Fluidos martes-1

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA DE INGENIRÍA CIVIL

GRUPO : Nº 05

Estudiante:

ARBILDO LUIS

ESTELA CORONEL ELDER.

FONSECA SANCHEZ KATTIA. NORIEGA SALOME

OBLITAS VASQUE JAROLD

REQUEJO CARRILLO RICARDO

Docente:

ING. BORJA SUAREZ MANUEL

FECHA DE ENSAYO : 29 / 09 /2015

Pimentel, septiembre del 2015

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MECANICA DE FLUIDOS I Pág. 2


ESCUELA DE INGENIRÍA C IVIL

INDICE INTRODUCCIÓN......................................................................................................................... 3

AGRADECIMIENTOS ................................................................................................................... 4

JUSTIFICACIÓN .......................................................................................................................... 5

OBJETIVO .................................................................................................................................. 6

ESTATICA DE LOS FLUIDOS: ........................................................................................................ 7

FUERZA SOBRE SUPERFICIES CURVAS.......................................................................................... 7

FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS .......................................... 8

COMPONENTES DE LA FUERZA ................................................................................................... 8

LÍNEA DE ACCIÓN DE LA FUERZA: ..............................................................................................10

CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES ...................................................10

FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS.................................12

FUERZAVERTICAL......................................................................................................................13

FUERZA HORIZONTAL ...............................................................................................................13

EMPUJE SOBRE SUPERFICIES CURVAS ........................................................................................14

LA COMPONENTE HORIZONTAL:................................................................................................15

SUPERFICIES CURVAS CON SUPERFICIE CURVA.................................................................15

FLUIDO POR ARRIVA CON FLUIDO POR DEBAJO ...................................................................15

SUPERFICIES CURVAS TOTALMENTE SUMERGIDAS .....................................................................16

FUERZA DE UN FLUIDO EN REPOSO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA............................................17

SUMERGIDA .............................................................................................................................17

Fuerza sobre una superficie curva con fluido debajo de ella. .......................................................19

PROBLEMAS......................................................................................................................20




INTRODUCCIÓN

La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. A

diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto

el estudio de ambos fluidos presentan algunas características diferentes; el estudio

de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases se llama

aerostática

En la actualidad el ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el

fin de poder diseñar satisfactoriamente las estructuras que los contienen.

Es por eso la importancia de aprender y saber las diferentes características de los

fluidos sobre las distintas superficies en este caso las superficies curvas.

Dentro de la rama de INGENIERIA CIVIL, este tema es muy importante para nuestra

comprensión, en tal manera que nos ayudara comprender, como es el

funcionamiento de las presas de agua (dentro de nuestro campo laboral), como es

que pueden soportar tanta presión de agua o cualquier otro fluido.

Habiendo comprendido la teoría de Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas

sumergidas, diremos que la diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa

sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser

perpendicular en todo momento a la superficie




AGRADECIMIENTOS

En primer lugar agradecemos a Dios por darnos la vida, de igual manera a nuestros

padres por confiar en nosotros. En segundo lugar al Mg. TC. Ing. Loayza Rivas Carlos

Adolfo, docente de la Universidad Señor de Sipán de la Escuela Profesional de

Ingeniería Civil, por su esmero en la enseñanza a sus alumnos y por ser la guía

durante el desarrollo del informe; ya que gracias a ello hemos podido aprender y

enriquecer nuestros conocimientos sobre la mecánica de fluidos. También a los

integrantes del grupo, ya que con sus aportes se logró desarrollar el tema




JUSTIFICACIÓN

En el presente trabajo es de vital importancia en el estudio de la estática de fluidos,

ya que estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se

trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática.

Desde el punto de vista de la ingeniería Civil es más importante el estudio de los

líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los

líquidos y, en particular, en el agua.

Dentro de este tema a sustentar plasmaremos lo relacionado con las fuerzas de

presión sobre superficies planas. Esperando así cumplir con las expectativas de

nuestro docente, y lograr contribuir al incremento en nuestro saber científico.




OBJETIVO

Determinar y aplicar una expresión y un procedimiento general para

determinar la fuerza generada por un fluido sobre una superficie curva




ESTATICA DE LOS FLUIDOS:

Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma continuamente siempre

que esté sometida a un esfuerzo cortante .sin importar que tan pequeño sea, el fluido

para que se considere estático, todas sus partículas deben permanecer en reposo o

mantener la misma velocidad constante respecto a un sistema de referencia inercial.

