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PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
ALGUNAS FÓRMULAS ESTÁNDAR DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
SÍMBOLOS. En las tablas siguientes a, b, c, m y n denotan
constantes, mientras que u, v, w y x son variables, u, v, y w son
todas funciones de x. La base del sistema Neperiano o también
llamado natural de logaritmos se denota usualmente por la letra e que
es aproximadamente igual a 2.718281. A menos que se indique
alguna otra cosa, la base de los logaritmos es e. Se supone también
que todos los ángulos son medidos en radianes. En la tabla de
integrales comúnmente aparece como sumando una constante
arbitraria al lado derecho de cada fórmula.
DERIVACIÓN. A continuación se dan las fórmulas elementales
para derivar. El diferencial se obtiene "multiplicando" toda la
expresión por dx.
1. 0dx
dc 2. 1
dx
dx
3. dx
dw
dx
dv
dx
duwvu
dx
d
4. dx
dvccv
dx
d
5. dx
duv
dx
dvuuv
dx
d
6. dx
dvnvv
dx
d nn 1 en particular:
1 nn nxxdx
d
7. 2v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
en particular:
dx
du
cc
u
dx
d
1
8. dx
dv
v
ev
dx
d aa
loglog en particular:
dx
dv
vv
dx
de
1log
9. dx
dvaaa
dx
de
vv log en particular: dx
dvee
dx
d vv
10. dx
dvuu
dx
duvuu
dx
d v
e
vv log1
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
11. dx
dvCosvSenv
dx
d
12. dx
dvSenvCosv
dx
d
13. dx
dvvSecTanv
dx
d 2
14. dx
dvvCscCotv
dx
d 2
15. dx
dvTanvSecvSecv
dx
d
16. dx
dvCotvCscvCscv
dx
d
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA I
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
17. dx
dv
varcSenv
dx
d
21
1
18. dx
dv
varcCosv
dx
d
21
1
19. dx
dv
varcTanv
dx
d
21
1
20. dx
dv
varcCotv
dx
d
21
1
21. dx
dv
vvarcSecv
dx
d
1
12
22. dx
dv
vvarcCscv
dx
d
1
12
REGLA DE LA CADENA
23. dx
dv
dv
dy
dx
dy donde y es una función de v y v a su vez es una
función de x.
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
24. dx
dvCoshvSenhv
dx
d
25. dx
dvSenhvCoshv
dx
d
26. dx
dvvSechTanhv
dx
d 2
27. dx
dvvCschCothv
dx
d 2
28. dx
dvTanhvSechvSechv
dx
d
29. dx
dvCothvCschvCschv
dx
d
DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
30. dx
dv
varcSenhv
dx
d
1
12
31. dx
dv
varcCoshv
dx
d
1
12
32. dx
dv
varcTanhv
dx
d
21
1
33. dx
dv
varcCothv
dx
d
21
1
34. dx
dv
vvarcSechv
dx
d
21
1
35. dx
dv
vvarcCschv
dx
d
21
1
DERIVADAS SUCESIVAS
36. dx
dv
dx
udnv
dx
uduv
dx
dn
n
n
n
n
n
1
1
.....!2
12
2
2
2
dx
vd
dx
dnnn
n
n
n
n
n
dx
vdu
dx
vd
dx
dun
1
1
también conocida como la fórmula de
Leibnitz.
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 3 MATERIA: MATEMÁTICA I
TABLA DE INTEGRALES
Integrales algebraicas racionales
37. xdx
38. dxxfadxxaf )()(
39. wdxvdxudxdxwvu )(
40.
1 cuando 1
1
mm
xdxx
mm
41. xdxx
ln1
42.
1 cuando 1
1
mma
baxdxbax
mm
43.
baxa
dxbax
ln11
44.
baxbbaxabax
xdxln
12
45.
bax
bax
b
abax
xdxln
122
46.
baxbbaxb
bax
abax
dxxln2
2
1 2
2
3
2
47.
baxb
bax
bbax
abax
dxxln2
1 2
32
2
48.
bax
x
bbaxx
dxln
1
49.
bax
x
bbaxbbaxx
dxln
1122
50.
x
bax
b
a
bxbaxx
dxln
122
51.
x
bax
b
a
baxxb
bax
baxx
dxln
222222
52.
a
x
abx
dx 1
22tan
1
53.
x
a
aax
ax
aax
dx 1
22tanh
1ln
2
1 bax
dx2
se reduce a
la 52 o la 53 tomando como factor a a
1 fuera del signo de
integral.
