEn este capítulo, para explicar otros experimentos (efecto fotoeléctrico, dis-persión de Compton) se le atribuyó a las radiaciones electromagnéticas r,rcom porta m iento corpuscu la r.
Cuando decimos que las radiaciones electromagnéticas muestran una du¿-lidad onda - partícula, ponemos de manifiesto que en ciertas circunstanci¿,se comporta como un onda y en otras como partícula.
Ondas de De Broglie
En 1924 L. De Broglie (Fig. 18) sugirió que si la luz podía presentar un cor-portamiento dual (onda - partícula), era de esperar que las partículas en ci:--tas condiciones presentaran un comportamiento ondulatorio. En su tec' ¡De Broglie supone que la relación entre la cantidad de movimiento de ur..partícula (característica corpuscular)y longitud de onda asociada (carac:-rística ondulatoria), deberían cumplir la misma relación que para las raci"-ciones electromagnéticas.
Para cualquier partícula en movimiento, se puede calcular su longitud c=
onda con la relación r = I = h,, (Fig. 19).p m.v
Ejemplo 5
Determine la longitud de onda asociada a un proyectil de 50g que s:mueve con una velocidad de 400 * V a" un electrón cuya velocidad e¡v=2,0x10'f.
Proyectil
h h 6,63x10-'Js + l, = 3,32 x 10-" nrP m .v 0,050 Kg.40O +
1
"
s¡(tdt
b(
)u=
Electrón
^hh 6,63x10*Js)"= p m.v 9,1 x 10-" Kg .2,0 x 10'f = 1, = 3,6 x 10''o m
lntruducclún ¡ l¡ llrlc¡ Gutntlc¡ I I 33
rAquí vemos que la longituc o: 3^o¿ de un objeto macroscópico es suma-mente pequeña, esto se trad uce :''r q ue no es posible detectar su comporta-miento ondulatorio. En cambio para el electrón su longitud de onda es delorden de los radios atómicos.
En el año 1927 los cientÍficos Davisson y Germer lograron verificar experi-mentalmente la hipótesis de De Broglie. Al hacer incidir electrones con cier-ta energía conocida sobre los cristales de níquel (Fig.20), observaron que la
dispersión era mayor en ciertos ángulos que en otros (máximos y mínimos),dando lugar a un patrón de difracción.A partir de esto pudieron determinarla longitud de onda asociada a los electrones y comprobar que coincidíancon las propuestas por De Broglie.
ItGtRTtDUil¡Rt Y GoitPl¡it¡XflnE¡m
5i nos propusiéramos realizar un experimento para determinar simultá-neamente la posición y velocidad de un objeto, nos encontraríamos con la
existencia de ciertas incertidum bres experi mentales. Supuesta mente estoserrores podrían disminuir hasta hacerse nulos, ajustando los procedimien-tos y mejorando la precisión de los instrumentos,sin embargo esto no es así.
En 1927,W. Heisenberg (Fig.21) dedujo lo que se hoy se conoce como Prin-cipio de lncertidumbre de Heisenberg:
Si una medición simultanea de la posición y la Gomponente de lacantidad de movimiento en igual dirección, se realiza con incerti-dumbres Ax y Ap,respectivamente. El producto de las incertidum-
bres nunca puede ser menor qu" ¡1-.
La ecuación que para este principio es Ax .
^p, > *
Esto significa que si aumentamos la precision en :a '¡;-e'ñióa: c. C:una de la variables,la incertidumbre de la otra aumentara.
Esta relación no surge de la imperfección de los instrumentos ni oe :sprocesos de medida, es una restricción natural dada por la estructuracuántica de la materia.
Este principio se puede enunciar para otros pares de variables, por ejem-
ploenergía ytiempo =AE.¡1 2 - !-
4.n
!r principio de incertidumbre nos está diciendo, que no es posible medir, "nultáneamente y con absoluta precisión, variables relacionadas con el as-
:ecto ondulatorio (cantidad de movimiento o energía), con variables pro-: as de las partículas (posición o tiempo).
: Principio de Complementariedad :^ - ^: :co oor N. Bohr en 1928, resu-
-e esta idea. Los aspectos corpusc-:':: . :-:- ¿:crios de la materia se
:cmplementan mutuamente y arrbas ::i:' :.: :-:s scn necesarias para
:cmprender sus propiedades, aunque '. = -?==' ::' ::s='''ados simultá-
^ eamente.
Fig.2O Ex¡ erimento de Davisson y Germer.
Fig.21 Werner Heisenberg ('l 901 - '1976). PremioNobel de física en 1932.
134i¡momccún a lafl¡ico cuánüca
f(x1o'oHz)
Fig.l Problema 6
Fig.2 Problema 7
n=4
n=3
n=2
Fig. 3 Problema '14. Serie de Lymann.
PR0BLlfitAs
Determine la energía de un fotón cuya longitud de onda es 700nm,exprésela en Joule y en electronvolt.
Calcule la longitud de onda y la frecuencia de un fotón cuya energía es
0,50 M eV
Calcule la cantidad de movimiento de un fotón cuya energía es 2,OK eV.