Al considerar los líquidos, estos presentan cambios muy pequeños en su densidad a

pesar de estar sometidos a grandes presiones, el fluido se denomina incompresible

y se supone que si densidad en constante para efectos de los cálculos

FUERZA SOBRE SUPERFICIES CURVAS.

Para calcular la fuerza ejercida por el agua sobre una superficie curva hay que tener

en cuenta la combinación de dos componentes, una horizontal y otra vertical. La

componente horizontal se calcula obteniendo la fuerza que actuaría sobre la

proyección de la superficie curva en el plano vertical, con su valor y su línea de

aplicación a través del correspondiente centro de presiones. La componente vertical

se obtiene directamente a partir del peso del agua sobre la superficie curva, o, en su

caso del empuje vertical del agua sobre la misma, actuando a través del dentro de

gravedad del líquido o del líquido desalojado, dependiendo del caso

La Resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva,

está formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA)

normales a la superficie. La magnitud y posición de la Resultante de estas fuerzas

elementales, no puede determinarse fácilmente por los métodos usados para

superficies planas. Sin embargo, se pueden determinar con facilidad las




componentes horizontal y vertical de la Resultante para luego combinarlas

vectorialmente.

FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS

La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva

respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento

a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente.

Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes

de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en

este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

COMPONENTES DE LA FUERZA

Si se tiene la superficie mostrada en la figura.

La fuerza de presión en este caso está dada por:

𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝐴

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada

elemento diferencial:

𝐹𝑅 = ∫ P. 𝑑𝐴0

A

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:

𝐹𝑅 = FRxi + FRyj + FRzk




Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z

respectivamente.

Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

𝐹𝑅𝑥 = ∫ P. cosθx.dA =0

A

∫ P.𝑑𝐴𝑥

0

A

𝐹𝑅𝑦 = ∫ P. cosθy.dA =0

A

∫ P. 𝑑𝐴𝑦

𝑜

A

𝐹𝑅𝑧 = ∫ P. cosθz .dA =0

A

∫ P. 𝑑𝐴𝑧

0

A

DONDE:

θx , θy,θz Son los ángulos entre 𝑑𝐴 y los vectores unitarios 𝑖, 𝑗 𝑦 𝑘 respectivamente.

Por lo tanto 𝑑𝐴𝑥, , 𝑑𝐴𝑦 𝑦 𝑑𝐴𝑧 son las proyecciones del elemento 𝑑𝐴 sobre los planos

perpendiculares a los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑦 𝑧 respectivamente.

Aquí se pueden diferenciar dos casos:

Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie

curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la

proyección de la superficie curva en los planos verticales.

La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es

igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha

superficie hasta la superficie libre.

Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta

que:

P = γ. h

Obtenemos lo siguiente:

FRz = ∫ P. cosθz.𝑑𝐴 =0

A

γ ∫ h. cosθz.𝑑𝐴 = γ ∫ 𝑑∀0

∀

0

A




LÍNEA DE ACCIÓN DE LA FUERZA:

Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas

de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies

planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza

resultante debe ser igual al momento de la fuerza distribuida, respecto al mismo eje.

Así se tiene:

x´ =1

FRy+FRz∫ xP(dAy + dAz)

0

A

y´ =1

FRx + FRz

∫ yP(dAx + dAz)0

A

z´ =1

FRx + FRy

∫ zP(dAx + dAy)0

A

CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES

Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie

curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la

dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección.

La figura muestra un corte de la superficie con un plano 𝑦𝑧.




En este caso las componentes de la fuerza se expresan:

FRy = ∫ P. cosθy.dA =0

A

∫ P. dAy

0

A

FRz = ∫ P. cosθz .dA =0

A

∫ P. dAz

0

A

Y la línea de acción se obtiene con las expresiones:

y´ =1

FRz

∫ yP. dAz

0

Az

z´ =1

FRy

∫ zP. dAy =0

Ay

1

∀∫ x. d∀

0

∀

Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es

conveniente expresar el 𝑑𝐴 en función del ángulo de barrido en la

circunferencia, es decir:

𝑑𝐴 = W. R. dθ

Donde:

R: radio del cilindro

W: ancho de la superficie




𝜃: ángulo de barrido de la circunferencia.

