La Belleza de las

Matematicas:

Fractales

Profesora: Pilar Espinoza Sandoval

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•Que es un fractal.

•Quien lo descubrió.

•Porqué se llaman fractales.

•Tipos de fractal.

•Fractales en la naturaleza, ciencia

y arte

Que es un fractal

• Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier

escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto

fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio,

para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala

de la figura principal

• Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es

fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o

tridimensional (como es el para los objetos que nos son más familiares), la

dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos

tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un

número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre

Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y,

precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen

las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la

repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura

final de una complicación extraordinaria. Es decir, da como resultado un

conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita).

Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o

comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan:

las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se

diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas.

¿Quién lo descubrió?

• La expresión fractal viene del latín

fractus, que significa fracturado,

roto, irregular. La expresión, así

como el concepto, se atribuye al

matemático francés Benoit B.

Mandelbrot, del Centro de

Investigación Thomas J. Watson.

Quien descubrió este

comportamiento mientras

realizaba sus investigaciones

sobre la "TEORÍA DE LA

ITERACIÓN DE LAS

FUNCIONES RACIONALES DEL

PLANO COMPLEJO”.

Conocido por sus trabajos sobre los fractales.

Es el principal responsable del auge de este

dominio de las matemáticas desde el inicio de

los años ochenta, y del interés creciente del

público. Supo utilizar la herramienta que se

estaba popularizando en ésta época, el

computador, para trazar los más conocidos

ejemplos de geometría fractal. Con la aparición

de los fractales podemos hablar de dos tipos de

geometría, la tradicional o euclidiana y la

fractal.

Principal creador de la Geometría Fractal, al

referirse al impacto de esta disciplina en la

concepción e interpretación de los objetos que

se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó

su libro Fractal Geometry of Nature en el que

explicaba sus investigaciones en este campo.

La geometría fractal se distingue por una

aproximación más abstracta a la dimensión de

la que caracteriza a la geometría convencional.

Actualmente trabaja como profesor en la

Harvard University.

¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN

"FRACTALES"?

¿POR QUÉ LOS FRACTALES SE LLAMAN

"FRACTALES"?

• El término fue acuñado por

Benoît Mandelbrot en 1975.

Al estudio de los objetos

fractales se le conoce,

generalmente, como

geometría fractal

Tipos de Fractales

• Lineales

Se generan a partir de conceptos y algoritmos lineales,

como por ejemplo rectas o triángulos. Pueden

obtenerse mediante trazados geométricos simples.

Complejos

Se generan mediante un algoritmo de escape. Para cada

punto se calculan una serie de valores mediante la

repetición de una formula hasta que se cumple una

condición, momento en el cual se asigna al punto un color

relacionado con el número de repeticiones. Los fractales de

este tipo precisan de millones de operaciones, por lo cual

sólo pueden dibujarse con la ayuda del ordenador.

Tipos de Fractales

• Autómatas Celulares

Los autómatas celulares fueron utilizados por primera vez por los

matemáticos John von Neumann y Stanislaw Ulam en 1948 para

representar la reproducción en algunos sistemas biológicos.

Un autómata celular es un sistema dinámico discreto, (espacio y

tiempo toman valores discretos), cuya función asociada toma un

conjunto finito de valores. Funcionan con sencillas reglas que

colorean zonas a partir del color de las adyacentes.

Tipos de Fractales

• Plasma

Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión

dependen en cierta medida del azar, por lo cual son

únicas e irrepetibles.

Ello se debe a que no es un proceso determinista, sino

totalmente aleatorio. Consiste en un patrón único e

irrepetible de colores

Tipos de Fractales

FRACTALES EN LA

NATURALEZALas formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la

misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir

que una nube o una costa pueden definirse por un modelo

matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto

real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas ,

limitadas por valores mínimos y máximos.

EJEMPLOS DE MODELOS FRACTALES:

• LORENZ turbulencias atmosféricas y corrientes marinas.

• HENON oscilaciones sufridas por cuerpos celestes que hacen que

su trayectoria no sea completamente elíptica

• CURVAS DE KOCH ALEATORIA fronteras de un país, trazado de

una costa, trazado de un río

• FRACTALES tipo ÁRBOL sistema arteriales y venosos.

FRACTALES EN LA

NATURALEZAElementos de la naturaleza que pueden estudiarse mediante un

modelo fractal:

• CUERPO HUMANO :

Redes nerviosas.

Redes de vasos sanguíneos.

Conductos biliares.

Sistemas de tubos pulmonares y bronquios

• ELEMENTOS DE LA NATURALEZA:

Montañas

Coníferas

Sauces

FRACTALES EN EL ARTE

Podríamos decir que un fractal es básicamente la expresión visual o

auditiva e incluso espacial (con cualquier tipo de dimensión) de una

expresión matemática.

La particularidad de la creación artística con fractales consiste en

que el algoritmo de la fórmula nos conduce a una progresión

ascendente o descendente de la misma, y a la generación en el

caso de imágenes, de expresiones visuales que se repiten y

progresan hacia lo infinitamente grande o hacia lo infinitamente

pequeño. Sin embargo, el mundo que abren los fractales a la

creación artística no se agota en lo anterior, sino que incluso brinda

muchos elementos de reflexión para abordar temas como la Teoría

del Caos y la aleatoriedad.

FRACTALES EN EL ARTE

• Ejemplos de fractales en el Arte

Arte decorativo árabe

Arte africano

El mosaico del suelo en la cripta de la catedral de Anagni (Italia)

Diseños de catedrales

Arte y la arquitectura hindúes

FRACTALES EN LAS

CIENCIASLas aplicaciones fractales en el campo de la tecnología se

circunscriben mayoritariamente en los campos del diseño y

compresión de imágenes y en el campo de las Telecomunicaciones.

Las antenas son objetos sencillos en apariencia, pero su diseño y

fabricación están basados en las ecuaciones de Maxwell para el

electromagnetismo, lo que conlleva cierta complejidad.

FRACTALES EN LAS

CIENCIAS

La aplicación de técnicas fractales

para la compresión de imágenes

digitales fue introducida por Michael

Barnsley y Arnaud Jacquin en 1988.

La compresión consiste en buscar un

conjunto de transformadas afines que

describan aproximadamente la

imagen.

Webgrafía

• http://www.fractovia.org/art/es/what_es1.shtml

• http://www.sectormatematica.cl/fractales.html

• http://xavieramador2.50webs.com

• http://sabia.tic.udc.es

• http://www.cienciateca.com/fractales.html

• http://www.fractovia.org/art/es/what_es3.shtmlhttp://www

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• hhttp://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/tipo

s_de_fractales.htm

• http://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/arte.

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• http://personal.telefonica.terra.es/web/mundofractal/cien

cias_tecnologia.htm