La función trabajo de un metal es 2,5eV y sobre ella incide luz de 7000Á.
¿5e produce emisión de electrones?
La longitud de onda de umbral del sodio es 54204.
a) ¿Cuál es la máxima energía cinética de los electrones emitidos por elsodio, si incide luz de 45004?
b) ¿Cuál es el potencial de frenado?
La gráfica (Fig. 1)corresponde a la relación entre la energía cinéticamáxima de los electrones emitidos por una placa metálica, al variar la
frecuencia de la radiación incidente. Determine:
a) Eltrabajo de extracción del metal
b) Para que valores de longitudes de onda se produce emisión de electrones
c) La energía cinética máxima y el potencial de corte, si la frecuenciaincidenteesf = 1,0x 10"H2.
Cuando sobre la placa metálica de la Fig.2 incide luz de l" = 500nm, la
energía máxima de los fotoelectrones es 2,38 x 10 "J. ¿Cuál será la ener-gía cinética máxima de los fotoelectrones si la frecuencia de la radia-ción incidente fuera f = 5,0 x1 O'oHz?
Calcule que porcentaje en que aumenta la longitud de onda de un haz derayos X de ). = 0,400Á,cuando sufre una dispersión de Compton de 60o.
Cuando un haz de rayos X de 0,500Mev incide sobre un electrón erreposo, este último alcanza una energía cinética de 0,100 M eV.
a) Calcule la longitud de onda del fotón dispersado.
b) ¿Cuál fue el ángulo de dispersión?
¿Para qué ángulo de dispersión de Compton, el electrón adquiere sumáxima energía?
Calcule la longitud de onda del fotón emitido por un átomo de hidro-geno cuando su electrón realiza una transición desde n = 4 a n = 3.
Calcule todas las longitudes de onda posibles que puede emitir un átomode hidrógeno si se encuentra en su segundo estado de excitación (n = 3).
¿Cuánta energía hay que suministrar al átomo del problema l2 paraionizarlo?
Calcule la máxima y la mínima longitud de onda correspondiente a laserie de Lymann (Fig.3)
Un átomo de hidrogeno emite un fotón de l" =1 216A
a) ¿Entre qué niveles se produjo la transición?
b) ¿A qué serie pertenece dicha transición?
Un protón que se encuentra en reposo, es acelerado por una diferenciade potencialde 200V.¿Cuál es su longitud de onda finalde De Broglie?
¿A qué diferencia de potencial se debe aceierar un electrón para que sulongitud de onda de De Broglie se: ' l:
r)
PRU
1) sU
a
€
t
(
2):!
I
I
3)
4)
2)
s)
6)
7)
8)
e)
10)
11)
12)
13)
14)
1s)
16)
17)
EhrroÍucción a ta fistca cuánüca
i r lS
PROBTTTIIS DT TMilHI
r) Sobre una célula fotoeléctrica cuya energía de enlace es 2,0eV incideuna radiación de l" = 300nm.
a) Realice la gráfica de la energía cinética máxima de los fotoelectronesen función de la frecuencia.
b) ¿Se producirá emisión si íncide una radiación de 4000Á?
(Prof.V. Orcesi - l. Crandon)
Sobre una muestra de gas hidrógeno contenido en un tubo de descar-ga se disparan electronesde 12,2 eV.Sabiendo que inicialmente los áto-mos de hidrógeno se encuentran en el estado fundamental,luego se
excitan y vuelven nuevamente al estado fundamental:
a) Calcule las longitudes de onda de las líneas emitidas por el hidrógeno.
b) Calcule las posibles energías de los electrones dispersados.
(Prof.W. Mazzotti - IUDEP)
Se observa que una muestra de gas hidrógeno emite un línea espectralde longitud de onda 410,6 nm. ¿A qué transición corresponde?
(Prof.W Mazzotti - IUDEP)
Una átomo de hidrogeno emite un fotón debido a que su electrón pasa
del nivel 2 al estado fundamental. Dicho fotón incide sobre un electrónen reposo cediéndole la máxima energía posible. Calcular la longitudde onda del fotón luego de la interacción con el electrón.
(Prof.W Mazzotti - IUDEP)
Una placa es iluminada por una fuente que emite luz monocromáticade longitud de onda 600nm.
a) Sabiendo que la función trabajo de la placa es 1,1eV calcule la longi-tud de onda asociada a los electrones de mayor velocidad emitidos porla placa.
b) lndique que se modifica y que se mantiene constante si se aumentala intensidad de la luz de la fuente manteniendo constante su longitudde onda. Haga una gráfica mostrando el efecto producido por el au-mento de intensidad luminosa. (Prof.W. Mazzotti - IUDEP)
Un protón es acelerado desde el reposo a través de una diferencia depotencial de 1KV. ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie?
(Liceo de Punta del Este)
Un electrón se mueve a 1,8 x 1O'+ y su cantidad de movimiento pue-de medirse con una exactitud de una parte en cada mil. Encontrar la
mínima incertidumbre en la posición del electrón.