De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la

fuerza expresada de la siguiente forma:

FRI = ∫ P. cosθ.dA =0

A

∫ P. cosθ.W. R. dθθ2

θ1

Donde θ es el ángulo entre el vector 𝑑𝐴 y el vector unitario de la dirección l.

FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

Para calcular la fuerza ejercida por el agua sobre una superficie curva hay que tener

en cuenta la combinación de dos componentes, una horizontal y otra vertical. La

componente horizontal se calcula obteniendo la fuerza que actuaría sobre la

proyección de la superficie curva en el plano vertical, con su valor y su línea de

aplicación a través del correspondiente centro de presiones. La componente vertical

se obtiene directamente a partir del peso del agua sobre la superficie curva, o, en su

caso del empuje vertical del agua sobre la misma, actuando a través del dentro de

gravedad del líquido o del líquido desalojado, dependiendo del caso

No debemos olvidar que la fuerza de presión la podemos descomponer en una

componente vertical y dos horizontales. Consideremos un recipiente con una pared

formada por un cuarto de cilindro de radio R y longitud a, que contiene un líquido

de densidad




FUERZAVERTICAL

La fuerza vertical sobre cada una de las superficies planas horizontales es igual al

peso del líquido sobre ella. Si hacemos que el ancho de las superficies planas sea

muy pequeño, podemos llegar a tener la superficie curva y la fuerza vertical termina

siendo igual al peso del líquido entre la superficie sólida y la superficie libre del

líquido:

FUERZA HORIZONTAL

La fuerza horizontal sobre cada una de las superficies planas verticales ya fue

determinada.

Independientemente si la superficie es curva o plana, la fuerza horizontal es igual a

la fuerza de presión que actúa sobre la proyección de la superficie curva sobre un

plano vertical, perpendicular a la dirección de la fuerza.

Esta fuerza puede calcularse mediante el prisma de presiones o usando




F = PCGx A

.

EMPUJE SOBRE SUPERFICIES CURVAS

La resultante DE Las fuerzas “F” debida a la presión se determina por sus dos

componentes “𝐹𝑥” 𝑦 “𝐹𝑦”.

LA COMPONENTE HORIZONTAL: es igual a la fuerza normal que el fluido ejerce

sobre la proyección vertical de la superficie y su línea de acción pasa por el centro

de presión de dicha proyección

𝐹𝑥 = 𝛾 𝑥 ℎ𝐺 𝑥 𝑆𝑉

𝑌𝑐 = 𝐼𝐺

𝑆𝑉 𝑥 𝑌𝐺

𝑥 𝑌𝐺

𝐹 = √𝐹𝑥2+𝐹𝑦

2

LA COMPONENTE VERTICAL: es igual al peso del líquido situado sobre el área, real

o imaginaria, la línea de acción pasa por el centro de gravedad del volumen.

𝐹𝛾 = 𝛾 𝑥 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸




Analizamos el cuerpo libre:

LA COMPONENTE HORIZONTAL:

𝐹ℎ1 = 𝐹ℎ2 𝐹ℎ3 = 𝐹ℎ

Anulan

𝐹𝑥 = 𝛾 𝑥 ℎ𝐺 𝑥 𝑆𝑉 Modulo

𝑌𝑐 = 𝐼𝐺

𝑆𝑉 𝑥 𝑌𝐺𝑥 𝑌𝐺 Ubicación

LA COMPONENTE VERTICAL:

𝐹𝑉 = 𝑊

𝐹𝛾 = 𝛾 𝑥 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 Modulo

Aplicando el centro de gravedad de volumen.