54.
122 12
mmbaxbm
x
bax
dx
1 cuando
12
3212
mbax
dx
bm
mm
55.
1 cuando 12
1122
mbaxambax
xdxmm
56. baxabax
xdx
2
2ln
2
1
57.
bax
dx
a
b
a
x
bax
dxx22
2
58.
122
2
12mm
baxam
x
bax
dxx
1 cuando 12
112
mbax
dx
am m
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 4 MATERIA: MATEMÁTICA I
59.
3
2tan3
3
1
3k
kx
b
k
bax
dx
3
22 donde ln
a
bk
xkxk
xk
60.
3
2tan3
3
1
3k
kx
ak
k
bax
xdx
3
22 donde ln
a
bk
xkxk
xk
61.
bax
x
bnbaxx
dxn
n
nln
1
Suponiendo que cbxaxX 2 y que acbq 42
62. 0 cuando 2
2ln
1
q
qbax
qbax
qX
dx
63. 0 cuando 2
tan2 1
bax
qX
dx
Para el caso en que q= 0, use la fórmula 42 con m = -2
64.
1 cuando
1
322
1
211
nX
dx
nq
an
qXn
bax
X
dxnnn
65. X
dx
a
bX
aX
xdx
2ln
2
1
66.
X
dx
a
bmanX
a
m
X
dxnmx
2
2ln
2
67.
X
dx
a
acbX
a
b
a
x
X
dxx2
2
2
2
2
2ln
2
Integrales que involucran expresiones del tipo bax
42
fórmulala usando integradasser pueden sexpresione estas Todas
baxbax
dx
dxbaxbax
bax
dx
dxbax
n
n
68.
2
3
15
232
a
baxbaxdxbaxx
69.
3
32222
105
812152
a
baxbabxxadxbaxx
70.
dxbaxxmbbaxx
madxbaxx mmm
32
2 13
71.
0 si40fórmula la use
0 si tan22
0 si ln 22
1
b
bb
baxbbax
bbbax
bbaxbbax
x
dxbax
72.
11
3
m
2
52
1
1
x
mmb x
dxbaxam
x
bax
m
dxbax
cuando 1m
73.
baxa
bax
bax
xdx23
22
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 5 MATERIA: MATEMÁTICA I
74.
baxa
babxxa
bax
dxx3
2222
15
8432
75.
21 cuando
12
2 1
mbax
dxxmbbaxx
mabax
dxx mm
m
76.
0 si40fórmula la use
0 sitan2
0 silnb
1
1
b
bb
bax
b
bbbax
bbax
baxx
dx
77.
1 cuando
22
32
1 11m
baxx
dx
bm
am
bxm
bax
baxx
dxmmm
Integrales que involucran expresiones del tipo 22 ax y
22 xa .
(Estas integrales son casos especiales de las integrales más generales
dadas en la siguiente sección.)
78. * 2222222 ln2
1 axxaaxxdxax
79.
a
xsenaxaxdxxa 122222
2
1
80. *
22
22ln axx
ax
dx
81.
a
xsen
xa
dx 1
22
82. 32222
3
1axdxaxx
83. *
222222
322222 ln84
axxaaxxa
axx
dxaxx
84. 32222
3
1xadxxax
85.
a
xsenaxax
axa
xdxxax 1222
2322222
84
86. * x
xaaaxa
x
dxxa 2222
22
ln
87.
x
aaax
x
dxax 12222
cos
88. *
22
22
2
22
ln
xaxx
xa
x
dxxa
En las fórmulas marcadas con ``*´´, podemos reemplazar
22ln xax por a
x1sinh
22ln axx por a
x1cosh
x
xaa 22
ln por x
a1sinh
x
xaa 22
ln por x
a1cosh
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 6 MATERIA: MATEMÁTICA I
89.
a
xsen
x
xa
x
dxxa 122
2
22
90.
22
22xa
xa
xdx
91.