(Liceo de Punta del Este)
Trabajando con un radiador de cavidad se obtuvo la gráfica de la figura 1.
a) Determinar la temperatura Ce ::'o radiador cuyo máximo de radiancia
corresponda a i = 1,8 x 1O r.b) ¿Qué suposición se debio -..2' .','= =':;.ar la forma de la curva?(Liceo Nol - Melo)
?)
B)
:
'I'
"!
F
;
I
r le I rrrrcarl i h tfstcr cuámbo
\
9) suponiendo que la temperatura en ra superficie der sor es 5200 K de-termine la masa que pierde er sor por segundo en forma de radiaciónelectroma g nética.(su ponga cuerpo negro).
Datos:Diámetrodel Sol =1,4x10'm, o =5,67x 108-{--,c = 3,0x 10' f ,superficie de una esfera S = 4.n.R,(Liceo de Punta del Este)
GOTTBOIT$ ff PNÍGilGll
Determinación de la constante de RvdberoEl dispositivo (Fig.1) de la figura consta de tubo de descarga hidrógeno, ali-mentado por un generador de alto voltaje. Mirando a través de la red dedifracción, podemos ver la zona del espectro correspondiente al la serie deBalmer y medir la posición de las líneas con la regla que se encuentra detrásdel tubo de descarga.
Los datos obtenidos los vemos en la tabla (Fig.2)
Sabiendo que la red de difracción tiene una constante
tancia de la red a la regla es D = .l,0m.
a) Calcule el ángulo "cr," (Fig.1), para cada línea.
b) calcule la longitud de onda correspondiente a cada línea. Recuerde quel"=d.sena
c) ¿cómo sabemos que las líneas observadas corresponden a la serie deBalmer ?
d) La ecuación de Rydberg para la serie de Balmer (n, = 2) es:
f = n ,+ +r,comprobar
que se puede escribir: f = -n + . +Grafique f = r tll,
" indique que significado físico tiene la pendiente
y la ordenada en el origen de dicha gráfica.
Determine a partir de la gráfica el valor de la constante R y la longitud deonda limite de la serie (menor valor de )").
A]IH
srilBl
Calor
ñopArvr&1r!_Lo
l7l,[j:..;,WISTA ;
73
65
55
40
,oo líneas v la dis-
mm
e)
f)
Pote
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Figr 2 Control de práctico
MAd
Acele
Area
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Desp
Desp
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Flujo
Fluio
Frect
Fuer
lnter
Lonc
Mas¿
Peú
Vek¡
Velo
Volr.r
Fig. l La distancia entre dos líneas de iouanamos "2 x"
Fig.l A través de la superficie S, las líneas están más
espaciadas que en S, + E, < E,.Pero la cantidad delíneas que atraviesan ambas superficies es la misma
- I _l
Fig.2 El vector 5 forma un ángulo "cr" con el campoeléctr¡co. El vector 3 es perpendicular a la superficie.
ffiHro 2 I lrY Dr GAUSS
Esta ley, es útil para calcular el campo eléctrico producido por una distribu-ción de cargas, si ésta tiene uno o más planos o ejes de simetría. Previamen-te a estudiar la Ley de Gauss y ver sus aplicaciones, introduciremos el con-cepto de flujo de campo eléctrico.
Flujo de campo eléctrico
Todo campo vectorial y en particular el campo eléctrico lo podemos repre-sentar utilizando líneas de campo. Sabemos que en las zonas donde las lí-
neas están más "juntas" el campo es mayor y donde están más espaciadas ei
campo es menor.
Elflujo de campo (Q.) a través de una superf¡c¡e, puede interpretarsecomo elnúmero de líneas de campo que la atrav¡esan (Fig.1).
El caso más sencillo para calcular el flujo es cuando un campo eléctrico uni-forme atraviesa una superficie plana.
A cualquier superficie le podemos asignar un vector superficie cuya nota-ción es É. Dicho vector es perpendicular a la superficie' y tiene como módu-lo su área (F¡g.2).
Definimos flujo de Gampo eléctrico (0.) al producto escalar de losvectores É yÉ + 0. = lÉl . l3l .cos cr
Ellffa
La
IEY I
.fc
c
.Ef
Ejet
tE.
ci
5
I
a
a
a
Elflujo de campo eléctrico es una magnitud escalar.
Su unidad en el S.l. es' f . m'
El ángulo "cr" es elformado entre el campo eléctrico y el vector superficie.
Si E atraviesa perpendicularmente a la superficie, o = 0o y el flujo se cal-
cula: $. = E.s.cos 0 + 0.= E.s (Fig.3a)
- Si E es paralelo a la superficie,ü = 90o = 0, = E.s.cos 90o = elflujo es
nulo. Ninguna línea de campo atraviesa la superficie (Fig.3b)
Si la superficie no es plana y/o el campo eléctrico no es uniforme, debemosdividir la superficie total en pequeños fragmentos, que podamos conside-rarlo "casi" planos y el campo "casi" uniforme. El flujo total es la suma delflujo de todos los fragmentos.
Esto tipo de situación nos enfrenta a un cálculo .uy complicado. Con la
aplicación de la Ley de Gauss podemos realizarlo de una forma más simple.