LAS COMPONENTE TOTAL:

𝐹 = √𝐹𝑉2+𝐹𝐻

2 Modulo

𝜑 = tan−1 (𝐹𝑉

𝐹𝐻) Ubicación

SUPERFICIES CURVAS CON SUPERFICIE CURVA

FLUIDO POR ARRIVA CON FLUIDO POR DEBAJO




SUPERFICIES CURVAS TOTALMENTE SUMERGIDAS

𝐹1 = 𝛾 × 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸

𝐹2 = 𝛾 × 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸

La fuerza resultante

𝐹𝑅 = 𝐹2 − 𝐹1 =

𝐹𝑅 = 𝑦 × 𝑉𝐻𝐶𝐷𝐸




FUERZA DE UN FLUIDO EN REPOSO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA

SUMERGIDA

COMPONENTE HORIZONTAL (𝑭𝑯) = 𝐹𝐻 ∑ 𝐹 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

𝐹1 ; es la fuerza resultante sobre la parte vertical izquierda y se analiza igual

que las paredes verticales medida hasta una profundidad h.

𝐹2𝑎 ; es la fuerza resultante sobre la pared vertical derecha y se analiza igual

que las paredes verticales medidas hasta una profundidad h.

En este sistema 𝐹1 = 𝐹2𝑎 por tanto no hacen ningún efecto (se contra restan).

𝐹2𝑏 ; es la fuerza que actúa sobre la parte derecha, en el área proyectada por

la superficie curva en el plano vertical.

La magnitud de 𝐹2𝑎 ; se encuentra bajo el mismo procedimiento desarrollado

para superficies planas.




𝐹2𝑎 = 𝛾. ℎ𝑐 .𝐴 = 𝐹𝐻

ℎ𝑐 ; es la profundidad del centroide del área proyectada, para nuestro análisis

el área proyectada es un rectángulo.

ℎ𝑐 = ℎ +𝑠

2

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝐴 = 𝑠𝑤

Entonces

𝐹𝐻 = 𝛾. 𝐴 (ℎ +𝑆

2) = 𝐹2𝑏 → 𝐹𝐻 = 𝛾. 𝑠𝑤(ℎ +

𝑠

2)

Ubicación de fuerzas horizontales (𝑭𝑯): s

Según las relaciones vistas

ℎ𝑝 − ℎ𝑐 =𝐼𝐶

𝐻𝐶 .𝐴 0; Sin embargo para el área proyectada

Para un rectángulo, el momento de inercia es

𝐼𝑐 =𝑤(𝑠)3

12

Y el área viene dada por

𝐴 = 𝑠. 𝑤

ℎ𝑝 − ℎ𝑐 =

𝑤(𝑠)2

12ℎ𝐶 .𝑤𝑠

=𝑤.𝑠3

12ℎ𝐶 .𝑤. 𝑠

ℎ𝑝 − ℎ𝑐 =𝑠2

12ℎ𝐶

COMPONENTE VERTICAL (𝑭𝑽) = 𝐹𝑉 ∑ 𝐹 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

↓ 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜.

Donde:

𝑠: es la altura de la proyección de la superficie curva

𝑤: es la profundidad o ángulo del área proyectada




↑ 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝐹𝑉 )

𝐹𝑉 = 𝑤𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑤 = 𝛾𝑓 .𝑉𝑓

Dónde: el volumen es el producto del área de la sección transversal del volumen por

la longitud o ancho de interés (w)

𝐹𝑉 = 𝛾 . 𝐴. 𝑤 Actúa en la línea del centroide del volumen

FUERZA RESULTANTE (𝐹𝑅 ):

𝐹 = √𝐹𝑉2+𝐹𝐻

2 Modulo

La fuerza resultante actúa en un ángulo ∅ en relación con la horizontal en dirección

tal que su línea de acción pasa por el centro de curvatura de la superficie

𝜑 = tan−1 (𝐹𝑉

𝐹𝐻) Ubicación

Fuerza sobre una superficie curva con fluido debajo de ella.

Donde:

𝑤: Peso del fluido

𝑉: Volumen del fluido




𝐹𝑉 : Igual al peso del volumen imaginario del fluido sobre la superficie.