22
22ax
ax
xdx
92. *
222
22
22
2
ln22
axxa
axx
ax
x
93. a
xsen
axa
x
xa
dxx 12
22
22
2
22
94.
x
a
aaxx
dx 1
22cos
1
95. *
x
xaa
axax
dx 22
22ln
1
96.
xa
xa
xax
dx2
22
222
97.
xa
xa
xax
dx2
22
222
98. *
22
422
2322
41
322 ln2
3
2
3axx
aax
xaxaxdxxa
99.
a
xsen
axa
xaxaxdxxa 1
422
2322
41
322
2
3
2
3
100. 222322 axa
x
ax
dx
101.
222322 xaa
x
xa
dx
Integrales que involucran expresiones del tipo cbxax 2
Sea cbxaxX 2 y acbq 42
102.
0 si
21
0 si2
2ln
1
1 aq
baxsen
a
aa
baxX
a
X
dx
103. X
dx
a
b
a
X
X
xdx
2
104.
X
dx
a
bman
a
Xm
X
dxnmx
2
2
105.
X
dx
a
acb
a
Xbax
X
dxx2
2
2
2
8
43
4
32
106.
0 si2
0 si21
0 si2
ln1
1
cbx
X
cqx
cbxsen
c
cc
b
x
cX
c
Xx
dx
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 7 MATERIA: MATEMÁTICA I
107.
0 si2
2
0 si221
0 si2
2ln
1
1
knmxanbm
Xm
kqnmxm
knmxanbmsen
k
kk
anbm
nmx
Xmk
k
Xnmx
dx
cuando cmbmnank 2
108. Xx
dx
c
b
cx
X
Xx
dx
22
109.
X
dx
a
q
a
XbaxdxX
84
2
110.
2
2
24
56
a
XXbaxdxXx
X
dx
a
qacb
a
Xbaxacb3
2
3
2
128
45
64
245
111. Xx
dxc
X
dxbX
x
dxX
2
112.
X
dx
m
anbm
m
X
nmx
dxX22
2
Xnmx
dx
m
cmbmnan2
22
113. X
dxa
Xx
dxb
x
X
x
dxX
22
114.
Xq
bax
XX
dx 2
115.
264
23
8
22
a
Xbaxq
a
XXbaxdxXX
X
dx
a
q2
2
128
3
Miscelánea de Integrales Irracionales
116. a
axsen
axax
axdxxax
1
222
22
22
117.
a
xa
xax
dx 1
2cos
2
118.
bnxanbmamx
dxnmxdx
bax
nmx
2 y entonces use la
fórmula 104
Integrales Logarítmicas
119. e
xxxdx aa loglog
120. 1lnln xxxdx
121.
2
1
1
log
1
loglog
m
e
m
xxxdxx aam
a
m
122.
2
1
1
1
1
lnln
mm
xxxdxx mm
Integrales Exponenciales
123. a
adxa
xx
ln
124. xx edxe
125. 1xedxxe xx
FORMULARIO DE MATEMÁTICA I
PROFESOR: JULIO BARRETO 8 MATERIA: MATEMÁTICA I
126. dxexmexdxex xmxmxm 1
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
NOTA: En las siguientes fórmulas, los números m y n son enteros
positivos, a menos que sea indicada otra cosa.
127. xsenxdx cos
128. xsenxxxdxsen cos 212
129.
par es si1cos
112fórmula la luego y cos1 de
expansiónla Use
impar es si cos1
11
2
12
2
12
nxdxsenn
n
n
xxsen
x
nsenxdxx
xdxsen
nn
n
n
n
130.
141fórmula la use luegoy
par es cuando
csc
1impar es cuando1
2
1
cos21
n
xdx
nxsen
dx
n
n
xsenn
x
xsen
dxn
nn
n
131. senxxdxcos
132. xsenxxdxx coscos 212
133.
par es sicos1cos
135fórmula la y sen-1
de expansiónla Use
impar es sicos1
cos
21
2
12
2
12
nxdxn
n
n
xsenx
x
nxdxxsen
xdx
nn
n
n
n
134.
147fórmula la usey
par es sisec
1impar es sicos1
2
cos1
cos n
21
nxdx
nx
dx
n
n
xn
senx
x
dx
nn
n
135. 1
cos1
n
xsenxdxxsen
nn
136. 1
coscos
1
n
xdxxsenx
nn