E
d
Fig.3a El flujo es máximoFig.3b El flujo es nulo.
1 5i la superficie es cerrada, el sentido de es sa-
liente de ella.
@ o
cr =0o
ltY DE GIUSS
Elflujo total de campo eléctrico a través de cualquier superficie ce-rrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en ella.
La ecuación que relaciona las magnitudes es: $r-o. - 9r,'oEo
A una superficie cerrada (imaginaria) que delimita una región del espa-cio, la denominamos superficie gaussiana (Fig. a).
"q"",u" €s la suma (utilizando sus signos) de todas las cargas que se en-cuentran dentro de la superficie gaussiana considerada.
lnexos I I 41
Fig.4 La carga q, se encuentra encerrada en la su-perficie cerrada (gaussiana) y la carga q, no.
. Elflujo de campo eléctrico a través de una superficie gaussiana no de-pende de su forma, sino de la carga neta que encierra.
Ejemplo 1
Determine el flujo de campo eléctrico a través de las superficies s , s:, s. y s.
de la figura 5. Datos g,= 2,0 pC y q, = -5,0pC.
Aplicaremos la Ley de Gauss para cada superficie, debemos ser cuidadososal identificar que cargas son las que están encerradas en cada superficie.
2,0 x 10"B,S5 -m"'Ó, 3 0,=0,23$.m
. o. -5.0 x 10-"ó.=__l:- ,_ 3ro 8,85 x 10 '
.m
+ 0,=-0,3a{.m
0, = -0,56 t
.0o=g =00=o$.-'
. Si en una superficie la carga neta encerrada es cero e, 'ujonulo. El número de líneas de campo que entran a la super'icde las líneas que salen.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Esfera maciza cargada de materialconductor
Cuando se carga un cuerpo de material conductor,las cargas eléctricas tie-nen posibilidad de movimiento. Cualquier exceso de cargas en un cuerpode material conductor se redistribuye rápidamente sobre su superficie.
Si una esfera metálica se carga eléc:r::-e^:e, las cargas se mantendránsobre la superficie y el interior perr¿-=.:': ^:-:'o Fig.6).
Primero estudiaremos el campo en e -:=' :' . -=;: :^ os puntos exterio-res. Debido al tipo de simetría que pres€-:: =::: : ::' :' : : ^ Je cargas con-sideraremos superficies gaussianas esfe- :¿: :: -,::- :' :3: :: - = :-erpo car-
gado.
Fig.5 Si el flujo total a través de una superficiegaussiana es positivo, significa que hay más líneasde campo que salen de ella que las que entran.Y si
es negativo, el número de líneas que entran es ma-yor al de las que salen.
Fig.6 La línea punteada representa una superficiegaussiana interior al conductor. El flujo a traves ce: ¿ es nu1o.
*,=TO= 2,0 x 10-" + (- 5,0 x 1O ")8,85 x 10
erect|co es^^-^-l-¡
.4+F-x*x
\II
II
I,IIt
.x:t/*t----
---a" x
142 lAnexos
Enla¿
0roo =
0.oro.'
0.o,o-'
q=p
Para
e5 ifr
_Eción
cam
Rect
-E
f(
-i(
1
\----z
Fig.7 La superficie gaussiana (línea punteada) en-cierra toda la carga de la esfera. El flujo total es la
suma de los flujos de todos los 43.
El campo eléctrico en el exter¡orde una esfera cargada se puedecalcular como si toda su cargaestuv¡era ubicada puntualmen-te en su centro.
Fi9.8
Fig. 9 Cuánto mayor es el radio "r" de la superficiegaussiana interior, mayor es la carga que encierra.
Dentro de cualquier superfic¡e gaussiana interior al conductor no hay carganeta encerrada, siendo el flujo nulo y por lo tanto el campo eléctrico tam-bién nulo.
El campo eléctrico en el ¡nterior de (ualqu¡er cuerpo de materialconductor es nulo.
Para estudiar que sucede en los puntos exteriores a la esfera elegiremos unasuperficie gaussiana también esférica de radio "r" mayor el radio del con-ductorr>R(Fig.7).
Si dividimos la superficie de la esfera en pequeñas porc¡ones A5,los vectoresE que atraviesan cada una de ellas tienen igual módulo por estar a lgualdistancia de la carga y son colineales con 43.
Para aplicar la Ley de Gauss, debemos determinar una expresión para el flu-jo total a través de la superficie gaussiana.
0ro., = I E.As . cos 0o = E .I As.
La suma de los As es la superficie de una esfera de radio "¡" 3 lAs = 4.;.t'9 0ro,", =E.4.n.f'Aplicando la ley de Gauss y sustituyendo la expresión anteriormente hallada:
0roro, = glllL
= E .4 .n.l = O:]o , despejando ,'E,, y recordando que la su-
perficie gaussiana encierra la totalidad de la carga de la esfera:
Elresf
tel
E=---9-,como ,+ =K + E=I+ (Fig.8)4.n.eo.r' 4.n.to I
Esfera no conductora cargada uniformemente
Si un cuerpo está constituido por un material no conductor,las cargas eléc-tricas no t¡enen la movilidad para desplazarse a la periferia y es posible car-garlo en su interior. Cuando decimos que un cuerpo está cargado uniforme-mente significa que la carga (q) por unidad de volumen (V) es constante.Utilizaremos la letra rho (p) para representar la densidad volumétrica de car-
ga que por definición es p = f V su unidad "t # .