𝐹𝐻 : Es la fuerza sobre la proyección de dicha superficie en un plano vertical

𝐹𝐻 = 𝛾.𝑠. 𝑤 (ℎ +𝑠

2)

𝐹𝑉 = 𝛾. (𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛) = 𝛾. 𝐴. 𝑤

PROBLEMAS

Problema 1

La presa de la figura es un cuarto de círculo de 50 m de anchura. Determine las

componentes vertical y horizontal que la fuerza hidrostática ejerce sobre la presa en

y el punto de CP en el que la fuerza resultante incide sobre la presa




Solución:

La fuerza horizontal actúa

𝐹𝐻 = 𝛾ℎ𝐶𝐺 𝐴𝑣𝑒𝑟𝑡

𝐹𝐻 = 9810 𝑁𝑚3⁄ × 10𝑚(20 × 50𝑚2)

𝐹𝐻 = 98100000𝑁 = 98.1𝑀𝑁

La fuerza vertical es el peso del fluido encima de la presa

𝐹𝑉 = 𝛾𝑉𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎

𝐹𝑉 = 9810 𝑁𝑚3⁄ ×

𝜋

4(20𝑚)2(50𝑚)

𝐹𝑉 = 154095119.7𝑁 = 154,095MN

La fuerza horizontal actúa a 2 3⁄ del camino hacia abajo a 13.33 m de la superficie

La componente vertical actúa a través el centro de gravedad de agua por encima de

la compuerta, 4𝑅 / 3𝜋 = 4 (20 𝑚 ) / 3𝜋 = 8,49 𝑚 a la derecha del punto A,

Fuerza hidrostática es 𝐹 = [ √( 98.1 𝑀𝑁 )2 + ( 154,095 𝑀𝑁 )2 ] 2 = 182,67𝑀𝑁




Actuando hacia abajo en un Ángulo de 32,5 ° respecto a la vertical

La línea de acción de 𝐹 golpea el arco circular presa AB en el centro de CP de presión,

que es 10,74 𝑚 a la derecha y 3,13 𝑚 desde el punto A

Problema 2

La compuerta AB es un cuarto de circulo de 10 ft de anchura articulada en el punto

B .determine la minina fuerza F que permita mantener abierta la compuerta. Suponga

que la compuerta es uniforme y pesa 3000lbf

Solución:

La fuerza horizontal se calcula como si AB fuesen verticales




𝐹𝐻 = 𝛾ℎ𝐶𝐺 𝐴𝑣𝑒𝑟𝑡

𝐹𝐻 = 62.4 𝑙𝑏𝑓𝑡3⁄ × 4𝑓𝑡 × (8 × 10𝑓𝑡2)

𝐹𝐻 = 19968𝑙𝑏𝑓

La fuerza vertical es igual al peso de la pieza que falta de agua por encima de la

puerta

𝐹𝑉 = 62.4 𝑙𝑏𝑓𝑡3⁄ × 4𝑓𝑡 × (8 × 10𝑓𝑡2) − 𝐹𝑉 = 62.4 𝑙𝑏

𝑓𝑡3⁄ ×𝜋

4× (8𝑓𝑡)2 × 10𝑓𝑡

𝐹𝑉 = 39936𝑙𝑏𝑓 − 31366𝑙𝑏𝑓 = 8750𝑙𝑏𝑓

La línea de acción de esta fuerza 𝑥 8570 𝑙𝑏𝑓 se encuentra sumando momentos desde

arriba

∑ 𝑀𝐵 = 0

8750𝑙𝑏𝑓(𝑋𝑓𝑡) = 39936𝑙𝑏𝑓 × 4𝑓𝑡 − 316366𝑙𝑏𝑓 × 4.605𝑓𝑡

𝑋 = 1.787𝑓𝑡

Por último, existe el peso W- 3000 𝑙𝑏𝑓 puerta, cuyo centroide es 2𝑅 /𝜋 = 5.093 𝑓𝑡

desde fuerza 𝐹 , 𝑜 8,0 − 5.093 = 2.907 𝑓𝑡 desde el punto B.

A continuación, podemos resumir momentos respecto bisagra B Para encontrar la

fuerza 𝐹, utilizando el cuerpo libre de la puerta como esbozado en la parte superior

derecha

∑ 𝑀𝐵 = 0

𝐹𝑙𝑏𝑓(8𝑓𝑡) = 3000𝑙𝑏𝑓 × 2.907𝑓𝑡 − 8570𝑙𝑏𝑓 × 1.787𝑓𝑡 − 19968𝑙𝑏𝑓 × 2.667𝑓𝑡

𝐹 = 7840𝑙𝑏𝑓




PROBLEMA 3

La compuerta ABC es de un cuarto de círculo de 8ft de anchura .calcule las fuerzas

hidrostáticas vertical y horizontal sobre la compuerta y la Lina de acción de la

resultante

Solución

La fuerza horizontal es

𝐹𝐻 = 𝛾ℎ𝐶𝐺 𝐴ℎ

𝐹𝐻 = 62.4 𝑙𝑏𝑓𝑡3⁄ × 2.828𝑓𝑡 × (5.675 × 8𝑓𝑡2)

