Formas indeterminadas

30/06/2015

Derivación Implícita

     No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por ejemplo, la curva que presenta la ecuación: x2+ y2=16 es una circunferencia y no representa una función.

     Sin embargo, la semicircunferencia superior sí representa una función; y la semicircunferencia inferior también la representa. Podemos obtener dos funciones diferentes a partir de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas.

     La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0,0), y radio 4 su ecuación es entonces:

x2+ y2=16

     Esto quiere decir que un punto (x , y ) está en la circunferencia, si y sólo si, satisface la ecuación. Por ejemplo: (0 ,−4) pertenece a la circunferencia porque:

02+(−4 )2=0+16=16

     Efectivamente, estas funciones se pueden obtener despejando y de la ecuación:

x2+ y2=16

Implica y2=16−x2

     Sin embargo, no siempre es factible despejar funciones a partir de una ecuación dada, aunque sepamos que hay dos o más funciones implícitas definidas. Y, aun así, podríamos estar interesados en, por ejemplo, determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en algunos de sus puntos.

     Resulta que es posible derivar una función implícita aun cuando no podamos despejarla de la ecuación que la define. Basta sencillamente con derivar ambos miembros de la ecuación que la define, teniendo en cuenta, eso sí, que una de las variables es función de la otra. El siguiente ejemplo ilustra el método llamado derivación implícita.

Ejemplo 1

Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia

     Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: x2+ y2=16

1

     Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar a ambos lados de la ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es función de x:

x2+ y2=16

(x2+ y2 )'=(16 )' (Vamos a derivar ambos miembros)

2 x+2 y·y '=0 Aplicamos la regla (¿ '=n[ f (x)]n−1 · f '(x ))

2 y·y '=−2 x y '=−2 x /2 y y '=−x / y

     Ahora, en el punto (3,7)tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene  y '=−3/7.

Ejemplo 2

Cálculo de las Rectas Tangente y Normal en una Hipérbola

     Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva

x2− y2=9 En el punto (5,4). Esta curva se llama hipérbola.

Solución: Por derivación implícita:x2− y2=9 

(x2− y2 )'=( 9 )'2 x−2 y . y '=0 y '=x / y 

     La pendiente mde la recta tangente es y 'evaluada en x=5, y=4 , entonces:

m=5 /4 y b=4−5/ 4 ·5=4−25 /4=−9 /4.

     La ecuación de la recta tangente es y=5 /4 · x−9 /4.

      Ahora, la pendiente m0 de la normal es m0=−1 /m, es decir

  m0=−1 /(5/ 4)=−4/5 y la intersección sería: 

b0=4−(−4 /5)(5)=4+4=8.

     De manera que la ecuación de la normal es y=−4 /5· x+8 }

Cálculo de la Derivada en una Ecuación

Determinar y' si y está dada implícitamente por la ecuación 

2 x y2+ y3=x3+2.

Solución: Procedemos por derivación implícita derivando ambos miembros de la ecuación

2

2 x y2+ y3=x3+2.

(2 x y2+ y3 ) '=(x3+2 )'

(2 x y2 ) '+( y3 )'=(x3 ) '+(2 ) ' .

(2 x )' y2+ (2x ) ( y2 )'+3 y2 . y '=3 x2 .

2 y2+(2 x)(2 y · y ')+3 y2· y '=3 x2

2 y2+(4 xy+3 y2) y '=3 x2

(4 xy+3 y2) y '=3 x2−2 y2

y '=3x2−2 y2/(4 xy+3 y2)

Derivada de Orden Superior: Definición

Así como derivando una función posición se obtiene una función velocidad, derivando esta última se obtiene una función aceleración. En otras palabras, derivando dos veces la función posición se llega a la función aceleración.

s(t ) función posición

v (t)=s ’ (t) función velocidad

a (t)=v ’ (t )=s ’(t ) función aceleración.

La función a (t) es la segunda derivada de s(t ) y se denota por s ’’ (t) .

La segunda derivada es un ejemplo de derivada de orden superior. Podemos definir derivadas de cualquier orden entro positivo. Por ejemplo, la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. Las derivadas de orden superior se denotan como sigue.

Primera derivada: y ' , f '( x) , dydx

, ddx

[ f (x)] D x [ y ]

Segunda derivada: y '' , f ' ' (x ) , d2 ydx2 ,

d2

d x2 [ f (x) ] D x2 [ y ]

Tercera derivada: y ' '' , f ' ' ' (x) , d3 yd x3 ,

d3

d x3 [ f (x) ] D x3 [ y ]

3

Cuarta derivada: y4 , f 4(x ) , d4 yd x4 ,

d4

d x4 [ f ( x)] D x4 [ y ]

n-ésima: y (n) , f (n )( x) , dn yd xn ,

dn

d xn [ f (x )] D xn [ y ]

Ejemplo

Aceleración debida a la gravedad

Puesto que la luna carece de atmosfera, un objeto al caer en la luna no encuentra resistencia del aire. En 1971, el astronauta David Scott verifico que una pluma de ave y un martillo caen a la misma velocidad. La función posición para cada uno de ellos viene dada por

s ( t )=−0,81 t2+2

Donde s ( t ) es la altura en metros y t el tiempo en segundos. ¿Cuál es la razón entre la fuerza de gravedad en la Tierra y en la luna?