Elegiremos como superficie gaussiana una esfera de radio "r" concéntricacon la esfera cargada de radio "R" siendo r < R. (Fig.9)
La carga encerrada en la superficie gaussiana si r < R se detqrmina:
p = + + q = p.V Como elvolumen de un esfera es:
4t43u=T.fi.r = q=p.3.n.,
Sivariamos el radio de la superficie c:-ss:^- : carga encerrada varía enforma directamente proporcionar ar a-a: :: ':dio 1r').
III
I\
* - 9trtoYTOTAI co0
En la aplicación anterior vimos que para una esfera se cumple que:
ór*,, = I E .As . cos Oo = E .4.n.r'
nnexosl t+l
Fig. I 0 Desde el centro de la esfera hasta su superfi-cie E c r y en el exterior el campo decrece de la for-
-1fTláE{--f'
Fig. 11
4P . ;.7r .f'
E .4 .n .r' - 5 . Simplificando y
to
despejando obtenemos la expresión:
r- P'r3eo
0',oro, = E '4 'n 'r'
q=p' 3.TE .T
4
T
l
l
I
I
i
I
El módulo delcampo eléctrico en un punto ubicado dentro de unaesfera (r < R) no conductora un¡formemente cargada es directamen-
te proporcionala la distancia delcentro + f = 4{3eo
Para los punto exteriores a la esfera (r > R) sigue cumpliendo que el campoes inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (l) del centro
i E = I+ En la figura 1O vemos una gráfica del campo eléctrico en fun-r'
ción de la distancia alcentrode la esfera (E =f (r)).Desde r= 0 hasta r= Rel
campo aumenta linealmente, luego decrece en una relación g * 1r
Recomendamos que el lector demuestre que:
- El módulo de E producido por una línea cargada es E = =-¡-- . Se su-2.It,t,a.r
giere tomar como superficie gaussiana un cilindro cuyo eje longitudinalcoincida con la línea cargada.
- El módulo de E producido por una placa uniformemente cargada,delga-
da y de grandes dimensiones es E = -i .t" sugiere tomar como super-aao
ficie gaussiana un cilindro cuyas bases sean paralelas a la placa (Fig.11)
12I
GAPíTUlO 1 V.=0V
Vo = -0,20V
a) AVAB = -6,0 x 10V
b)T=-9,6x10-1sJ
a) 0,20m a la derecha de q, y 1,0m a la izquierda de q,
b) circunferencia de r = 0,60m
con centro a 0,40m a la izquierda de qr
a)AVor = -5,0V
b)AV^, = 5,0V
c) AVo, = gY
d) AVo' = 9Y
a)F=2,0x104N, lgoo
b)v=11*c) At = 5,5 x 10-3s
a)T=1,3x10-''J
b)T=0J
c)T=1,3x10"J
d)T=1,3x10"J
a) E = 50 f, 18oo
b)o = 4,4x10''o fic)q=1,8xlo-'oc
d)v=2,0x100S
b) o"",* = -2,3gx10 " ,,t.-q
o"b",o = -5,9 x1O't' #c) a=3,3+
Problemas de examen / cap.l1. a) g, = -1,3 x 106C
b) 1,0m a la derecha de q,
2. a) E,=9,0x10'Ib)qr=+8,40x106c
c) Vo = 1,66 x 10V
a) F = 1,8 x l0oN,atracción
b)F =7,2x 1OoN
a) F = 14,4N, 0o
b)F=5,4N, 1800
c)F=10,2N,-45o
d) F = 5,3N,29o
F = 22,4N, 155o
E¡=7,2t, O"
Er=3,2|, tao"
E,=2,5t, o"
Eo = 3,3 t, -ot'
E = 1oo f, zrs.
a) 0,22m a la derecha de q,
b) 2,2 m a la izquierda de q,
E¡ = 0,38 f, t so"
E, = o,1e f, t so"
E. = 0,38 f, o'
Eo = 1,0 t, 0"
Er=6,4$, -tzs"
Fo='l ,6 x 1o-''N, 13go
Fu= 1,ox 1o-'8N, 51o
a)q=-2,ox1o'C
b) No
c)q=+2,0x10'C
a)F=1,1x10"N
c)o=3,2x10tt$Vo=0V
V"= -0,24V
13.
14.
15.
"t6.
17.
18.
19.
