Función de Primer Grado

¿Cómo resolvemos un problema?

El proceso de resolución de problemas requiere capacidad de transferir experiencias pasadas a situaciones nuevas, para lo cual es necesario:

Analizar la nueva situación.

Determinar relaciones.

Seleccionar, entre los principios y conceptos conocidos, aquellos que sirven para resolverlas.

Aplicar convenientemente estos conceptos y principios.

CONCEBIR un plan: que permita, con los recursos disponibles, encontrar la solución al problema.

EJECUTAR el plan.

EXAMINAR la solución obtenida.

ELABORAR CONCLUSIONES: la solución que se acepta o rechaza permite llegar a una conclusión, la que resuelve el problema y determina el comienzo de una nueva investigación.

COMPRENDER el problema: establecer datos, incógnitas, saber distinguir lo importante de lo superfluo.

La función como modelo

Una pileta de lona contiene 300 litros de agua. Se comenzó a vaciar a razón de 15 litros de agua por minuto.

a) Encuentre la ley que describe la cantidad de agua que permanece en la pileta.

b) Grafique la función.

c) ¿En cuánto tiempo se vaciará la pileta?

d) ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando a la pileta le quedan 120 litros?

0

12

3

4

300

300–15.1= 285300–15.2= 270

300–15.3= 255

300–15.4= 240....

t

.....

300–15.t

300–15.1= 285300–15.2= 270

300–15.3= 255

300–15.4= 240

Volumentiempo

V(t) = 300 – 15.t

t x

V(x) = 300 – 15.x

0

12

3

4

300

270

255

240.... .....

285

Volumentiempo

+1 –15

+1 –15

–15 1

∆y ∆x

=

+2

–30

–30 2

=

+2

–30

= –15

pendiente m = –15

(0, 300) ∈ recta ordenada al origen h = 300

∆y ∆x

–15 1

= = –15

c) ¿En cuánto tiempo se vaciará la pileta?

V(x) = 300 – 15.x

300 – 15.x = 0

300 = 15.x

300 15

= x ⇒ x = 20

A los 20 minutos la pileta estará vacía.

x = 20 cero o raíz de la función.

d) ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando a la pileta le quedan 120 litros?

V(x) = 300 – 15.x

120 = 300 – 15.x

120 – 300 = –15.x

–180 –15

= x ⇒ x = 12

A los 12 minutos a la pileta le quedarán 120 litros.

12

120 P(12, 120)

P(12, 120) ∈ recta

V(x) = 300 – 15.x

Definición: f: R R x mx + h

pendiente

f: R R / y = mx + ho bien:

ordenada al origen

f: R R / y = mx + h

Representación gráfica: una recta

∆y ∆x

m = P(0, h)

f: R R / y = mx + h

(m ∈ R, h ∈ R)

Represente: 3 2

y = x + 4

3 2

h = 4

m =∆y ∆x

=

+2

+3

P(0, 4) ∈ recta

Si m > 0

y = mx + hes creciente

Represente: –4 3

y = x + 7

–4 3

h = 7

m =∆y ∆x

=

+3

– 4

P(0, 7) ∈ recta

Si m < 0y = mx + h

es decreciente

Represente: 5 4

y = x

5 4

h = 0

m = ∆y ∆x

=

+4

+5

P(0, 0) ∈ recta

Si h = 0, m ≠0

y = mx

Función de proporcionalidad

directa

Represente: y = 6

h = 6

∆y ∆x

=

P(0, 6) ∈ recta

Si m = 0y = h

Función constante

m = 0

Sea la función y = 2x + 1 h = 1m = 2,

A(–3, –5) B(–2, –3)

C(0, 1) D(2, 5)

A(–3,–5)

B(–2,–3)

C(0, 1)

D(2, 5) y2 – y1

x2 – x1= 2

y2 – y1

x2 – x1

= m

P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2)

Sea la función y = mx + h

y2 – y1

x2 – x1

m =

P1(x1 , y1) ∈ recta

P2(x2 , y2) ∈ recta

⇒ y1 = mx1 + h

⇒ y2 = mx2 + h

y2 – y1 = mx2 – mx1

y2 – y1 = m.(x2 – x1)

Si x2 ≠ x1 ⇒

x2 – x1

y2 – y1

α

α

y2 – y1

x2 – x1

m = P2

P1

x1 x2

y2

y1

x2 – x1

y2 – y1

x2 – x1

tg α =

tg α = m

Si P1(x1, y1) ∈ recta y m es la pendiente:

P1(x1, y1)

y – y1 = m.(x – x1)

si P2(x2, y2) ∈ recta

P2(x2, y2)

y – y1 = .(x – x1)y2 – y1

x2 – x1

y – y1

y2 – y1

= x – x1

x2 – x1

y2 – y1

x2 – x1

m =

x2 ≠ x1

y2 ≠ y1

Forma explícita: y = mx + h

Forma punto–pendiente: y – y1 = m.(x – x1)

Forma simétrica: y – y1

y2 – y1

= x – x1

x2 – x1

Forma general o implícita: ax +by + c = 0

x2 ≠ x1

y2 ≠ y1

α1α2

y = m1x + h1y = m2x + h2

m1 = m2

α1 = α2

tg α1 = tg α2

Rectas paralelas

3 2

m1 =

3 2

y = x + 4

–2 3

m2 =

–2 3

y = x + 7

Rectas perpendiculares

–1 m2

m1 =

m1 . m2 = –1