Solución

s ( t )=−0,81 t2+2 Función posición

s' (t )=−1,62t Función velocidad

s' ' ( t )=−1,62 Función aceleración

En consecuencia, la fuerza de la gravedad en la luna es −1,62m /s2 . Como en la tierra es −9,8m / s2 , la razón entre ellas es

Fuerza gravitacional de latierraFuerza gravitacional de laluna

= −9,8−1,62

≈6,05

Funciones Crecientes y Decrecientes: Definición

1. Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si,

f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

2. Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.

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Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

1. f (x)=3x+8

Solución    f ´ (x)=3

     Se observa quef ´ (x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es creciente en R.

2. f (x)=x2+2 x−3

Solución:

 f ´ (x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f ´ (x)=0 , donde la función fno es creciente ni decreciente.

2 x+2=0

x=−1. Es decir para x=−1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el comportamiento de la derivada antes y después dex=−1 f ´ (x)=2 (x+1) .

Intervalo F ´ (X ) La Función es

(−¥ ,1) - Decreciente

(−1 ,+¥ ) + Creciente

Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x=c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c )> f (x ), para toda x en el intervalo.

Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x=c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c )< f (x ) , para toda x en el intervalo.

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Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos

Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado[a ,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a ,b):

1. Si f ´ (x)>0 para toda x en (a ,b) , entonces f es creciente en [a ,b] .

2. Si f ´ (x)<0 para toda x en (a ,b) , entoncesf es decreciente en [a ,b]

Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos

     Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a ,b) que contiene a c , y supongamos que f ´ (x) existe en todos los puntos de (a ,b) excepto posiblemente en c:

1. Si f ´ (x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f ´ (x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c .

2. Si f ´ (x)<0para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f ´ (x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c .

Máximos y Mínimos Absolutos

Definición. Sea c un punto del dominio de la función f . Diremos que:

1. F (c)> f (x ) para toda x en el dominio de la función.

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2. F (c) es el valor mínimo de f si f (x )<f (x) para todo x en el dominio de la función.

Teorema del Valor Extremo

     Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a ,b ,] entonces f tiene máximo mínimo en [a ,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a ,b] tales que f (c ) es el valor máximo y f (d ) es el valor mínimo.

Punto Crítico

Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:

1. f ´ (c )=0 ii¿ . f ´ (c ) no existe

Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función f ( x )=33√ x2−2 x

 

Solución 

f ' ( x )= 2(x−1)

[ x (x−2)]23

f ´ (x)=0 si y sólo si 2(x−1)=0 si y sólo si x=1.  Además vemos que f ´ (x)no está definida en x=0 y en x=2.

     Por lo tanto, los puntos críticos de f son 1 ,0 y2.

Concavidad y Criterio de la derivada Segunda: Definición

     La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c , f (c))

     Si existe f ´ (c ) y un intervalo abierto (a ,b) que contiene a c , tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado.

Definición. La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c , f (c))

     Si existe f ´ (c ) y un intervalo abierto (a ,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado.

Teorema

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     Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a ,b) entonces:

1. Si f (x)>0 ,  x Î (a ,b) , la gráfica def es cóncava hacia arriba en (a ,b) .

2. Si f (x)<0 ,  x Î (a ,b) , la gráfica de f es cóncava hacia abajo en(a ,b)

Definición. 

Un punto (c , f (c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una función f , se denomina punto de inflexión de la gráfica de f .

Teorema. 

Si (c , f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si existe f (c) entonces f (c)=.

Ejemplo. Determinar las concavidades y puntos de inflexión de la gráfica de la función

f (x)=x3+3 x2−3 x−3

Solución. 

Hallaremos aquellos valores de x en donde f (x)=0 o no existe

f ´ ( x )=3 x 2+6 x−3 ;   f (x)=6x+

f (x)=6(x+1) Hacemos 6 x+6=0 ¿existe para toda x)

Luego x=−1.

     Estudiaremos las concavidades en los intervalos (−¥ ,−1) y (−1 ,+¥ ), con el signo de f (x en cada intervalo.

Si xÎ (−¥ ,−1)Þ f (x)<0 La función es cóncava hacia abajo.

Si xÎ (−1 ,+¥ )Þ f (x)<. La función es cóncava hacia arriba.

     En consecuencia el punto (−1 , f (−1))=(−1,2) es un punto de inflexión.

Formas Indeterminadas

     Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes:

00;∞∞;0¿ ; ∞;∞−∞;00; ∞∞;1∞

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Entonces decimos que es indeterminada.

     Si se tiene,

Y=f ( x )=x2−4x−2

Y el

limx→2

x2−4x−2

=¿

limx→2+¿ ( x+2) ( x−2)

x−2=4¿

¿

En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital. Teorema:

         Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el número a en I, y supongamos que para toda x ¹ a en I, g`(x) ¹ 0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f (x) es más o menos infinito y límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el mismo valor.