I
I 54 i Soluciones
3' F. = 9,0N, 180o
4. F=0,29N,0o
5' lql=2,+x 1o-"C
6. cr= 11,9o
7. a)E=4,0xtO'[,90.b)T=-1,6x10'J
c) 10 cm hacia arriba de "A"
8. a) lguales distancias
b) p" = 2po
c) E." = 2E.o
9' Q = 1,3 x 10-"c
10. a)F = 5,0 x 1ooN, go
b) 3cm a la derecha y 3cm hacia arriba de Q
1 1. a) E = 2,6x 10'f, -60'
b)v=3,0x10'S,0,50V
12. a)a=20?b) At = 5,5 x 10''s
13. a)T=0J
b)v = 2,4'$
14. a) 0,70 m de la partícula o
15. o = - 5,7 xlo" #,1, = 1,3 x to''$16. a) E=1,02x 1O'I
b)q=8,ox1o-'uc
17. S¡
18. a) T ='1,75 x 10'J
b) lAVl = 1,75V
GAPíIU1f| 2
1. a)C=1,4x10'F
b)q=2,8 xlo'c
c) E=4,0 xt0'fd) U=2,8x10'J
a)C=2,8 xlOnF
b)q=5,6x10-'c
c)E=4,0xf0'fd)U=5,6x10-'J
a)C = ]C.3.
if
b)q=qoc)AV=2AVo
e)E=Eo
f)U=2Uo
4. a)C = ]C.b)o = ]0.c) AV = AVo
e)E=]E,
r)u=]u.5. a)AV, = AV, = 4,0V
b)q' = "1,2 x1o-tc, q, =2,4 x"lo'tC
c)No
6. b) 2pF, 4¡tF,9¡:,F y l BpF
7. a)
q.,=2,9x 1o-'oc, av, = {,6Y
qr= 2,9x 1 o-'oc, LV, = 7,2Y
gt= 2,4x 1 o-'oc, av3 - 1 2v
b)
Qr =8,0x 1o-t'c, av, = l,gY
qr=1 ,2x 1o-toc, av, - 2,ov
g:=2,0x 10toc, AV. = 16Y
8. g, = 3,2 x lo-tc, g, = 1,6 x 1o,c
o l2e. c=lf(k,+k,)
Problemas de examen I cap.2
8.
9.
10.
cAt
L
3,
5.
4.
6.
7.
8.
1. a) Bakelita
b) Menor
a) se duplica
b) se reduce a la mitad
Q=8,4x10,C
a)Q, = Q,
b)AV' = +Lv,c)U, = ]U,a) Q. = Qr= 7,2 x 10'"C
b)AV, =7,2Y
a)AV, = 3,3V
b)enC,yk=2a) Q. = 9,6 x lo''C, Q, = 1,2 x 10''C
9.--
10.3.
4.
1't.
1L'13.
14.
15
7.
8. a) Q' = Q, = 1,0 x 1O'C
b) Q, = 2,ox10'C,Q, = oC
9. 31,25J
10. Q, =Qr= 2,4x10-'C, Qr= 1,2x"101C,
Q=3,6x 10-'C
AV,= [Y - AVr= AY.- 6,OU
GAPITU1O 4
2.
3.
B = 2,5f saliente
a)üil8
b)VI B
c) ü no es ni paralela ni perpendicular a É
a)F=2,6x1O-'oN, -9Oo
b) R = 0,040m
d) vértice inferior derecho
e) At = ]n x 10's
f)F =5,2x 1O-'oN,90o
R=0,0_80m, At=f x10's
a) Negativa
b) R = 2,0cm
a) F, = 0,45N, 135o
b) F" - 0N,
c) F" - 0,32N, 90o
i = 0,50A saliente
a) Bo = 5,0 x 1Otl saliente B"= 2,5 x 10-'T, entrante
Br=1,2x 1o'T,saliente
b) Bo= 2,5x10'T, -9oo Br=1,2x 1o-1 90'
c) BA = 5,0 x 10'T, entrant€ B, = 1,0 x 10-T saliente
a) Zona 1
b) 0,40m arriba de i,.
a)F=2,9x10-'oN,99o
b) F = 3,9 x 1O-"N, saliente
c) F = 3,6 x 10-'oN, entrante
d)F=0N
7.
8.
10.
1f . i,=2,0A derecha
12. i=8,0A,izquierda
13. i = 0,80A,antihorario
14. F = 1,4 x 10" N, 0o
15. b)diferentec) i = 2004
sotucionesl t ss
16.
17.
18.
a) B = 6,3 x 1 0'T, entrante
b)No
a)i=50A,izquierda
a)E=asst
b)v=4,0x10'Sc)d = 0,020 m
d)T=0J
Problemas de examen / cap.4
6.
7.
8.
1. Opción D
2. a) 1,37cm a la derecha delpunto inicial
4. i =4,2A5. a) Bo - 4,5 x 1OoT, -154"
b) colinealcon Bo
4,56x 10'm y 13,2m a la derecha de i,
8,7 SA,hacia la izquierda
F* = 8,0 x 10"N, 9oo
Fo = 9,6 x 10-''N, -99o
Opción "a"
F = 2,0 x 1O-5N, 0o
37o hacia el oeste
a)F=5,0x10-"N
b) positiva a la derecha
1,25A hacia la izquierda
14. v = 3,0 x 10'$, punto medio de RS
15. B, =0,2Of saliente
Er=2,5x 10'f,0oBr=0,15Tentrante
16. a)Cr=QTm
b) B=5,4x10"T,a=-680
17. al5e polariza,-\V = 0,020V
b) no
GIPfiUÚ 5
9.