𝐹𝐻 = 7987𝑙𝑏𝑓

La fuerza vertical

𝐹𝐻 = 𝛾𝑉𝐴𝐵𝐶

Área ABC =𝜋

4(4𝑓𝑡)2 − (4 sin 45𝑓𝑡)2 = 4.566𝑓𝑡2




𝐹𝐻 = 62.4 𝑙𝑏𝑓𝑡3⁄ × 8𝑓𝑡 × (4.566𝑓𝑡2) = 2280𝑙𝑏𝑓

𝑦𝑐𝑝 = −

112 (8𝑓𝑡)(5.657𝑓𝑡)3

(2.828𝑓𝑡)(5.657𝑓𝑡 × 8𝑓𝑡)= −0.943𝑓𝑡

PROBLEMA 4

Calcule las componentes horizontales y verticales de la fuerza hidrostática que se

ejerce sobre el papel en cuarto de círculo situado en el fondo del depósito de agua

Solución

La fuerza horizontal

𝐹𝐻 = 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 ℎ𝐶𝐺 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗

𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 = 9810 𝑁𝑚3⁄

ℎ𝐶𝐺 = 5 +2

2= 6𝑚

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 = 2 × 6 = 12𝑚2

𝐹𝐻 = 9810 𝑁𝑚3⁄ × 6𝑚 × 12𝑚2

𝐹𝐻 = 706320𝑁 = 706.32𝐾𝑁

Lina de acción

𝑦𝑐 = ℎ𝑐𝑔 + 𝐼




𝐼 =𝐼𝑋𝐶𝐺

ℎ𝑐𝑔 × 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗

𝐼𝑋𝐶𝐺 =6𝑚 × (2𝑚)3

12= 4𝑚4

ℎ𝑐𝑔 = 5 +2

2= 6𝑚

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗 = 6 × 2 = 12𝑚2

𝐼 =4𝑚4

6𝑚 × 12𝑚2= 0.0556𝑚

𝑦𝑐 = 6𝑚 + 0.0556𝑚 = 6.056𝑚

Fuerza vertical

𝐹𝑉 = 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑉

𝑉 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 × 𝑤

𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 = 7𝑚 × 2𝑚 −𝜋(2𝑚)2

4= 10.858𝑚2

𝐹𝑉 = 9810 𝑁𝑚3⁄ × 10.858𝑚2 × 6𝑚 = 623033.1𝑁 = 623.03𝐾𝑁

Lina de acción




𝑧𝑐 =𝑧𝑐1×𝐴1

− 𝑍𝐶2 × 𝐴2

𝐴1 − 𝐴2

𝑧𝑐1 =2

2= 1𝑚

𝐴1 = 7 × 2 = 14𝑚2

𝑍𝐶2 =4(2)

3𝜋= 0.849𝑚

𝐴2 =𝜋(2)2

4= 3.1416𝑚2

𝑧𝑐 =1𝑚 × 14𝑚2 − 0.849𝑚 × 3.1416𝑚2

14𝑚2 − 3.1416𝑚2= 1.044𝑚

La fuerza resultante

𝐹𝑅 = √(706.32𝐾𝑁)2 + (623.03𝐾𝑁)22= 941.836𝐾𝑁

PROBLEMA 5

En el muro de retención de agua de mar mostrado en la figura cual es el momento

respecto al punto A por la acción exclusiva del agua de mar (𝛾 = 1025 𝑘𝑔/𝑚3)?

La fuerza vertical es igual al peso del volumen del líquido sobre la superficie curva,

el cual es igual al área entre la superficie curva, la superficie del líquido y el eje Y,

multiplicado por el ancho de la compuerta y por el peso específico del líquido.