Nota: Esta regla es aplicable a formas 0 /0 ó¥ /¥  .

     Aplicación de la regla para determinar el valor de la forma 0 /0 ó¥ /¥  :

     Se halla la derivada del numerador para obtener un nuevo numerador, se halla la derivada del denominador para obtener un nuevo denominador. El valor de esa nueva fracción, para el valor asignado de la variable, será el valor límite de la primera fracción.

Ejemplo V-4

1. Demostrar los siguientes límites:

a. Demostrar que el

limx→0

ncos nxx

=n

 Notamos que es de la forma 0/0.  Por lo tanto, podemos aplicar L´Hopital. Derivando el numerador y luego derivando el denominador nos queda:

9

limx→0

ncos nx1

=n

Obsérvese que no se deriva como un cociente.

b. 

limx→ 0'

e x−e−x−2 xx−sen x

=n

Es de la forma 0/0, se puede aplicar L´Hopital:

limx→0

e x+e−x

cos x=1

2=2

Podemos volver a aplicar L`Hopital. 

Aplicando L´Hopital de nuevo:

limx→0

e x+e−x

cos x=2

1=2

. Como se observa esta regla se puede aplicar todas las veces que sea necesario, siempre y cuando quede de la forma 0 /0 ó¥ /¥  .

Si la forma indeterminada es 0∗¥  .

     Si una función f (x)∗g (x) toma la forma 0∗¥  para un cierto valor de la variable, se puede reescribir de la siguiente manera:

f ( x ) ∙ g( x )=f ( x )

1g (x )

óg( x )

1f ( x )

     Con el fin de obtener alguna de las formas que permitan aplicar L´Hopital.

Ejemplo V-5

Demostrar:

limx→π /2

¿¿

   es de la forma 0∗¥

10

limx→π /2

1cos3 x

=cos5x ¿¿

     Es de la forma 10∙0=0

0

  Entonces =  limx→π /2

cos5 xcos3 x

limx→π /2

−5 sen5 x−3 sen3 x

=( 5−3 )−5

3

Aplicando  L`Hopital:   

Si la forma indeterminada es ¥ - ¥

     En este caso se hacen transformaciones algebraicas de tal manera que se pueda expresar como

     0 /0 ;¥ /¥ .

Ejemplo V-6

     Demostrar que el 

limx→0 ( 1

x−

1

e x−1 )=1/2

  Es de la forma ¥−¥

limx→0

(ex−1 )−x

x (ex−1 )=0 /0

Aplicando L´Hopital de nuevo, 

limx→0

ex−1(ex−1 )+xex

=0/0

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     Aplicando la regla de nuevo: 

  limx→1

ln y=limx→1

ln (2−x)

cotπx2

=0 /0

Si la forma indeterminada es: ¿00 ;1¥ ;¥ 0 .

     Si la función y=f (x )g( x) toma para algún valor de x cualquiera de las formas 00;

1¥ ;¥ 0entonces se toma logaritmo natural en ambos miembros:

     ln y=g (x) ln f (x) y puede tomar la forma 0.¥  que con algunas transformaciones algebraicas podemos convertirlas en la forma 0 /0 ó¥ /¥ .

     Recordemos que si

limx→0

ln y=a

Entonces  y=ea

Ejemplo V-7

Demuestre los siguientes límites

a.

limx→0

xx=1

Es de la forma00, sea y=x x , ln y=x ln x que es de la forma 0(−¥ )

ln y

ln y= ln x1x

=−∞∞

 Entonces

limx→0

ln y=limx→0

ln x1x

=limx→0

1x1

x2

=0

12

limx→0

y=e0=1

 b.  

limx→1

(2−x )tan x/2=e2/n

Es de la forma 1∞ hacemos y= (2−x )tan x/2

Sea

ln y=ln y= tan gπ2=x ln [ 2−x ]

Es de la forma ¥ .0;

limx→1

ln y=limx→1

ln (2 x)

cotπx2

=0 /0

Problema de Máximos y Mínimos

El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial Hubble. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprendieron en t=126 s. Se expresa mediante:

V (t )=0.0001302 t3−0.09029 t2+23.61 t−3.083(en pies / s).

Con este modelo, estime los valores máximos y mínimos absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares.

Solución:

 Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De modo que primero debemos derivar para hallar la aceleración:

A( t)=v (t)=d /dt(0.001302t 3−0.09029 t 2+23.61t−3.083)

¿0.003906 t 2−0.18058 t+23.61

     Ahora el método cerrado a la función continua a en el intervalo 0< t<126

Su derivada es a (t)=0.007812t−0.18058

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     El único número crítico ocurre cuando a (t)=0

t 1=0.18058/0.007812 »23.12

     Al evaluar a (t) en el número crítico y los extremos tenemos:

a (0)=23.61a(t 1)»21.52a (126)»62.87

     De modo que la aceleración máxima es aproximadamente 62.87 pies/s2 y la aceleración mínima es como de 21.52 pies /s2.

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