10.
11.
12.
13.
1. d) e' = 3,7 V,er= 0 Vs, = -0,90 V
b) i, = 9,1 9 A,ir= 0 A, i, = -4,5 x"lO'' A
I
1 56 iS0uc¡0ncs
c)
1"'tramo - antihorar¡o
20" tramo - no hay i
3"'tramo - horario
3. t= 2,0x10'V
4. a) t, = 7,5 x10'V horario
b)t,= 0V, i,= 94
5. a)$ disminuye
b) i, = 1,0 x 10'' A, antihorario
6. a) no hay i,
b) horario
c) antihorario
7' i,= 0A
8' a)t'= 1,2x10-'V
b)antihorario
c) Punto A
d)F=8,0x10-'N, 18go
e)P=1,2x10''W
10. a) Hacia la izquierda por R
b) Hacia la derecha por R
Problemas de examen / cap.5
b) x (t) = 0,10. sen (2,5r t)
v (t) = 0,25n.cos (2,5n t)
a (t) = -0,625n'. sen (2,52 t)
a) v (t) = 7r. cos (2n t + +)
a (t) = -2n'. sen (2TE t + +)a) x (t) = 5 x10-'. sen (1,25nt + ftv (t)= 6,25 x10-'.ncos (1,25n t + ]la (t) = -7 ,80 x 10-' n'. sen (1 ,25n t + llc) t = 0 s, t = 0,80 s,t = 1,6 s
d)t=0,13s
Opción d
a)
x (t) = 0,10 sen (0,625n t +0,39)
v (t) = 6,25x10-'. n cos (0,625n t + 0,39)
a (t) = -3,9 x 10-'n'. sen (0,625n t + 0,39)
b) xo= 3,8 x 10-'m, vo = 0,18 +c)v=0,12S
á) xo= 0,10 m, v. = O +b) x (t) = 0,10. sen (15 t + llv (t)= 1,S.cos (15 t + +)a (t) = -22,5 sen 1t S t + flF(t)=-45senttst+]l
a) x (t) = 0,10. sen (10 t - ])b)K=200#
d) E. = 0,75 J, Er"= 0,25 )
a)K=20#
b) y (t) = 0,05 sen (10 t + +)a) T=3,0s, L=2,3m
b) no cambia
c)aumenta \Ed) no cambia
x (t) = 0,10 sen (20 t)
b) x (t) = 0,05 sen r4: t -
c) a (t) = -0,8 ;'sen j: :
e) F (t) = -O l6 :' s:- j:
)
Prol
1. ¡
2.i
7.
8.\9.
3.
4.
5.
6.6.
7.
8.
10.
11.
CA¡1. a) cerrando
b) igual sentido al que se muestra
4. anillo B
6. vo = 2v,
7. a)Q=6,0nC, U =9,0x 10nJ
b) aumentando
B. v = 5,0 $ hacla la izquierda
9.
GAP¡IUlll S
10.
11.
12.
13.
1. a) A = 0,050m,T = dr r = 16nIQd,f = 8,0H,
c) v (t) = 0,8n. cos (1 6n.t)
d) a (t) = -12,8 n'.sen (16n.t)
a) x = -0,029tn, V = -2,0 +, a=7a 2b)t=o,ot0s
a) A = 0,10 m,T = 0,80 s,f = 1,25Hz,co = 2,5n $
a:\1t
t-\
)
__:r2
6.
Problemas de examen / cap.6
solucioneslt sz
Problemas de examen I cap.7
1. a) 1,3 x 10-'m por debajo de la posición de equilibrio
Z a) yo = - 'l
m, ?o= 4n*, Fo = 2¡N
y,=o rfl, a'= 0 S, F,=ON
3. b) v (t) = 0,30n cos (2,5nt- !)4. x (t) = 0,1 5 sen (17nt + 0,41) o
x (t) = 0,15 sen (17nt + 2,7)
5. v=0,35*
6. x (t) = 0,10 sen (10.1 - +)v (t) = 1,0cos (10't - 5)a (t¡= -10 sen (10.t - 3)
7. Opción "d"
8. Opción "d"
9. Opción "e"
10. v=-1,7+11. m=1,0Kg'
GAPfiUlO T
a) A = 0,1 0 m, )u = 4,0m, f = 1 OHz,v= 40 +b) hacia la derecha
c) V.,n = 0 S, v.r"= 2,0n fa) hacia la izquierda
b) y (x,t) = 0,050 sen (5n x + 100n t)
c)v=20$d) y(t) = 0,050 sen(n + 100n t)
a) hacia la izquierda
b)y(x,t) =O,}4sen (10nx+ l00n t++)c) y (x,t) = 0,04 sen (100n t + 3?T)
d)x=0,05m, x=0,15m
! =vj7v2
v=13,1 *
1.