La ecuación de la parábola puede expresarse como:

𝑦 = 𝐾𝑥 2

La cual debe satisfacerse para el punto de coordenadas (2.50; 3.00); es decir,

3.00 = 𝐾 × 2.502 → 𝐾 = 0.48

De donde, la ecuación dela parábola es:

𝑦 = 0.48𝑥 2

El área descrita anteriormente se puede calcular mediante integración como:

𝑑𝐴 = (3 − 𝑦)𝑑𝑥

𝐴 = ∫ (3 − 0.48𝑥 2)𝑑𝑥 = [3𝑥 −0.48 𝑥2

3]

0

2.5

= 5.00𝑚22.5

0

𝐹𝑣 = 5.00 × 1025 = 5125 𝑘𝑔

La fuerza actúa en el centro de gravedad del área determinada anteriormente. Este

de acuerdo a la siguiente figura.

Como:

𝑋𝑐𝑔𝐴 = ∫ (3 − 0.48𝑥 2)𝑥𝑑𝑥2.5

0

𝑋𝑐𝑔 =

[3𝑥 2

2 −0.48𝑥 4

4 ]0

2.5

5.00= 0.94𝑚




La fuerza vertical actúa a una distancia 𝑏2 según lo indicado en la siguiente figura:

𝑏2 = 5.00 − 0.94 = 4.06 𝑚

Determinación de la fuerza horizontal:

𝐹𝐻 =1

2𝛾𝐻2𝐿 =

1

21025 × 3.002 × 1.00 = 4612.5 𝑘𝑔

La fuerza horizontal actúa a una distancia 𝑏1según lo indicado en la figura anterior

𝑏1 = 1.00 +1

3× 3.00 = 2.00 𝑚

El momento respecto al punto A es

𝑀𝑎 = 4612.50 × 2 − 5125 × 4.06 = −11582.50 𝑘𝑔 𝑚

PROBLEMA 6

Para una compuerta de radial de la figura. Compuerta de ancho 2m

a) determinar la componente horizontal de la fuerza ejercida por el agua y su

dirección.

b) determinar la componente vertical de la fuerza ejercida por el agua y su dirección.




Solución:

Se considera un volumen del fluido imaginario:




a. −

a. Determinamos la fuerza hidrostática horizontal por medio de la formula

FH = P .CG x Aproy = ρ.g.hCG. Aproy

Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos:

FH = 1000𝑘𝑔

𝑚3 𝑥 9.81

𝑚

𝑠2 𝑥 4𝑚 𝑥 2.2 𝑚2

FH = 156.95 𝑥1000 𝑥 𝑘𝑚

𝑠2

FH = 156.96 𝐾𝑁

Hallamos la ubicación del centro de presiones

𝑌𝑃 = 𝑌𝐶𝐺 +𝐼𝑥

𝑌𝐶𝐺.𝐴

𝑌𝑃 = 4𝑚 +

2𝑚 𝑥(2𝑚)3

124𝑚 𝑥2𝑚 𝑥2𝑚

→ 4𝑚 +1.333𝑚4

16𝑚3= 4.083𝑚

𝑌𝑃 = 𝑦𝑝 = ℎ𝑝 − 3𝑚 = 1.083𝑚

La componente vertical de la fuerza será igual al peso del volumen de agua que

existe encima de la superficie, es decir:




𝑏. − 𝐹𝑉 = (𝑉1 + 𝑉2 )𝜌𝑔

Remplazamos el volumen imaginativo del área proyectada + el volumen del área

proyectada de la compuerta tenemos

𝐹𝑉 = (3𝑚 𝑥2𝑚 𝑥2𝑚 +𝜋𝑅 2

4𝑥 2𝑚) 𝑥 1000𝑘𝑔

𝑥9.81𝑚

𝑠2

𝐹𝑉 = (3𝑚 𝑥2𝑚 𝑥2𝑚 +𝜋 𝑥 2𝑚2

4𝑥 2𝑚) 𝑥 1000𝑘𝑔 𝑥

9.81𝑚

𝑠2

𝐹𝑉 = 18.283 𝑥 1000 𝑥 9.81 𝑘𝑔𝑚

𝑠2

𝐹𝑉 = 179.356 𝐾𝑁

𝑥𝐺 = 𝐴1𝑥1+ 𝐴2𝑥2

𝐴 1 +𝐴2

𝑥𝐺 = 𝐴1𝑥1+ 𝐴2𝑥2

𝐴 1 +𝐴2

𝑥𝐺 = 0.948 𝑚

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