1. x (t) = 0,025sen (13x - 26t + r)2. a) y (x,t) = 0,020 sen (63x - 31t)
b)y=-o,o16m
3. a)v=60Sb)v, >Vq>vo
4. y (x,t) = 4,0 x'10-t sen (1 ,6n x + 200n t + ll5. y (x,t) = 0,15 sen (0,35.x + 353 t - 2,8)
6. a)1. = 0,12m,f =1OHz,v = 1,2 +b) Y (x,t) = 0,50 sen t*t x -2tu t)
c) v (t) = -1orc cos(2Orc.t *"17. a)V,=1OO+,vr=50*
b) ),' = 1,9 ¡¡
c) f= 50 Hz
d)fur=1,9te)1,=6,8m
.,ü='Eb) At = 0,44 s
v=287
cmfuulo s
1. a)f, = $Hzb) L = 0,75m
c) y (x,t) = 0,03sen (4n.x).cos(8ft.t)
d) y = o,o18m
a) 4 nodos
[)[ = 0,10m
c) L = 3,0m
d)T = 0,6ON
f)n = 1
d)m=0,50K9
b) y (x,t) = 0,020 sen(2¡¡).cos(lk.t)a)f o=75 ¡,b)L=2,0m
a)n=8 y n=9b) L=2,16m
1 58 i :ir,,i riii:Á.ri¡:Í.¡, .
_m,4b. -=_m29
7. ñ=38. a))"=4,0 lt1, f ='l,5Hz
b) y (x,t) = 0,04sen(0,5n.x).cos(3r.t)
9. lfijoyllibre10. a) Y(x,t) = 0,1 1 sen (2n x- 100n t + 0,25n)
b) y(x,t) = 0,10 sen (2tr x - 100n t + 0,92)
11. AR = 2,0 mm
12. a)v=4,8*b)Constructiva
13. x=11cmox=17cm14. R=1,05m
Problemas de examen / cap.8
1. a) y (x,t) = 8,0 x 1 O-' sen (2,5n.x). cos(2On.t)
b)n=42. a)L=1,0m
b)T= 1,1N
Y (x,t) = 0,010. sen (6,7n x - 200n t)
y (x,t) = 0,02sen(6,7n.x). cos(200n.t)
n=7 y n=8 o n=5 y n=6a) 0,64 m
b)1,2 m
a) llibreylfijo
b)p = t,0 xl0'Sa) T, = 4T,
b) x = 0,036.1
Y=0m
Yo, = fl cm
a) izquierda,v = 5,0 $b) 1,0 x 10'm
c) y (x,t) = 1,0 x 1 O'' sen (62,8.x + 314.1 + n)
d) y (x,t) = 1,5 x 10-' sen (62,8.x- 314.t + 1,3)
a)OP = 3,2m
b) 17
A^=0m
A^= f12 cm
4.
5.
B.
9.
10.
12.
13.
11.
14. a) F,P = 41 cm
b) y (x,t) = 0,051 sen {$x - 2on t * #)
1. a) ¡" = 5,0 x 10-'m
b) si
2. a)0=0,170
b)y=4,5x10-'m
3. Ay = 0,040m
4. d=1,2x 10"m
5. a)D=9,0cm
b)No
6. k=2,44x 10'cm-'
7. a)a=2,4x1O-um
b)0,50m
8. a)Coincide con el 1"'mínimo de difracción
b)a=3,3x10-'m
9.7
Problemas de examen / cap.9
a) 8,9 x 10'm
l, = 730 nm
a) violeta
b) 0 =7,4o
k = 5x10t m''
19
f <290H2
a)a=6,7x10''m
b)d=1,7x1O'om
c) cambia i, y la distancia entre los máximos y mínimos.
i
$
1.
z
3.
4.
5.
6.
7.
&
9.
10_
11.
1L
13.
14.
15.
16.
17.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B. 1,26 x 10-3m
9. a=3,3x10-'m
GIPíTUM 10
1.
z3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
"t7.
E=2,8x 1O"tJ = 1,BeV
)u = 2,5 x 10-t'm, f = 'l ,2 x "10'o Hz
p = 1,1 x'to"xg.fno
a) E. = 0,47eY
b) V = O,47V
a)0=2,1 eV
b) l. < 600nm
c) E. = 2,07 eY, V = 2,07V
a) E..r"= 1,1eV
a) 3o/o
a) l, = 0,0314
b)Q=42o
0 = 180o
)"=1,9x 1O-um
ftr, = 6580 Á
Xr, = 1030 Á
lr, = 1215 A
E = 1,51 eV
I'" = 914 Á
L^^,= 1220 A
n=2,n=1?u=2,1 x 10-"m
AV=1,5x10'V
sotucionesl r ss
1. b) si
2. a) ¡. = 6580 Á
)u = 1220 A
l. = 1030 Á
b) 0,t I eV y 2,0 eV
3. 6 hasta 2
4. 121s A+ 2hm.c
5. a) ¡" = 1,25 nm
b) Solo aumenta el número de electrones emitidos6. )"=3,9x 10-ttm
7. 6x = 3,2 x10*m
8. a)T= 1,6x 1OoK
9. am = 4,1 x 10'Kg
